廣西河池市宜州區(qū)2024屆九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(含解析)

2023-2024學(xué)年廣西河池市宜州區(qū)九年級第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每小題中只有一個選項符合要求，每小題3分，共36分。）1．下面圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）A．趙爽弦圖 B．笛卡爾心形線 C．科克曲線 D．斐波那契螺旋線解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不合題意；D、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意．故選：A．2．下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A．x2+xy+2＝0 B． C．x2+x+1＝0 D．a(chǎn)x2+bx+c＝0解：A．x2+xy+2＝0，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B．是分式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；C．x2+x+1＝0是一元二次方程，故本選項符合題意；D．當a＝0時，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本選項不符合題意．故選：C．3．一元二次方程y2﹣y﹣＝0配方后可化為（）A．（y+）2＝1 B．（y﹣）2＝1 C．（y+）2＝ D．（y﹣）2＝解：y2﹣y﹣＝0y2﹣y＝y(tǒng)2﹣y+＝1（y﹣）2＝1故選：B．4．解方程（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0的最適當?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法解：（x﹣1）2﹣3（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1﹣3）＝0，x﹣1＝0或x﹣4＝0，解得x1＝1，x2＝4．所以此方程利用因式分解法最適當．故選：D．5．要得到拋物線y＝2（x﹣3）2﹣2，可以將拋物線y＝2x2（）A．向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度 B．向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度 C．向右平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度 D．向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度解：∵拋物線y＝2x2的頂點坐標為（0，0），拋物線y＝2（x﹣3）2﹣2的頂點坐標為（3，﹣2），∴平移的方法可以是向右平移3個單位，再向下平移2個單位．故選：D．6．拋物線y＝x2+1的圖象大致是（）A． B． C． D．解：拋物線y＝x2+1的圖象開口向上，且頂點坐標為（0，1）．故選C．7．平面直角坐標系內(nèi)，與點P（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（）A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）解：與點P（﹣3，2）關(guān)于原點對稱的點的坐標是（3，﹣2），故選：A．8．一個微信群里共有x個好友，每個好友都分別給群里的其他好友發(fā)一條信息，共發(fā)信息756條，則可列方程（）A． B． C．x（x﹣1）＝756 D．x（x+1）＝756解：根據(jù)題意得：x（x﹣1）＝756．故選：C．9．如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝3，x2＝1，那么這個一元二次方程是（）A．x2+3x+4＝0 B．x2﹣4x+3＝0 C．x2+4x﹣3＝0 D．x2+3x﹣4＝0解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0的兩根分別為x1＝3，x2＝1，∴3+1＝﹣p，3×1＝q，∴p＝﹣4，q＝3，故選：B．10．如圖，將邊長為的正方形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A′BC′D′，AD與C′D′交于點M，那么圖中點M的坐標為（）A． B． C． D．解：∵四邊形ABCD是邊長為的正方形，正方形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°得到正方形A′BC′D′，∴，∠BAM＝∠BC′M＝90°，在Rt△ABM和Rt△C′BM中，，∴Rt△ABM≌Rt△C′BM（HL），∴∠1＝∠2，∵將邊長為的正方形ABCD繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)30°，∴∠CBC′＝30°，∴∠1＝∠2＝30°，在Rt△ABM中，，∴，∴AM＝1，∴點M的坐標為，故選：B．11．在平面直角坐標系xOy中，點A（﹣1，2），B（2，3），y＝ax2的圖象如圖所示，則a的值可以為（）A．0.7 B．0.9 C．2 D．