廣東詩莞市2025屆高三數(shù)學二?？荚囋囶}文含解析

PAGE24-廣東省東莞市2025屆高三數(shù)學二模考試試題文（含解析）一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合，再結合集合交集的運算，即可求解.【詳解】由題意，集合，又有，則.故選：B.【點睛】本題主要考查了集合的交集的運算，其中解答中正確求解集合，再結合集合的交集的概念及運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算實力，屬于基礎題.2.已知復數(shù)，i為虛數(shù)單位，則＝（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)模的性質，以及乘除法的模的性質計算．【詳解】．故選：B．【點睛】本題考查求復數(shù)的模，利用模的性質求解更加便利簡捷．復數(shù)模的性質：，，．3.在一個圓柱內挖去一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的上底面重合，頂點是圓柱下底面中心．若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓錐的側面綻開圖面積為()A. B. C.3π D.4π【答案】A【解析】【分析】由已知得到圓錐的半徑與母線長，再代入扇形面積公式求得圓錐側展圖面積．【詳解】圓錐側面綻開圖是半徑為，弧長為的扇形，其面積，所以圓錐的側面綻開圖面積為.【點睛】本題考查求圓錐側展圖及扇形面積的基本運算．4.設等差數(shù)列的前項和，滿意，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設等差數(shù)列的公差為，可得出關于和的方程組，解出這兩個量的值，利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，因此，.故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列求和，同時也考查了等差數(shù)列基本量的求解，考查計算實力，屬于基礎題.5.某輪船公司的質檢部要對一批輪胎的寬度（單位：）進行質檢，若從這批輪胎中隨機選取個，至少有個輪胎的寬度在內，則稱這批輪胎基本合格．已知這批輪胎的寬度分別為、、、、，則這批輪胎基本合格的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可知輪胎的寬度為、、在內，列舉出全部的基本領件，并列舉出“從這批輪胎中隨機選取個，至少有個輪胎的寬度在內”所包含的基本領件，利用古典概型的概率公式可求得所求事務的概率.【詳解】由題意可知，輪胎的寬度為、、在內，從這批輪胎中隨機選取個，全部的基本領件有：、、、、、、、、、，其中，事務“從這批輪胎中隨機選取個，至少有個輪胎的寬度在內”所包含的基本領件有：、、、、、、，共個，因此，這批輪胎基本合格的概率為.故選：D.【點睛】本題考查古典概型概率的計算，一般要列舉出基本領件，考查計算實力，屬于基礎題.6.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他著作《圓錐曲線論》中記載了用平面切割圓錐得到圓錐曲線的方法.如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置(兩圓錐的軸重合)，已知兩個圓錐的底面半徑均為1，母線長均為3，記過圓錐軸的平面為平面(與兩個圓錐側面的交線為)，用平行于的平面截圓錐，該平面與兩個圓錐側面的交線即雙曲線的一部分，且雙曲線的兩條漸近線分別平行于，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得圓錐的高，可得矩形的對角線長，即有，的夾角，可得兩條漸近線的夾角，由漸近線方程和離心率公式，計算可得所求值．【詳解】解：設與平面平行的平面為，以的交點在平面內的射影為坐標原點，兩圓錐的軸在平面內的射影為軸，在平面內與軸垂直的直線為軸，建立平面直角坐標系.依據(jù)題意可設雙曲線.由題意可得雙曲線的漸近線方程為，由，得離心率.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是離心率的求法，考查數(shù)形結合思想和運算實力，屬于中檔題．7.已知為銳角，，則（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由計算出，再將用兩角差的正切公式拆開，代入求值即可.【詳解】解：，，且為銳角，故選：【點睛】本題考查二倍角公式與同角三角函數(shù)的基本關系以及兩角差的正切公式，屬于中檔題.8.已知函數(shù)為偶函數(shù)，若曲線的一條切線與直線垂直，則切點的橫坐標為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)偶函數(shù)求參數(shù)，再求導數(shù)，依據(jù)導數(shù)幾何意義得斜率，最終依據(jù)直線垂直關系得結果.