第五章平面向量與復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)默寫(xiě) 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)

默寫(xiě)小紙條第五章平面向量與復(fù)數(shù)向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小稱為向量的____(或稱

).(2)零向量：長(zhǎng)度為

的向量，記作

.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于

的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量

.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向

的向量.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向

的向量.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有

的量叫做向量，向量的大小稱為向量的____(或稱

).(2)零向量：長(zhǎng)度為

的向量，記作

.(3)單位向量：長(zhǎng)度等于

的向量.(4)平行向量：方向相同或

的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量

.(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向

的向量.(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向

的向量.方向長(zhǎng)度模0

1個(gè)單位長(zhǎng)度相反平行相同相反向量的線性運(yùn)算1向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法

交換律：a＋b＝

；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_________減法

a－b＝a＋(－b)口訣:“

,

”口訣:“

,

”口訣:“，，”向量的線性運(yùn)算1向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法

交換律：a＋b＝

；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝_________b＋aa＋(b＋c)減法

a－b＝a＋(－b)口訣:“

首尾相接，首尾連”口訣:“

共起點(diǎn)，對(duì)角連”口訣:“共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量”向量的線性運(yùn)算2向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘|λa|＝

，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝___λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝_______2.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.向量的線性運(yùn)算2向量運(yùn)算法則(或幾何意義)運(yùn)算律數(shù)乘|λa|＝

，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝___λ(μa)＝

；(λ＋μ)a＝

；λ(a＋b)＝_______相同相反(λμ)aλa＋μaλa＋λb|λ||a|

2.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使

.b＝λa常用結(jié)論4.對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有

≤|a±b|≤

.

常用結(jié)論4.對(duì)于任意兩個(gè)向量a，b，都有

≤|a±b|≤

.||a|－|b|||a|＋|b|

重心

單位向量

平面向量基本定理及坐標(biāo)表示11.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，

一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝

.若e1，e2不共線,我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)

的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝

.平面向量基本定理及坐標(biāo)表示2(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?

.5.已知△ABC,A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，P為線段AB的中點(diǎn),則P(

,

)，△ABC重心為G，則G(

,

).平面向量基本定理及坐標(biāo)表示11.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)

向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，

一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝

.若e1，e2不共線,我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)

.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)

的向量，叫做把向量作正交分解.不共線有且只有基底互相垂直λ1e1＋λ2e23.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝

，a－b＝

，λa＝

，|a|＝

.(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示2(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則

坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).終點(diǎn)(x2－x1，y2－y1)4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?

.x1y2－x2y1＝05.已知△ABC,A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，P為線段AB的中點(diǎn),則P(

,

)，△ABC重心為G，則G(

,

).

平面向量數(shù)量積11.向量的夾角2.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量

叫做向量a與b的數(shù)量積，記作

.

平面向量數(shù)量積11.向量的夾角∠AOB2.平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量

叫做向量a與b的數(shù)量積，記作

.|a||b|cosθa·b0

投影向量

平面向量數(shù)量積24.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝

.(2)(λa)·b＝

＝

.(3)(a＋b)·c＝

.5.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.

幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_____|a|＝________夾角,,a⊥b的充要條件|a·b|與|a||b|的關(guān)系平面向量數(shù)量積24.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝

.(2)(λa)·b＝

＝

.(3)(a＋b)·c＝

.b·aa·(λb)a·c＋b·cλ(a·b)5.已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.

幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cosθa·b＝__________模|a|＝_____|a|＝________夾角,,a⊥b的充要條件a·b＝0|a·b|與|a||b|的關(guān)系x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤平面向量數(shù)量積31.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝

；

(2)(a±b)2＝

.2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(a與b為非零向量)(1)若a與b的夾角為銳角，則

；若a·b>0，則a與b的夾角為

.(2)若a與b的夾角為鈍角，則

；若a·b<0，則a與b的夾角為

.常用結(jié)論平面向量數(shù)量積31.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝

；

(2)(a±b)2＝

.2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(a與b為非零向量)(1)若a與b的夾角為銳角，則

；若a·b>0，則a與b的夾角為

.(2)若a與b的夾角為鈍角，則

；若a·b<0，則a與b的夾角為

.常用結(jié)論a2－b2a2±2a·b＋b2銳角或0a·b>0a·b<0鈍角或π

*極化恒等式1.極化恒等式在平面向量中：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，2.幾何解釋*極化恒等式1.極化恒等式在平面向量中：(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b，(a－b)2＝a2＋b2－2a·b，2.幾何解釋復(fù)數(shù)11.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中

是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，

是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位.(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)實(shí)數(shù)(b

0)，虛數(shù)(b

0)(當(dāng)a

0時(shí)為純虛數(shù)).a(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?

(a，b，c，d∈R).復(fù)數(shù)11.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中

是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，

是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位.(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)實(shí)數(shù)(b

0)，虛數(shù)(b

0)(當(dāng)a

0時(shí)為純虛數(shù)).ab＝≠＝(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?

(a，b，c，d∈R).a＝c且b＝d(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?

(a，b，c，d∈R).(5)復(fù)數(shù)的模：向量

的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作

或

，即|z|＝|a＋bi|＝

(a，b∈R).2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z

.(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量

.復(fù)數(shù)2復(fù)數(shù)2(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?

(a，b，c，d∈R).(5)復(fù)數(shù)的模：向量

的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作

或

，即|z|＝|a＋bi|＝

(a，b∈R).a＝c，b＝－d|z||a＋bi|2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z

.(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量

.(a，b)復(fù)數(shù)33.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝

；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝

；復(fù)數(shù)33.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝

；(a＋c)＋(b＋d)i②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝

；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝

；(a－c)＋(b－d)i(ac－bd)＋(ad＋bc)i復(fù)數(shù)4(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行.如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即

＝

，

＝

.4.復(fù)數(shù)常用結(jié)論(2)i4n＝

，i4n＋1＝

，