2.1解：∵x＝﹣1時，y＜2，即a＜2；當x＝2時，y＞3，即4a＞3，解得a＞，所以＜a＜2．故選：B．12．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④對于方程ax2+bx+c﹣2＝0，有兩個不相等的實數(shù)根，其中正確的有（）A．①② B．①②④ C．③④ D．①②③④解：∵拋物線與x軸有2個交點，∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，而點（﹣1，0）關(guān)于直線x＝1的對稱點的坐標為（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正確；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1時，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，即a＝﹣，所以③錯誤；∵拋物線與x軸的兩點坐標為（﹣1，0），（3，0），∴ax2+bx+c﹣2＝0，ax2+bx+c＝2，y＝2時由兩個x的值，所以④正確．故選：B．二、填空題（每小題2分，共12分，請將答案填在答題卡上對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)。）13．一元二次方程x2﹣2＝4x的一次項是﹣4x．解：x2﹣2＝4x，x2﹣4x﹣2＝0，所以一次項是﹣4x，故答案為：﹣4x．14．正五形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)72度后能與自身重合．解：該圖形被平分成五部分，旋轉(zhuǎn)72°的整數(shù)倍，就可以與自身重合，所以五形繞其中心至少旋轉(zhuǎn)72度后能與自身重合．故答案為：72．15．拋物線y＝﹣2（x﹣1）2+3的頂點坐標是（1，3）．解：y＝﹣2（x﹣1）2+3的頂點坐標為（1，3）．故答案為（1，3）．16．關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為9．解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝0，即62﹣4×1×m＝0，解得m＝9．故答案為：9．17．如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在BC邊上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，則旋轉(zhuǎn)角α的大小是50°．解：設(shè)AC交DE于點O．∵DE⊥AC，∴∠AOD＝90°，∵∠CAD＝25°，∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠ADE＝65°，∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．故答案為：50．18．函數(shù)y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，則實數(shù)a的值是﹣1或．解：二次函數(shù)y＝x2﹣2ax﹣2的對稱軸為x＝﹣＝a，由題意，分以下三種情況：（1）當a≤﹣1時，在﹣1≤x≤2內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當x＝2時，y取得最大值，最大值為4﹣4a﹣2＝2﹣4a，∴2﹣4a＝6，解得：a＝﹣1，符合題設(shè)；（2）當﹣1＜a＜2時，在﹣1≤x≤2內(nèi)，當﹣1≤x≤a時，y隨x的增大而減小，當a＜x≤2時，y隨x的增大而增大，則當x＝﹣1或x＝2時，y取得最大值，因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，解得：a＝或a＝﹣1（均不符題設(shè)，舍去）；（3）當a≥2時，在﹣1≤x≤2內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當x＝﹣1時，y取得最大值，最大值為1+2a﹣2＝2a﹣1，因此有2a﹣1＝6，解得a＝，符合題設(shè)；綜上，a＝﹣1或a＝．故答案為：﹣1或．三、解答題（本大題共8小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。請將解答寫在答題卡上對應(yīng)的區(qū)域內(nèi)。）19．解下列方程：（1）x2+10x+21＝0；（2）x2﹣x﹣1＝0解：（1）（x+3）（x+7）＝0，x+3＝0或x+7＝0，所以x1＝﹣3，x2＝﹣7；（2）△＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）＝5，x＝，所以x1＝，x2＝．20．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）畫出與△ABC關(guān)于原點O成中心對稱的圖形△A1B1C1；（2）畫出△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到的△A2B2C2，并寫出點A2的坐標．解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．A2（1，5）．21．已知關(guān)于x的方程（m﹣1）x2+x﹣2＝0．（1）當m為何值時，此方程是一元一次方程？（2）當m為何值時，此方程是一元二次方程？解：（1）∵（m﹣1）x2+x﹣2＝0，∴此方程是一元一次方程，則m﹣1＝0，解得m＝1．