四川省德陽市羅江中學2025年高三聯(lián)考數(shù)學試題科試題含解析

四川省德陽市羅江中學2025年高三聯(lián)考數(shù)學試題科試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，，則（）A． B． C． D．2．已知正四面體的內切球體積為v，外接球的體積為V，則（）A．4 B．8 C．9 D．273．若，滿足約束條件，則的取值范圍為（）A． B． C． D．4．若雙曲線的離心率為，則雙曲線的焦距為（）A． B． C．6 D．85．函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位6．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，P是雙曲線E上的一點，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點M，且M為的中點，則雙曲線E的漸近線方程為()A． B． C． D．7．的內角的對邊分別為，若，則內角（）A． B． C． D．8．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．9．已知正項數(shù)列滿足：，設，當最小時，的值為()A． B． C． D．10．已知實數(shù)滿足則的最大值為（）A．2 B． C．1 D．011．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B．C． D．12．已知，，分別是三個內角，，的對邊，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線（，）的左，右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左，右兩支分別交于，兩點，若，，則雙曲線的離心率為__________.14．已知函數(shù)，若方程的解為，（），則_______；_______．15．若向量滿足，則實數(shù)的取值范圍是____________.16．六位同學坐在一排，現(xiàn)讓六位同學重新坐，恰有兩位同學坐自己原來的位置，則不同的坐法有________種（用數(shù)字回答）.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）已知數(shù)列的各項都為正數(shù)，，且．（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，，求數(shù)列的前2020項和．19．（12分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是.（1）寫出的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）已知點、的極坐標分別為和，直線與曲線相交于，兩點，射線與曲線相交于點，射線與曲線相交于點，求的值.20．（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點．（1）求異面直線AP，BM所成角的余弦值；（2）點N在線段AD上，且AN＝λ，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求λ的值．21．（12分）已知函數(shù)f(x)=ex-x2-kx（其中e為自然對數(shù)的底，k為常數(shù)）有一個極大值點和一個極小值點．（1）求實數(shù)k的取值范圍；（2）證明：f(x)的極大值不小于1．22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為；直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.直線l與曲線C分別交于M，N兩點.（1）寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；（2）若點P的極坐標為，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

集合是一次不等式的解集，分別求出再求交集即可【詳解】，，則故選本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算，屬于基礎題．2．D【解析】

設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，首先求出正四面體的體積，再利用等體法求出內切球的半徑，在中，根據(jù)勾股定理求出外接球的半徑，利用球的體積公式即可求解.【詳解】設正四面體的棱長為，取的中點為，連接，作正四面體的高為，則，，，設內切球的半徑為，內切球的球心為，則，解得：；設外接球的半徑為，外接球的球心為，則或，，在中，由勾股定理得：，，解得，，故選：D本題主要考查了多面體的內切球、外接球問題，考查了椎體的體積公式以及球的體積公式，需熟記幾何體的體積公式，屬于基礎題.3．B【解析】

根據(jù)約束條件作出可行域，找到使直線的截距取最值得點，相應坐標代入即可求得取值范圍.【詳解】畫出可行域，如圖所示：由圖可知，當直線經(jīng)過點時，取得最小值－5；經(jīng)過點時，取得最大值5，故.故選：B本題考查根據(jù)線性規(guī)劃求范圍，屬于基礎題.4．A【解析】

依題意可得，再根據(jù)離心率求出，即可求出，從而得解；【詳解】解：∵雙曲線的離心率為，所以，∴，∴，雙曲線的焦距為.故選：A本題考查雙曲線的簡單幾何性質，屬于基礎題.5．A【解析】依題意有的周期為.而，故應左移.6．C【解析】

由雙曲線定義得，，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關系，從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意，點P一定在左支上.由及，得，，再結合M為的中點，得，又因為OM是的中位線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個交點.在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點三角形等知識，是一道中檔題.7．C【解析】

由正弦定理化邊為角，由三角函數(shù)恒等變換可得．【詳解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故選：C．本題考查正弦定理，考查兩角和的正弦公式和誘導公式，掌握正弦定理的邊角互化是解題關鍵．8．C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．9．B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當且僅當時取得最小值，此時.故選：B本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應用，基本不等式求最值，考查了學生的運算求解能力.10．B【解析】

作出可行域，平移目標直線即可求解.【詳解】解：作出可行域：由得，由圖形知，經(jīng)過點時，其截距最大，此時最大得，當時，故選：B考查線性規(guī)劃，是基礎題.11．A【解析】

