浙江省紹興一中2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題含解析

PAGE20-浙江省紹興一中2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題（含解析）1.函數(shù)的定義域為（）A. B.且C. D.【答案】C【解析】【分析】函數(shù)的定義域應滿意，解之即得解.【詳解】函數(shù)的定義域應滿意：，解得，故函數(shù)的定義域為：.故選：C.【點睛】本題考查函數(shù)定義域及其求法.屬于簡單題.2.已知，，且，則實數(shù)（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】首先要表示出向量，再代入向量平行的坐標形式的充要條件，得到關(guān)于字母系數(shù)的方程，解方程即可．【詳解】解：，，，，，，，，，解得：．故選：D．【點睛】本題主要考查了平面對量共線的坐標表示，同時考查學生的計算實力，要留意與向量垂直的坐標表示的區(qū)分，屬于基礎(chǔ)題．3.若角的終邊過點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析】先利用三角函數(shù)的定義求出的值，然后再利用正弦的二倍角公式可求出的值.【詳解】解：因為角的終邊過點，所以，所以，故選：D【點睛】此題考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題.4.已知O為坐標原點，點，，，若，則實數(shù)（）A.6 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由，，求出的坐標，再利用列方程可求出的值.【詳解】解：因為，，，所以，因為，所以，得，故選：A【點睛】此題考查向量的坐標運算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，，，則下列關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．【詳解】解：，．

