2020-2021學年新教材高中數(shù)學立體幾何初步11.4.1直線與平面垂直學案

11.4空間中的垂直關(guān)系11.4.1直線與平面垂直新課程標準學業(yè)水平要求1.借助長方體,通過直觀感知,了解直線與平面垂直的關(guān)系,并歸納出線面垂直的判定與性質(zhì)定理.2.能運用直觀感覺、定理和已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的命題.★水平一1.能夠了解用數(shù)學語言表達的線面垂直的判定與性質(zhì)定理.(數(shù)學抽象)2.了解線面垂直的判定與性質(zhì)定理的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系.(邏輯推理)3.掌握一些基本命題的證明,并有條理地表述論證過程.(邏輯推理)★水平二1.能夠理解用數(shù)學語言表達的線面垂直的判定與性質(zhì)定理.(數(shù)學抽象)2.理解線面垂直的判定與性質(zhì)定理的條件與結(jié)論之間的邏輯關(guān)系.(邏輯推理)3.對于一些基本命題,能選擇合適的論證方法表述論證過程,能夠通過舉反例說明某些數(shù)學結(jié)論不成立.(邏輯推理)必備知識·自主學習導思1.如何求兩條直線所成的角?2.兩條垂直直線一定相交嗎?3.直線與平面垂直的定義是什么?怎樣判斷直線與平面垂直?4.線面垂直的性質(zhì)定理是什么?5.如何求直線與平面所成的角?(1)異面直線所成角的定義一般地,如果a,b是空間中的兩條異面直線,過空間中任意一點,分別作與a,b平行或重合的直線a′,b′,則a′與b′所成角的大小,稱為異面直線a與b所成角的大小.(2)兩條直線的夾角兩條直線所成的角也稱為這兩條直線的夾角.(3)兩條直線垂直空間中兩條直線所成角的大小為90°時,稱這兩條直線垂直.(1)在異面直線所成角的定義中,角的大小與點O的位置有關(guān)系嗎?提示:根據(jù)等角定理可知,a′與b′所成角的大小與點O的位置無關(guān).但是為了簡便,點O常取在兩條異面直線中的一條上,特別是這一直線上的某些特殊點(如線段的端點、中點等).(2)研究范圍推廣到空間后,直線與直線垂直的含義有變化嗎?有什么變化?提示:有變化.空間中兩條直線垂直包括相交直線垂直和異面直線垂直兩種情況.(3)兩條異面直線所成角θ的范圍是什么?兩條直線夾角φ的范圍是什么?提示:兩條異面直線所成角θ的范圍是0°<θ≤90°;兩條直線夾角φ的范圍是0°≤φ≤90°.(1)直線l與平面α垂直的充要條件文字表示符號表示圖形表示直線l與平面α垂直的充要條件是,直線l與平面α內(nèi)的任意直線都垂直l⊥α??m?α,l⊥m(2)直線與平面垂直的判定定理文字表示符號表示圖形表示如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個平面垂直m?α,n?α,m∩n≠?,l⊥m,l⊥n,則l⊥α(1)定義中的“任何一條直線”與“所有直線”、“無數(shù)條直線”是同義語嗎?提示:“任何一條直線”與“所有直線”是同義語;“任何一條直線”與“無數(shù)條直線”不是同義語.(2)判定定理的條件中,把“兩條相交直線”改為“兩條直線”或“無數(shù)條直線”可以嗎?提示:不可以.若兩條直線不相交(即平行),即使直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線也不能判定直線與平面垂直.例如,正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB1與平面ABCD內(nèi)無數(shù)條直線垂直(與直線AD平行或重合的所有直線),但是AB1(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字表示符號表示圖形表示如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行l(wèi)⊥α,m⊥α,則l∥m.(2)斜線段、斜足的定義如果A是平面α外一點,C是平面α內(nèi)一點,且AC與α不垂直,則稱AC是平面α的斜線段(相應地,直線AC稱為平面α的斜線),稱C為斜足.(3)直線在平面內(nèi)的射影、直線與平面所成的角設AB是平面α的垂線段,B是垂足;AC是平面α的斜線段,C是斜足,則直線BC稱為直線AC在平面α內(nèi)的射影.特別地,∠ACB稱為直線AC與平面α所成的角.(1)線面垂直的性質(zhì)定理提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù),你能想到其他轉(zhuǎn)化依據(jù)嗎?提示:①Q(mào)UOTE?b⊥α;②QUOTE?a⊥β;③QUOTE?α∥β.(2)若圖中的∠POA是斜線PO與平面α所成的角,則需具備哪些條件?提示:需要PA⊥α,A為垂足,OA為斜線PO的射影,這樣∠POA就是斜線PO與平面α所成的角.