新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 講與練第25講 直線(xiàn)的方程（解析版）

直線(xiàn)的方程學(xué)校____________姓名____________班級(jí)____________一、知識(shí)梳理1.直線(xiàn)的傾斜角與斜率(1)直線(xiàn)的傾斜角一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線(xiàn)，如果這條直線(xiàn)與x軸相交，將x軸繞著它們的交點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與直線(xiàn)重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為θ，則稱(chēng)θ為這條直線(xiàn)的傾斜角；傾斜角的取值范圍是[0，π).(2)斜率公式①一般地，如果直線(xiàn)l的傾斜角為θ，則當(dāng)θ≠90°時(shí)，稱(chēng)k＝tanθ為直線(xiàn)l的斜率；當(dāng)θ＝90°時(shí)，稱(chēng)直線(xiàn)l的斜率不存在.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線(xiàn)l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線(xiàn)l的斜率為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線(xiàn)l的斜率不存在.2.直線(xiàn)的方向向量、法向量(1)直線(xiàn)的方向向量的定義一般地，如果表示非零向量a的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)與直線(xiàn)l平行或重合，則稱(chēng)向量a為直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量，記作a∥l.(2)直線(xiàn)方向向量的有關(guān)結(jié)論①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線(xiàn)l上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量.②如果直線(xiàn)l的斜率為k，則(1，k)是直線(xiàn)l的一個(gè)方向向量.③若直線(xiàn)的方向向量為a＝(x，y)(x≠0)，則直線(xiàn)的斜率k＝eq\f(y,x).(3)直線(xiàn)的法向量的定義一般地，如果表示非零向量v的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與直線(xiàn)l垂直，則稱(chēng)向量v為直線(xiàn)l的一個(gè)法向量，記作v⊥l.一條直線(xiàn)的方向向量與法向量互相垂直.3.直線(xiàn)方程的五種形式名稱(chēng)幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線(xiàn)點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線(xiàn)截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線(xiàn)一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線(xiàn)考點(diǎn)和典型例題1、直線(xiàn)的傾斜角與斜率【典例1-1】過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線(xiàn)的傾斜角為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】過(guò)A、B的斜率為SKIPIF1<0，則該直線(xiàn)的傾斜角為SKIPIF1<0，故選：A．【典例1-2】已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0的直線(xiàn)l與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)，所以由圖可知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故選：D【典例1-3】直線(xiàn)SKIPIF1<0的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】A【詳解】直線(xiàn)SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以直線(xiàn)SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.【典例1-4】如圖，設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由斜率的定義可知，SKIPIF1<0.故選：A．【典例1-5】直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，其傾斜角為SKIPIF1<0，現(xiàn)將直線(xiàn)SKIPIF1<0繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線(xiàn)SKIPIF1<0，若直線(xiàn)SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．-2【答案】B【詳解】由題，SKIPIF1<0，直線(xiàn)SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故選：B2、求直線(xiàn)的方程【典例2-1】過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與直線(xiàn)SKIPIF1<0垂直的直線(xiàn)方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】直線(xiàn)SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，故直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：B．【典例2-2】已知過(guò)定點(diǎn)直線(xiàn)SKIPIF1<0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線(xiàn)的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】直線(xiàn)SKIPIF1<0可變?yōu)镾KIPIF1<0，所以過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，又因?yàn)橹本€(xiàn)SKIPIF1<0在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)與SKIPIF1<0軸的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)取等，所以此時(shí)直線(xiàn)為：SKIPIF1<0.故選：C.【典例2-3】已知直線(xiàn)SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意知：直線(xiàn)SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.故選：C.【典例2-4】直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0軸正半軸?SKIPIF1<0軸正半軸交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0面積最小時(shí)，直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】根據(jù)題意，直線(xiàn)SKIPIF1<0不與SKIPIF1<0軸垂直，則其斜率存在，設(shè)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，直線(xiàn)SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0則有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0則有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因此，SKIPIF1<0SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)取等（舍去SKIPIF1<0），故SKIPIF1<0面積最小值為4，此時(shí)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故選：C.【典例2-5】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)．已知SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的歐拉線(xiàn)的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】∵SKIPIF1<0，結(jié)合題意可知SKIPIF1<0的歐拉線(xiàn)即為線(xiàn)段SKIPIF1<0的垂直平分線(xiàn)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，斜率SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0垂直平分線(xiàn)的斜率SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的歐拉線(xiàn)的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故選：D．3、直線(xiàn)方程的綜合應(yīng)用【典例3-1】已知點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若直線(xiàn)SKIPIF1<0與線(xiàn)段SKIPIF1<0相交，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0可寫(xiě)成SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線(xiàn)SKIPIF1<0必過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0直線(xiàn)SKIPIF1<0與線(xiàn)段SKIPIF1<0相交，SKIPIF1<0由圖象知，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0．故選：A【典例3-2】SKIPIF1<0的頂點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上的中線(xiàn)所在的直線(xiàn)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊所在直線(xiàn)的方程（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線(xiàn)SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0在直線(xiàn)SKIPIF1<0上，所以直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的中點(diǎn)坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0邊所在直線(xiàn)的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：B【典例3-3】若點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，則l的方程為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由題意可知AB中點(diǎn)坐標(biāo)是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)锳，B關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，所以直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)AB中點(diǎn)且直線(xiàn)l和AB垂直，所以直線(xiàn)l的斜率為SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)l的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故選：A.【典例3-4】已知△ABC的項(xiàng)點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），則角B的內(nèi)角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為（

）A．x﹣y+2＝0 B．xSKIPIF1<0y+2＝0 C．xSKIPIF1<0y+2＝0 D．x﹣2y+2＝0【答案】D【詳解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的內(nèi)角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為AC的垂直平分線(xiàn)，又線(xiàn)段AC中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），SKIPIF1<0則角B的內(nèi)角平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為y﹣2SKIPIF1<0，即x﹣2y+2＝0．故選：D．【典例3-5】（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為SKIPIF1<0B．點(diǎn)SKIPIF1<0關(guān)于直線(xiàn)SKIPIF1<0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為SKIPIF1<0C．直線(xiàn)SKIPIF1<0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2D．經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且在SKIPIF1<0軸和SKIPIF1<0軸上截距都相等的直線(xiàn)方程為SKIPIF1<0【答案】BC【詳解】對(duì)于A(yíng)：當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為SKIPIF1<0，故A不正確；對(duì)于B：點(diǎn)

(0,2)

與

(1,1)

的中點(diǎn)坐標(biāo)SKIPIF1<0，

滿(mǎn)足直線(xiàn)方程SKIPIF1<0,

并且兩點(diǎn)的斜率為：

?1,

所以點(diǎn)

(0,2)

關(guān)于直線(xiàn)

y=x+1

的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為

(1,1)

，所以

B

正確；對(duì)于C：直線(xiàn)SKIPIF1<0在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：

2,?2,

直線(xiàn)SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是SKIPIF1<0，所以C

正確；

對(duì)于D：經(jīng)過(guò)點(diǎn)

(1,1)

且在

x

軸和

y

軸上截距都相等的直線(xiàn)方程為

x+y?2=0

或

y=x

，所以

D

不正確；故選：BC.【典例3-6】直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，并求點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標(biāo)；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0【解析】(1)在直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0，在直線(xiàn)SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，則直線(xiàn)SKIPIF1<0過(guò)定點(diǎn)SKIPIF1<0；(2)聯(lián)立直線(xiàn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0.SK