考研數(shù)學一（線性代數(shù)）模擬試卷7（共107題）

考研數(shù)學一（線性代數(shù)）模擬試卷7（共4套）（共107題）考研數(shù)學一（線性代數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設A=，且｜A｜=m，則｜B｜=()A、m。B、-8m。C、2m。D、-2m。標準答案：D知識點解析：將行列式｜A｜的第一列加到第二列上，再將第二、三列互換，之后第一列乘以2就可以得到行列式｜B｜。由行列式的性質(zhì)知｜B｜=-2｜A｜=-2m。2、設A=E-2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T，且有ξTξ=1。則①A是對稱矩陣；②A2是單位矩陣；③A是正交矩陣；④A是可逆矩陣。上述結論中，正確的個數(shù)是()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：D知識點解析：AT=(E-2ξξT)T=ET-(2ξξT)T=E-2ξξT=A，①成立。A2=(E-2ξξT)(E-2ξξT)=E-4ξξT+4ξξTξξT=E-4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。由①、②，得A2=AAT=E，故A是正交矩陣，③成立。由③知正交矩陣是可逆矩陣，且A-1=AT，④成立。故應選D。3、設A=，那么(P-1)2010A(Q2011)-1=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：P、Q均為初等矩陣，因為P-1=P，且P左乘A相當于互換矩陣A的第一、三兩行，所以P2010A表示把A的第一、三行互換2010次，從而(P-1)2010A=P2010A=A。又(Q2011)-1=(Q-1)2011，且Q-1=，而Q-1右乘A相當于把矩陣A的第二列上各元素加到第一列相應元素上去，所以A(Q-1)2011表示把矩陣A第二列的各元素2011倍加到第一列相應元素上去，所以應選B。4、設向量組α1，α2，α3線性無關，向量β1可由α1，α2，α3線性表示，向量β2不能由α1，α2，α3線性表示，則必有()A、α1，α2，β1線性無關。B、α1，α2，β2線性無關。C、α2，α3，β1，β2線性相關。D、α1，α2，α3，β1+β2線性相關。標準答案：B知識點解析：由α1，α2，α3線性無關，且β2不能由α1，α2，α3線性表示知，α1，α2，α3，β2線性無關，從而部分組α1，α2，β2線性無關，故B為正確答案。下面證明其他選項的不正確性。取α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，1，0)T，β2=(0，0，0，1)T，β1=α1，知選項A與C錯誤。對于選項D，由于α1，α2，α3線性無關，若α1，α2，α3，β1+β2線性相關，則β1+β2可由α1，α2，α3線性表示，而β1可由α1，α2，α3線性表示，從而β2可由α1，α2，α3線性表示，與假設矛盾，從而D錯誤。5、非齊次線性方程組Ax=b中未知量的個數(shù)為n，方程個數(shù)為m，系數(shù)矩陣的秩為r，則()A、r=m時，方程組Ax=b有解。B、r=n時，方程組Ax=b有唯一解。C、m=n時，方程組Ax=b有唯一解。D、r＜n時，方程組Ax=b有無窮多個解。標準答案：A知識點解析：對于選項A，r(A)=r=m。由于r(A：b)≥m=r，且r(a：b)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有r(A：b)=r，從而r(A)=r(A：b)，此時方程組有解，所以應選A。由B、C、D選項的條件均不能推得“兩秩”相等。6、已知β1，β2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個不同的解，α1，α2是對應的齊次線性方程組Ax=0的基礎解系，k1，k2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解是()A、k1α1+k2(α1+α2)+B、k1α1+k2(α1-α2)+C、k1α1+k2(β1+β2)+D、k1α1+k2(β1-β2)+標準答案：B知識點解析：對于A、C選項，因為所以選項A、C中不含有非齊次線性方程組Ax=b的特解，故均不正確。對于選項D，雖然β1-β2是齊次線性方程組Ax=0的解，但它與α1不一定線性無關，故D也不正確，所以應選B。事實上，對于選項B，由于α1，α1-α2與α1，α2等價(顯然它們能夠互相線性表示)，故α1，α1-α2也是齊次線性方程組的一組基礎解系，而由可知是齊次線性方程組Ax=b的一個特解，由非齊次線性方程組的通解結構定理知，B選項正確。7、已知三階矩陣A與三維非零列向量α，若向量組α，Aα，A2α線性無關，而A3α=3Aα-2A2α，那么矩陣A屬于特征值λ=-3的特征向量是()A、α。B、Aα+2α。C、A2α-Aα。D、A2α+2Aα-3α。標準答案：C知識點解析：因為A3α+2A2α-3Aα=0。故(A+3E)(A2α-Aα)=0=0(A2α-Aα)。因為α，Aα，A2α線性無關，必有A2α-Aα≠0，所以A2α-Aα是矩陣A+3層屬于特征值λ=0的特征向量，即矩陣A屬于特征值λ=-3的特征向量。所以應選C。8、設n階矩陣A與B相似，E為n階單位矩陣，則()A、λE-A=λE-B。B、A與B有相同的特征值和特征向量。C、A和B都相似于一個對角矩陣。D、對任意常數(shù)t，tE-A與tE-B相似。標準答案：D知識點解析：因為由A與B相似不能推得A=B，所以選項A不正確。相似矩陣具有相同的特征多項式，從而有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量，故選項B也不正確。對于選項C，因為根據(jù)題設不能推知A，B是否相似于對角陣，故選項C也不正確。綜上可知選項D正確。事實上，因A與B相似，故存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，于是P-1(tE-A)P=tE-P-1AP=tE-B，可見對任意常數(shù)t，矩陣tE-A與tE-B相似。所以應選D。9、設A是n階實對稱矩陣，將A的第i列和第j列對換得到B，再將B的第i行和第j行對換得到C，則A與C()A、等價但不相似。