天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期統(tǒng)練試題2含解析

PAGE18-天津市南開中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期統(tǒng)練試題2（含解析）一、選擇題（每題4分，共36分）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先進(jìn)行補(bǔ)集運(yùn)算，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得集合的運(yùn)算結(jié)果.【詳解】由題意結(jié)合補(bǔ)集的定義可知：，則.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查補(bǔ)集運(yùn)算，交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.設(shè)，則“”是“”成立的（）A.充要不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充要也不必要條件【答案】C【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)一正一負(fù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故選C．考點(diǎn)：充分必要條件．3.不等式的解集為（）A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分類探討去分母，再依據(jù)一元二次不等式進(jìn)行求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，解得或，；當(dāng)時(shí)，不等式化為，即，解得，，綜上，或.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的求解，考查一元二次不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)集合A=若AB,則實(shí)數(shù)a,b必滿意A. B.C. D.【答案】D【解析】試題分析：，，若AB，則有或考點(diǎn)：1．肯定值不等式解法；2．集合的子集關(guān)系5.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得出的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)指數(shù)冪和對數(shù)值的比較大小問題，在解題的過程中，留意應(yīng)用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定其對應(yīng)值的范圍.比較指對冪形式的數(shù)的大小關(guān)系，常用方法：（1）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞減；（3）借助于中間值，例如：0或1等.6.設(shè)函數(shù)，則使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】函數(shù)的解析式比較困難，解函數(shù)值的不等式，考慮利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，因此考查函數(shù)性質(zhì)，是偶函數(shù)，且在為增函數(shù)，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，所以是偶函數(shù)，又在都是增函數(shù)，所以在是增函數(shù)，所以等價(jià)于即，兩邊平方得，解得，所以不等式的解為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，留意單調(diào)性在解不等式中的應(yīng)用，嫻熟推斷基本初等函數(shù)以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題.7.已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意知分段函數(shù)求值應(yīng)分段處理，利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式.【詳解】，由的解析式可知，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，再由，得，即，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查了分段函數(shù)的求值，還考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，同時(shí)一元二次不等式求解也要過關(guān).8.已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個(gè)不同交點(diǎn)，分三種狀況，數(shù)形結(jié)合探討即可得到答案.【詳解】留意到，所以要使恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程恰有3個(gè)實(shí)根即可，令，即與的圖象有個(gè)不同交點(diǎn).因?yàn)?，?dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖1，與有個(gè)不同交點(diǎn)，不滿意題意；當(dāng)時(shí)，如圖2，此時(shí)與恒有個(gè)不同交點(diǎn)，滿意題意；當(dāng)時(shí)，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立方程得，令得，解得（負(fù)值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.【點(diǎn)晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.9.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，求解，轉(zhuǎn)化為或，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象，列出不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值也是最大值，最大值為，由方程可化為，解得或，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿意，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A【點(diǎn)睛】對于方程根的存在性與根的個(gè)數(shù)的判定及應(yīng)用，此類問題的解答中通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)點(diǎn)圖象列出相應(yīng)的不等式是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合，以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.二、填空題（每題4分，共32分）10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】將分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后利用運(yùn)算化簡可得結(jié)果.詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11.在的綻開式中，的系數(shù)是_________.【答案】10【解析】分析】利用二項(xiàng)式定理綻開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)榈木`開式的通項(xiàng)公式為，令，解得.所以的系數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式綻開式的通項(xiàng)公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.12.的單調(diào)增區(qū)間是_______.【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)的定義域?yàn)椋俳Y(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解即可．【詳解】令，求得，得函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)樵诙x域內(nèi)遞減，題意即求函數(shù)在上的減區(qū)間．由二次函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)t在上的減區(qū)間為故的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：若函數(shù)與的增減性相同（相反），則是增（減）函數(shù)，可概括為“同增異減”，求單調(diào)區(qū)間的前提肯定先求函數(shù)的定義域.13.已知集合，則集合=________【答案】【解析】【詳解】集合，所以；集合，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，所以，故答案為：．14.已知直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于方程有四個(gè)解，即滿意和有四個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象即可求出.【詳解】直線與曲線有四個(gè)交點(diǎn)等價(jià)于方程有四個(gè)解，則，滿意和有四個(gè)交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖象如下，視察圖象可知，要使和有四個(gè)交點(diǎn)，需滿意故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.15.若函數(shù)（）的最大值為，最小值為，且，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】2【解析】試題分析：由題意，，明顯函數(shù)是奇函數(shù)，∵函數(shù)最大值為，最小值為，且，∴，即，∴，故答案為．考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義.16.已知αR，函數(shù)在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)當(dāng)時(shí)，，分，和探討求解.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值，（舍去）；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)命題成立；當(dāng)時(shí)，，則或，解得或，綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的最值問題，還考查了運(yùn)算求解的實(shí)力，屬于中檔題.17.設(shè)函數(shù)，對隨意恒成立，則實(shí)數(shù)取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)的解析式及題干條件，整理可得在上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得的最小值為，則只需求即可，化簡整理，即可得答案.【詳解】由題意得在上恒成立，整理得在上恒成立，令，則，則，因?yàn)?，則的最小值為，所以，整理可得，所以，即或，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題，考查分析理解，計(jì)算化簡的實(shí)力，屬中檔題.三?解答題（共32分）18.在中，角所對的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大?。唬á颍┣蟮闹?；（Ⅲ）求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）干脆利用余弦定理運(yùn)算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先計(jì)算出進(jìn)一步求出，再利用兩角和的正弦公式計(jì)算即可.【詳解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因?yàn)?，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角銳角，由，可得，進(jìn)而，所以.【點(diǎn)晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力，是一道簡單題.19.已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：對隨意的且，有.【答案】（1）（i）；（ii）遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為；微小值為，無極大值；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）（i）確定函數(shù)，求出，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可；（ii）確定函數(shù)，求出，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性與極值即可；（2）求出，對要證得不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換后，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討新函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合等價(jià)轉(zhuǎn)換后的結(jié)果即可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）（i）當(dāng)時(shí)，，故.可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（ii）依題意，，，從而求導(dǎo)可得，整理可得.令，解得.當(dāng)改變時(shí)，，的改變狀況如下表：10微小值所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的微小值為，無極大值.（2）證明：由，得.對隨意的，且，令，則.①令，.當(dāng)時(shí)，，由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即，因?yàn)?，，，所?②由（1）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，，即，故.③由①②③可得.所以，當(dāng)時(shí)，對隨意的，且，有.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.20.設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）設(shè)當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解析】試題分析：（Ⅰ）在證明不等式時(shí)一般可以通過等價(jià)變形將要證明的不等式簡化，本題中留意到時(shí)，，于是有，即令只需證明即可；（Ⅱ）由時(shí)，恒成立，故.設(shè)，，．設(shè)，，則.當(dāng)，即時(shí)，，時(shí)，，，故.所以單調(diào)遞增，，故單調(diào)遞增，恒成立，符合題意.當(dāng)，即時(shí)，存在，時(shí)，，單調(diào)遞減，，與恒成立沖突.試題