【詳解】為偶函數(shù)，則，，設切點得橫坐標為，則解得，（負值舍去）所以.故選：D【點睛】本題考查偶函數(shù)性質、導數(shù)幾何意義以及直線垂直關系，考查綜合分析求解實力，屬基礎題.9.已知A，B，C三點不共線，且點O滿意則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量的線性運算化簡．【詳解】∵，∴，整理得．故選：A．【點睛】本題考查向量的線性運算，解題關鍵是把用表示．10.△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知bcosC+ccosB＝6,c＝3,B＝2C,則cosC的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知利用二倍角的正弦函數(shù)公式,正弦定理可得，利用兩角和的正弦函數(shù)公式,正弦定理化簡已知等式可得，進而依據(jù)余弦定理即可求解的值．【詳解】解：，，，由正弦定理,可得,可得，，設的外接圓半徑為，由正弦定理可得，又，可得，可得，，可得，，則為銳角，解得．故選：D．【點睛】本題主要考查了正余弦定理在解三角形中的運用，須要依據(jù)題意確定合適的三角函數(shù)公式互化求解，屬于中檔題.11.在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形，且二面角的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A.7π B.8π C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，取BD中點H，連接AH，CH，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°，分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球肯定是兩條垂線的交點，記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°，進而可求得R的值．【詳解】解：如圖，取BD中點H，連接AH，CH因為△ABD與△CBD均為邊長為2的等邊三角形所以AH⊥BD，CH⊥BD，則∠AHC為二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°設△ABD與△CBD外接圓圓心分別為E，F(xiàn)則由AH＝2可得AEAH，EHAH分別過E，F(xiàn)作平面ABD，平面BCD的垂線，則三棱錐的外接球肯定是兩條垂線的交點記為O，連接AO，HO，則由對稱性可得∠OHE＝60°所以OE＝1，則R＝OA則三棱錐外接球的表面積故選：D【點睛】本題考查三棱錐的外接球，球的表面積公式，畫出圖形，數(shù)形結合是關鍵，屬于中檔題．12.已知函數(shù)，對于隨意，都有，則實數(shù)取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)題意，結合函數(shù)的性質，得出在區(qū)間為單調遞增函數(shù)，轉化為時，在上恒成立，分別參數(shù)，得到在上恒成立，再構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與最小值，即可求解.【詳解】依據(jù)函數(shù)對于隨意，都有，可得函數(shù)在區(qū)間為單調遞減函數(shù)，由，可得函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，所以函數(shù)在區(qū)間為單調遞增函數(shù)，當時，函數(shù)，可得，依據(jù)函數(shù)在區(qū)間為單調遞增函數(shù)，可得在上恒成立，即在上恒成立，可轉化為在上恒成立，令，則，當時，，函數(shù)單調遞減，當時，，函數(shù)單調遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的應用，以及利用函數(shù)的單調性求解參數(shù)問題，其中解答中把函數(shù)的單調性轉化為函數(shù)的導數(shù)恒成立，利用函數(shù)的最值求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及推理與運算實力，屬于中檔試題.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知實數(shù)，滿意，則目標函數(shù)的最大值為________.【答案】3【解析】【分析】依據(jù)約束條件得到可行域，將問題轉化為求解在軸截距的最大值，由圖象平移可知當直線過點時，最大，代入求得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：則求的最大值等價于求解直線在軸截距的最大值由平移可知，當過點時，在軸截距最大由得：本題正確結果：【點睛】本題考查利用線性規(guī)劃的學問求解最大值的問題，關鍵是能夠將問題轉化為求解直線在軸截距最大值的問題，屬于常規(guī)題型.14.