考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷7（共275題）

考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷7（共9套）（共275題）考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、平面π與π1：x一2y＋z一2＝0和π2：x一2y＋z一6＝0的距離之比為1：3，則平面π的方程為()．A、x一2y＋z＝0B、x一2y＋z一3＝0C、x一2y＋z＝0或x一2y＋z一3＝0D、x一2y＋z—4＝0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)所求平面為π：x一2y＋z＋D＝0，在平面π：x一2y＋z＋D＝0上取一點(diǎn)，因?yàn)閐1：d2＝1：3，所以D＝0或D＝一3，選（C）。2、設(shè)則有()．A、L1∥L3B、L1∥L2C、L2⊥L3D、L1⊥L2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：三條直線的方向向量為s1＝{一2，一5，3)，s2＝{3，3，7}，s3＝{1，3，一1}×{2，1，一1}＝{一2，一1，一5}，因?yàn)閟1.s2＝0，所以L1⊥L2，選(D)．3、設(shè)則f(x，y)在(0，0)處()．A、連續(xù)但不可偏導(dǎo)B、可偏導(dǎo)但不連續(xù)C、可微D、一階連續(xù)可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：4、對二元函數(shù)z＝f(x，y)，下列結(jié)論正確的是()．A、z＝f(x，y)可微的充分必要條件是z＝f(x，y)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)B、若z＝f(x，y)可微，則z＝f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C、若z＝f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則z＝f(x，y)一定可微D、若z＝f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則z＝f(x，y)一定不可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)槿艉瘮?shù)f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(x，y)一定可微，反之則不對，所以若函數(shù)f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)不一定不可微，選(C)．5、設(shè)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且在區(qū)域D內(nèi)恒有條件，則()．A、f(x，y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在D內(nèi)B、f(x，y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在D的邊界上C、f(x，y)的最小值點(diǎn)在D內(nèi)，最大值點(diǎn)在D的邊界上D、f(x，y)的最大值點(diǎn)在D內(nèi)，最小值點(diǎn)在D的邊界上標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若f(x，y)的最大點(diǎn)在D內(nèi)，不妨設(shè)其為M0，則有，因?yàn)镸0為最大值點(diǎn)，所以AC—B2非負(fù)，而在D內(nèi)有，即AC—B2＜0，所以最大值點(diǎn)不可能在D內(nèi)，同理最小值點(diǎn)也不可能在D內(nèi)，正確答案為(B)．二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)6、設(shè)直線在平面x＋y＋z＝0上的投影為直線L，則點(diǎn)(1，2，1)到直線L的距離等于___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、曲線在xOy平面上的投影曲線為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、設(shè)函數(shù)z＝f(x，y)在點(diǎn)(0，1)的某鄰域內(nèi)可微，且f(x，y＋1)＝1＋2x＋3y＋o(ρ)，其中，則曲面∑：z＝f(x，y)在點(diǎn)(0，1)的切平面方程為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：2x＋3y—z一2＝0知識點(diǎn)解析：由f(x，y＋1)＝1＋2x＋3y＋o(ρ)得f(x，y)在點(diǎn)(0，1)處可微，且而曲面∑：z＝f(x，y)在點(diǎn)(0，1，1)的法向量為n＝＝(2，3，一1)，所以切平面方程為π：2(x—0)＋3(y一1)一(z一1)＝0，即π：2x＋3y—z一2＝0．9、設(shè)z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，其中f，g分別二階連續(xù)可導(dǎo)和二階連續(xù)可偏導(dǎo)，則＝___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’＋xf"＋xy－1g1’＋yxy－1lnxg1’＋yx2y－1lnxg11"＋2y2xy－1g12"＋2xy＋1lnxg21"＋4xyg22"知識點(diǎn)解析：由z＝xf(x＋y)＋g(xy，x2＋y2)，得10、設(shè)f(u，v)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，f(tx，ty)＝t3f(x，y)，且fx’(1，2)＝1，fy’(1，2)＝4，則f(1，2)＝___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：f(tx，ty)＝t3f(x，y)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得xfx’(tx，ty)＋yfy’(tx，ty)＝3t2f(x，y)，取t＝1，x＝1，y＝2得fx’(1，2)＋2fy’(1，2)＝3f(1，2)，故f(1，2)＝3．11、設(shè)z＝f(x，y)二階可偏導(dǎo)，＝2，且f(x，0)＝1，fy’(x，0)＝x，則f(x，y)＝__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2＋xy＋1知識點(diǎn)解析：由得，因?yàn)閒y’(x，0)＝x,所以φ(x)＝x，即＝2y＋x，z＝y(tǒng)2＋xy＋C，因?yàn)閒(x，0)＝1，所以C＝1，于是z＝y(tǒng)2＋xy＋1．12、設(shè)(ay一Zxy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，則a＝_________，b＝___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：a＝4，b＝一2知識點(diǎn)解析：令P(x，y)＝ay一2xy2，Q(x，y)＝bx2y＋4x＋3，因?yàn)?ay一2xy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，所以，于是a＝4，b＝一2．13、函數(shù)u＝x2一2yz在點(diǎn)(1，一2，2)處的方向?qū)?shù)最大值為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：函數(shù)u＝x2一2yz在點(diǎn)(1，一2，2)處的方向?qū)?shù)的最大值即為函數(shù)u＝x2一2yz在點(diǎn)(1，一2，2)處的梯度的模，而gradu｜(1，－2，2)＝{2x，一2z，一Zy}｜(2，－2，2)＝{2，一4，4}，方向?qū)?shù)的最大值為．三、解答題(本題共21題，每題1.0分，共21分。)設(shè)曲面及平面π：2x＋2y＋z＋5＝0．14、求曲面∑上與π平行的切平面方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)切點(diǎn)為M0(x0，y0，z0)，令F(x，y，z)＝則切平面的法向量為，因?yàn)榍衅矫媾c平面π平行，所以得x0＝2t，y0＝t，z0＝2t，將其代入曲面方程，得，所以切點(diǎn)為及，平行于平面π的切平面為知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求曲面∑與平面π的最短和最長距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)直線16、求直線L在平面π上的投影直線L0；標(biāo)準(zhǔn)答案：令，即x＝1＋t，y＝t，z＝1一t，將x＝1＋t，y＝t，z＝1一t代入平面x一y＋2z一1＝0，解得t＝1，從而直線L與平面π的交點(diǎn)為M1(2，1，0)．過直線L且垂直于平面π的平面法向量為s1＝{1，1，一1}×{1，一1，2}＝{1，一3，一2}，平面方程為π1：1×(x一2)一3×(y一1)一2×z＝0，即π1：x一3y一2z＋1＝0從而直線L在平面π上的投影直線一般式方程為知識點(diǎn)解析：暫無解析17、求L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)M(x，Y，z)為所求旋轉(zhuǎn)曲面∑上任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于y軸的平面，該平面與∑相交于一個圓，且該平面與直線L及y軸的交點(diǎn)分別為M0(x0，y，z0)及T(0，y，0)，由｜M0T｜＝｜MT｜，得x02＋z02＝x2＋z2，注意到M0(x0，y，z0)∈L，即＝，于是，將其代入上式得∑：x2＋z2＝(y＋1)2＋(1一y)2，即∑：x2一2y2＋z2＝2．知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)直線18、證明：直線L1，L2為異面直線；標(biāo)準(zhǔn)答案：M1(1，0，一1)∈L1，M2(一2，1，2)∈L2，＝{一3，1，3}，s1＝{一1，2，1}，s2＝{0，1，一2}，s1×s2＝{一5，一2，一1}．因?yàn)?s1×s2)．＝{一5，一2，一1}．{一3，1，3}＝10≠0，所以L1，L2異面．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求平行于L1，L2且與它們等距離的平面．標(biāo)準(zhǔn)答案：與L1，L2同時平行的平面的法向量為n＝s1×s2＝{一5，一2，一1}，設(shè)與L1，L2等距離的平面方程為π：5x＋2y＋z＋D＝0，則有，解得D＝1，所求的平面方程為π：5x＋2y＋z＋1＝0．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求過直線且與點(diǎn)(1，2，1)的距離為1的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：過直線的平面束方程為π：(3x一2y＋2)＋λ(x—2y—z＋6)＝0，或π：(3＋λ)x一2(1＋λ)y—λz＋2＋6λ＝0，點(diǎn)(1，2，1)到平面π的距離為解得λ＝一2或λ＝一3，于是所求的平面方程為π：x＋2y＋2z一10＝0，或π：4y＋3z一16＝0.知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)直線L：21、求直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面；標(biāo)準(zhǔn)答案：記直線L繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面為∑，設(shè)M(x，y，z)為曲面∑上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作與z軸垂直的平面，交直線L及z軸于點(diǎn)M0(x0，y0，z)及T(0，0，z)，由｜M0T｜＝｜MT｜得x2＋y2＝x02＋y02，注意到M0∈L，則，即，將代入上式得∑：x2＋y2＝(1＋2z)2＋(2＋z)2，即∑：x2＋y2＝5z2＋8z＋5．