B、合同但不相似。C、相似但不合同。D、等價，合同且相似。標準答案：D知識點解析：對矩陣作初等行、列變換，用左、右乘初等矩陣表示，由題設AEij=B，EijB=C，故C=EijB=EijAEij。因Eij=EijT=Eij-1，故C=EijAEij=Eij-1AEij=EijTAEij，故A與C等價，合同且相似，故應選D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)10、設A為奇數(shù)階矩陣，且AAT=ATA=E。若｜A｜＞0，則｜A-E｜=______。標準答案：0知識點解析：｜A-E｜=｜A-AAT｜=｜A(E-AT)｜=｜A｜.｜E-AT｜=｜A｜.｜E-A｜。由AAT=ATA=E，可知｜A｜2=1，因為｜A｜＞0，所以｜A｜=1，即｜A-E｜=｜E-A｜。又A為奇數(shù)階矩陣，所以｜E-A｜=｜-(A-E)｜=-｜A-E｜=-｜E-A｜，故｜A-E｜=0。11、與矩陣A=可交換的矩陣為________。標準答案：，其中x2和x4為任意實數(shù)知識點解析：設矩陣B=與A可交換，則由AB=BA可得即x3=-2x2，x1=4x2+x4，所以B=，其中x2和x4為任意實數(shù)。12、設矩陣A=，則A3的秩為_______。標準答案：1知識點解析：依矩陣乘法直接計算得故r(A3)=1。13、設α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，-2)T，若β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3線性表示，但是β2=(0，1，2)T不可以由α1，α2，α3線性表示，則a=______。標準答案：-1知識點解析：根據(jù)題意，β1=(1，3，4)T可以由α1，α2，α3線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β1有解，β2=(0，1，2)T不可以由α，α，α線性表示，則方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解，由于兩個方程組的系數(shù)矩陣相同，因此可以合并一起作矩陣的初等變換，即因此可知，當a=-1時，方程組xα+xα+xα=β有解，方程組x1α1+x2α2+x3α3=β2無解，故a=-1。14、設A是一個五階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若η1，η2是齊次線性方程組Ax=0的兩個線性無關的解，則r(A*)=_______。標準答案：0知識點解析：η1，η2是齊次線性方程組Ax=0的兩個線性無關的解。由方程組的基礎解系所含解向量的個數(shù)與系數(shù)矩陣秩的關系，可得n-r(A)≥2，即r(A)≤3。又因為A是五階矩陣，所以｜A｜的四階子式一定全部為零，則代數(shù)余子式Aij恒為零，即A*=O，所以r(A*)=0。15、設A是三階矩陣，且各行元素的和都是5，則矩陣A一定有特征值_________。標準答案：5知識點解析：已知各行元素的和都是5，即化為矩陣形式，可得滿足，故矩陣A一定有一個特征值為5。16、設矩陣A與B=相似，則r(A)+r(A-2E)=_______。標準答案：3知識點解析：矩陣A與B相似，則A-2E與B-2E相似，而相似矩陣具有相同的秩，所以r(A)+r(A-2E)=r(B)+r(B-2E)=2+1=3。17、二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同規(guī)范形為______。標準答案：知識點解析：令，所以該線性變換是非退化的，則原二次型與變換之后的二次型f=y1y2是合同的，故有相同的合同規(guī)范形。二次型f=y1y2的矩陣為，所以原二次型的正、負慣性指數(shù)均為1，故原二次型的合同標準形為三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、已知A=，且AX+X+B+BA=0，求X2006。標準答案：由AX+X+B+BA=O可得(A+E)X=-B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=-(A+E)-1B(E+A)，故X2006=(A+E)-1B2006(E+A)=(A+E)-1(E+A)=E。知識點解析：暫無解析19、設α，β為三維列向量，矩陣A=ααT+ββT，其中αT，βT分別為α，β的轉置。證明：r(A)≤2。標準答案：因為A=ααT+ββT，A為3×3矩陣，所以r(A)≤3。因為α，β為三維列向量，所以存在三維列向量ξ≠0，使得αTξ=0，βTξ=0，于是Aξ=ααTξ+ββTξ=0，所以Ax=0有非零解，從而r(A)≤2。知識點解析：暫無解析20、設α1，α2，…，αn是一組n維向量，證明它們線性無關的充分必要條件是任一n維向量都可由它們線性表示。標準答案：必要性：a1，a2，…，an是線性無關的一組n維向量，因此r(a1，a2，…，an)=n。對任一n維向量b，因為a1，a2，…，an，b的維數(shù)n小于向量的個數(shù)n+1，故a1，a2，…，an，b線性相關。綜上所述r(a1，a2，…，an，b)=n。又因為a1，a2，…，an線性無關，所以n維向量b可由a1，a2，…，an線性表示。充分性：已知任一n維向量b都可由a1，a2，…，an線性表示，則單位向量組：ε1，ε2，…，εn可由a1，a2，…，an線性表示，即r(ε1，ε2，…，εn)=n≤r(a1，a2，…，an)，又a1，a2，…，an是一組n維向量，有r(a1，a2，…，an)≤n。綜上，r(a1，a2，…，an)=n。所以a1，a2，…，an線性無關。知識點解析：暫無解析21、設A=(Ⅰ)求滿足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)對(Ⅰ)中任意向量ξ2和ξ3，證明ξ1，ξ2，ξ3線性無關。標準答案：(Ⅰ)對增廣矩陣(A：ξ1)作初等行變換，則得Ax=0的基礎解系(1，-1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T。故ξ2=(0，0，1)T+k(1，-1，2)T，其中k為任意常數(shù)。