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”)(1)三角形的兩邊可以垂直于同一個平面. ()(2)垂直于同一個平面的兩條直線一定共面. ()(3)過一點有且僅有一條直線與已知平面垂直. ()(4)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直,那么另一條直線也與這條直線垂直. ()提示:(1)×.若三角形的兩邊垂直于同一個平面,則這兩條邊平行,不能構(gòu)成三角形.(2)√.由線面垂直的性質(zhì)定理可知這兩條直線是平行的,故能確定一個平面.(3)√.假設過一點有兩條直線與已知平面垂直,由直線與平面垂直的性質(zhì)定理可得這兩條直線平行,應無公共點,這與過同一點相矛盾,故只有一條直線.(4)√.由異面直線所成角的定義或等角定理都可得出,該命題正確.2.如圖所示,若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,則AB與平面α所成的角是 ()A.60° B.45° C.30° D.120°【解析】選A.由題意知,在Rt△ABO中,∠AOB=90°,BO=QUOTEAB,所以∠ABO=60°.3.(教材二次開發(fā):例題改編)如圖,設O為平行四邊形ABCD對角線的交點,P為平面ABCD外一點,且有PA=PC,PB=PD,則PO與平面ABCD的關(guān)系是.

【解析】因為PA=PC,所以PO⊥AC,又PB=PD,所以PO⊥⊥平面ABCD.答案:垂直關(guān)鍵能力·合作學習類型一線面垂直的定義及線線角、線面角的求解(數(shù)學運算、直觀想象)1.下列說法中正確的個數(shù)是 ()①如果直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則l⊥α;②如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直,則l⊥α;③如果直線l不垂直于α,則α內(nèi)沒有與l垂直的直線;④如果直線l不垂直于α,則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直.A.0 B.1 1B1C1D1的棱長為1,則B1D與CC1所成角的正切值為3.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線BC1與平面A1B1C1DA.30° B.45° C.60° D.135°【解析】1.選D.由直線和平面垂直的判定定理知①正確;由直線與平面垂直的定義知,②正確;當l與α不垂直時,l可能與α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,故③不對;④正確.2.如圖,B1D與CC1所成的角為∠BB1D.因為△DBB1為直角三角形,所以tan∠BB1D=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE1B1C1D1中,BB1⊥平面A1B1C1D1,BC1在平面A1B1C1D1中的射影為B1C1,所以∠BC1B1即為直線BC1與平面A1B1C1D1所成的角,在等腰直角三角形BB1C(1)要判斷一條已知直線和一個平面是否垂直,只需要在該平面內(nèi)找出兩條相交直線與已知直線垂直即可.(2)空間直線與直線垂直包括相交垂直和異面垂直兩種情況,所以在平面內(nèi)的這兩條直線是否與已知直線有交點,是無關(guān)緊要的.(1)找出(或作出)適合題設的角——用平移法,遇題設中有中點,?？紤]中位線;若異面直線依附于某幾何體,且對異面直線平移有困難時,可利用該幾何體的特殊點,使異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線.(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角,通過解三角形,求出所找的角.(3)結(jié)論——設由(2)所求得的角的大小為θ.若0°<θ≤90°,則θ為所求;若90°<θ<180°,則180°-θ為所求.【補償訓練】1.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是棱BC,CC1的中點,則異面直線EF與B1D1所成的角為【解析】連接BC1,AD1,AB1,可知EF為△BCC1的中位線,所以EF∥BC1.又因為ABCDC1D1,所以四邊形ABC1D1為平行四邊形.所以BC1∥AD1.所以EF∥AD1.所以∠AD1B1為異面直線EF和B1D1所成的角或其補角.在△AB1D1中,易知AB1=B1D1=AD1,所以△AB1D1為正三角形,所以∠AD1B1=60°.所以EF與B1D1所成的角為60°.答案:60°2.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,則直線PB與平面ABC所成的角等于.