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求該旋轉(zhuǎn)曲面介于z＝0與z＝1之間的幾何體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的z∈[0，1]，截口面積為A(z)＝π(x2＋y2)＝π(5z2＋8z＋5)，則知識點(diǎn)解析：暫無解析23、已知點(diǎn)P(1，0，一1)與點(diǎn)Q(3，1，2)，在平面x一2y＋z＝12上求一點(diǎn)M，使得｜PM｜＋｜MQ｜最小。標(biāo)準(zhǔn)答案：把點(diǎn)P及點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入x一2y十z一12得1—1一12＝一12及3—2＋2—12＝一9，則點(diǎn)P及Q位于平面π的同側(cè)。過點(diǎn)P且垂直于平面π的直線方程為知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A(一1，0，4)，π：3x一4y＋z＋10＝0，L：，求一條過點(diǎn)A與平面π平行，且與直線L相交的直線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：過A(一1，0，4)且與平面π：3x一4y＋z＋10＝0平行的平面方程為π1：3(x＋1)一4y＋(z一4)＝0，即π1：3x一4y＋z一1＝0．令，則，代入π1：3x一4y＋z一1＝0，得t＝16，則直線L與π1的交點(diǎn)為M0(15，19，32)，所求直線的方向向量為s＝{16，19，28}，所求直線為．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)u＝f(x，y，xyz)，函數(shù)z＝z(x，y)由exyz＝確定，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，h連續(xù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)證明：f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，但在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)27、f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處是否連續(xù)?標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)?≤｜f(x，y)｜≤，所以＝0＝f(0，0)，故f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處是否可微?標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)u＝u(x，y，z)連續(xù)可偏導(dǎo)，令30、若，證明；u僅為θ與φ的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗評是不含r的函數(shù)，即u僅為θ與φ的函數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、若，證明：u僅為r的函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)函數(shù)f(x，y，z)一階連續(xù)可偏導(dǎo)且滿足f(tx，ty，tz)＝tkf(x，y，z)．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析33、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)u＝u(x，y)由方程組u＝f(x，y，z，t)，g(y，z，t)＝0，h(z，t)＝0確定，其中f，g，h連續(xù)可偏導(dǎo)且，求。標(biāo)準(zhǔn)答案：方程組由五個變量三個方程構(gòu)成，故確定了三個二元函數(shù)，其中x，y為自變量，由u＝f(x，y，z，t)，g(y，z，t)＝0，h(z，t)＝0，得知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)f(x，y)=sin，則f(x，y)在(0，0)處()．A、對x可偏導(dǎo)，對y不可偏導(dǎo)B、對x不可偏導(dǎo)，對y可偏導(dǎo)C、對x可偏導(dǎo)，對y也可偏導(dǎo)D、對x不可偏導(dǎo)，對y也不可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴淮嬖?，所以f(x，y)在(0，0)處對x不可偏導(dǎo)；因?yàn)?，所以f’(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)處對y可偏導(dǎo)，應(yīng)選(B)：2、設(shè)f(x，y)在(0，0)的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且滿足=一3，則f(x，y)在(0，0)處()．A、取極大值B、取極小值C、不取極值D、無法確定是否取極值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：3、設(shè)u=f(x+y，xz)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則=()．A、f’2+xf"11+(x+z)f"12+xzf"22B、xf"12+xzf"22C、f’2+xf"12+xzf"22D、xzf"22標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：=xf"12+f’2+xzf"22，選(C)．4、設(shè)f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，則()．A、f(x，y)在(x0，y0)處連續(xù)B、(x，y)存在C、f(x，y)在(x0，y0)處可微D、(x，y0)存在標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：多元函數(shù)在一點(diǎn)可偏導(dǎo)不一定在該點(diǎn)連續(xù)，(A)不對；函數(shù)f(x，y)=不存在，(B)不對；f(x，y)在(x0，y0)處可偏導(dǎo)是可微的必要而非充分條件，(C)不對，應(yīng)選(D)，事實(shí)上由f’x(x0，y0)=f(x，y0)=f(x0，y0)．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)5、設(shè)z=f(x+y，y+z，z+x)，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：z=f(x+y，y+z，z+x)兩邊求x求偏導(dǎo)得6、由x=zey+z確定z=z(x，y)，則dz(e，0)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：x=e，y=0時，z=1．7、=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：8、設(shè)z==___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：9、設(shè)z=f(x，y)=x2arctan=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、設(shè)f(x，y)滿足=2，f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，則f(x，y)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2+xy+1知識點(diǎn)解析：因?yàn)閒(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．11、z=f(xy)+yg(x2+y2)，其中f，g二階連續(xù)可導(dǎo)，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、設(shè)u=f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0確定的隱函數(shù)，則=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：13、設(shè)z==___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)14、設(shè)u=，求du．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、求函數(shù)u=x2+yz的梯度方向的方向?qū)?shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、舉例說明多元函數(shù)連續(xù)不一定可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)不一定連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x，y)=不存在，所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處對x不可偏導(dǎo)，由對稱性，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處對y也不可偏導(dǎo)．所以f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可偏導(dǎo)，且f’x(0，0)=f’y(0，0)=0．因?yàn)椴淮嬖?，而f(0，0)=0，故f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(x，y)=討論函數(shù)f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性與可偏導(dǎo)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、討論f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)f(x，y)=，試討論f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性和可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：即f(x，y)在(0，0)處可微．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)z=yf(x2—y2)，基中f可導(dǎo)，證明：．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)z=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)z=．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、已知u(x，y)=，其中f，g具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求xu"xx+yu"xy．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)u=f(x+y，x2+y2)，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)z=f[xg(y)，x一y]，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，g二階可導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：=g(y)f’1+f’2，=g’(y)f’1+g(y)[xg’(y)f"11一f"12]+xg’(y)d"21一f"22=g’(y)f’1+xg’(y)g(y)f"11+[xg’(y)一g(y)]f"12—f"22．