A2=，對增廣矩陣(A2：ξ1)作初等行變換，有得A2x=0的基礎解系(-1，1，0)T，(0，0，1)T和A2x=ξ1的特解。故ξ3=+t1(-1，1，0)T+t2(0，0，1)T，其中t1，t2為任意常數(shù)。(Ⅱ)因為所以ξ1，ξ2，ξ3線性無關。知識點解析：暫無解析22、設α1，α2，…，αs為線性方程組Ax=0的一個基礎解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=tsαs+t2α1，其中t1，t2為實常數(shù)。試問t1，t2滿足什么條件時，β1，β2，…，βs也為Ax=0的一個基礎解系。標準答案：因為βi(i=1，2，…，s)是α1，α2，…，αs的線性組合，且α1，α2，…，αs是Ax=0的解，所以根據(jù)齊次線性方程組解的性質(zhì)知βi(i=1，2，…，s)均為Ax=0的解。從α1，α2，…，αs是Ax=0的基礎解系知s=n-r(A)。以下分析β1，β2，…，βs線性無關的條件：設k1β1+k2β2+…+ksβs=0，即(t1k1+t2ks)α1+(t2k1+t1k2)α2+(t2k2+t1k3)α3+…+(t2ks-1+t1ks)αs=0，由于α1，α2，…，αs線性無關，所以又因系數(shù)矩陣的行列式當時，方程組(*)只有零解k1=k2=…=ks=0。因此當s為偶數(shù)且t1≠±t2，或當s為奇數(shù)且t1≠-t2時，β1，β2，…，βs線性無關。知識點解析：暫無解析23、設矩陣A=的特征值有一個二重根，求a的值，并討論矩陣A是否可相似對角化。標準答案：矩陣A的特征多項式為｜λE-A｜==(λ-2)(λ2-8λ+18+3a)。如果λ=2是單根，則λ2-8λ+18+3a是完全平方，必有18+3a=16，即a=。則矩陣A的特征值是2，4，4，而r(4E-A)=2，故λ=4只有一個線性無關的特征向量，從而A不能相似對角化。如果λ=2是二重特征值，則將λ=0代入λ2-8λ+18+3a=0可得a=-2。于是λ2-8λ+18+3a=(λ-2)(λ-6)。則矩陣A的特征值是2，2，6，而r(2E-A)=1，故λ=2有兩個線性無關的特征向量，從而A可以相似對角化。知識點解析：暫無解析24、設三階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的屬于特征值λ1的一個特征向量，記B=A5-4A3+E，其中E為三階單位矩陣。(Ⅰ)驗證α1是矩陣β的特征向量，并求B的全部特征值與特征向量；(Ⅱ)求矩陣B。標準答案：(Ⅰ)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α1+α1=-2α1，即α1是矩陣β的屬于特征值-2的特征向量。由關系式B=A5-4A3+E及A的三個特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的三個特征值為μ1=-2，μ2=1，μ3=1。設α1，α2為B的屬于μ2=μ3=1的兩個線性無關的特征向量，又由A為對稱矩陣，則B也是對稱矩陣，因此α1與α2、α3正交，即。因此α2，α3可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關的解，即得其基礎解系為B的全部特征向量為k1，其中k1≠0，k2，k3不同時為零。(Ⅱ)令P=(α1，α2，α3)=，于是知識點解析：暫無解析25、設二次型f(x1，x2，x3)=xTAx在正交變換x=Qy下的標準形為，且Q的第三列為(Ⅰ)求A；(Ⅱ)證明A+E為正定矩陣，其中E為三階單位矩陣。標準答案：(Ⅰ)由題意知QTAQ=Λ，其中Λ=，則A=QΛQT,設Q的其他任一列向量為(x1，x2，x3)T。因為Q為正交矩陣，所以即x1+x3=0，其基礎解系含兩個線性無關的解向量，即為α1=(=1，0，1)T，α2=(0，1，0)T。把α1單位化得β1=(-1，0，1)T，所以(Ⅱ)證明：因為(A+E)T=AT+E=A+E，所以A+E為實對稱矩陣。又因為A的特征值為1，1，0，所以A+E特征值為2，2，1，都大于0，因此A+E為正定矩陣。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（線性代數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設A是三階矩陣，B是四階矩降，且|A|=2，|B|=6，則為()．A、24B、一24C、48D、一48標準答案：D知識點解析：×24×6=一48，選(D)．2、設n維行向量α=()，A=E—αTα，B=E+2αTα，則AB為()．A、OB、一EC、ED、E+αTα標準答案：C知識點解析：由ααT=，得AB=(E—αTα)(E+2αTα)=E，選(C)．3、設A，B為n階矩陣，則下列結論正確的是()．A、若A，B可逆，則A+B可逆B、若A，B可逆，則AB可逆C、若A+B可逆，則A—B可逆D、若A+B可逆，則A，B都可逆標準答案：B知識點解析：若A，B可逆，則|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，選(B)．4、設A，B為n階對稱矩陣，下列結論不正確的是()．A、AB為對稱矩陣B、設A，B可逆，則A—1+B—1為對稱矩陣C、A+B為對稱矩陣D、kA為對稱矩陣標準答案：A知識點解析：由(A+B)T=AT+BT=A+B，得A+B為列稱矩陣；由(A—1+B—1)T=(A—1)T+(B—1)T=A—1+B—1，得A—1+B—1為對稱矩陣；由(kA)T=kAT=kA，得kA為對稱矩陣，選(A)．5、設A，B皆為n階矩陣，則下列結論正確的是()．A、AB=O的充分必要條件是A=O或B=OB、AB≠O的充分必要條件是A≠O且B≠OC、AB=O且r(A)=n，則B=OD、若AB≠O，則|A|≠O或|B|≠O標準答案：C知識點解析：取A=≠O，顯然AB=O，故(A)、(B)都不對，取A=≠O，但|A|=O且|B|=O，故(D)不對；由AB=O得r(A)+r(B)≤n，因為r(A)=n，所以r(B)=O，于是B=O，所以選(C)．6、n階矩陣A經(jīng)過若干次初等變換化為矩陣B，則()．