記等比數(shù)列的前n項和為，若，，則公比______.【答案】或2【解析】【分析】由，，可得：，化簡解出即可得出．【詳解】解：由，，，化為：．解得或2．故答案為：或2．【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式求和公式及其性質，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎題．15.若非零向量、滿意，，則與的夾角為_____．【答案】【解析】【分析】設與的夾角為，由得出，結合平面對量數(shù)量積的運算律可求得的值，再結合角的取值范圍可求得角的值，即可得解.【詳解】設與的夾角為，，，則，即，可得，，.因此，與的夾角為.故答案為：.【點睛】本題考查利用平面對量垂直求夾角，考查平面對量數(shù)量積運算性質的應用，考查計算實力，屬于基礎題.16.在三棱錐中，，當三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的體積與三棱錐的體積之比為__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意，當面BCD面ABD時，三棱錐的體積最大.此時取BD的中點O，由，得，同理依據(jù)，且，由直角三角形中線定理可得，從而得到外接圓半徑R=2，再分別利用體積公式求解.【詳解】如圖所示：當面BCD面ABD時，三棱錐的體積最大.取BD的中點O，因為，所以，，，，外接圓半徑R=2，V球，，三棱錐外接球的體積與三棱錐的體積之比為.故答案為：【點睛】本題主要考查組合體的體積問題，還考查了邏輯推理和運算求解的實力，屬于中檔題.三、解答題（共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必需作答；第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答）（一）必考題（60分）17.已知數(shù)列是等比數(shù)列，數(shù)列滿意，，．（1）求的通項公式；（2）求的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分別令、可分別求得、，進而可求得等比數(shù)列的首項和公比，利用等比數(shù)列的通項公式可求得的通項公式；（2）由已知條件得出數(shù)列是等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，求得數(shù)列的通項公式，進一步可求得數(shù)列的通項公式，然后利用錯位相減法可求得數(shù)列的前項和．【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，由于數(shù)列滿意，，．當時，則，即，可得；當時，則，即，可得.，，；（2），即，，且，所以，數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，.設數(shù)列的前項和為，則，①，②①②得，.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式的求解，同時也考查了錯位相減法，考查計算實力，屬于中等題.18.已知幾何體中，，，，面，，．（1）求證：平面平面；（2）求點到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由平面，可得，并推導出，利用線面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；（2）計算出三棱錐的體積，并計算出的面積，利用等體積法可計算出點到平面的距離．【詳解】（1）且面，平面，平面，，且，由勾股定理得，且，，，由余弦定理得，，，，，，平面，平面，平面平面；（2）平面，，且，，，平面，平面，，，，，，平面，平面，，又，，設點到平面的距離為，則，即，因此，點到平面的距離為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用等體積法計算點到平面的距離，考查推理實力與計算實力，屬于中等題.19.為了提高生產效益，某企業(yè)引進一批新的生產設備，為了解設備生產產品的質量狀況，分別從新、舊設備所生產的產品中，各隨機抽取件產品進行質量檢測，全部產品質量指標值均在以內，規(guī)定質量指標值大于的產品為優(yōu)質品，質量指標值在以內的產品為合格品．舊設備所生產的產品質量指標值如頻率分布直方圖所示，新設備所生產的產品質量指標如頻數(shù)分布表所示．質量指標值頻數(shù)合計（1）請分別估計新、舊設備所生產的產品優(yōu)質品率；（2）優(yōu)質品率是衡量一臺設備性能凹凸的重要指標，優(yōu)質品率越高說明設備的性能越高．