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)z=z(x，y)由xyz=x+y+z確定，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：令F=xyz—x—y—z，知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)(x+y≠0)為某函數(shù)的全微分，則a為()．A、一1B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：P(x，y)=得a=2，選(D)．2、設(shè)L為由y2=x+3及x=2圍成的區(qū)域的邊界，取逆時針方向，則等于()．A、一2πB、2πC、πD、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：取Cr：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L內(nèi)，取逆時針)，設(shè)由L及Cr—所圍成的區(qū)域?yàn)镈r，由Cr圍成的區(qū)域?yàn)镈0，由格林公式得二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)3、設(shè)I=dx+xdy，其中L是橢圓4x2+y2=1，L為逆時針方向，則I=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：4、設(shè)曲線L：y=(一1≤x≤1)，則∫L(x2+2xy)ds=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：5、∮(x2+2xy+y3)ds=___________，其中L：x2+y2=4．標(biāo)準(zhǔn)答案：8π知識點(diǎn)解析：根據(jù)對稱性和奇偶性得6、設(shè)L：=1，且L的長度為l，則∮L(9x2+72xy+4y2)dx=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：36l知識點(diǎn)解析：由對稱性∮L(9x2+72xy+4y2)ds=∮L(9x2+4y2)dx，于是原式=36∮L()ds=36∮Ldx=36l．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)7、計(jì)算∫L(x2+y2)ds，其中L：x2+y2=a2．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)對稱性，∫L(x3+y2)ds=∫Ly2ds=∫Lx2ds，則∫L(x3+y2)dx=×2πa=πa3知識點(diǎn)解析：暫無解析8、∫Leds，其中L為由x軸，x2+y2=4及y=x所圍成的第一封限內(nèi)的區(qū)域的邊界．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析9、計(jì)算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中(1)L從原點(diǎn)經(jīng)過直線y=x到點(diǎn)(2，2)；(2)L從原點(diǎn)經(jīng)過拋物線y=到點(diǎn)(2，2)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02xdx一(2x+1)dx=一∫02(x+1)dx=一4(2)∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×dxd一(x2+1)dx=一2知識點(diǎn)解析：暫無解析10、計(jì)算∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy，其中(1)L從原點(diǎn)沿直線y=x到點(diǎn)(1，1)；(2)L從原點(diǎn)沿拋物線y=x到點(diǎn)(1，1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=∫01(x+x)dx+(x+x)dx=∫01(2x+2x)dx=(2)∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy=J(x4+x2)dx+(x4+x)×2xdx=∫01(3x5+3x2)dx=知識點(diǎn)解析：暫無解析11、計(jì)算∫L(3x+2y+1)dx+，其中L為x2+y2=4第一象限逆時針方向部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、利用格林公式計(jì)算∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy，其中L是圓周y=(a＞0)上從點(diǎn)A(2a，0)到點(diǎn)O(0，0)的弧段．標(biāo)準(zhǔn)答案：I=∫L(exsiny+x—y)dx+(excosy+y)dy知識點(diǎn)解析：暫無解析13、求I=，其中L為x2+y2=a2上從點(diǎn)A(a，0)沿逆時針方向到點(diǎn)B(一a，0)的有向曲線段，其中a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：取L0：y=0(起點(diǎn)x=一a，終點(diǎn)x=a)，知識點(diǎn)解析：暫無解析14、計(jì)算I=∫L(ex+1)cosydx—[(ex+x)siny一x]dy，其中L為由點(diǎn)A(2，0)沿心形線r=1+cosθ上側(cè)到原點(diǎn)的有向曲線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：令L1：y=0(起點(diǎn)x=0，終點(diǎn)x=2)，則知識點(diǎn)解析：暫無解析15、在過點(diǎn)O(0，0)和A(π，0)的曲線族y=asinx(a＞0)中，求一條曲線L，使沿該曲線從點(diǎn)O到A的積分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：I=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)．a(chǎn)cosx]dx=π一4a+．由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I"(a)=8a，由I"(1)=8＞0得a=1為I(a)的極小值點(diǎn)，因?yàn)閍=1是I(a)的唯一駐點(diǎn)，所以a=1為I(a)的最小值點(diǎn)，所求的曲線為y=sinx．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)Q(x，y)在平面xOy上具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且∫L2xydx+Q(x，y)dy與路徑無關(guān)，且對任意的t有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān)，所以=2x，于是Q(x，y)=x2+φ(y)．由∫(0，0)(t，1)+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，得t2+∫01φ(y)dy=t+∫0tφ(y)dy，兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得1+φ(t)=2t，φ(t)=2t一1，所以Q(x，y)=x2+2y一1．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)曲線積分∫Lxy2dx+yφ(x)dy與路徑無關(guān)，其中φ連續(xù)可導(dǎo)，且φ(0)=0，計(jì)算，∫(0，0)(1，1)xy2dx+yφ(x)dy．標(biāo)準(zhǔn)答案：令P(x，y)=xy2，Q(x，y)=yφ(x)，因?yàn)榍€積分與路徑無關(guān)，所以有，即φ’(x)=2x，故φ(x)=x2+C，因?yàn)棣?0)=0，所以φ(x)=x2．∫(0，0)(t，1)xy2dx+yφ(x)dy=∫(0，0)(t，1)xy2dx+x2ydy=知識點(diǎn)解析：暫無解析18、計(jì)算曲線積分，其中L為不經(jīng)過原點(diǎn)的逆時針光滑閉曲線．標(biāo)準(zhǔn)答案：(2)當(dāng)0(0，0)在L所圍成的區(qū)域內(nèi)部時，作Cr：x2+4y2=r2(其中r＞0，C在L內(nèi)部，方向?yàn)槟鏁r針方向)，再令由L和Cr—所圍成的區(qū)域?yàn)镈r，由格林公式知識點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算，其中L為x2+y2=1從點(diǎn)A(1，0)經(jīng)過B(0，1)到C(—1，0)的曲線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：P(x，y)=，作上半橢圓C0：x2+4y2=1，方向取逆時針，L與C0—圍成的區(qū)域?yàn)镈1，C0與x軸圍成的區(qū)域?yàn)镈2，由格林公式得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算I=在第一卦限的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、計(jì)算位于z=2下方的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲面∑在xOy平面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy：x2+y2≤4，知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求I=所截的頂部．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、計(jì)算I=介于z=0與z=1之間的部分．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算(x+y2)ds，其中S：x2+y2+z2=2z．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)∑：=1(z≥0)，點(diǎn)P(x，y，z)∈∑，π為曲面∑在點(diǎn)P處的切平面，d(x，y，z)為點(diǎn)0(0，0，0)到平面π的距離，計(jì)算．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第4套一、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)y＝y(tǒng)(x)滿足，且有y(1)＝1，則＝________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：2、微分方程y’一xe－y＋＝0的通解為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：3、微分方程yy"一2(y’)2＝0的通解為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y＝C或者＝C1x＋C2知識點(diǎn)解析：4、微分方程的通解為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：lnx＋C知識點(diǎn)解析：5、以y＝C1ex＋ex(C2cosx＋C3sinx)為特解的三階常系數(shù)齊次線性微分方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y’’’一3y"一4y’一2y＝0．知識點(diǎn)解析：特征值為λ1＝1，λ2，3＝1±i，特征方程為(λ－1)(λ－1－i)(λ－l－i)＝0，即λ3一3λ2＋4λ－2＝0，所求方程為y’’’一3y"一4y’一2y＝0．6、設(shè)y(x)為微分方程y"一4y’＋4y＝0滿足初始條件y(0)＝1，y’(0)＝2的特解，則＝_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：y"一4y’＋4y＝0的通解為y＝(C1＋C2x)e2x，由初始條件y(0)＝1，y’(0)＝2得C1＝1，C2＝0，則y＝e2x，于是二、解答題(本題共31題，每題1.0分，共31分。)