【解析】因為PA⊥平面ABC,所以∠PBA為PB與平面ABC所成的角,又PA=AB,所以∠PBA=45°.類型二直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)(邏輯推理、直觀想象)角度1直線與平面垂直的判定

【典例】1.若三條直線OA,OB,OC兩兩垂直,則直線OA垂直于 ()2.如圖,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.(1)求證:PC⊥平面AEF;(2)設平面AEF交PD于G,求證:AG⊥PD.【思路導引】1.利用線面垂直的判定定理,由線線垂直,證明線面垂直.2.PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為矩形,AE⊥PB,AF⊥PC?AE⊥面PBC;若一條直線垂直于一個平面,則垂直于這個平面內(nèi)的所有直線.【解析】1.選C.由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.2.(1)因為PA⊥平面ABCD,BC?平面ABCD,所以PA⊥⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,又AE?平面PAB,所以AE⊥⊥PB,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,又PC?平面PBC,所以AE⊥⊥AF,AE∩AF=A,所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF,所以PC⊥AG,同理CD⊥平面PAD,AG?平面PAD,所以CD⊥AG,PC∩CD=C,所以AG⊥平面PCD,又PD?平面PCD,所以AG⊥PD.若本例2中,底面ABCD是菱形,H是線段AC上任意一點,AF⊥PC于點C,求證:BD⊥FH.【證明】因為四邊形ABCD是菱形,所以BD⊥AC,又PA⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以BD⊥PA,因為PA?平面PAC,AC?平面PAC,且PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,又FH?平面PAC,所以BD⊥FH.角度2直線與平面垂直的性質(zhì)

【典例】如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1【思路導引】證明EF與BD1都與平面AB1C【證明】連接AB1,B1C,BD,B1D1因為DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以DD1⊥AC.又因為AC⊥BD,BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1B1,所以AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,又AC∩B1所以BD1⊥平面AB1C因為EF⊥A1D,且A1D∥B1C所以EF⊥B1C又因為EF⊥AC,AC∩B1C所以EF⊥平面AB1C,所以EF∥BD1(1)證明線面垂直的方法①線面垂直的定義.②線面垂直的判定定理.③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面,那么另一條直線也垂直于這個平面.④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面,那么它也垂直于另一個平面.(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟:①在這個平面內(nèi)找兩條直線,使它和這條直線垂直;②確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線;③根據(jù)判定定理得出結(jié)論.2.利用線面垂直的性質(zhì)定理,把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直.【拓展延伸】1.空間幾何體中,確定線面角的關(guān)鍵是什么?提示:在空間幾何體中確定線面角時,過斜線上一點向平面作垂線,確定垂足位置是關(guān)鍵,垂足確定,則射影確定,線面角確定.(1)作圖:作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影,作射影要過斜線上一點作平面的垂線,再過垂足和斜足作直線,注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān),才能便于計算.(2)證明:證明某平面角就是斜線與平面所成的角.(3)計算:通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.【拓展訓練】在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求直線A1C(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角.【解析】(1)因為直線A1A⊥所以∠A1CA為直線A1C設A1A=1,則AC=QUOTE,所以tan∠A1CA=QUOTE.(2)在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D因為BB1⊥平面A1B1C1D1A1C1?平面A1B1C1D所以BB1⊥A1C1,又BB1∩B1D1=B1所以A1C1⊥平面BDD1B1所以∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角,在Rt△A1BO中,A1O=QUOTEA1C1=QUOTEA1B,所以∠A1BO=30°,即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.1.如圖,BC是Rt△ABC的斜邊,PA⊥平面ABC,PD⊥BC,則圖中直角三角形的個數(shù)是 ()A.8 B.7 【解析】⊥AC,PA⊥AD,PA⊥AB,BC⊥AD,BC⊥PD,AC⊥△PAC,△PAD,△PAB,△ADC,△ADB,△PCD,△PDB,△ABC,共8個.2.四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形,PA=2,則四棱錐的側(cè)面積是.

