新高考數(shù)學一輪復習 講與練第23練 空間中的垂直關系（解析版）

第23練空間中的垂直關系學校____________姓名____________班級____________一、單選題1．下列說法中可以判斷直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的是（

）A．直線l與平面SKIPIF1<0內(nèi)的一條直線垂直 B．直線l與平面SKIPIF1<0內(nèi)的兩條直線垂直C．直線l與平面SKIPIF1<0內(nèi)的兩條相交直線垂直 D．直線l與平面SKIPIF1<0內(nèi)的無數(shù)條直線垂直【答案】C【詳解】根據(jù)線面垂直的判定定理：直線垂直平面內(nèi)兩條相交直線，強調兩條、相交，A、B不正確，C正確；根據(jù)線面垂直定義：直線垂直平面內(nèi)得任一條直線，此時強調任一條，不是無數(shù)條，因為這無數(shù)條直線可能是平行的，D不正確．故選：C．2．設SKIPIF1<0是兩條不同的直線，SKIPIF1<0是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖，滿足SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0不垂直，A錯誤；若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0異面，或SKIPIF1<0相交，B錯誤；因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C正確；因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，D錯誤.故選：C3．自二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，則必須具有條件（）A．AO⊥BO，AO?α，BO?β B．AO⊥l，BO⊥lC．AB⊥l，AO?α，BO?β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β【答案】D【詳解】根據(jù)題意，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平面的交線，則根據(jù)二面角的定義，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0為二面角的平面角故選：D4．在長方體SKIPIF1<0中，點E為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0或其補角即為異面直線AE與BC所成角，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：C.5．點SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外一點，且SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影一定是SKIPIF1<0的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】A【詳解】如圖所示，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的外心.故選：A.6．如圖，正方體SKIPIF1<0中，下面結論錯誤的是（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0【答案】B【詳解】對于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，A正確；對于B，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角不是SKIPIF1<0，B錯誤；對于C，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，C正確；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角即為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，D正確.故選：B.7．下面的說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．如果平面SKIPIF1<0內(nèi)存在無數(shù)條直線和平面SKIPIF1<0平行，那么SKIPIF1<0.C．如果平面SKIPIF1<0，那么在平面SKIPIF1<0內(nèi)存在直線不垂直與平面SKIPIF1<0.D．如果直線SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，那么SKIPIF1<0.【答案】C【詳解】解：對于A，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0平行或異面，故A錯誤；對于B，如果平面SKIPIF1<0內(nèi)存在無數(shù)條直線和平面SKIPIF1<0平行，則平面SKIPIF1<0與SKIPIF1<0可能相交，故B錯誤；對于C，如果平面SKIPIF1<0，則在平面SKIPIF1<0內(nèi)中的直線與平面SKIPIF1<0可能平行、相交，即在平面SKIPIF1<0內(nèi)存在直線不垂直與平面SKIPIF1<0，故C正確；對于D，如果直線SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則直線SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0平行或相交，也可能垂直，故D錯誤.故選：C.8．已知圓錐的兩條母線SKIPIF1<0，且SA與SB的夾角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，圓錐的母線SA與圓錐的底面圓O所成的角為SKIPIF1<0，則圓錐的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】由圓錐的兩條母線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得三角形SKIPIF1<0的面積為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設圓錐的高為h，底面圓O的半徑為R，由圓錐的母線SA與圓錐的底面圓O所成的角為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則圓錐的體積：SKIPIF1<0，故選：B二、多選題9．如圖，正方體SKIPIF1<0中，點E，F(xiàn)，G，H，I分別為棱AB，CD，BC，SKIPIF1<0，AD的中點，則下列結論正確的是（

）A．AE與CD異面 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BD【詳解】解：對于A：顯然SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0共面，故A錯誤；對于B：因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正確；對于C：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不平行，故C錯誤；對于D：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故D正確；故選：BD10．如圖所示，已知四邊形ABCD是由一個等腰直角三角形ABC和一個有一內(nèi)角為30的直角三角形ACD拼接而成，將△ACD繞AC邊旋轉的過程中，下列結論中可能成立的是（

）A．CD⊥AB B．BC⊥AD C．BD⊥AB D．BC⊥CD【答案】ACD【詳解】當將△ACD繞AC邊旋轉到CD⊥BC時，因為CD⊥AC，SKIPIF1<0，此時CD⊥平面ABC，而SKIPIF1<0平面ABC，則CD⊥AB，CD⊥BC，AD正確；此時AB⊥平面BCD，SKIPIF1<0平面BCD，所以AB⊥DB，C正確；若SKIPIF1<0，而AB⊥BC，SKIPIF1<0，故必有BC⊥平面ABD，由圖形可知，D點在B點正上方，而SKIPIF1<0，所以顯然SKIPIF1<0不可能；故選：ACD11．如圖，已知正方體SKIPIF1<0，則四個推斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為45° B．SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】在正方體SKIPIF1<0中，對于A，由正方體的性質可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角，因為SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0成SKIPIF1<0角，故A錯誤；對于B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正確；對于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正確；對于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故D正確．故選：BCD．12．如圖，若SKIPIF1<0為正六棱臺，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．側棱與底面所成的角為SKIPIF1<0【答案】BCD【詳解】對于A選項，因為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0平行，與SKIPIF1<0異面，故A錯誤；對于B選項，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因為六棱臺SKIPIF1<0是正六棱臺，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,又因為底面SKIPIF1<0是正六邊形，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B正確；對于C選項，設SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正確；對于D選項，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0為側棱與底面所成的角，在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確.故選：BCD三、解答題13．如圖：四棱錐SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)證明：SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0；(2)求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.【解析】(1)在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0⊥平面SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0,又因為SKIPIF1<0進而可知在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0設點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<014．如圖所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面邊長為a，E是PC的中點．(1)求證：PA∥平面BDE；(2)平面PAC⊥平面BDE；(3)若二面角E﹣BD﹣C為30°，求四棱錐P﹣ABCD的體積．【解析】(1)證明:連接SKIPIF1<0，如圖所示．∵SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0中點，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．(2)∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0．(3)取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點，∴SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中位線，∴SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由（1）可知SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，∴SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．15．長方體SKIPIF1<0中．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若此長方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求平面SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【解析】(1)在長方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可證SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)由題意，長方體SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0.16．如圖，SKIPIF1<0是圓錐的頂點，SKIPIF1<0是底面圓心，SKIPIF1<0是底面圓的一條直徑，且點SKIPIF1<0是弧SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求圓錐的表面積；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【解析】(1)圓錐的側面積SKIPIF1<0，底面積SKIPIF1<0，故表面積SKI