7、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析8、設(shè){nan}收斂，且收斂，證明：級數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：令Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＋1’＝(a1一a0)＋2(a2－a1)＋…＋(n＋1)(an＋1一an)，知識點(diǎn)解析：暫無解析9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析10、證明：(1)設(shè)an＞0，且{nan}有界，則級數(shù)收斂；(2)標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)知識點(diǎn)解析：暫無解析11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析12、設(shè){un}，{cn}為正項(xiàng)數(shù)列，證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析13、對常數(shù)p，討論冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：，得冪級數(shù)的收斂半徑為R＝1．(1)當(dāng)p＜0時，記q＝－p，則有，因而當(dāng)x＝±1時，發(fā)散，此時冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(一1，1)；(2)(3)知識點(diǎn)解析：暫無解析14、設(shè)f(x)在區(qū)間[a，b]上滿足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，證明：級數(shù)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由｜un＋1一un｜＝｜f(un)一f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜｜un一un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜知識點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)f(x)在(一∞，＋∞)內(nèi)一階連續(xù)可導(dǎo)，且．證明：收斂，而發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)f(x)在x＝0的某鄰域內(nèi)二階連續(xù)可導(dǎo)，且．證明：級數(shù)絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)y＝y(tǒng)(x)滿足y’＝x＋y，且滿足y(0)＝1，討論級數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y’＝x＋y得y"＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y"(0)＝2，根據(jù)馬克勞林公式，有知識點(diǎn)解析：暫無解析18、求冪級數(shù)的收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求函數(shù)f(x)＝In(1一x一2x2)的冪級數(shù)，并求出該冪級數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)＝ln(1一x一2x2)＝ln(x＋1)(1—2x)＝ln(1＋x)＋I(xiàn)n(1—2x)，知識點(diǎn)解析：暫無解析20、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為[一1，1]，知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求冪級數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由，得收斂半徑R＝＋∞，該冪級數(shù)的收斂區(qū)間為(一∞，＋∞)，知識點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)f(x)的一個原函數(shù)為F(x)，且F(x)為方程xy'＋y＝ex的滿足的解．24、求F(x)關(guān)于x的冪級數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、將函數(shù)展開成x的冪級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．27、求f(x)滿足的微分方程；標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、證明滿足微分方程y(4)－y＝0并求和函數(shù)S(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然級數(shù)的收斂域?yàn)?一∞，＋∞)，顯然S(x)滿足微分方程y(4)一y＝0．y(4)一y＝0的通解為y＝C1ex＋C2e－x＋C3cosx＋C4sinx，由S(0)＝1，S’(0)＝S"(0)＝S’’’(0)＝0得知識點(diǎn)解析：暫無解析30、將函數(shù)f(x)＝2＋｜x｜(－1≤x≤1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并求級數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：顯然函數(shù)f(x)是在[一1，1]上滿足收斂定理的偶函數(shù)，則知識點(diǎn)解析：暫無解析31、將函數(shù)f(x)＝x一1(0≤x≤2)展開成周期為4的余弦級數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)進(jìn)行偶延拓和周期延拓，知識點(diǎn)解析：暫無解析32、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析33、標(biāo)準(zhǔn)答案：令Sn＝(a1一a0)＋(a2一a1)＋…＋(an一an－1)，則Sn＝an一a0．知識點(diǎn)解析：暫無解析34、設(shè)，對任意的參數(shù)λ，討論級數(shù)的斂散性，并證明你的結(jié)論．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)函數(shù)f0(x)在(一∞，＋∞)內(nèi)連續(xù)，35、證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析36、證明：絕對收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：對任意的x∈(一∞，＋∞)，f0(t)在[0，x]或[x，0]上連續(xù)，于是存在M＞0(M與x有關(guān))，使得｜f0(t)｜≤M(t∈[0，x]或t∈[x，0])，于是知識點(diǎn)解析：暫無解析37、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)1、平面π與π1：x一2y+z一2=0和π2：x一2y+z一6=0的距離之比為1：3，則平面π的方程為()．A、x一2y+z=0B、x一2y+z一3=0C、x一2y+z=0或x一2y+z—3=0D、x一2y+z一4=0標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：設(shè)所求平面為π：x—2y+2+D=0，在平面π：x一2y+z+D=0上取一點(diǎn)M0(x0，y0，z0)，d1=，因?yàn)閐1：d2=1：3，所以D=0或D=一3，選(C)．2、設(shè)L1：則有()．A、L1∥L3B、L1∥L2C、L2⊥L3D、L1⊥L2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：三條直線的方向向量為s1={一2，一5，3}，s2={3，3，7)，s3={1，3，一1}×{2，1，一1)={一2，一1，一5}，因?yàn)閟1．s2=0，所以L1⊥L2，選(D)．3、設(shè)f(x，y)=則f(x，y)在(0，0)處()．A、連續(xù)但不可偏導(dǎo)B、可偏導(dǎo)但不連續(xù)C、可微D、一階連續(xù)可偏導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：所以f’x(0，0)=0，根據(jù)對稱(0，0)處不連續(xù)，同理f’y(x，y)在點(diǎn)(0，0)處也不連續(xù)，選(C)．4、對二元函數(shù)z=f(x，y)，下列結(jié)論正確的是()．A、z=f(x，y)可微的充分必要條件是z=f(x，y)有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)B、若z=f(x，y)可微，則z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)C、若z=f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則z=f(x，y)一定可微D、若z=f(x，y)的偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，則z=f(x，y)一定不可微標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)槿艉瘮?shù)f(x，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則f(x，y)一定可微，反之則不對，所以若函數(shù)f(x，y)偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)不一定不可微，選(C)．5、設(shè)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上二階連續(xù)可偏導(dǎo)，且在區(qū)域D內(nèi)恒有條件=0，則()．A、f(x，y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在D內(nèi)B、f(x，y)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)都在D的邊界上C、f(x，y)的最小值點(diǎn)在D內(nèi)，最大值點(diǎn)在D的邊界上D、f(x，y)的最大值點(diǎn)在D內(nèi)，最小值點(diǎn)在D的邊界上標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：若f(x，y)的最大點(diǎn)在D內(nèi)，不妨設(shè)其為M0，則有=0，因?yàn)镸0為最大值點(diǎn)，所以AC—B2非負(fù)，而在D內(nèi)有=0，即AC—B2＜0，所以最大值點(diǎn)不可能在D內(nèi)，同理最小值點(diǎn)也不可能在D內(nèi)，正確答案為(B)．二、填空題(本題共14題，每題1.0分，共14分。)6、設(shè)直線L1：，則過直線L1且平行于L2的平面方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π：x一3y+z+2=0知識點(diǎn)解析：所求平面的法向量為n={1，0，一1}×{2，1，1}={1，一3，1}，又平面過點(diǎn)(1，2，3)，則所求平面方程為π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0，即π：x一3y+z+2=0．7、點(diǎn)M(3，一1，2)到直線的距離為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：直線的方向向量為s={1，1，一1}×{2，一1，1}={0，—3，—3}，顯然直線經(jīng)過點(diǎn)M0(1，一1，1)，8、兩異面直線L1：之間的距離為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：7知識點(diǎn)解析：s1={4，一3，1}，s2={一2，9，2)，n={4，一3，1}×{一2，9，2}={一15，一10，30}，過直線L2且與L1平行的平面方程為π：一15x—10(y+7)+30(z一2)=0，即π：3x+2y一6z+26=0，d==7．