高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 限時集訓(xùn)(五十六)曲線與方程 理 新人教A版

限時集訓(xùn)(五十六)曲線與方程(限時：45分鐘滿分：81分)一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1．方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0的曲線是()A．一條直線和一條雙曲線 B．兩條雙曲線C．兩個點 D．以上答案都不對2．已知點O(0,0)，A(1,2)，動點P滿足|＋|＝2，則P點的軌跡方程是()A．4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0B．4x2＋4y2－4x－8y－1＝0C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝03．下列各點在方程x2－xy＋2y＋1＝0表示的曲線上的是()A．(0,0) B．(1,1)C．(1，－1) D．(1，－2)4．(·長春模擬)設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為()A.eq\f(4x2,21)－eq\f(4y2,25)＝1 B.eq\f(4x2,21)＋eq\f(4y2,25)＝1C.eq\f(4x2,25)－eq\f(4y2,21)＝1 D.eq\f(4x2,25)＋eq\f(4y2,21)＝15．已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2，\f(y,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C(x，y)，若⊥，則動點C的軌跡方程為()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8(x－2) D．y2＝－8(x－2)6．(·洛陽模擬)設(shè)過點P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點，點Q與點P關(guān)于y軸對稱，O為坐標(biāo)原點．若＝2，且·＝1，則點P的軌跡方程是()A.eq\f(3,2)x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B.eq\f(3,2)x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－eq\f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋eq\f(3,2)y2＝1(x>0，y>0)二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)7．(·佛山模擬)在△ABC中，A為動點，B，C為定點，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))(a>0)，且滿足條件sinC－sinB＝eq\f(1,2)sinA，則動點A的軌跡方程是________．8．直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,2－a)＝1與x，y軸交點的中點的軌跡方程__________．9．設(shè)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且AB中點為M，則點M的軌跡方程是________．三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)10．過雙曲線x2－y2＝1上一點M作直線x＋y＝2的垂線，垂足為N，求線段MN的中點P的軌跡方程．11.已知動圓P過點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))且與直線y＝－eq\f(1,4)相切．(1)求圓心P的軌跡C的方程；(2)過點F作一條直線交軌跡C于A，B兩點，軌跡C在A，B兩點處的切線相交于N，M為線段AB的中點，求證：MN⊥x軸．12．(·湖南高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1上的點均在圓C2：(x－5)2＋y2＝9外，且對C1上任意一點M，M到直線x＝－2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值．(1)求曲線C1的方程；(2)設(shè)P(x0，y0)(y0≠±3)為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x＝－4上運動時，四點A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值．答案限時集訓(xùn)(五十六)曲線與方程1．C2.A3.D4.D5.B6.A7.eq\f(16x2,a2)－eq\f(16y2,3a2)＝1(x>0且y≠0)8．x＋y＝1(x≠0，x≠1)9．y2＝2(x－1)10．解：設(shè)動點P的坐標(biāo)為(x，y)點M的坐標(biāo)為(x0，y0)，則N(2x－x0,2y－y0)．由N在直線x＋y＝2上，得2x－x0＋2y－y0＝2.①由PM垂直于直線x＋y＝2，得eq\f(y－y0,x－x0)＝1，即x－y－x0＋y0＝0.②由①②得x0＝eq\f(3,2)x＋eq\f(1,2)y－1，y0＝eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)y－1，代入雙曲線方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)x＋\f(1,2)y－1))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(3,2)y－1))2＝1，整理得2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.即點P的軌跡方程2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.11．解：(1)由已知，點P到點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))的距離等于到直線y＝－eq\f(1,4)的距離，根據(jù)拋物線的定義，可得動圓圓心P的軌跡C為拋物線，其方程為x2＝y(tǒng).(2)證明：設(shè)A(x1，xeq\o\al(2,1))，B(x2，xeq\o\al(2,2))．∵y＝x2，∴y′＝2x.∴AN，BN的斜率分別為2x1,2x2.故AN的方程為y－xeq\o\al(2,1)＝2x1(x－x1)，BN的方程為y－xeq\o\al(2,2)＝2x2(x－x2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x1x－x\o\al(2,1)，,y＝2x2x－x\o\al(2,2).))兩式相減，得xN＝eq\f(x1＋x2,2)，又xM＝eq\f(x1＋x2,2)，所以M，N的橫坐標(biāo)相等，于是MN⊥x軸．12．解：(1)法一：設(shè)M的坐標(biāo)為(x，y)，由已知得|x＋2|＝eq\r(x－52＋y2)－3.易知圓C2上的點位于直線x＝－2的右側(cè)，于是x＋2＞0，所以eq\r(x－52＋y2)＝x＋5.化簡得曲線C1的方程為y2＝20x.法二：由題設(shè)知，曲線C1上任意一點M到圓心C2(5,0)的距離等于它到直線x＝－5的距離．因此，曲線C1是以(5,0)為焦點，直線x＝－5為準(zhǔn)線的拋物線．故其方程為y2＝20x.(2)證明：當(dāng)點P在直線x＝－4上運動時，P的坐標(biāo)為(－4，y0)，又y0≠±3，則過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是eq\f(|5k＋y0＋4k|,\r(k2＋1))＝3.整理得72k2＋18y0k＋yeq\o\al(2,0)－9＝0.①設(shè)過P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1，k2，則k1，k2是方程①的兩個實根，故k1＋k2＝－eq\f(18y0,72)＝－eq\f(y0,4).②由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k1x－y＋y0＋4k1＝0，,y2＝20x))得k1y2－20y＋20(y0＋4k1)＝0.③設(shè)四點A，B，C，D的縱坐標(biāo)分別為y1，y2，y3，y4，則y1，y2是方程③的兩個實根，所以y1y2＝eq\f(20y0＋4k1,k1).④同理可得y3y4＝eq\f(20y0＋4k2,k2).⑤于是由②，④，⑤三式得y1y2y3y4＝e