空間直線平面的垂直課件 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

第四節(jié)空間直線、平面的垂直課前自主預(yù)習(xí)案課堂互動(dòng)探究案課前自主預(yù)習(xí)案必

備

知

識(shí)1.直線與平面垂直(1)定義：一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的________．直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足．垂線垂面(2)判定定理與性質(zhì)定理定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，“相交”是定理的關(guān)鍵詞，應(yīng)用定理時(shí)不能省略那么該直線與此平面垂直性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線________平行a⊥α2.平面與平面垂直(1)定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是________，就說這兩個(gè)平面互相垂直．直二面角(2)判定定理與性質(zhì)定理定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理實(shí)際應(yīng)用：找出一個(gè)平面的垂面的依據(jù)如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的______，那么這兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一定不能漏掉“垂直于交線”這一條件一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直垂線b⊥α【常用結(jié)論】1．若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意直線．2．若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．3．垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行．4．一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)，則這條直線與另一個(gè)平面也垂直．5．兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．夯

實(shí)

基

礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則a∥c.(

)(2)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.(

)(3)若兩個(gè)平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．(

)(4)垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行．(

)××××2．(教材改編)已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(

)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l

D．m⊥n答案：C解析：對(duì)于A，m與l可能平行或異面，故A錯(cuò)；對(duì)于B、D，m與n可能平行、相交或異面，故B、D錯(cuò)；對(duì)于C，因?yàn)閚⊥β，l?β，所以n⊥l，故C正確．故選C.3．(教材改編)在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O.(1)若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心．答案：(1)外(2)垂解析：(1)如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．(2)如圖2，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交BC，AC，AB于H，D，G．∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB上的高．同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．4．(易錯(cuò))“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直”是“直線與平面α垂直”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：B解析：根據(jù)直線垂直平面的定義，由“直線與平面α垂直”可推出“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”，反之不能由“直線與平面α內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”推出“直線與平面α垂直”．故選B.

答案：5

因?yàn)镻A?平面PAB，PA?平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，因?yàn)锳B⊥AD，AB⊥PA，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，因?yàn)锳B?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，同理可得BC⊥平面PAB，BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，因?yàn)锳B∥CD，所以CD⊥平面PAD，CD?平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD，故互相垂直的面有5對(duì)．課堂互動(dòng)探究案1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關(guān)系，并會(huì)證明．2．掌握直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用．問題思考·夯實(shí)技能【問題1】如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線就垂直于這個(gè)平面嗎？提示：不一定．如圖，當(dāng)平面α內(nèi)的無數(shù)條直線a，b，c，…都互相平行時(shí)，直線l在保證與直線a，b，c，…都垂直的條件下，與平面α可能平行、垂直也可能斜交．【問題2】當(dāng)兩個(gè)平面互相垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)一條直線垂直另一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線？提示：不一定．當(dāng)兩個(gè)平面互相垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的一條直線只有垂直于這兩個(gè)平面的交線時(shí)，這條直線才垂直于另一個(gè)平面．

題后師說證明直線與平面垂直的常用方法(1)判定定理，它是最常用的思路．(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)．(3)面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)．(4)面面垂直的性質(zhì)．鞏固訓(xùn)練1如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．(1)證明：CD⊥AE；(2)證明：PD⊥平面ABE.證明：(1)在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∵AE?平面PAC，故CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得PA＝AC，∵E是PC的中點(diǎn)，∴AE⊥PC，由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD?平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內(nèi)的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.題型二

平面與平面垂直的判定與性質(zhì)例2[2023·全國(guó)乙卷]如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)證明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)設(shè)AB＝A1B，AA1＝2，求四棱錐A1-BB1C1C的高．解析：(1)證明：因?yàn)锳1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以A1C⊥BC，因?yàn)椤螦CB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC?平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC?平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)如圖，過點(diǎn)A1作A1H⊥CC1，交CC1于點(diǎn)H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H?平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱錐A1-BB1C1C的高為A1H.

題后師說(1)面面垂直的方法：①面面垂直的定義．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性質(zhì)的應(yīng)用：①面面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的依據(jù)，運(yùn)用時(shí)要注意“平面內(nèi)的直線”．②若兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，則它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．

解析：(1)證明：依題意平面EFM∥平面SCD，由于平面EFM∩平面ABCD＝EM，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以EM∥CD，由于正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，所以M是線段BC的中點(diǎn)．(2)證明：由于平面SAD⊥平面ABCD，且交線為AD，由于CD⊥AD，CD?平面ABCD，所以CD⊥平面SAD，由于CD?平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD.

題后師說(1)對(duì)于三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化．(2)對(duì)于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證．

1．[2024·廣東深圳模擬]若直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面α外，則“b⊥a”是“b⊥α”的(

)A．充要條件

B．既不充分也不必要條件C．充分不必要條件

D．必要不充分條件答案：D解析：如圖所示，若直線b與平面α相交點(diǎn)A，但不垂直時(shí)，當(dāng)直線a垂直于直線b在平面α內(nèi)的射影，此時(shí)b⊥a，得不出b⊥α.因?yàn)閎⊥α，且直線a在平面α內(nèi)，所以b⊥a，則“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分條件，故選D.2．空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是(

)A．平行B．垂直C．相交D．不確定答案：B解析：因?yàn)槿切蔚膬蛇匒C，BC有交點(diǎn)C，且直線l和AC，BC同時(shí)垂直，所以該直線垂直平面ABC，故該直線與AB垂直．故選B.3．[2024·九省聯(lián)考]設(shè)α，β是兩個(gè)平面，m，l是兩條直線，則下列命題為真命題的是(

)A．若α⊥β，m∥α，l∥β，則m⊥lB．若m?α，l?β，m∥l，則α∥βC．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，則m∥lD．若m⊥α，l⊥β，m∥l，則α⊥β答案：C