9、設(shè)點(diǎn)M1(1，一1，一2)，M2(1，0，3)，M3(2，1，2)，則點(diǎn)M3到向量的距離為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、直線L：繞z軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：∑：x2+y2一z2=1知識點(diǎn)解析：設(shè)M(x，y，z)為旋轉(zhuǎn)曲面∑上的任意一點(diǎn)，該點(diǎn)所在的圓對應(yīng)與直線L上的點(diǎn)為M0(x0，y0，z)，圓心為T(0，0，z)，由，得x2+y2=x0+y0．因?yàn)镸0(x0，y0，z)∈L，所以，即x0=1，y0=z，于是曲面方程為∑：x2+y2一z2=1．11、設(shè)盲線l過點(diǎn)M(1，一2，0)且與兩條直線l1：，垂直，則l的參數(shù)方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：直線l1的方向向量為s1={2，0，1}×{1，一1，3}={1，一5，一2}，直線l2的方向向量為s2={1，一4，0)，則直線l的方向向量為s=s1×s2={一8，一2，1}，直線l的方程為12、設(shè)直線在平面x+y+z=0上的投影為直線L，則點(diǎn)(1，2，1)到直線L的距離等于___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：過直線的平面束為(x+2y—z一2)+k(2x一y+z一3)=0，即(1+2k)x+(2一k)y+(k一1)z一2—3k=0，由{1+2k，2一k，k一1}．{1，1，1}=0，得13、曲線在xOy平面上的投影曲線為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：14、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1)的某鄰域內(nèi)可微，且f(x，y+1)=1+2x+3y+o(ρ)，其中ρ=，則曲面∑：z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1)的切平面方程為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：π：2x+3y一z一2=0知識點(diǎn)解析：由f(x，y+1)=1+2x+3y+0(ρ)得f(x，y)在點(diǎn)(0，1)處可微，且而曲面∑：z=f(x，y)在點(diǎn)(0，1，1)的法向量為n==(2，3，一1)，所以切平面方程為π：2(x—0)+3(y一1)一(z—1)=0，即π：2x+3y一z一2=0．15、設(shè)z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分別二階連續(xù)可導(dǎo)和二階連續(xù)可偏導(dǎo)，則___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：f’+xf"+xy—1g’1+yxy—1lnxg’1+yx2y—1lnxg"11+2y2xy—1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"22知識點(diǎn)解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy—1g’1(xy，x2+y2)+2xg’2(xy，x2+y2)=f’+xf"+xy—1g’1+yxy—1lnxg’1+yx2y—1lnxg"11+2y2xy—1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"2216、設(shè)f(u，v)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，f(tx，ty)=t3f(x，y)，且f’1(1，2)=1，f’2(1，2)=4，則f(1，2)=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：f(tx，ty)=t3f(x，y)兩邊對t求導(dǎo)數(shù)得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=3t2f(x，y)，取t=1，x=1，y=2得f’1(1，2)+2f’2(1，2)=3f(1，2)，故f(1，2)=3．17、設(shè)z=f(x，y)二階可偏導(dǎo)，=2，且f(x，0)=1，f’y(x，0)=x，則f(x，y)=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：y2+xy+1知識點(diǎn)解析：由=2y+x，z=y2+xy+C，因?yàn)閒(x，0)=1，所以C=1，于是z=y2+xy+1．18、設(shè)(ay一2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，則a=___________，b=___________。標(biāo)準(zhǔn)答案：4，—2知識點(diǎn)解析：令P(x，y)=ay一2xy2，Q(x，y)=bx2y+4x+3，因?yàn)?ay一2xy2)dx+(bx2y+4x+3)dy為某個二元函數(shù)的全微分，所以=a一4xy，于是a=4，b=一2．19、函數(shù)u=x2一2yz在點(diǎn)(1，一2，2)處的方向?qū)?shù)最大值為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：6知識點(diǎn)解析：函數(shù)u=x2一2yz在點(diǎn)(1，一2，2)處的方向?qū)?shù)的最大值即為函數(shù)u=x2一2yz在點(diǎn)(1，一2，2)處的梯度的模，而gradu｜(1，—2，2)={2x，一2z，一2y)｜(1，—2，2)={2，一4，4}，方向?qū)?shù)的最大值為=6．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)20、設(shè)曲面∑：=1及平面π：2x+2y+z+5=0．(1)求曲面∑上與丌平行的切平面方程；(2)求曲面∑與平面π的最短和最長距離．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)直線L：及π：x—y+2z一1=0．(1)求直線L在平面π上的投影直線L0；(2)求L繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)令=t，即x=1+t，y=t，z=1一t，將x=1+t，y=t，z=1一t代入平面x—y+2z一1=0，解得t=1，從而直線L與平面π的交點(diǎn)為M1(2，1，0)．過直線L且垂直于平面π的平面法向量為s1={1，1，一1}×{1，一1，2}={1，一3，一2}，平面方程為π1：1×(x一2)一3×(y一1)一2×z=0，即π1：x一3y一2z+1=0從而直線L在平面π上的投影直線一般式方程為(2)設(shè)M(x，y，z)為所求旋轉(zhuǎn)曲面∑上任意一點(diǎn)，過該點(diǎn)作垂直于y軸的平面，該平面與∑相交于一個圓，且該平面與直線L及y軸的交點(diǎn)分別為M0(x0，y0，z0)及T(0，y，0)，由｜M0T｜=｜MT｜，得x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y0，z0)∈L，即，將其代入上式得∑：x2+z2=(y+1)2+(1一y)2，即∑：x2一2y2+z2=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)直線L1：．(1)證明：直線L1，L2為異面直線；(2)求平行于L1，L2且與它們等距離的平面．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)M1(1，0，一1)∈L1，M2(一2，1，2)∈L2，={一3，1，3}，s1={一1，2，1}，s2={0，1，一2}，s1×s2={一5，一2，一1}．因?yàn)?s1×s2)．={一5，一2，一1}．{一3，1，3}=10≠0，所以L1，L2異面．(2)與L1，L2同時平行的平面的法向量為n=s1×s2={一5，一2，一1}，設(shè)與L1，L2等距離的平面方程為π：5x+2y+z+D=0，則有，解得D=1，所求的平面方程為π：5x+2y+z+1=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求過直線且與點(diǎn)(1，2，1)的距離為1的平面方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：過直線的平面束方程為π：(3x一2y+2)+λ(x一2y—z+6)=0，或π：(3+λ)x一2(1+λ)y一λz+2+6λ=0，點(diǎn)(1，2，1)到平面π的距離為解得λ=一2或λ=一3，于是所求的平面方程為π：x+2y+2z一10=0，或π：4y+3z—16=0．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)直線L：．(1)求直線繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面，(2)求該旋轉(zhuǎn)曲面介于z=0與z=1之間的幾何體的體積．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)記直線L繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面為∑，設(shè)M(x，y，z)為曲面∑上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作與z軸垂直的平面，交直線L及z軸于點(diǎn)M0(x0，y0，z0)及T(0，0，z)，由｜M0T｜=｜MT｜，得x2+y2=x02+y02，注意到M0∈L，則代入上式得∑：x2+y2=(1+2z)2+(2+z)2．即∑：x2+y2=5z2+8z+5．(2)對任意的z∈[0，1]，截口面積為A(z)=π(x2+y2)=π(5z2+8z+5)，則V=∫01A(z)dz=π∫01(5z2+8z+5)dz=．設(shè)M(1+2t，2+t，t)為曲面∑上任意一點(diǎn)，則截口面積為S(t)=πr2=π[(1+2t)2+(2+t)2]=π(5t2+8t+5)，則體積為V=∫01S(t)dt=．知識點(diǎn)解析：暫無解析25、已知點(diǎn)P(1，0，一1)與點(diǎn)Q(3，1，2)，在平面x一2y+z=12上求一點(diǎn)M，使得｜PM｜+｜MQ｜最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：把點(diǎn)P及點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入x一2y+z一12得1—1—12=一12及3—2+2—12=一9，則點(diǎn)P及Q位于平面π的同側(cè)．過點(diǎn)P且垂直于平面π的直線方程為把x=1+t，y=一2t，z=t一1代入平面π得t=2，所以直線L1與平面π的交點(diǎn)坐標(biāo)為T(3，一4，1)．令點(diǎn)P關(guān)于平面π的對稱點(diǎn)為P’(x0，y0，z0)，知識點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)A(—1，0，4)，π：3x—4y+z+10=0，L：，求一條過點(diǎn)A與平面π平行，且與直線L相交的直線方程．標(biāo)準(zhǔn)答案：過A(一1，0，4)且與平面π：3x一4y+z+10=0平行的平面方程為π1：3(x+1)一4y+(z一4)=0，即π1：3x一4y+z一1=0．令，代入π1：3x—4y+z一1=0，得t=16，則直線L與π1的交點(diǎn)為M0(15，19，32)，所求直線的方向向量為s={16，19，28}，所求直線為．