新教材蘇教版高中數(shù)學(xué) 選擇性必修第二冊 同步試題 7

7.4二項式定理

一、單選題

1.(&-2『的展開式中/的系數(shù)為()

A.15B.-15C.60D.-60

【答案】C

【分析】根據(jù)二項式展開公式求解即可.

【解析】展開通項公式為小=C；(正廠(-2)，,

令6T=4得r=2,所以或(4)4(一2)2=虱)2=682,

所以V的系數(shù)為60,

故選：C.

2.(x-2y+2z)s展開式中，中3z的系數(shù)為()

A.-320B.320C.-240D.240

【答案】A

【分析】根據(jù)二項式的通項公式進行求解即可.

【解析】因為(x-2y+2z)5=[(x-2y)+2z]5,

5rr

所以通項公式為：Tr+I=C；-(x-2y)~-(2z),

令r=l,所以"=C〉(x-2y)4.2z=10(x-2y『z,

設(shè)二項式(x-2?的通項公式為：.卜廣"-(-2y)",

令”=3,所以7；=C：x-(-2y)3=-3293,

因此中3z項的系數(shù)為：10x(-32)=-320,

故選：A.

3.口-；,：+孫]5的展開式中的系數(shù)為()

A.30B.40C.70D.80

【答案】A

【分析】求出“-十]，+孫zj的展開式中含x2y6的項,再求出其系數(shù)即可.

的展開式中含的項為

xCj(xy2)3(—)2+(-)C/(xy2)4—,

xxyx

所以x2y6的系數(shù)為4C；-2C；=30.

故選：A.

4234

4.(1+x)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x,貝|為一%+&一生+&=()

A.1B.3C.0D.-3

【答案】C

【分析】根據(jù)展開式，利用賦值法取產(chǎn)-1即得.

【解析】因為+=〃0+〃/+。2%2+43%3+。4%4，

令X=-1j可*4—4+%—。3+〃4=(1—1)=0.

故選：C.

5.(1-2x)〃的二項展開式中，奇數(shù)項的系數(shù)和為()

A.2"B.2-C,(一…D,(一…

22

【答案】C

23n

【解析】設(shè)(1-2%)〃=aQ+a1x+a2x+a3x+???+anx,令x=l、x=-l計算%+4+%+…即

可求解.

23n

［解析］設(shè)(1一2x)〃=%)+axx+a2x+a3x4----卜anx,

令X=1可得(—1)〃=旬+%+&++"〃，

=

x-1口J3"—UQ—%+出—生+?,.，

兩式相加可得：(―1)〃+3〃=2(4+“2+。4----)，

所以奇數(shù)項系數(shù)之和為。0+。2+“4—g~~—，

故選：C.

6.若卜的展開式有9項，則自然數(shù)〃的值為（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】根據(jù)二項式展開式的項數(shù)即可得解.

【解析】解：因為［x+W］的展開式共有"+1項，所以“+1=9,所以〃=8,

故選：B.

7.關(guān)于的展開式中共有7項，下列說法中正確的是()

A.展開式中二項式系數(shù)之和為32B.展開式中各項系數(shù)之和為1

C.展開式中二項式系數(shù)最大的項為第3項D.展開式中系數(shù)最大的項為第4項

【答案】B

【分析】依題意可得"=6,再根據(jù)二項式系數(shù)和為2"判斷A,令尤=1即可求出展開式系數(shù)

和，即可判斷B,根據(jù)二項式系數(shù)的特征判斷C,再求出展開式系數(shù)最大值，即可判斷D；

【解析】解：因為二項式的展開式中共有7項，所以〃=6,

選項A：所有項的二項式系數(shù)和為26=64,故A不正確；

選項B：令x=l,則(2x16=1,所以所有項的系數(shù)的和為1,故B正確；

選項C：二項式系數(shù)最大的項為第4項，故C不正確；

r

選項D：二項式的展開式的通項為Tr+l=晨(2》廣］_*；=C；(-l)26-/a,

故系數(shù)為CK-iy2j,系數(shù)的最大項只從廠=0,2,4,6中選擇，

當(dāng)r=0時C：(-l)°26=64,當(dāng)r=2時C；24=240,當(dāng)：?=4時C：2?=60,當(dāng)廠=6

時Cn-2°=1,

故當(dāng)r=2時系數(shù)最大，所以展開式中系數(shù)最大的項為第3項，故D不正確.