【解析】如圖,由已知PA⊥平面ABCD,又CD?平面ABCD,則CD⊥PA,又CD⊥AD,且PA∩AD=A,所以CD⊥平面PAD,又PD?平面PAD,所以CD⊥PD,即△PCD是直角三角形,同理△PBC也是直角三角形,且△PBC和△PCD的面積相同,四棱錐的側(cè)面積S=2S△PAD+2S△PCD=2×QUOTE×2×2+2×QUOTE×2×QUOTE=4+4QUOTE.答案:4+4QUOTE3.如圖,在三棱錐S-ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中點,且SA=SB=SC.(1)求證:SD⊥平面ABC.(2)若AB=BC,求證:BD⊥平面SAC.【證明】(1)因為SA=SC,D是AC的中點,所以SD⊥△ABC中,AD=BD,由已知SA=SB,所以△ADS≌△BDS,所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,AC,BD?平面ABC,所以SD⊥平面ABC.(2)因為AB=BC,D為AC的中點,所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.又因為SD∩AC=D,SD,AC?平面SAC,所以BD⊥平面SAC.【補償訓練】如圖,AB是☉O的直徑,PA垂直于☉O所在的平面,M是圓周上任意一點,AN⊥PM,垂足為N.求證:AN⊥平面PBM.【證明】設☉O所在的平面為α,因為PA⊥α,且BM?α,所以PA⊥BM.又因為AB為☉O的直徑,點M為圓周上一點,所以AM⊥∩AM=A,所以BM⊥平面PAM,而AN?平面PAM,所以BM⊥AN.所以AN與平面PBM內(nèi)的兩條相交直線PM,BM都垂直.所以AN⊥平面PBM.類型三直線與平面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應用(邏輯推理、直觀想象)【典例】如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=QUOTE,D,F分別是A1B1,BB1的中點.(1)求證:C1D⊥AB1.(2)求證:AB1⊥平面C1DF.【思路導引】(1)要證C1D⊥AB1,需證C1D⊥平面AA1B1B,需證C1D⊥A1B1,C1D⊥AA1,由已知可證.(2)要證AB1⊥平面C1DF,需證AB1⊥DF,需證A1B⊥AB1,需證四邊形AA1B1B為正方形,由已知可證.【證明】(1)因為ABC-A1B1C1所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1又D是A1B1的中點,所以C1D⊥A1B1,因為AA1⊥平面A1B1C1,C1D?平面A1B1C所以AA1⊥C1D,又因為AA1∩A1B1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B,又因為AB1?平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.(2)連接A1B,因為D,F分別是A1B1,BB1的中點,所以DF∥A1B.又直角三角形A1B1C1中,A1QUOTE=A1QUOTE+B1QUOTE,所以A1B1=QUOTE,所以A1B1=AA1,即四邊形AA1B1B為正方形,所以AB1⊥A1B,即AB1⊥DF,又(1)已證C1D⊥AB1,又DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF.線線、線面垂直問題的解題策略(1)證明線線垂直,一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面,為此分析題設,觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面.(2)證明直線和平面垂直,就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線,這一點在解題時一定要體現(xiàn)出來.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一點,N是A1C的中點,MN⊥平面A求證:MN∥AD1.