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)u=f(x，y，xyz)，函數(shù)z=z(x，y)由exyz=h(xy+z一t)出確定，其中f連續(xù)可偏導(dǎo)，h連續(xù)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x，y)=證明：f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處可微，但在點(diǎn)(0，0)處不連續(xù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)數(shù)列{xn}與{yn}滿足，則下列判斷正確的是()A、若{xn}發(fā)散，則{yn}必發(fā)散。B、若{xn}無界，則{yn}必?zé)o界。C、若{xn}有界，則{yn}必為無窮小。D、若為無窮小，則{yn}必為無窮小。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：取xn=n，yn=0，顯然滿足，由此可排除A、B。若取xn=0，yn=n，也滿足=0，又排除C，故選D。2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=a的某鄰域內(nèi)有定義，則f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個充分條件是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)槿绻藰O限存在，則由導(dǎo)數(shù)定義可知，函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，即該極限存在是f(x)在x=a處可導(dǎo)的一個充分條件。故選D。3、設(shè)f(x)=｜x(1-x)｜，則()A、x=0是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。B、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，但(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。C、x=0是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，0)是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，且(0，0)也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：因?yàn)榭梢奻’(x)與f’’(x)均在x=0兩側(cè)附近變號，即x=0是f(x)的極值點(diǎn)，(0，0)也是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)，故選C。4、設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，則在下列變上限積分定義的函數(shù)中，必為偶函數(shù)的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：取f(x)=x，則相應(yīng)的均為奇函數(shù)，故不選A、C、D。應(yīng)選B。5、已知a×b+b×c+c×a=0，則必有()A、a，b，c兩兩相互平行。B、a，b，c兩兩相互垂直。C、a，b，c中至少有一個為零向量。D、a，b，c共面。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由a×b+b×c+c×a=0知(a×b).c+(b×c).c+(c×a).c=0，而(b×c).c+(c×a).c=0，所以(a×b).c=0。故a，b，c共面，應(yīng)選D。6、設(shè)z=則該函數(shù)在點(diǎn)(0，0)處()A、不連續(xù)。B、連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在。C、連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在但不可微。D、可微。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由于，則z(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，A錯誤。所以z(x，y)在點(diǎn)(0，0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，B錯誤。不存在，即z(x，y)在點(diǎn)(0，0)處不可微，故選C。7、設(shè)，對于該曲線積分容易驗(yàn)證(x2+y2≠0)，則()A、對于任何不過坐標(biāo)原點(diǎn)的閉曲線L，恒有I=0。B、積分在x2+y2＞0上與路徑無關(guān)。C、對于任何不過坐標(biāo)原點(diǎn)的閉曲線L，I≠0。D、當(dāng)L圍成區(qū)域D不包含坐標(biāo)原點(diǎn)時，I=0，其中L為分段光滑的簡單閉曲線。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：當(dāng)L圍成的區(qū)域D不包含坐標(biāo)原點(diǎn)時，由格林公式得故選D。8、微分方程xdy+2ydx=0滿足初始條件y(2)=1的特解為()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、x-xy=4。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：原微分方程分離變量得，兩端積分得ln｜y｜=-2ln｜x｜+lnC，即x2y=C，將y(2)=1代入得C=4，故所求的特解為x2y=4。應(yīng)選C。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)9、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：sinx2知識點(diǎn)解析：令x-t=u，則11、設(shè)y=y(x)是由方程2y3-2y2+2xy-x2=1確定的，則y=y(x)的極值點(diǎn)是_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：x=1知識點(diǎn)解析：方程兩邊對x求導(dǎo)，可得y’(3y2-2y+x)=x-y，(*)令y’=0，有x=y，代入2y3-2y2+2xy-x2=1中，可得(x-1)(2x2+x+1)=0，則x=1是唯一的駐點(diǎn)。對(*)式求導(dǎo)得y’’(3y2-2y+x)+y’(3y2-2y+x)’=1-y’，把x=y=1，y’(1)=0代入上式，得y’’(1)=＞0。故x=1是y(x)的極小值點(diǎn)。12、設(shè)a＞0，則=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：原式可化為根據(jù)定積分的幾何意義可得(半徑為a的半圓的面積)，所以13、直線與平面x-y-z+1=0的夾角為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：設(shè)直線與平面的夾角為φ，直線與平面法向量的夾角為θ，直線的方向向量是平面的法向量是n=(1，-1，-1)，則因此φ=0。14、已知曲線L為圓x2+y2=a2在第一象限的部分，則=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：將x2+y2=a2化為參數(shù)方程形式：15、設(shè)球體x2+y2+z2≤z上任一點(diǎn)處的密度等于該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，則此球的質(zhì)心的z坐標(biāo)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：由質(zhì)心公式可得16、設(shè)a1=1，=2021，則級數(shù)(an+1-an)的和為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：2020知識點(diǎn)解析：級數(shù)的部分和數(shù)列為Sn=(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an+1-an)=an+1-a1=an+1-1，則=2021-1=2020。17、已知y1=e3x-xe2x，y2=ex-xe2x，y3=-xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的三個解，則該方程的通解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1e3x+C2ex-xe2x知識點(diǎn)解析：顯然y1-y2=e3x和y2-y3=ex是對應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個線性無關(guān)的解。且y*=-xe2x是非齊次微分方程的一個特解。由解的結(jié)構(gòu)定理，該方程的通解為y=C1e3x+C2ex-xe2x。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)18、求極限標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、證明標(biāo)準(zhǔn)答案：令f(x)=，可得故f’(x)≥0，而f(0)=0，所以有f(x)≥f(0)=0即得故f’(x)≤0，所以有f(x)≥f(0)，即得綜上可知，知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明標(biāo)準(zhǔn)答案：連續(xù)利用分部積分法有知識點(diǎn)解析：暫無解析21、證明可微的必要條件：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則fx(x0，y0)fy(x0，y0)都存在，且=(x0,y0)=L(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)z=f(x，y)在點(diǎn)(x0，y0)處可微，則等式△z=A△x+B△y+成立。令△y=0，于是令△x→0，有=B，于是證明了fx(x0，y0)與fy(x0，y0)存在，并且=fx(x0，y0)△x+fy(x0，y0)△y。知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)z=z(x，y)是由x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0確定的函數(shù)，求z=z(x，y)的極值點(diǎn)和極值。標(biāo)準(zhǔn)答案：在方程x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0的兩端分別對x，y求偏導(dǎo)數(shù)，于是有將上式代入x2-6xy+10y2-2yz-z2+18=0，可得再對(1)(2)求偏導(dǎo)數(shù)，則有于是所以點(diǎn)(9，3)是z(x，y)的極小值點(diǎn)，極小值為z(9，3)=3。類似的，由所以點(diǎn)(-9，-3)是z(x，y)的極大值點(diǎn)，極大值為z(-9，-3)=-3。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)函數(shù)Q(x，y)在平面xOy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分2xydx+Q(x，y)dy與路徑無關(guān)，并且對任意t恒有，求Q(x，y)。標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)曲線積分和路徑無關(guān)的條件，可知因此有Q(x，y)=x2+C(y)成立，其中C(y)為待定函數(shù)。又因?yàn)橛梢阎芍獌蛇厡求導(dǎo)可得2t=1+C(t)，即C(y)=2y-1，因此有Q(x，y)=x2+2y-1。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)有一半徑為R的球體，P0是此球的表面上的一個定點(diǎn)，球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到P0距離的平方成正比(比例常數(shù)k＞0)，求球體的重心位置。