A、|A|=|B|B、|A|≠|(zhì)B|C、若|A|=0則|B|=0D、若|A|＞0則|B|＞0標準答案：C知識點解析：因為A經(jīng)過若干次初等變換化為B，所以存在初等矩陣P1，…，Ps，Q1，…，Qt，使得B=Ps…P1AQ1…Qt，而P1，…Ps，Q1，…，Qt都是可逆矩陣，所以r(A)=r(B)，若|A|=0，即r(A)＜n，則r(B)＜n，即|B|=0，選(C)．7、設A為m×n階矩陣，C為n階矩陣，B=AC，且r(A)=r，r(B)=r1，則()．A、r＞r1B、r＜r1C、r≥r1D、r與r1的關系依矩陣C的情況而定標準答案：C知識點解析：因為r1=r(B)=r(AC)≤r(A)=r，所以選(C)．二、填空題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)8、設f(x)=，則x2項的系數(shù)為___________．標準答案：23知識點解析：按行列式的定義，f(x)的3次項和2次項都產(chǎn)生于(x+2)(2x+3)(3x+1)，且該項帶正號，所以x2項的系數(shù)為23．9、設A為三階矩陣，A的第一行元素為1，2，3，|A|的第二行元素的代數(shù)余子式分別為a+1，a一2，a一1，則a=___________．標準答案：1知識點解析：由(a+1)+2(a一2)+3(a一1)=0得a=1．10、設A是m階矩陣，B是n階矩陣，且｜A｜=a，|B|=b，則=___________．標準答案：(—1)mnab知識點解析：將B的第一行元素分別與A的行對調(diào)m次，然后將B的第二行分別與A的行對調(diào)m次，如此下去直到B的最后一行與A的行對調(diào)m次，則=(—1)mnab11、設α=(1，一1，2)T，β=(2，1，1)T，A=αβT，則An=___________．標準答案：3n—1知識點解析：βTα=3，A2=αβT．αβT=3αβT=3A，則An=3n—1A=3n—1．12、A=，且n≥2，則An一2An—1=___________．標準答案：O知識點解析：由A2=2A得An=2n—1A，An—1=2n—2A，所以An一2An—1=0．13、設A=，則(A+3E)—1(A2一9E)=___________．標準答案：知識點解析：(A+3E)—1(A2一9E)=(A+3E)—1(A+3E)(A一3E)=A一3E=14、A2一B2=(A+B)(A一B)的充分必要條件是___________．標準答案：AB=BA知識點解析：A2一B2=(A+B)(A—B)=A2+BA—AB—B2的充分必要條件是AB=BA．15、設A是三階矩陣，且|A|=4，則=___________．標準答案：2知識點解析：|(A)—1|=|2A—1|=23|A|=216、設A為三階矩陣，且|A|=4，則=___________．標準答案：知識點解析：由A*=|A|A—1=4A—1得．17、設A為四階矩陣，|A*|=8，則=___________．標準答案：8知識點解析：因為A為四階矩陣，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A—1，故18、若矩陣A=，B是三階非零矩陣，滿足AB=O，則t=___________．標準答案：1知識點解析：由AB=O得r(A)+r(B)≤3，因為r(B)≥1，所以r(A)≤2，又因為矩陣A有兩行不成比例，所以r(A)≤2，于是r(A)=2．由A=得t=1．19、設A=，則A—1=___________．標準答案：知識點解析：20、設A=，則A—1=___________．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)21、計算行列式標準答案：知識點解析：暫無解析22、計算D=標準答案：知識點解析：暫無解析23、設A，B為n階矩陣，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B．證明：AB=0．標準答案：由A2=A，B2=B及(A+B)2=A+B=A2+B2+AB+BA得AB+BA=O或AB=一BA，AB=—BA兩邊左乘A得AB=—ABA，再在AB=一BA兩邊右乘A得ABA=一BA，則AB=BA，于是AB=0．知識點解析：暫無解析24、設A=，且AX+|A|E=A*+X，求X．標準答案：由AX+|A|E=A*+X得(A—E)X=A*一|A|E=A*一AA*=(E—A)A*，因為|E—A|=一3≠0，所以E一A可逆，于是X=一A*，由|A|=6得X=一6A—1，知識點解析：暫無解析25、設四階矩陣B滿足，求矩陣B．標準答案：知識點解析：暫無解析26、設A，B滿足A*BA=2BA一8E，且A=，求B．標準答案：由A*BA=2BA一8E得AA*BA=2ABA一8A，即一2BA=2ABA一8A，整理得(A+E)B=4E，所以B=4(A+E)—1=知識點解析：暫無解析27、設AX=A+2X，其中A=，求X．標準答案：由AX=A+2X得(A一2E)X=A，其中A一2E=因為|A一2E|=一1≠0，所以X=(A一2E)—1A，知識點解析：暫無解析28、設A=(ai≠0，i=1，2，…，n)，求A—1．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（線性代數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)1、設A，B均為n階矩陣，且AB=A+B，則①若A可逆，則B可逆；②若B可逆，則A+B可逆；③若A+B可逆，則AB可逆；④A-E恒可逆。上述命題中，正確的個數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：D知識點解析：由AB=A+B，有(A-E)B=A。若A可逆，則｜(A-E)B｜=｜A-E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩陣B可逆，從而命題①正確。同命題①類似，由B可逆可得出A可逆，從而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命題②正確。因為AB=A+B，若A+B可逆，則有AB可逆，即命題③正確。對于命題④，用分組因式分解，即AB-A-B+E=E，則有(A-E)(B-E)=E，所以得A-E恒可逆，命題④正確。所以應選D。2、設A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則()A、當m＞n，必有行列式｜AB｜≠0。