【證明】因為四邊形ADD1A1為正方形,所以AD1⊥A1又因為CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1因為A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因為MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.備選類型距離問題(數(shù)學運算、直觀想象)【典例】如圖所示,直角△ABC所在平面α外有一點P,∠ACB=90°,PC=24,PD垂直AC于D,PE⊥BC于E,且PD=PE=6QUOTE,求P點到平面α的距離.【思路導引】作PO⊥α于O,則PO的長為P點到平面α的距離,構(gòu)造直角三角形列方程組求解.【解析】作PO⊥α于O,則PO的長為P點到平面α的距離,連接OC,∠PCO為PC和平面α所成的角,連接OE,OD.因為PD=PE,PE⊥BC于E,PD⊥AC于D,所以PD,PE在平面α上的射影OE=OD,且OE⊥BC,OD⊥AC,即在四邊形ODCE中,OE=OD,且∠OEC=∠ODC=∠ACB=90°,所以四邊形ODCE為正方形,OC=QUOTEOE.設OP=x,OC2=PC2-OP2=242-x2, ①OE2=PE2-OP2=QUOTE-x2, ②OC=QUOTEOE, ③解①②③組成的方程組得x=12(舍去負值),即P點到平面α的距離為12.距離問題一直是高考的重點與熱點問題,本題考查了各種距離,其中求點到平面的距離關(guān)鍵是作出點到平面的垂線,線到面的距離關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為點到面的距離,各種距離的基礎(chǔ)是點與點的距離.已知四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,設點C到平面PAB的距離為d1,點D到平面PAC的距離為d2,BC到平面PAD的距離為d3,則d1,d2,d3三者之間的大小關(guān)系是.

【解析】如圖,點C到平面PAB的距離就是點D到平面PAB的距離,過點D作DE⊥PA,則DE⊥平面PAB,所以DE的長就是點D到平面PAB的距離,故d1=DE=QUOTE;令AC∩BD=M,在平面PDB內(nèi)作DF⊥PM,則DF⊥平面PAC,所以點D到平面PAC的距離d2=DF=QUOTE;BC到平面PAD的距離,即C到平面PAD的距離,所以d3=1,故有d2<d1<d3.答案:d2<d1<d3課堂檢測·素養(yǎng)達標1B1C1D1的六個面中,與AA1A.1 B.2 【解析】1B1C1D1的六個面中與AA1垂直的平面是平面ABCD與平面A1B1C1D2.下列說法中,錯誤的個數(shù)是 ()①若直線m∥平面α,直線l⊥m,則l⊥α;②若直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線l與平面α必相交;③過平面α外一點有且只有一條直線和平面α垂直;④過直線a外一點有且只有一個平面和直線a垂直.A.0 B.1 【解析】選C.①錯誤,若直線m∥平面α,直線l⊥m,則l與α平行、相交或l在α內(nèi)都有可能;②錯誤,若直線l和平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線l與平面α平行、相交或l在α內(nèi)都有可能;③④正確.3.如圖,α∩β=l,點A,C∈α,點B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直線l與直線AC的關(guān)系是 ()【解析】選C.因為BA⊥α,α∩β=l,l?α,所以BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.因為AC?平面ABC,所以l⊥AC.4.(教材二次開發(fā):練習改編)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB1與平面ADD1A1所成的角等于,AB1與平面DCC1D1所成的角等于【解析】∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1與平面DCC1D1答案:45°0°5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2QUOTE,E,F分別是AD,PC的中點.證明:PC⊥平面BEF.【證明】連接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又F是PC的中點,所以EF⊥PC.