．

故選A．【點睛】本題考查了指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．6.函數(shù)（且）的大致圖像是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性解除選項，通過函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)極值點的個數(shù)，求出的值，推出結(jié)果即可.【詳解】函數(shù)（且）是偶函數(shù)，解除B；當時，，可得：，令，作出與圖像如圖：可知兩個函數(shù)有一個交點，就是函數(shù)的一個極值點，，解除C；當時，，故時，函數(shù)單調(diào)遞增，時，函數(shù)單調(diào)遞減，解除A故選：D【點睛】本題考查了與三角函數(shù)有關(guān)的圖像的識別，利用導數(shù)推斷函數(shù)的單調(diào)性、考查了數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題.7.設(shè)單位向量，對隨意實數(shù)都有，則向量，的夾角為A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可設(shè)的夾角為，依據(jù)為單位向量，對兩邊平方可得，，整理可得，，而該不等式對于隨意的恒成立，從而得出，從而得出，這樣即可求出．【詳解】解：是單位向量，設(shè)的夾角為；對兩邊平方得，；整理得，，該不等式對隨意實數(shù)恒成立；；；；又；．故選D．【點睛】本題考查單向量數(shù)量積的運算，向量夾角的范圍，以及已知三角函數(shù)值求角，是綜合題，留意平方后轉(zhuǎn)化為8.在中，內(nèi)角所對的邊分別為.若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)余弦定理可知，化簡式子，可得，然后利用，可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得，所以，則，由，所以.故選：B.【點睛】本題主要考查余弦定理的應用，關(guān)鍵在于識記公式以及運算，屬基礎(chǔ)題.9.設(shè)平面對量滿意，，則的最小值是（）A. B.2 C. D.4【答案】C【解析】【分析】由已知條件設(shè)出的坐標，畫出圖形，表示點到點和的距離和等于，由此可推斷點在線段上，而表示點到點和點的距離和，然后利用對稱和兩點間的距離公式可得結(jié)果.【詳解】解：由，令，設(shè)，，，因為，所以，表示點到點和的距離和等于，而，所以點在線段上，表示點到點和點的距離和，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，則點的坐標為，由圖可知到點和點的距離和的最小為的長，因為，所以的最小值為，故選：C【點睛】此題考查了向量的加減法運算，向量的模，利用了數(shù)形結(jié)合的方法解決，考查了轉(zhuǎn)化思想和計算實力，屬于中檔題.10.在銳角中，角的對邊分別為，，，若，則的最小值是（）A.4 B. C.8 D.【答案】C【解析】,,兩邊同除，,又,,當時取等.11.若復數(shù):滿意條件，則__________；__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用復數(shù)的運算法則、模的計算公式即可得出．【詳解】解：，，，，．故答案為：；．【點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則化簡、模的計算公式，考查了推理實力與計算實力，屬于基礎(chǔ)題．12.若，用數(shù)學歸納法驗證關(guān)于的命題時，第一步計算________；其次步“從到時”，________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】干脆依據(jù)條件計算的值，寫出的表達式，再視察得到答案.【詳解】，；，故答案為：；.【點睛】本題考查數(shù)學歸納法的推理過程，考查邏輯推理實力、運算求解實力.13.已知當時，函數(shù)取得最大值，則最大值為__________，__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用協(xié)助角公式可得：，其中，；可求得，代入可知，利用兩角差的正弦公式即可求得結(jié)果.【詳解】，其中，，則，即，，即，，.故答案為：；.【點睛】本題考查利用協(xié)助角公式、兩角和差正弦公式求解三角函數(shù)值的問題.屬于中檔題.14.若函數(shù)，則__________，的極大值點為__________．【答案】(1).(2).【解析】【分析】求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)極值和導數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，則，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極大值點，且極大值為．故答案為：；．【點睛】本題考查利用導數(shù)探討函數(shù)的極值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬于中檔題．15.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則__________．【答案】【解析】【分析】先整理得，利用正弦定理得，再利用余弦定理得，最終利用，即可得出結(jié)論.【詳解】，，由正弦定理得：，又，所以；由余弦定理得：，，則.故答案為：.【點睛】本題主要考查正余弦定理的應用.屬于中檔題.16.若是方程的解，是方程的解，則__________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，設(shè).是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，設(shè).又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，故點與點關(guān)于直線對稱，即得的值.【詳解】是方程的解，是方程的解，是方程的解，是方程的解，即是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，設(shè).是函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點的橫坐標，設(shè).設(shè)點是函數(shù)圖象上任一點，它關(guān)于直線的對稱點也在函數(shù)的圖象上，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.又與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，點與點關(guān)于直線對稱，，.故答案為：.【點睛】本題考查函數(shù)與方程，屬于中檔題.17.在中，D是線段BC上靠近C點的三等分點，若，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】依題意設(shè)，，可得，從而得到再在利用余弦定理及基本不等式可得，最終依據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計算可得；【詳解】解：如圖由題意設(shè)，，因為，且，所以所以，即在中由余弦定理可得，當且僅當時取等號，所以，當時，，所以故答案：【點睛】本題考查余弦定理及基本不等式的應用，屬于中檔題.18.在中，.（1）求的值；（2）若，的面積為，求邊長的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式，將，變形為，再化簡利用平方關(guān)系求解.（2）由確定角A的范圍，得到，再依據(jù)的面積為，利用正弦定理求得，再結(jié)合，利用余弦定理求解.【詳解】（1）由已知得，，因為，所以，兩邊平方得，，（2）由得，，從而，于是，因為的面積為，所以由余弦定理得，，.【點睛】本題主要考查二倍角公式和正弦定理，余弦定理的應用，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.19.已知數(shù)列滿意，.（1）求、、；（2）猜想數(shù)列通項公式，并用數(shù)學歸納法給出證明.【答案】（1），；（2），證明見解析.【解析】【分析】（1）依據(jù)數(shù)列滿意，令求解.（2）依據(jù)、、，猜想數(shù)列通項公式.用數(shù)學歸納法證明：第一步，驗證時是否成立，其次步，假設(shè)時成立，.再論證時，成馬上可.【詳解】（1）數(shù)列滿意，.則，.（2）猜想數(shù)列通項公式.用數(shù)學歸納法證明：（?。r，成立，（ⅱ）假設(shè)時成立，.則時，.因此時，猜想成立.綜上可得：數(shù)列通項公式，.【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，還考查了運算求解的實力，屬于中檔題.20.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示.（1）若的圖像向左平移個單位后，得到的圖像，求的解析式；（2）若方程在上有三個不同的實根，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由五點法求得的解析式，再由圖象得的解析式；（2）把作為一個整體，求出它的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象可得結(jié)論．【詳解】（1）∴∴把代入可得∴∴（2）有三個不同的實根，由與直線有三個不同的交點得：∴．【點睛】本題考查由三角函數(shù)圖象求解析式，考查三角函數(shù)的圖象變換，考查方程根的分布問題．由圖象求解析式的關(guān)鍵是駕馭“五點法”，方程根的分布問題可通過數(shù)形結(jié)合思想求解．21.中，已知，，．（1）求的值；（2）若，且，求在上的投影的取值范圍．【答案】（1）1，（2）【解析】【分析】（1）由，兩邊平方化簡可求得的值；（2）先表示出，，從而可得在上的投影為，然后由的不同取值范圍求其值可得結(jié)果.【詳解】解：（1）因為，所以，，因為，，所以，即，所以，（2）因為，且，所以，因為，，，，所以，由，得，所以在上的投影為，當時，，因為，所以，所以，時，當且時，時，，所以，時，，所以，綜上，在上的投影的取值范圍為.【點睛】此題考查向量的模，向量上的投影，考查了分類探討思想，考查了計算實力，屬于中檔題.22.定義函數(shù)f（x）＝（1﹣x2）（x2+bx+c）．（1）假如f（x）的圖象關(guān)于x＝2對稱，求2b+c的值；（2）若x∈[﹣1，1]，記|f（x）|的最大值為M（b，c），當b、c改變時，求M（b，c）的最小值．【答案】（1）-1（2）．【解析】分析】(1)由的圖象關(guān)于直線對稱,則將的圖象向左移動個單位,得到函數(shù)為偶函數(shù),化簡,由偶函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)論.(2)由隨意記的最大值為取,得，化簡可得,只須要,即可求出的最小值.．【詳解】（1）f（x）的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，則將f（x）的圖象向左移動2個單位，得到函數(shù)，g（x）＝f（x+2）＝[1﹣（x+2）2][（x+2）2+b（x+2）+c]＝﹣x4﹣（8+b）x3﹣（19+4b）x2﹣（28+11b+4c）x﹣（12+6b+3c）為偶函數(shù)，∴解得，∴2b+c＝﹣1；（2）對隨意的x∈[﹣1，1]，|f（x）|≤M（b，c），取x＝±λ得，同理取x