浙江省紹興一中2025屆第二學(xué)期高三摸底考試數(shù)學(xué)試題試卷含解析

浙江省紹興一中2025屆第二學(xué)期高三摸底考試數(shù)學(xué)試題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線的焦點為，若拋物線上的點關(guān)于直線對稱的點恰好在射線上，則直線被截得的弦長為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象恒在軸的上方，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．4．是正四面體的面內(nèi)一動點，為棱中點，記與平面成角為定值，若點的軌跡為一段拋物線，則（）A． B． C． D．5．已知為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A． B． C． D．6．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－27．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．9．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．10．已知，是橢圓與雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，若，則的最小值為（）A． B． C．8 D．611．復(fù)數(shù)（）A． B． C．0 D．12．復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為1024，則展開式常數(shù)項的值等于_______．14．為了抗擊新型冠狀病毒肺炎，某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑，據(jù)實驗表明，該藥物釋放量與時間的函數(shù)關(guān)系為（如圖所示），實驗表明，當(dāng)藥物釋放量對人體無害.（1）______；（2）為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過______分鐘人方可進入房間.15．已知，滿足約束條件，則的最小值為______．16．設(shè)滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：（）的左、右頂點分別為、，焦距為2，點為橢圓上異于、的點，且直線和的斜率之積為.（1）求的方程；（2）設(shè)直線與軸的交點為，過坐標(biāo)原點作交橢圓于點，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由.18．（12分）手工藝是一種生活態(tài)度和對傳統(tǒng)的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān)，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質(zhì)量把關(guān)，質(zhì)量把關(guān)程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質(zhì)量不過關(guān)，再由另外2位行家進行第二次質(zhì)量把關(guān)，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認為質(zhì)量過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為B級，若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質(zhì)量不過關(guān)，則該手工藝品質(zhì)量為D級.已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認為質(zhì)量不過關(guān)的概率為，且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨立.（1）求一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質(zhì)量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質(zhì)量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；（2）若點P的極坐標(biāo)為，，求的值.20．（12分）已知，且的解集為.（1）求實數(shù)，的值；（2）若的圖像與直線及圍成的四邊形的面積不小于14，求實數(shù)取值范圍.21．（12分）已知三棱錐中側(cè)面與底面都是邊長為2的等邊三角形，且面面，分別為線段的中點.為線段上的點，且.（1）證明：為線段的中點；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

由焦點得拋物線方程，設(shè)點的坐標(biāo)為，根據(jù)對稱可求出點的坐標(biāo)，寫出直線方程，聯(lián)立拋物線求交點，計算弦長即可.【詳解】拋物線的焦點為，則，即，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，如圖：∴，解得，或(舍去)，∴∴直線的方程為，設(shè)直線與拋物線的另一個交點為，由，解得或，∴，∴，故直線被截得的弦長為．故選：B．本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，點關(guān)于直線對稱，屬于中檔題.2．B【解析】

函數(shù)的圖象恒在軸的上方，在上恒成立.即，即函數(shù)的圖象在直線上方，先求出兩者相切時的值，然后根據(jù)變化時，函數(shù)的變化趨勢，從而得的范圍．【詳解】由題在上恒成立.即，的圖象永遠在的上方，設(shè)與的切點，則，解得，易知越小，圖象越靠上，所以.故選：B．本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象，最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值，然后得出參數(shù)范圍．3．B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計算，由共軛復(fù)數(shù)的概念寫出.【詳解】,,故選：B本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法計算，共軛復(fù)數(shù)的概念，屬于容易題.4．B【解析】

設(shè)正四面體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系，求出各點的坐標(biāo)，求出面的法向量，設(shè)的坐標(biāo)，求出向量，求出線面所成角的正弦值，再由角的范圍，結(jié)合為定值，得出為定值，且的軌跡為一段拋物線，所以求出坐標(biāo)的關(guān)系，進而求出正切值．【詳解】由題意設(shè)四面體的棱長為，設(shè)為的中點，以為坐標(biāo)原點，以為軸，以為軸，過垂直于面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則可得，，取的三等分點、如圖，則，，，，所以、、、、，由題意設(shè)，，和都是等邊三角形，為的中點，，，，平面，為平面的一個法向量，因為與平面所成角為定值，則，由題意可得，因為的軌跡為一段拋物線且為定值，則也為定值，，可得，此時，則，.故選：B.考查線面所成的角的求法，及正切值為定值時的情況，屬于中等題．5．D【解析】

判斷，利用函數(shù)的奇偶性代入計算得到答案.【詳解】∵，∴．故選：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.6．A【解析】

求出，對分類討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值點，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調(diào)遞增，且，在不存在零點；若，，在內(nèi)有且只有一個零點，.故選:A.本題考查函數(shù)的零點、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.7．B【解析】