又BP=QUOTE=2QUOTE=BC,F是PC的中點,所以BF⊥∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.課時素養(yǎng)評價十八直線與平面垂直(15分鐘·30分)1.下列條件中,能使直線m⊥α的是 ()A.m⊥b,m⊥c,b?α,c?αB.m⊥b,b∥αC.m∩b=A,b⊥αD.m∥b,b⊥α【解析】選D.對于A,缺b與c相交;對于B,還可能得出m∥α,m與α相交或m?α;對于C,可能有m∥α或m?α或m與α相交.【補償訓練】已知兩條直線m,n,兩個平面α,β,給出下列四個說法:①m∥n,m⊥α?n⊥α;②α∥β,m?α,n?β?m∥n;③m⊥n,m∥α?n∥α;④α∥β,m∥n,m⊥α?n⊥β.其中正確說法的序號是 ()A.①③ B.②④ C.①④ D.②③【解析】選C.①④可由直線與平面垂直的定義和判定推證.根據(jù)②中條件可知,m與n平行或異面,所以②錯.③中由m⊥n,m∥α,可知n∥α或n?α,或n與α相交,故③錯,所以①④正確.1B1C1D1中,E是C1C的中點,則直線BE與平面BQUOTEB.QUOTEQUOTED.QUOTE【解析】1D的中點O,連接EO(圖略),則EO∥AC,因為AC⊥平面B1BD,所以EO⊥平面B1BD,則∠EBO就是直線BE與平面B1BD所成角的平面角,所以sin∠EBO=QUOTE=QUOTE.【補償訓練】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D為A1B1的中點,AB=BC=4,BB1=1,AC=2QUOTE,則BD與AC所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】1C1則DM∥A1C1∥所以異面直線BD與AC所成角為∠BDM,因為DM=QUOTEAC=QUOTE,BD=QUOTE=QUOTE,BM=QUOTE=QUOTE,所以∠BDM=60°,即異面直線BD與AC所成的角為60°.3.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,PA=AB,D為PB的中點,則下列結(jié)論正確的有 ()①BC⊥平面PAB;②AD⊥PC;③AD⊥平面PBC;④PB⊥平面ADC. C.2個 【解析】⊥平面ABC,BC?平面ABC,則PA⊥BC,又AB⊥BC,PA∩AB=A,故BC⊥平面PAB,①正確;因為BC⊥平面PAB,AD?平面PAB,所以BC⊥AD,因為PA=AB,D為PB的中點,故AD⊥PB,又BC∩PB=B,故AD⊥平面PBC,因為PC?平面PBC,故AD⊥PC,②③正確;若PB⊥平面ADC,因為CD?平面ADC,故PB⊥CD,因為D為PB的中點,故CB=CP,又PC>AC>BC,故CB=CP不成立,故④錯誤.【補償訓練】在正四棱錐S-ABCD中,E,M,N分別是BC,CD,SC的中點.動點P在線段MN上運動時,下列四個結(jié)論,不一定成立的為 ()①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥平面SBD;④EP⊥平面SAC.A.①③B.③④C.①②D.②④【解析】選D.作出如圖所示的輔助線.對①,在正四棱錐S-ABCD中,因為AC⊥BD,AC⊥SO,BD?平面SBD,SO?平面SBD,且SO∩BD=O,故AC⊥平面SBD.又因為E,M,N分別是BC,CD,SC的中點,故平面EMN∥平面SBD,故AC⊥平面EMN,因為EP?平面EMN,故EP⊥①成立.對②,當且僅當P與M重合時,EP∥②不一定成立.對③,由①有平面EMN∥平面SBD,又EP?平面EMN,故EP∥③成立.對④,當且僅當P與M重合時,才有EP⊥④不一定成立.4.如圖所示,平面α∩β=CD,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,則CD與AB的位置關(guān)系是.

【解析】因為EA⊥α,CD?α,根據(jù)直線和平面垂直的定義,則有CD⊥EA.同理,因為EB⊥β,CD?β,則有EB⊥∩EB=E,所以CD⊥平面AEB.又因為AB?平面AEB,所以CD⊥AB.答案:CD⊥AB5.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,過A點作平面A1①點H是△A1BD的中心;②AH垂直于平面CB1D1;③AC1與B1C其中正確結(jié)論的序號是.