標(biāo)準(zhǔn)答案：如圖1-6-14所示，以Ω表示球體，以Ω的球心表示原點(diǎn)O，射線DP0為正x軸建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)P0的坐標(biāo)為(R，0，0)，球面方程為x2+y2+z2=R2。設(shè)Ω的重心為，由對稱性，得而-2xR是關(guān)于x的奇函數(shù)，所以知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)減少，且發(fā)散，試問級數(shù)是否收斂?并說明理由。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)遞減，所以極限存在，將極限記為a，則有an≥a，且a≥0。又因?yàn)槭前l(fā)散的，根據(jù)萊布尼茨交錯級數(shù)判別法可知a＞0(否則級數(shù)是收斂的)。已知正項(xiàng)級數(shù){an}單調(diào)遞減，所以而收斂，因此根據(jù)比較判別法可知，級數(shù)也是收斂的。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)為某函數(shù)的全微分，則a為()．A、一1B、0C、1D、2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：2、設(shè)L為由y2=x+3及x=2圍成的區(qū)域的邊界，取逆時針方向，則等于()．A、一2πB、2πC、πD、0標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：取Cr：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L內(nèi)，取逆時針)，3、設(shè)∑：x2+y2+z2=1(z≥0)，∑1為∑在第一卦限的部分，則()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：4、設(shè)曲面∑是z=x2+y2介于z=0與z=4之間的部分，則等于()A、2πe4B、π(e4一1)C、2π(e4一1)D、πe4標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)5、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：6、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：7、標(biāo)準(zhǔn)答案：8π知識點(diǎn)解析：8、標(biāo)準(zhǔn)答案：36l知識點(diǎn)解析：9、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：10、標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：11、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：12、設(shè)S為平面x一2y+z=1位于第四卦限的部分，則標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：三、解答題(本題共37題，每題1.0分，共37分。)13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析14、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析15、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析16、計(jì)算∫L(xy2+y)dx+(x2y+x)dy，其中(1)L從原點(diǎn)沿直線y=x到點(diǎn)(1，1)；(2)L從原點(diǎn)沿拋物線y=x2到點(diǎn)(1，1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析17、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析18、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析19、求，其中L為x2+y2=a2上從點(diǎn)A(a，0)沿逆時針方向到點(diǎn)B(一12，0)的有向曲線段，其中a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：取L0：y=0(起點(diǎn)x=一a，終點(diǎn)x=a)，知識點(diǎn)解析：暫無解析20、計(jì)算其中L為由點(diǎn)A(2，0)沿心形線r=1+cosθ上側(cè)到原點(diǎn)的有向曲線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：令L1：y=0(起點(diǎn)x=0，終點(diǎn)x=2)，則知識點(diǎn)解析：暫無解析21、在過點(diǎn)O(0，0)和A(π，0)的曲線族y=asinx(a＞0)中，求一條曲線L，使沿該曲線從點(diǎn)O到A的積分I=∫I(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析22、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析23、標(biāo)準(zhǔn)答案：令P(x，y)=xy2，Q(x，y)=yφ(x)，知識點(diǎn)解析：暫無解析24、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析25、計(jì)算，其中L為x2+y2=1從點(diǎn)A(1，0)經(jīng)過B(0，1)到C(一1，0)的曲線段．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析26、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析27、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析29、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析30、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析31、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析32、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析33、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析34、標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ω是∑所圍成的區(qū)域，它在xOz平面上的投影區(qū)域?yàn)閤2+z2≤1，由高斯公式得知識點(diǎn)解析：暫無解析35、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析36、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析37、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析38、設(shè)∑是球面x2+y2+z2=4(z≥0)的外側(cè)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析39、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析40、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析41、設(shè)f(x，y，z)是連續(xù)函數(shù)，∑是平面x—y+z一1=0在第四卦限部分的上側(cè)，計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析42、計(jì)算其中∑是z=x2+4y2(0≤z≤4)的上側(cè)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析43、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析44、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析45、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析46、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析47、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析48、對右半空間x＞0內(nèi)的任意光滑有側(cè)封閉曲面∑，有其中f(x)在(0，+∞)內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且f(0+0)=1，求f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由高斯公式得知識點(diǎn)解析：暫無解析49、設(shè)向量場A={xz2+y2，x2y+z2，y2z+x2)，求rotA及divA．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當(dāng)x→0時，ex-(ax2+bx+1)是比x2高階的無窮小，則()A、a=，b=1。B、a=1，b=1。C、a=，b=-1。D、a=-1，b=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：因ex=1+x++o(x2)，故ex-(ax2+bx+1)=(1-b)x++o(x2)。顯然要使上式是比x2高階的無窮小(x→0時)，只要故選A。2、ln(1+t)dt=()A、ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。B、ln(1+lnx)-ln(1+2x)。C、ln(1+lnx)-ln(1+2x)。D、ln(1+lnx)-2ln(1+2x)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：故選A。3、設(shè)，則在x=a處()A、f(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且f’(a)≠0。B、f(x)取得極大值。C、f(x)取得極小值。D、f(x)的導(dǎo)數(shù)不存在。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：利用賦值法求解。取f(x)-f(a)=-(x-a)2，顯然滿足題設(shè)條件，而此時f(x)為一開口向下的拋物線，必在其頂點(diǎn)x=a處取得極大值，故選B。4、曲線r=aebθ的(a＞0，b＞0)從θ=0到θ=α(α＞0)的一段弧長為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：利用極坐標(biāo)表示曲線的弧長公式，故選A。5、直線L1：之間的關(guān)系是()A、L1∥L2。B、L1與L2相交但不垂直。C、L1上L2且相交。D、L1，L2是異面直線。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：直線L1與L2的方向向量分別為由于，即l1∥l2，所以L1∥L2。6、設(shè)∑為球面x2+y2+z2=R2，cosθ，cosθ，cosγ為該球面外法線向量的方向余弦，則(x3cosα+y3cosβ+z3cosγ)ds等于()A、4πR3。B、21πR3。C、3πR4。D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：7、設(shè)0≤an＜(n=1，2，…)，則下列級數(shù)中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：由0≤an＜可知，0≤收斂及正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法知，級數(shù)收斂，從而絕對收斂。故選D。8、若y=xex+x是微分方程y’’-2y’+ay=bx+c的解，則()A、a=1，b=1，c=1。