B、當m＞n，必有行列式｜AB｜=0。C、當n＞m，必有行列式｜AB｜≠0。D、當n＞m，必有行列式｜AB｜=0。標準答案：B知識點解析：因為AB是m階方陣，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以當m＞n時，必有r(AB)＜m，從而｜AB｜=0，所以應選B。3、設α1，α2，…，αs均為n維向量，下列結論中不正確的是()A、若對于任意一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，則α1，α2，…，αs線性無關。B、若α1，α2，…，αs線性相關，則對于任意一組不全為零的數(shù)k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0。C、α1，α2，…，αs線性無關的充分必要條件是此向量組的秩為s。D、α1，α2，…，αs線性無關的必要條件是其中任意兩個向量線性無關。標準答案：B知識點解析：對于選項A，因為齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xsαs=0只有零解，故α1，α2，…，αs線性無關，選項A正確。對于選項B，由α1，α2，…，αs線性相關知，齊次線性方程組x1α1+x2α2+…+xsαs=0存在非零解，但該方程組存在非零解，并不意味著任意一組不全為零的數(shù)均是它的解，因此選項B是錯誤的。選項C是教材中的定理。由“無關組減向量仍無關”(線性無關的向量組其任意部分組均線性無關)可知選項D也是正確的。綜上可知，應選B。4、已知四維向量組α1，α2，α3，α4線性無關，且向量β1=α1+α3+α4，β2=α2-α4，β3=α3+α4，β4=α2+α3，β5=2α1+α2+α3。則r(β1，β2，β3，β4，β5)=()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：C知識點解析：將表示關系合并成矩陣形式有(β1，β2，β3，β4)=(α1，α2，α3，α4)(α1，α2，α3，α4)C。因四個四維向量α1，α2，α3，α4線性無關，故｜α1，α2，α3，α4｜≠0，即A=(α1，α2，α3，α4)是可逆矩陣。A左乘C，即對C作若干次初等行變換，故有r(C)=r(AC)=r(β1，β2，β3，β4，β5)，而故知r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3，因此應選C。5、某五元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等變換化為，則自由變量可取為①x4，x5；②x3，x5；③x1，x5；④x2，x3。那么正確的共有()A、1個。B、2個。C、3個。D、4個。標準答案：B知識點解析：因為系數(shù)矩陣的秩r(A)=3，則n-r(A)=5-3=2，故應當有兩個自由變量。由于去掉x4，x5兩列之后，所剩三階矩陣為，因為其秩與r(A)不相等，故x4，x5不是自由變量。同理，x3，x5不能是自由變量。而x1，x5與x2，x3均可以是自由變量，因為行列式都不為0。所以應選B。6、設A是n階矩陣，對于齊次線性方程組(1)Anx=0和(2)An+1x=0，現(xiàn)有四個命題：①(1)的解必是(2)的解；②(2)的解必是(1)的解；③(1)的解不是(2)的解；④(2)的解不是(1)的解。以上命題中正確的是()A、①②。B、①④。C、③④。D、②③。標準答案：A知識點解析：若Anα=0，則An+1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，則α必是(2)的解，可見命題①正確。如果An+1α=0，而Anα≠0，那么對于向量組α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的兩邊得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。類似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα線性無關。但另一方面，這是n+1個n維向量，它們必然線性相關，兩者矛盾。故An+1α=0時，必有Anα=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命題②正確。所以應選A。7、設三階矩陣A的特征值是0，1，-1，則下列選項中不正確的是()A、矩陣A-E是不可逆矩陣。B、矩陣A+E和對角矩陣相似。C、矩陣A屬于1與-1的特征向量相互正交。D、方程組Ax=0的基礎解系由一個向量構成。標準答案：C知識點解析：因為矩陣A的特征值是0，1，-1，所以矩陣A-E的特征值是-1，0，-2。由于λ=0是矩陣A-E的特征值，所以A-E不可逆。因為矩陣A+E的特征值是1，2，0，矩陣A+E有三個不同的特征值，所以A+E可以相似對角化。(或由A～+E～A+E而知A+E可相似對角化)。由矩陣A有一個特征值等于0可知r(A)=2，所以齊次線性方程組Ax=0的基礎解系由n-r(A)=3-2=1個解向量構成。選項C的錯誤在于，若A是實對稱矩陣，則不同特征值的特征向量相互正交，而一般n階矩陣，不同特征值的特征向量僅僅線性無關并不一定正交。8、下列選項中矩陣A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