【解析】①正確,因為AH⊥平面A1BD,AA1=AB=AD,所以Rt△AHA1≌Rt△AHD≌Rt△AHB,所以HA1=HB=HD,所以點H是△A1BD的外心,又因為A1B=BD=DA1,所以點H是△A1BD的中心.②正確,易證平面A1BD∥平面CB1D1,又因為AH⊥平面A1BD,所以AH垂直于平面CB1D1.③正確,易證A1D⊥平面ABC1D1,所以AC1⊥A1D,又A1D∥B1C所以AC1⊥B1C,所以AC1與B1C所成的角是90答案:①②③6.如圖,正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD,AE⊥平面CDE.求證:AB⊥平面ADE.【證明】因為AE⊥平面CDE,CD?平面CDE,所以AE⊥CD,又在正方形ABCD中,CD⊥AD,AE∩AD=A,所以CD⊥平面ADE,又在正方形ABCD中,AB∥CD,所以AB⊥平面ADE.(30分鐘·60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.如圖,設平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分別為G,H.為使PQ⊥GH,則需增加的一個條件是()A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQ⊥FH【解析】⊥平面α,PQ?平面α,所以EG⊥⊥平面β,則由PQ?平面β,得EF⊥PQ.又EG與EF為相交直線,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.1B1C1D1中,點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動,并且總保持AP⊥BD1111中點與CC1中點連成的線段1C1【解析】選A.如圖,由于BD1⊥平面AB1C,故點P一定位于B13.如圖,在四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,BC=BD=2,點E是CD的中點,若直線AB與平面ACD所成角的正弦值為QUOTE,則點B到平面ACD的距離為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】⊥BC,AB⊥BD,所以AB⊥平面BCD,故AB⊥CD,因為CD⊥BE,CD⊥AB,可得CD⊥平面ABE,則AB在平面ADC上的射影與AE在一條直線上,故直線AB與平面ACD所成角即為∠BAE.在Rt△ABE中,BE=QUOTE,sin∠BAE=QUOTE,故可得AE=3QUOTE,AB=4,故VA-BCD=VB-ACD,設點B到平面ACD的距離為x,則QUOTES△BCD×AB=QUOTES△ACD×x,整理得2AB=6h,解得h=QUOTE.4.如圖,在矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折成△A11C①總存在某個位置,使CE⊥平面A1DE;②總有BM∥平面A1DE;③存在某個位置,使DE⊥A1CA.①② B.①③ C.②③ D.①②③【解析】①中,總存在某個位置,使CE⊥平面A1DE,①正確;在②中,取CD中點F,連接MF,BF,則MF∥A1D且MF=QUOTEA1D,FB∥ED且FB=ED,由MF∥A1D與FB∥ED,可得平面MBF∥平面A1DE,所以總有BM∥平面A1DE,故②正確;在③中,A1C在平面ABCD中的射影為AC,AC與DE不垂直,所以DE與A1C不垂直,故③錯誤.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分),則能得出直線與平面垂直 ()

A.三角形的兩邊 C.圓的兩條直徑 【解析】選AC.由線面垂直的判定定理知,直線垂直于平面內(nèi)三角形的兩邊,因為這兩邊是相交的,所以能得出直線與平面垂直,所以A選項正確;直線垂直于梯形的兩邊,因為梯形的兩邊可能平行,所以不能得出直線與平面垂直,所以B選項不正確;直線垂直于圓的兩條直徑,因為任何一個圓的兩條直徑是相交的,所以能得出直線與平面垂直,所以C選項正確;直線垂直于正六邊形的兩邊,因為正六邊形的兩邊可能平行,所以不能得出直線與平面垂直,所以D選項不正確.6.(2020·惠州高一檢測)如圖,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點,G是EF的中點.現(xiàn)在沿AE,AF及EF把這個正方形折成一個空間圖形,使B,C,D三點重合,重合后的點記為H,下列說法正確的是()A.AG⊥平面EFH B.AH⊥平面EFHC.HF⊥平面AEH D.HG⊥平面AEF【解析】選BC.由題意可得:AH⊥HE,AH⊥HF.所以AH⊥平面EFH,而AG與平面EFH不垂直,所以B正確,A不正確.又HF⊥HE,所以HF⊥平面AHE,C正確.HG與AG不垂直,因此HG⊥平面AEF不正確,D不正確.【補償訓練】(多選題)如圖,在以下四個正方體中,直線AB與平面CDE垂直的是 ()【解析】選BD.對于A,由AB與CE所成角為45°,可得直線AB與平面CDE不垂直;對于B,由AB⊥CE,AB⊥ED,CE∩ED=E,可得AB⊥平面CDE;對于C,由AB與CE所成角為60°,可得直線AB與平面CDE不垂直;對于D,連接AC,由ED⊥平面ABC,可得ED⊥AB,同理可得EC⊥AB,又ED∩EC=E,所以AB⊥平面CDE.三、填空題(每小題5分,共10分)7.如圖,已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,則下列結(jié)論:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直線BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.其中正確的有(把所有正確的序號都填上).