即m＝1時，此方程是一元一次方程；（2）∵（m＝1）x2+x＝2＝0，此方程是一元二次方程，則﹣1≠0，解得m≠1．即m≠1時，此方程是一元一次方程．22．已知拋物線．（1）寫出該拋物線的開口方向、對稱軸．（2）函數(shù)y有最大值還是最小值？并求出這個最大（或最小）值．（3）設(shè)拋物線與y軸的交點為P，求點P的坐標．解：（1）∵拋物線，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1；（2）∵且頂點坐標為（1，﹣2）∴函數(shù)y有最小值，最小值為﹣2．（3）在中，令x＝0，則y＝（0﹣1）2﹣2＝﹣，∴P（0，﹣）．23．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c自變量x與函數(shù)y對應(yīng)的部分對應(yīng)值如表：x…﹣2﹣101234…y…50﹣3﹣4﹣30m…（1）表中的m＝5，解析式中的c＝﹣3；（2）點P（﹣3，y1）、Q（2，y2）在函數(shù)圖象上，y1＞y2（填“＜”或“＞”或“＝”）；（3）當y＜0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3；（4）關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝5的解為x1＝﹣2，x2＝4．解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，x＝1是拋物線的對稱軸，點（﹣2，5）和點（4，m）關(guān)于x＝1對稱，∴m＝5，∵拋物線與y軸的交點坐標為（0，﹣3），∴c＝﹣3，故答案為：5，﹣3；（2）點P（﹣3，y1）、Q（2，y2）距離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，1﹣（﹣3）＝4；2﹣1＝1，∵4＞1，∴y1＞y2．故答案為：＞；（3）函數(shù)有最小值，開口向上，與x軸交點為（﹣1，0）、（3，0）∴當y＜0時，x的取值范圍是：﹣1＜x＜3，故答案為：﹣1＜x＜3；（4）由圖表可知，當x＝﹣2或4時，y＝5，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝5的解為x1＝﹣2，x2＝4，故答案為：x1＝﹣2，x2＝4．24．某商城在2023年國慶節(jié)期間促銷海爾冰箱，每臺進貨價2500元，標價3000元．（1）商城舉行了“感恩老客戶”活動，對于老客戶商城將連續(xù)兩次降價，每次降價的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價的百分率；（2）市場調(diào)研表明：當每臺售價為3000元時，平均每天能售出10臺，當每臺售價降100元時，平均每天就能多售出5臺，若商城要想使海爾冰箱的銷售利潤平均每天達到6000元，且讓顧客得到實惠，則每臺冰箱應(yīng)降價多少元？解：（1）設(shè)每次降價的百分率為x，由題意，得3000（1﹣x）2＝2430，解得x1＝0，1＝10%，x2＝1.9（不符合題意，舍去）．答：每次降價的百分率為10%；（2）設(shè)每臺冰箱應(yīng)降價y元，由題意得：，解得y1＝100，y2＝200，∵讓顧客得到實惠，∴y＝200．答：每臺冰箱應(yīng)降價200元．25．閱讀下列材料：我們把多項式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方公式，如果一個多項式不是完全平方公式，我們常做如下變形：先添加一個適當?shù)捻?，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問題的數(shù)學(xué)方法，可以求代數(shù)式的最大值或最小值．例如：求代數(shù)式x2+2x﹣3的最小值．解：x2+2x﹣3＝x2+2x+12﹣12﹣3＝（x2+2x+12）﹣4＝（x+1）2﹣4．∵（x+1）2≥0，∴（x+1）2﹣4≥﹣4，∴當x＝﹣1時，x2+2x﹣3的最小值為﹣4．再例如：求代數(shù)式﹣x2+4x﹣1的最大值．解：﹣x2+4x﹣1＝﹣（x2﹣4x+1）＝﹣（x2﹣4x+22﹣22+1）＝﹣[（x2﹣4x+22）﹣3]＝﹣（x﹣2）2+3∵（x﹣2）2≥0，∴﹣（x﹣2）2≤0，∴﹣（x﹣2）2+3≤3．∴當x＝2時，﹣x2+4x﹣1的最大值為3．（1）【直接應(yīng)用】代數(shù)式x2+4x+3的最小值為﹣1；（2）【類比應(yīng)用】若M＝a2+b2﹣2a+4b+2023，試求M的最小值；（3）【知識遷移】如圖，學(xué)校打算用長20m的籬笆圍一個長方形菜地，菜地的一面靠墻（墻足夠長），求圍成的菜地的最大面積．解：（1）x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1，∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2﹣1≥﹣1，∴代數(shù)式x2+4x+3的最小值為﹣1．故答案為：﹣1；（2）M＝a2+b2﹣2a+4b+2023＝a2﹣2a+b2+4b+2023＝a2﹣2a+12+b2+4b+22+2018＝（a﹣1）2+（b+2）2+2018，∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+2018≥2018，∴M的最小值為2018；（3）設(shè)垂直于墻的一邊長為xm，圍成的菜地的面積為S，則平行