標準答案：C知識點解析：選項A中，r(A)=1，r(B)=2，故A和B不相似。選項B中，tr(A)=9，tr(B)=6，故A和B不相似。選項D中，矩陣A的特征值為2，2，-3，而矩陣B的特征值為1，3，-3，故A和B不相似。由排除法可知應選C。事實上，在選項C中，矩陣A和B的特征值均為2，0，0。由于A和B均可相似對角化，也即A和B均相似于對角矩陣，故由矩陣相似的傳遞性可知A和B相似。所以選C。9、n階實對稱矩陣A正定的充分必要條件是()A、二次型xTAx的負慣性指數(shù)為零。B、存在可逆矩陣P使P-1AP=E。C、存在n階矩陣C使A=C-1C。D、A的伴隨矩陣A*與E合同。標準答案：D知識點解析：選項A是必要不充分條件。這是因為r(A)=p+q≤n，當q=0時，有r(A)=p≤n。此時有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩陣A不一定是正定矩陣。例如f(x1，x2，x3)=。選項B是充分不必要條件。這是因為P-1AP=E表示A與E相似，即A的特征值全是1，此時A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保證A正定，因此特征值全是1是不必要的。選項C中的矩陣C沒有可逆的條件，因此對于A=CTC不能說A與層合同，也就沒有A是正定矩陣的結論。例如顯然矩陣不正定。關于選項D，由于A正定A-1正定A*正定A*與E合同，所以D是充分必要條件。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)10、設三階行列式D3的第二行元素分別為1、-2、3，對應的代數(shù)余子式分別為-3、2、1，則D3=_________。標準答案：-4知識點解析：根據(jù)行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素與其相應的代數(shù)余子式乘積之和，故D3=a21A21+a22A22+a23A23=1×(-3)+(-2)×2+3×1=-4。11、設三階方陣A與B相似，且｜2E+A｜=0。已知λ1=1，λ2=-1是方陣B的兩個特征值，則｜A+2AB｜=________。標準答案：18知識點解析：由｜2E+A｜=0，可得｜-2E—A｜=0，即λ=-2是A的一個特征值。因A與B相似，且由相似矩陣具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=-1也是A的特征值，所以A、B的特征值均為λ1=1，λ2=-1，λ3=-2，則E+2B的三個特征值分別為3，-1，-3。從而可得｜A｜=λ1λ2λ3=2，｜E+2B｜=3×(-1)×(-3)=9，故｜A+2AB｜=｜A(E+2B)｜=｜A｜.｜E+2B｜=18。12、設A、B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=，則(B-2E)-1=_________。標準答案：知識點解析：利用已知條件AB=2A+3B，通過移、添加項構造出B-2E，于是有AB-2A-3B+6E=6E，則有(A-3E)(B-2E)=6E。從而13、已知A=，則秩r(AB+2A)=______。標準答案：2知識點解析：因為AB+2A=A(B+2E)，且是可逆矩陣，所以r(AB+2A)=r(A)。對A作初等行變換，則因此可得r(AB+2A)=2。14、從R2的基α1=的過渡矩陣為________。標準答案：知識點解析：根據(jù)定義，從R2的基α1=的過渡矩陣為P=(α1，α2)-1(β1，β2)15、設A=，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是________。標準答案：k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2是任意常數(shù)知識點解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，則由n-r(A*)=2可知，A*x=0的基礎解系含有兩個線性無關的解向量，其通解形式為k1η1+k2η2。又因為A*A=｜A｜E=O，所以矩陣A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，-1)T+k2(1，0，1)T。16、已知矩陣A=和對角矩陣相似，則a=________。標準答案：-2知識點解析：因為所以矩陣A的特征值分別為2，3，3。因為矩陣A和對角矩陣相似，所以對應于特征值3有兩個線性無關的特征向量，即(3E-A)x=0有兩個線性無關的解，因此矩陣3E-A的秩為1?？梢奱=-2。17、設x為三維單位列向量，E為三階單位矩陣，則矩陣E-xxT的秩為_________。標準答案：2知識點解析：由題設知，矩陣xxT的特征值為0，0，1，故E-xxT的特征值為1，1，0。又由于實對稱矩陣是可相似對角化的，故它的秩等于它非零特征值的個數(shù)，即r(E-xxT)=2。18、設A是三階實對稱矩陣，滿足A3=2A2+5A-6E，且kE+A是正定陣，則k的取值范圍是________。標準答案：k＞2知識點解析：根據(jù)題設條件，則有A3-2A2-5A+6E=O。設A有特征值λ，則A滿足條件λ3-2λ2-5λ+6=0，將其因式分解可得λ3-2λ2-5λ+6=(λ-1)(λ+2)(λ-3)=0，因此可知矩陣A的特征值分別為1，-2，3，故kE+A的特征值分別為k+1，k-2，k+3，且當k＞2時，kE+A的特征值均為正數(shù)。故k＞2。三、解答題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)19、設矩陣A的伴隨矩陣A*=，且ABA-1=BA-1+3E，其中E為四階單位矩陣，求矩陣B。標準答案：由AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n-1，因此有8=｜A｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA-1=BA-1+3E兩邊先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E-A*)B=6E。于是B=6(2E-A*)-1=知識點解析：暫無解析20、已知r(a1，a2，a3)=2，r(a2，a3，a4)=3，證明：(Ⅰ)a1能由a2，a3線性表示；(Ⅱ)a4不能由a1，a2，a3線性表示。標準答案：(Ⅰ)r(a1，a2，a3)=2＜3a1，a2，a3線性相關；假設a1不能由a2，a3線性表示，則a2，a3線性相關。而由r(a2，a3，a4)=3a2，a3，a4線性無關a2，a3線性無關，與假設矛盾。綜上所述，a1必能由a2，a3線性表示。(Ⅱ)由(Ⅰ)的結論，a1可由a2，a3線性表示，則若a1能由a1，a2，a3線性表示a4能由a2，a3線性表示，即r(a2，a3，a4)＜3與r(a2，a3，a4)=3矛盾，故a4不能由a1，a2，a3線性表示。知識點解析：暫無解析21、設A=，當a，b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B，并求所有矩陣C。標準答案：令C=，則由AC-CA=B得該方程組是四元非齊次線性方程組，如果C存在，此線性方程組必須有解。