依據(jù)已知圖表數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表（單位：件），并推斷是否有的把握認為“產品質量凹凸與新設備有關”；非優(yōu)質品優(yōu)質品合計新設備產品舊設備產品合計（3）已知每件產品的純利潤（單位：元）與產品質量指標的關系式為．若每臺新設備每天可以生產件產品，買一臺新設備須要萬元，請估計至少須要生產多少天才可以收回設備成本．參考公式：，其中．【答案】（1）估計新、舊設備所生產的產品優(yōu)質品率分別為、；（2）列聯(lián)表見解析，有的把握認為“產品質量凹凸與新設備有關”，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）依據(jù)舊設備所生產的產品質量指標值的頻率分布直方圖中后組的頻率之和即為舊設備所生產的產品的優(yōu)質品率，依據(jù)新設備所生產的產品質量指標值的頻數(shù)分布表即可估計新設備所生產的優(yōu)質品率；（2）依據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結合臨界值表，可得出結論；（3）依據(jù)新設備所生產的優(yōu)質品率，分別計算出件產品中優(yōu)質品的件數(shù)和合格品的件數(shù)，得到每天的純利潤，從而計算出至少須要生產多少天方可收回成本.【詳解】（1）估計新設備所生產的產品優(yōu)質品率為，估計舊設備所生產的產品優(yōu)質品率為；（2）依據(jù)題中所給數(shù)據(jù)可得到如下列聯(lián)表：非優(yōu)質品優(yōu)質品合計新設備產品舊設備產品合計，因此，有的把握認為“產品質量凹凸與新設備有關”；（3）新設備所生產的產品的優(yōu)質品率為，每臺新設備每天所生產的件產品中，估計有件優(yōu)質產品，有件合格品，則每臺新設備每天所生產的產品的純利潤為（元），（天），因此，估計至少須要天方可收回成本.【點睛】本題考查理由頻率分布直方圖和頻數(shù)分布表求頻率，同時也考查了利用獨立性檢驗解決實際問題，考查學生的數(shù)據(jù)處理實力與計算實力，屬于基礎題.20.已知點、點及拋物線．（1）若直線過點及拋物線上一點，當最大時求直線的方程；（2）問軸上是否存在點，使得過點的任一條直線與拋物線交于點、，且點到直線、的距離相等？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）或；（2）存在，且點的坐標為.【解析】【分析】（1）要使得最大，則過的直線與拋物線相切，設過點的直線方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，由求得的值，由此可得出直線的方程；（2）由題意可知，直線、的斜率互為相反數(shù)，設點，設直線的方程為，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，結合斜率公式求得實數(shù)的值，由此可得出結論.【詳解】（1）如下圖所示，當過點的直線與拋物線相切時，即當點為切點時，最大.當直線與軸重合時，則點與點重合，不合乎題意；當直線與軸不重合時，可設直線的方程為，聯(lián)立，消去得，則，解得.因此，當最大時，直線的方程為或；（2）假設存在這樣的點滿意條件，設點，因為點到直線、的距離相等，則為的角平分線，所以，可得，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達定理得，.，，即，整理得，由題意可知，等式對隨意的恒成立，所以，.因此，在軸上存在點，使得點到直線、的距離相等.【點睛】本題考查利用直線與拋物線相切求直線方程，同時也考查了拋物線中存在定點滿意條件，考查韋達定理設而不求法的應用，考查計算實力，屬于中等題.21.已知.（1）若，探討函數(shù)的單調性；（2）當時，若不等式在上恒成立，求的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）.【解析】【分析】（1）的定義域為，且，據(jù)此確定函數(shù)的單調性即可；（2）由題意可知在上恒成立，分類探討和兩種狀況確定實數(shù)b的取值范圍即可.【詳解】（1）的定義域為∵，，∴當時，；時，∴函數(shù)在上單調遞減；在上單調遞增.（2）當時，由題意，在上恒成立①若，當時，明顯有恒成立；不符題意.②若，記，則,明顯在單調遞增，（i）當時，當時，∴時，（ii）當，，∴存在，使.當時，，時，∴在上單調遞減；在上單調遞增∴當時，，不符合題意綜上所述，所求的取值范圍是【點睛】本題主要考查導數(shù)探討函數(shù)的單調性，導數(shù)探討恒成立問題，分類探討的數(shù)學思想等學問，意在考查學生的轉化實力和計算求解實力.選考題（10分，請考生在第22、23題中任選一題作答．假如多做則按所做的第一題計分）[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．若為曲線上的動點，是射線上的一動點，且滿意，記動點的軌跡為．（1）求的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線交于、兩點，求的