【解析】對于①,因為PA⊥平面ABC,所以PA⊥AE,又EA⊥AB,PA∩AB=A,所以EA⊥平面PAB,從而可得EA⊥PB,故①正確.對于②,由于PA⊥平面ABC,所以平面ABC與平面PBC不可能垂直,故②不正確.對于③,由于在正六邊形中BC∥AD,所以BC與EA必有公共點,從而BC與平面PAE有公共點,所以直線BC與平面PAE不平行,故③不正確.對于④,由條件得△PAD為直角三角形,且PA⊥AD,又PA=2AB=AD,所以∠PDA=45°.故④正確.答案:①④8.《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的鱉臑P-ABC中PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,CA=4,PA=2,D為AB中點,E為△PAC內(nèi)的動點(含邊界),且PC⊥DE.當E在AC上時,AE=;點E的軌跡的長度為.

【解析】當E在AC上時,因為PA⊥平面ABC,故PA⊥DE,又PC⊥DE,故DE⊥⊥AC.又∠ACB=90°,故DE∥BC,D為AB中點,所以E為AC中點.故AE=QUOTEAC=2.取AC中點F,則由(1)有DF⊥平面PAC,故PC⊥DF,又PC⊥DE,設平面DEF∩PC=G,則有PC⊥平面DGF.故點E的軌跡為FG.又此時CF=2,tan∠PCA=QUOTE=QUOTE,故sin∠PCA=QUOTE=QUOTE.所以FG=CF·sin∠PCA=QUOTE=QUOTE.答案:2QUOTE四、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,四邊形ABCD為矩形,AD⊥平面ABE,F為CE上的點,且BF⊥平面ACE.求證:AE⊥BE.【證明】因為AD⊥平面ABE,AD∥BC,所以BC⊥?平面ABE,所以AE⊥BC.因為BF⊥平面ACE,AE?平面ACE,所以AE⊥BF.又因為BF?平面BCE,BC?平面BCE,BF∩BC=B,所以AE⊥平面BCE.又BE?平面BCE,所以AE⊥BE.【補償訓練】如圖所示,四邊形ABB1A1為圓柱的軸截面(過圓柱軸的截面),C是圓柱底面圓周上異于A,B的任意一點.求證:AC⊥平面BB1【證明】因為四邊形ABB1A1所以BB1⊥?底面ABC,所以BB1⊥AC.因為AB為底面圓的直徑,所以∠ACB=90°,所以BC⊥AC.又因為BB1∩BC=B,BB1?平面BB1C,BC?平面BB1所以AC⊥平面BB1C10.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD=60°,側(cè)面SBC為等邊三角形,SD=2.(1)求證:SD⊥BC;(2)求點B到平面ASD的距離.【解析】(1)設BC邊中點是E,連接DE,SE.因為△SBC是等邊三角形,所以SE⊥BC,又由已知得△DBC是等