對系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得當a=-1，b=0時，線性方程組有解，即存在C，使AC-CA=B。此時增廣矩陣變換為所以通解為即C=(其中c1，c2為任意常數(shù))。知識點解析：暫無解析22、設方程組與方程(2)x1+2x2+x3=a-1有公共解，求a的值及所有公共解。標準答案：把方程組(1)與(2)聯(lián)立，得方程組則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解。對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有因方程組(3)有解，所以(n-1)(a-2)=0。當a=1時，，此時方程組(3)的通解為k(-1，0，1)T(k為任意常數(shù))，此即為方程組(1)與(2)的公共解。當a=2時，A→，此時方程組(3)有唯一解(0，1，-1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解。知識點解析：暫無解析23、設A為三階矩陣，α1，α2，α3是線性無關的三維列向量，且滿足Aα1=α1+α2+α3，Aα2=2α2+α3，Aα3=2α2+3α3。(Ⅰ)求矩陣A的特征值；(Ⅱ)求可逆矩陣P使得P-1AP=A。標準答案：(Ⅰ)由已知可得A(α1，α2，α3)=(α1+α2+α3，2α2+α3，2α2+α3)=(α1，α2，α3)記P1=(α1，α2，α3)，B=，則有AP1=P1B。由于α1，α2，α3線性無關，即矩陣P1可逆，所以P1-1AP1=B，因此矩陣A與B相似，則｜λE-B｜==(λ-1)2(λ-4)，矩陣B的特征值是1，1，4，故矩陣A的特征值為1，1，4。(Ⅱ)由(E-B)x=0，得矩陣B對應于特征值λ=1的特征向量β1=(-1，1，0)T，β2=(-2，0，1)T；由(4E-B)x=0，得對應于特征值λ=4的特征向量β3=(0，1，1)T。令P2=(β1，β2，β3)=即當P=P1P2=(α1，α2，α3)=(-α1+α2，-2α1+α3，α2+α3)時，有P-1AP=Λ=知識點解析：暫無解析24、設A，B為同階方陣。(Ⅰ)若A，B相似，證明A，B的特征多項式相等；(Ⅱ)舉一個二階方陣的例子說明(Ⅰ)的逆命題不成立；(Ⅲ)當A，B均為實對稱矩陣時，證明(Ⅰ)的逆命題成立。標準答案：(Ⅰ)若A，B相似，那么存在可逆矩陣P，使P-1AP=B，則｜λE-B｜=｜λE-P-1AP｜=｜P-1λEP-P-1AP｜=｜P-1(λE-A)P｜=｜P-1｜｜λE-A｜｜P｜=｜λE-A｜。所以A、B的特征多項式相等。(Ⅱ)令A=，那么｜λE-A｜=λ2=｜λE-B｜。但是A，B不相似。否則，存在可逆矩陣P，使P-1AP=B=O，從而A=POP-1=O與已知矛盾。也可從r(A)=1，r(B)=0，知A與B不相似。(Ⅲ)由A，B均為實對稱矩陣知，A，B均相似于對角陣，若A，B的特征多項式相等，記特征多項式的根為λ1，…，λn，則有所以存在可逆矩陣P，Q，使P-1AP==Q-1BQ。因此有(PQ-1)-1A(PQ-1)=B，矩陣A與B相似。知識點解析：暫無解析25、證明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1時的最大值為矩陣A的最大特征值。標準答案：A為實對稱矩陣，則存在正交矩陣Q，使得QAQ-1=diag(λ1，λ2，…，λn)=A，其中λ1，λ2，…，λn為A的特征值，不妨設λ1最大。作正交變換y=Qx，即X=Q-1y=QTy，則f=xTAx=yTQAQTy=yTΛy=，因為y=Qx，所以當｜｜x｜｜=1時，有｜｜x｜｜2=xTx=yTQQTy=｜｜y｜｜2=1，又當y1=1，y2=y3=…=yn=0時，f=λ1，所以fmax=λ1。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（線性代數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、設A，B是n階方陣，A，Y，b是n×1矩陣，則方程組有解的充要條件是()A、r(A)=r(A｜b)，r(B)任意B、AX=b有解，BY=0有非零解C、｜A｜≠0，b可由B的列向量線性表出D、｜B｜≠0，b可由A的列向量線性表出標準答案：A知識點解析：r(A)=r(A｜b)，r(B)任意(BY=0總有解，至少有零解，其余均錯)．2、設α1,α2,α3是四元非齊次線性方程組AX=b的三個解向量，且r(A)=3，α1=[1，2，3，4]T，α2+α3=[0，1，2，3]T，k是任意常數(shù)，則方程組AX=b的通解是()A、B、C、D、標準答案：C知識點解析：方程組有齊次解：2α1一(α2+α3)=[2，3，4，5]T，故選C．3、設λ1，λ2是n階矩陣A的特征值，α1,α2分別是A的對應于λ1，λ2的特征向量，則()A、當λ1=λ2時，α1,α2對應分量必成比例B、當λ1=λ2時，α1,α2對應分量不成比例C、當λ1≠λ2時，α1,α2對應分量必成比例D、當λ1≠λ2時，α1,α2對應分量必不成比例標準答案：D知識點解析：當λ1=λ2時，α1與α2可以線性相關也可以線性無關，所以α1，α2可以對應分量成比例，也可以對應分量不成比例，故排除A，B．當λ1≠λ2時，α1，α2一定線性無關，對應分量一定不成比例，故選D．4、已知α1=[一1，1，a，4]T，α2=[一2，1，5，a]T，α3=[a，2，10，1]T是4階方陣A的3個不同特征值對應的特征向量，則a的取值為()A、a≠5B、a≠一4C、a≠一3D、a≠一3目a≠一4標準答案：A知識點解析：α1,α2,α3是三個不同特征值的特征向量，必線性無關，由知a≠5．故應選A．B：A與J石I相似，則A與B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；對于C：A與B不一定能夠相似對角化．5、設A，B為n階矩陣，且A與B相似，E為n階單位矩陣，則()A、λE-A=λE-BB、A與B有相同的特征值和特征向量C、A與B都相似于一個對角矩陣D、對任意常數(shù)t，tE-A與tE-B相似標準答案：D知識點解析：A與B相似，存在可逆矩陣P，使得P一1AP=B，則tE一B=tE一P一1AP一1(tE)P—P一1AP=P一1(tE一A)P，即tE一A與tE一B相似，選D．