對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題.8．D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).9．D【解析】

根據(jù)函數(shù)定義域的求解方法可分別求得集合，由補集和交集定義可求得結(jié)果.【詳解】，，，.故選：.本題考查集合運算中的補集和交集運算問題，涉及到函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

由橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式化簡，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的半實軸長為，半焦距為，則，，設(shè)由橢圓的定義以及雙曲線的定義可得：，則當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號.故選：C．本題主要考查了橢圓的定義以及雙曲線的定義、離心率公式，屬于中等題.11．C【解析】略12．C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查學(xué)生的基本運算能力，是一道基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用展開式所有項系數(shù)的和得n=5,再利用二項式展開式的通項公式，求得展開式中的常數(shù)項.【詳解】因為的二項展開式中，所有項的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項為T5=C·3=15,故填15.本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用、二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于中檔題.14．240【解析】

（1）由時，，即可得出的值；（2）解不等式組，即可得出答案.【詳解】（1）由圖可知，當(dāng)時，，即（2）由題意可得，解得則為了不使人身體受到藥物傷害，若使用該消毒劑對房間進行消毒，則在消毒后至少經(jīng)過分鐘人方可進入房間.故答案為：（1）2；（2）40本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題.15．2【解析】

作出可行域，平移基準(zhǔn)直線到處，求得的最小值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知平移基準(zhǔn)直線到處時，取得最小值為.故答案為：本小題主要考查線性規(guī)劃求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.16．【解析】

根據(jù)滿足約束條件，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點，此時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值.【詳解】由滿足約束條件，畫出可行域如圖所示陰影部分：將目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為，平移直線，找到直線在軸上截距最小時的點此時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，最小值為故答案為：-1本題主要考查線性規(guī)劃求最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）是定值，且定值為2【解析】

（1）設(shè)出點坐標(biāo)并代入橢圓方程，根據(jù)列方程，求得的值，結(jié)合求得的值，進而求得橢圓的方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得點的橫坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得，由此化簡求得為定值.【詳解】（1）已知點在橢圓：（）上，可設(shè)，即，又，且，可得橢圓的方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，則直線的方程為.聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，由，可得，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得：，即，即.即為定值，且定值為2.本小題主要考查本小題主要考查橢圓方程的求法，考查橢圓中的定值問題的求解，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，屬于中檔題.18．（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質(zhì)量為B級的情形，并結(jié)合相互獨立事件的概率公式，列式計算即可；（2）①先求得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數(shù)，進而可求出10件手工藝品中不能外銷的手工藝品的最有可能件數(shù)；②分別求出一件手工藝品質(zhì)量為A、B、C、D級的概率，進而可列出X的分布列，求出期望即可.【詳解】（1）一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為.（2）①由題意可得一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，設(shè)10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，則，則，其中，.由得，整數(shù)不存在，由得，所以當(dāng)時，，即，由得，所以當(dāng)時，，所以當(dāng)時，最大，即10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是2件.②由題意可知，一件手工藝品質(zhì)量為A級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為B級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為C級的概率為，一件手工藝品質(zhì)量為D級的概率為，所以X的分布列為：X900600300100P則期望為.本題考查相互獨立事件的概率計算，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.19．（1），；（2）2.【解析】

（1）由得，求出曲線的直角坐標(biāo)方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即求直線的普通方程；（2）將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，韋達定理得，點在直線上，則，即可求出的值.【詳解】（1）由可得，即，即，曲線的直角坐標(biāo)方程為，由直線的參數(shù)方程（t為參數(shù)），消去得，即直線的普通方程為.（Ⅱ）點的直角坐標(biāo)為，則點在直線上.將直線的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)式（為參數(shù)），代入曲線的直角坐標(biāo)方程，整理得，直線與曲線交于兩點，，即.設(shè)點所對應(yīng)的參數(shù)分別為，由韋達定理可得，.點在直線上，，.本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和普通方程的互化及應(yīng)用，屬于中檔題.20．（1），；（2）【解析】

（1）解絕對值不等式得，根據(jù)不等式的解集為列出方程組，解出即可；（2）求出的圖像與直線及交點的坐標(biāo)，通過分割法將四邊形的面積分為兩個三角形，列出不等式，解不等式即可.【詳解】（1）由得：，，即，解得，.（2）的圖像與直線及圍成的四邊形，，，，.過點向引垂線，垂足為，則.化簡得：，（舍）或.故的取值范圍為.本題主要考查了絕對值不等式的求法，以及絕對值不等式在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.21．（1）見解析；（2）【解析】

（1）設(shè)為中點，連結(jié)，先證明，可證得，假設(shè)不為線段的中點，可得平面，這與矛盾，即得證；（2）以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面，平面的法向量的法向量，利用