根據(jù)題意，可得幾何體，利用體積計算即可.【詳解】由題意，該幾何體如圖所示：該幾何體的體積.故選：A.本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算，屬于基礎題．12．C【解析】

原式由正弦定理化簡得，由于，可求的值.【詳解】解：由及正弦定理得.因為，所以代入上式化簡得.由于，所以.又，故.故選：C.本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設，由雙曲線的定義得出：，由得為等腰三角形，設，根據(jù)，可求出，得出，再結合焦點三角形，利用余弦定理：求出和的關系，即可得出離心率.【詳解】解：設，由雙曲線的定義得出：，，由圖可知：，又，即，則，為等腰三角形，，設，，則，，即，解得：，則，，解得：，，解得：，，在中，由余弦定理得：，即：，解得：，即.故答案為：.本題考查雙曲線的定義的應用，以及余弦定理的應用，求雙曲線離心率.14．【解析】

求出在上的對稱軸，依據(jù)對稱性可得的值;由可得，依據(jù)可求出的值.【詳解】解：令，解得因為，所以關于對稱.則.由，則由可知，，又因為，所以，則，即故答案為:;.本題考查了三角函數(shù)的對稱軸，考查了誘導公式，考查了同角三角函數(shù)的基本關系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍，導致求出.在求的對稱軸時，常用整體代入法，即令進行求解.15．【解析】

根據(jù)題意計算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學生的計算能力.16．135【解析】

根據(jù)題意先確定2個人位置不變，共有種選擇，再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意先確定2個人位置不變，共有種選擇.再確定4個人坐4個位置，但是不能坐原來的位置，共有種選擇，故不同的坐法有.故答案為：.本題考查了分步乘法原理，意在考查學生的計算能力和應用能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）.（2）.【解析】試題分析：（Ⅰ）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集即可；（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可．試題解析：（1）不等式等價于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），，，解得實數(shù)的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）4953【解析】

（Ⅰ）遞推公式變形為，由數(shù)列是正項數(shù)列，得到，根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列求通項公式；（Ⅱ），根據(jù)新定義和對數(shù)的運算分類討論數(shù)列的通項公式，并求前2020項和．【詳解】（Ⅰ）∵，∴，∴又∵數(shù)列的各項都為正數(shù)，∴，即．∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴．（Ⅱ）∵，∴，．∴數(shù)列的前2020項的和為．本題考查根據(jù)數(shù)列的遞推公式求通項公式和數(shù)列的前項和，意在考查轉化與化歸的思想，計算能力，屬于中檔題型.19．（1）線的普通方程為，曲線的直角坐標方程為；（2）.【解析】試題分析：（1）（1）利用cos2θ+sin2θ=1，即可曲線C1的參數(shù)方程化為普通方程，進而利用即可化為極坐標方程，同理可得曲線C2的直角坐標方程；

（2）由過的圓心，得得，設，，代入中即可得解.試題解析：（1）曲線的普通方程為，化成極坐標方程為曲線的直角坐標方程為（2）在直角坐標系下，，，恰好過的圓心，

∴由得，是橢圓上的兩點，在極坐標下，設，分別代入中，有和∴，則，即20．（1）.（2）1【解析】

（1）先根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.（2，由AN＝λ，設N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一個法向量，利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.【詳解】（1）因為PA⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因為∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因為M為PC的中點，所以M(1，1，2)．所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.（2）因為AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．設平面PBC的法向量為＝(x,y,z)，則即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以＝(2，0，1)是平面PBC的一個法向量．因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值為1.本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，線面角的求法及應用，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21．（1）；（2）見解析【解析】

（1）求出，記，問題轉化為方程有兩個不同解，求導，研究極值即可得結果；（2）由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，則可求出極大值，記，求導，求單調性，求出極值即可.【詳解】（1），由，記，，由，且時，，單調遞減，，時，，單調遞增，，由題意，方程有兩個不同解，所以；（2）解法一：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，記，則，因為，所以，所以時，，單調遞減，時，，單調遞增，所以，即函數(shù)的極大值不小于1.解法二：由（1）知，在區(qū)間上存在極大值點，且，所以的極大值為，因為，，所以.即函數(shù)的極大值不小于1.本題考查導數(shù)研究函數(shù)的單調性，極值，考查學生綜合分析能力與轉化能力，是一道中檔題.22．（1），；（2）