對于A：λE一A=λE－B→A=B；對于B：A與B相似，則A與B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；對于C：A與B不一定能夠相似對角化．6、設A為n階矩陣，下列命題正確的是()A、若α為AT的特征向量，那么α為A的特征向量B、若α為A*的特征向量，那么α為A的特征向量C、若α為A2的特征向量，那么α為A的特征向量D、若α為2A的特征向量，那么α為A的特征向量標準答案：D知識點解析：(1)矩陣AT與A的特征值相同，但特征向量不一定相同，故A錯誤．(2)假設α為A的特征向量，λ為其特征值，當λ≠0時α也為A*的特征向量．這是由于Aα=λα→A*Aα=λA*α→A*α=λ｜A-1｜α．但反之，α為A*的特征向量，那么α不一定為A的特征向量．例如：當r(A)＜n一1時，A*=0，此時，任意n維非零列向量都是A*的特征向量，故A*的特征向量不一定是A的特征向量．可知B錯誤．(3)假設α為A的特征向量，λ為其特征值，則α為A2的特征向量．這是由于A2α=A(Aα)=λAα=λ*α．但反之，若α為A2的特征向量，α不一定為A的特征向量．例如假設Aβ1=1，Aβ2=一β2，其中β1，β2≠0．此時有A2(β1+β2)=A2β1+A2β2=β1+β2，可知β1+β2為A2的特征向量．但β1，β2是矩陣A兩個不同特征值的特征向量，它們的和歷+尼不是A的特征向量．故C錯誤．(4)若α為2A的特征向量，則存在實數(shù)λ使得2Aα=λα，此時有，因此α為A的特征向量．可知D是正確的．故選D．7、已知3階矩陣A有特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，則2A*的特征值是()A、1，2，3B、4，6，12C、2，4，6D、8，16，24標準答案：B知識點解析：2A*的特征值是，其中｜A｜=λ1λ2λ3，λi是A的特征值，分別為1，2，3，故2A*的特征值為4，6，12．8、已知A是3階矩陣，r(A)=1，則λ=0()A、必是A的二重特征值B、至少是A的二重特征值C、至多是A的二重特征值D、一重、二重、三重特征值都可能標準答案：B知識點解析：A是三階矩陣，r(A)=1，r(0E—A)=1．(0E—A)X=0有兩個線性無關特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如：是三重特征值．9、已知ξ1，ξ2是方程(λE-A)X=0的兩個不同的解向量，則下列向量中必是A的對應于特征值λ的特征向量的是()A、ξ1B、ξ2C、ξ1一ξ2D、ξ1+ξ2標準答案：C知識點解析：因ξ1≠ξ2，故ξ1一ξ2≠0，且仍有關系A(ξ1一ξ2)=λξ1一λξ2=λ(ξ1一ξ2)，故ξ1一ξ2是特征向量．而Aξ1，Bξ2Dξ1+ξ2均有可能是零向量而不成為A的特征向量．10、設則下列向量中是A的特征向量的是()A、ξ1=[1，2，1]TB、ξ2=[1，一2，1]TC、ξ3=[2，1，2]TD、ξ4=[2，1，一2]T標準答案：B知識點解析：因故ξ2是A的對應于λ=…2的特征向量．其余的ξ1，ξ3，ξ4均不與Aξ1，Aξ3，Aξ4對應成比例，故都不是A的特征向量．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)11、已知α=[1，3，2]T，β=[1，一1，一2]T，A=E一αβT，則A的最大特征值為__________．標準答案：7知識點解析：由于矩陣αβT的秩為1，故αβT的特征值為0，0，tr(αβT)，其中tr(αβT)=βTα=一6．故A=E一αβT的特征值為1，1，7，故A的最大特征值為7．12、已知則r(A—E)+r(2E+A)=_________．標準答案：3知識點解析：存在可逆陣P，使得13、設A是3階矩陣,ξ1，ξ2，ξ3是三個線性無關的3維列向量，滿足Aξi=ξi，i=1，2，3，則A=______。標準答案：E知識點解析：因Aξ1=ξ1，Aξ1=ξ2，Aξ3=ξ3，合并成矩陣形式有[Aξξ1，Aξξ2，Aξ3]=A[ξ1，ξ2，ξ3，]=[ξ1，ξ2，ξ3，]，ξ1，ξ2，ξ3，線性無關，[ξ1，ξ2，ξ3，]是可逆陣，故A=[ξ1，ξ2，ξ3，][ξ1，ξ2，ξ3]一1=E．14、已知二次型f(x1，x2，x3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3是正定的，則t的取值范圍是____________.標準答案：知識點解析：f的對應矩陣f正定，A的順序主子式＞0，即取公共部分，知t的取值范圍是三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)15、求齊次線性方程組，的基礎解系．標準答案：則方程組的解為令得方程組的基礎解系ξ1=[一1，1，0，0，0]T，ξ2=[一1，0，一1，0，1]T．知識點解析：暫無解析16、問λ為何值時，線性方程組有解，并求出解的一般形式．標準答案：知識點解析：暫無解析17、λ為何值時，方程組無解，有唯一解或有無窮多解?并在有無窮多解時寫出方程組的通解．標準答案：知識點解析：暫無解析18、設四元齊次線性方程組(I)為又已知某齊次線性方程組(Ⅱ)的通解為k1[0，1，1，0]T+k2[一1，2，2，1]T．(1)求線性方程組(I)的基礎解系；(2)問線性方程組(I)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有，則求出所有的非零公共解．若沒有，則說明理由．標準答案：x=一k2[0，1，1，0]T+k2[一1，2，2，1]T=k2[一1，1，1，1]T=k[-1，1，1，1]T，其中k為任意非零常數(shù)．知識點解析：暫無解析19、設γ1，γ2，…，γt和ηa，η2，…ηs分別是AX=0和BX=0的基礎解系．證明：AX=0和BX=0有非零公共解的充要條件是γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs線性相關．標準答案：“←”．由γ1，γ2，…，γt，η1，η2，…，ηs線性相關，知存在k1，k2，…，ks，l1，l2，…，ls不全為零，使得k1γ1+k2γ2+…+ktγt+l1η1+l2η2+…+lsηs=0．令ξ=k1γ1+k2γ2+…+ktγt，則ξ≠0(否則k1，k