B、a=1，b=1，c=-2。C、a=-3，b=-3，c=0。D、a=-3，b=1，c=1。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于y=xex+x是方程y’’-2y’+ay=bx+c的解，所以xex是對應(yīng)的齊次方程的解，其特征方程有二重根r1=r2=1，則a=1；x為非齊次方程的解，將y=x代入方程y’’-2y’+y=bx+c，得b=1，c=-2，故選B。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)9、=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：應(yīng)用等價無窮小因子代換。因?yàn)?0、已知=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：11、=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：ln2知識點(diǎn)解析：原式整理得12、點(diǎn)A(4，-3，1)在平面∏：x+2y-z-3=0上的投影是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：(5，-1，0)知識點(diǎn)解析：根據(jù)題意，由點(diǎn)A向平面∏作垂線L，其參數(shù)方程為：x=t+4，y=2t-3，z=-t+1，代入到平面∏的方程得(t+4)+2(2t-3)-(-t+1)-3=0，解得t=1。故L與平面∏的交點(diǎn)是(5，-1，0)，即投影點(diǎn)是(5，-1，0)。13、設(shè)f(x，y)=在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)，則a=_____。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：因?yàn)槔脢A逼原理知。又知f(0，0)=a，所以當(dāng)a=0時，f(x，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù)。14、設(shè)L為曲線y=上從O(0，0)到的曲線段，則cosy2dx-2xysiny2dy=_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：-1知識點(diǎn)解析：因?yàn)?-2xysiny2)=-2ysiny2，則該曲線積分與路徑無關(guān)。又cosy2dx-2xysiny2dy=d(xcosy2)，則15、無窮級數(shù)的收斂區(qū)間為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：冪級數(shù)的系數(shù)為an=，根據(jù)收斂半徑的判斷方法，有16、微分方程y’’-2y’+2y=ex的通解為_______。標(biāo)準(zhǔn)答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知識點(diǎn)解析：對應(yīng)的特征方程為r2-2r+2=0，解得其特征根為r1,2=1±i。由于α=1不是特征根，可設(shè)原方程的特解為y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解為y=C1excosx+C2exsinx+ex。三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)17、設(shè)f(x)=，求常數(shù)a與b的值，使f(x)在(-∞，+∞)上處處連續(xù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)｜x｜＞1時,f(x)=當(dāng)x=1時，f(x)=當(dāng)x=-1時,f(x)=當(dāng)｜x｜＜1時，f(x)=所以解得a=0，b=1。知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)g(x)=其中f(x)在x=0處二階可導(dǎo)，且f(0)=f’(0)=1。(Ⅰ)a、b為何值時，g(x)在x=0處連續(xù)；(Ⅱ)a、b為何值時，g(x)在x=0處可導(dǎo)。標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)若要g(x)在x=0處連續(xù)，必須=g(0)，即b=-1。故b=-1，a為任意實(shí)數(shù)時，g(x)在x=0處連續(xù)。(Ⅱ)若g(x)在x=0處可導(dǎo)，則g(x)在x=0處連續(xù)(b=-1)，且g’-(0)=g’+(0)，所以當(dāng)a=[f’’(0)-1]，b=-1時，g(x)在x=0處可導(dǎo)。知識點(diǎn)解析：暫無解析19、假設(shè)函數(shù)f(x)和g(x)在[a，b]上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g’’(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，試證：(Ⅰ)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)g(x)≠0；(Ⅱ)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用反證法。假設(shè)存在c∈(a，b)，使得g(c)=0，則對g(x)在[a，c]和[c，b]上分別應(yīng)用羅爾定理，可知存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c，b)，使得g’(ξ1)=g’(ξ2)=0成立。再對g’(x)在區(qū)間[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理，可知存在ξ1∈(ξ1，ξ2)，使得g’’(ξ3)=0成立，這與題設(shè)條件g’’(x)≠0矛盾，因此在開區(qū)間(a，b)內(nèi)，g(x)≠0。(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g’(x)-g(x)f’(x)，由題設(shè)條件得函數(shù)F(x)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，在區(qū)間(a，b)上是可導(dǎo)的，且滿足F(a)=F(b)=0。根據(jù)羅爾定理可知，存在點(diǎn)ξ∈(a，b)，使得F’(ξ)=0。即f(ξ)g’’(ξ)-f’’(ξ)g(ξ)=0，因此可得知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[0，a]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，證明至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，a]，使得標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知因?yàn)閒’(x)連續(xù)，所以f’(x)在[0，a]上存在最小值m和最大值M，則m(a-x)≤(a-x)f’(x)≤M(a-x)，故，再由介值定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈[0，a]，使得知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)函數(shù)z=f(x，y)在點(diǎn)(1，1)可微，且f(1，I)=1，fx(1，1)=2，fy(1，1)=3，φ(x)=f(x，f(x，x))，求標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知得φ(1)=f(1，f(1，1))=f(1，1)=1，而=3φ2(1)φ’(1)=3φ’(1)。由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得φ’(x)=f’1(x，f(x，x))+f’2(x，f(x，x))φ’(1)=f’1(1，1)+f’2(1，1)[f’1(1，1)+f’2(1，1)]。又因所以φ’(1)=2+3×(2+3)=17，=3×17=51。知識點(diǎn)解析：暫無解析22、求二元函數(shù)z=f(x，y)=x2y(4-x-y)在直線x+y=6，x軸與y軸圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值。標(biāo)準(zhǔn)答案：先求在D內(nèi)的駐點(diǎn)，即令因此在D內(nèi)只有駐點(diǎn)(2，1)相應(yīng)的函數(shù)值為f(2，1)=4。再求f(x，y)在D邊界上的最值：(1)在x軸上y=0，所以f(x，0)=0。(2)在y軸上x=0，所以f(0，y)=0。(3)在x+y=6上，將y=6-x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x-6)=g(x)，則由g’(x)=6x2-24x=0，得x=0(舍)，x=4，此時y=2。相應(yīng)的函數(shù)值f(4，2)=-64。綜上所述，最大值為f(2，1)=4，最小值為f(4，2)=-64。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、求二重積分，其中D是由曲線r=2(1+cosθ)的上半部分與極軸所圍成的區(qū)域。標(biāo)準(zhǔn)答案：積分區(qū)域D如圖1-6-7所示，D的極坐標(biāo)表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，知識點(diǎn)解析：暫無解析24、計(jì)算I=(y2-z2)dx+(2z2-x2)dy+(3x2-y2)dz，其中L是平面z+y+z=2與柱面｜x｜+｜y｜=1的交線，從z軸正向看去，L為逆時針方向。標(biāo)準(zhǔn)答案：記∑為平面x+y+z=2上L所圍部分。由L的定向，按右手法則知∑取上側(cè)，∑的單位法向量由斯托克斯公式得由z=2-x-y可得按第一類曲面積分化為二重積分得：其中D為∑在xOy平面上的投影區(qū)域｜x｜+｜y｜≤1(如圖1-6-13所示)。由D關(guān)于x，y軸的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性得知識點(diǎn)解析：暫無解析25、求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)樗援?dāng)x2＜1，即-1＜x＜1時，原冪級數(shù)絕對收斂。當(dāng)x=±1時，級數(shù)為，顯然收斂，故原冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇-1，1]。因?yàn)橛謋(0)=0，所以故收斂域?yàn)閇-1，1]，和函數(shù)s(x)=xarctanx。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（高等數(shù)學(xué)）模擬試卷第9套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)函數(shù)f(x)=在(-∞，+∞)內(nèi)連續(xù)，且，則常數(shù)a，b滿足()A、a＜0，b＜0。B、a＞0，b＞0。C、a≤0，b＞0。D、a≥0，b＜0。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因f(x)連續(xù)，故a+ebx≠O，因此只要a≥0即可。再由可知x→-∞時，a+ebx必為無窮大(否則極限必不存在)，此時需b＜0，故選D。2、設(shè)f(x)=｜(x-1)(x-2)2(x-3)3｜，則導(dǎo)數(shù)f’(x)不存在的點(diǎn)的個數(shù)是()A、0。B、1。C、2。D、3。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：設(shè)φ(x)=(x-1)(x-2)2(x-3)3，則f(x)=｜φ(x)｜。使φ(x)=0的點(diǎn)x=1，x=2，x=3可能是f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)，還需考慮φ’(x)在這些點(diǎn)的值。φ’(x)=(x-2)2(x-3