人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)學(xué)案：5 1 2 第2課時(shí) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)PAGEPAGE1第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)的幾何意義學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解導(dǎo)函數(shù)的概念，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.2.會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).3.根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，會(huì)求曲線上某點(diǎn)處的切線方程．導(dǎo)語(yǔ)同學(xué)們，經(jīng)過(guò)前兩節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們經(jīng)歷了從物理中的瞬時(shí)變化，到幾何中的切線的斜率，再到數(shù)學(xué)中函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，不禁會(huì)想，我們學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的意義何在，其實(shí)，之前所學(xué)只為今天，今天我們將揭開(kāi)謎底，一探導(dǎo)數(shù)的幾何意義．一、導(dǎo)數(shù)的幾何意義問(wèn)題1導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義是什么？〖提示〗我們知道導(dǎo)數(shù)f′(x0)表示函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的變化情況，如下圖．容易發(fā)現(xiàn)，平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)表示的是割線P0P的斜率，當(dāng)P點(diǎn)沿著曲線無(wú)限趨近于P0點(diǎn)時(shí)，割線P0P無(wú)限趨近于一個(gè)確定的位置，這個(gè)確定的位置的直線P0T稱為曲線y＝f(x)在點(diǎn)P0處的切線，因此函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝f′(x0)，這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．知識(shí)梳理函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率．也就是說(shuō)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率是f′(x0)．相應(yīng)地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．例1已知曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程；(2)求曲線過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線方程．解(1)∵P(2,4)在曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)上，∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處切線的斜率為k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(1,3)2＋Δx3＋\f(4,3)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)×23＋\f(4,3))),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋2Δx＋\f(1,3)Δx2))＝4.∴曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)設(shè)曲線y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3)與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0，\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))，則切線的斜率為k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(1,3)x0＋Δx3－\f(1,3)x\o\al(3,0),Δx)＝xeq\o\al(2,0)，∴切線方程為y－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x\o\al(3,0)＋\f(4,3)))＝xeq\o\al(2,0)(x－x0)，即y＝xeq\o\al(2,0)·x－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3).∵點(diǎn)P(2,4)在切線上，∴4＝2xeq\o\al(2,0)－eq\f(2,3)xeq\o\al(3,0)＋eq\f(4,3)，即xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4＝0.∴xeq\o\al(3,0)＋xeq\o\al(2,0)－4xeq\o\al(2,0)＋4＝0，∴xeq\o\al(2,0)(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切線方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.反思感悟求曲線過(guò)某點(diǎn)的切線方程，首先應(yīng)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出等式，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程．跟蹤訓(xùn)練1求曲線y＝eq\f(1,x)在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))處的切線方程．解曲線在點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,2)))處的切線的斜率為k＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(1,2＋Δx)－\f(1,2),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(－1,22＋Δx)＝－eq\f(1,4)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得切線方程為y－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,4)(x－2)，即x＋4y－4＝0.二、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系問(wèn)題2函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)有什么關(guān)系？〖提示〗如圖當(dāng)t＝t0時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t0處的切線平行于t軸，即h′(t0)＝0，這時(shí)，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒(méi)有升降．當(dāng)t＝t1時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)<0，這時(shí)，在t＝t1附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t1附近單調(diào)遞減．當(dāng)t＝t2時(shí)，函數(shù)的圖象在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0，這時(shí)，在t＝t2附近曲線下降，即函數(shù)在t＝t2附近單調(diào)遞減．通過(guò)研究t＝t1和t＝t2發(fā)現(xiàn)直線l1的傾斜程度小于直線l2的傾斜程度，這說(shuō)明函數(shù)在t＝t1附近比在t＝t2附近下降的緩慢．知識(shí)梳理若f′(x0)＝0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k＝0；若f′(x0)>0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k>0，且函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞增，且f′(x0)越大，說(shuō)明函數(shù)圖象變化的越快；若f′(x0)<0，則函數(shù)在x＝x0處切線斜率k<0，且函數(shù)在x＝x0附近單調(diào)遞減，且|f′x0|越大，說(shuō)明函數(shù)圖象變化的越快．例2已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關(guān)系是()A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定〖答案〗B〖解析〗由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點(diǎn)A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)<f′(xB)．反思感悟?qū)?shù)的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導(dǎo)數(shù)大小的問(wèn)題可以用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解決．(1)曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過(guò)x0處的切線刻畫．f′(x0)>0說(shuō)明曲線在x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x0附近曲線是上升的；f′(x0)<0說(shuō)明在x0附近曲線是下降的．(2)曲線在某點(diǎn)處的切線斜率的大小反映了曲線在相應(yīng)點(diǎn)處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其部分圖象如圖所示，設(shè)eq\f(f2－f1,2－1)＝a，則下列不等式正確的是()A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<a D．a(chǎn)<f′(1)<f′(2)〖答案〗B〖解析〗由圖象可知，函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞)上的增長(zhǎng)越來(lái)越快，∴f′(1)<f′(2)，∵eq\f(f2－f1,2－1)＝a，∴通過(guò)作切線與割線可得f′(1)<a<f′(2)，故選B.三、導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))問(wèn)題3以上我們知道，求函數(shù)某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化，能否通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的整體變化？〖提示〗這涉及到函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)可知f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)，這就是函數(shù)在任意一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，即導(dǎo)函數(shù)，它不再是一個(gè)確定的數(shù)，而是一個(gè)函數(shù)．知識(shí)梳理導(dǎo)函數(shù)的定義從求函數(shù)f(x)在x＝x0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看出，當(dāng)x＝x0時(shí)，f′(x0)是一個(gè)唯一確定的數(shù)．這樣，當(dāng)x變化時(shí)，y＝f′(x)就是x的函數(shù)，我們稱它為y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù))．y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作f′(x)或y′，即f′(x)＝y(tǒng)′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).注意點(diǎn)：(1)f′(x0)是具體的值，是數(shù)值．(2)f′(x)是函數(shù)，f(x)在某區(qū)間I上每一點(diǎn)都存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù)，是函數(shù)．例3求函數(shù)y＝eq\r(x＋1)(x>－1)的導(dǎo)函數(shù)．解令f(x)＝eq\r(x＋1)，則f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋Δx))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\r(x＋Δx＋1)－\r(x＋1),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(x＋Δx＋1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)),Δx\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))))＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(1,\r(x＋Δx＋1)＋\r(x＋1))＝eq\f(1,2\r(x＋1)).反思感悟不是所有的函數(shù)都有導(dǎo)數(shù)，一個(gè)函數(shù)也不一定在所有的點(diǎn)上都有導(dǎo)數(shù)．若某函數(shù)在某一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)存在，則稱其在這一點(diǎn)可導(dǎo)，否則稱為不可導(dǎo)．然而，可導(dǎo)的函數(shù)一定連續(xù)；不連續(xù)的函數(shù)一定不可導(dǎo)．跟蹤訓(xùn)練3已知函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,2)x.求f′(x)．解∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－eq\f(1,2)Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝2x＋Δx－eq\f(1,2).∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝2x－eq\f(1,2).1．知識(shí)清單：(1)導(dǎo)數(shù)的幾何意義．(2)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．(3)導(dǎo)函數(shù)的概念．2．方法歸納：方程思想、數(shù)形結(jié)合．3．常見(jiàn)誤區(qū)：切線過(guò)某點(diǎn)，這點(diǎn)不一定是切點(diǎn)．1．已知曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)等于()A．4B．－4C．－2D．2〖答案〗D〖解析〗由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知f′(1)＝2.2．已知曲線f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為()A．－2B．－1C．1D．2〖答案〗D〖解析〗∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝eq\f(1,2)(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－eq\f(1,2)x2－x＝x·Δx＋eq\f(1,2)(Δx)2＋Δx，∴eq\f(Δy,Δx)＝x＋eq\f(1,2)Δx＋1，∴f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝x＋1.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，則f′(x0)＝x0＋1＝3，∴x0＝2.3．曲線f(x)＝eq\f(9,x)在點(diǎn)(3,3)處的切線的傾斜角α等于()A．45°B．60°C．135°D．120°〖答案〗C〖解析〗f′(x)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝9eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x),Δx)＝－9eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,x＋Δxx)＝－eq\f(9,x2)，所以f′(3)＝－1.又切線的傾斜角α的范圍為0°