故選：B

8.在(〃+6)”的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則〃=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】當(dāng)n為偶數(shù)時，展開式中第￡+1項二項式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時，展開式中第安

22

和〃二+3項二項式系數(shù)最大.

2

【解析】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以〃為偶數(shù)，故々+1=4,得“=6.

2

故選：B

9.二項式(拒+底了。的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的項共有()

A.6項B.7項C.8項D.9項

【答案】D

【分析】由二項式的通項公式結(jié)合有理項的性質(zhì)即可求解.

【解析】二項式的通項后產(chǎn)（限y=225-君在，，

若要系數(shù)為有理數(shù)，則25-CeZ,-eZ,0<r<50,且reZ,

23

即」eZ,-eZ,易知滿足條件的，€{0,6,12,18,24,30,36,42,48},

23

故系數(shù)為有理數(shù)的項共有9項.

故選：D

10.在1+的展開式中，除常數(shù)項外，其余各項系數(shù)的和為（）

A.63B.-517C.-217D.-177

【答案】B

【解析】利用賦值法令x=l求各項系數(shù)的和，再利用生成法求常數(shù)項，再求其余各項系數(shù)

的和.

【解析】常數(shù)項是。>3盤廣）

3.]￡|+012.6

?(-Ip+dx-C\+(-1)=581,

令x=l求各項系數(shù)和，（1+2-1）6=64,

則除常數(shù)項外，其余各項系數(shù)的和為64-581=-517.

故選：B

/2V

11.在3X+”的二項展開式中，c，3"fJ。稱為二項展開式的第r+1項，其中r=0,1,

（_2V

2,3,.......,n.下列關(guān)于3x+尤3的命題中，不正確的一項是（）

14

A.若附=8,則二項展開式中系數(shù)最大的項是

B.已知x>0,若〃=9,則二項展開式中第2項不大于第3項的實數(shù)x的取值范圍是

C.若〃=10,則二項展開式中的常數(shù)項是434.

D.若〃=27,則二項展開式中x的幕指數(shù)是負數(shù)的項一共有12項.

【答案】D

【分析】A選項：根據(jù)系數(shù)最大列不等式，解不等式即可；B選項：根據(jù)題意列不等式，然

后分0<xVl和x>l兩種情況解不等式即可；C選項：令10-gr=0,解方程即可；D選項:

令27-q<0,解不等式即可.

C；3"，＞C"r5Q

【解析】A選項:令解得所以"2,所以A正確;

C；3"，AC.”

B選項：空8戶224C”尤1了7，整理可得2/后4，當(dāng)0<xVl時，不等式恒成立；當(dāng)x>l時,

解得I<x4弓），所以0<xW（gj，故B正確;

C選項：令10-+=0,解得r=6,所以常數(shù)項為C：03g=43、故C正確；

D選項：427--<0,解得廠>包，所以r可取17,18…,27,共11項，故D錯.

35

故選：D.

12.“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，它揭示了二項式展開式中的組合數(shù)在三角

形數(shù)表中的一種幾何排列規(guī)律，如圖所示，則下列關(guān)于“楊輝三角”的結(jié)論正確的是（）

楊輝三角

第0

第1

第V2

/

第T

/3

第V

/4

第5

第6

分7352

分T

f86>

A.C；+C：+C；+…+C；。=165

B.在第2022行中第1011個數(shù)最大

C.第6行的第7個數(shù)、第7行的第7個數(shù)及第8行的第7個數(shù)之和等于9行的第8個數(shù)

D.第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為2：3

【答案】C

【分析】A選項由C：T+C：=C：+1及C；+C；+C；+…+C；o=C；+C；+C；+C；+…+C；o-1即

可判斷；B選項由二項式系數(shù)的增減性即可判斷；C選項由C：T+C：=C3及C：=C；即可判

斷；D選項直接計算比值即可判斷.

【解析】由C：T+禺=C3可得c；+C；+C；+…+c；o=c；+c；+c；+c；+…+CJ-1

=C；+C：+C"-+C>1=C：「1=H9-1=164,故A錯誤；

3x2x1

第2022行中第1011個數(shù)為C聰<C版,故B錯誤；

C：+C；+C；=C；+C；+C；=C；+C；=C；,故C正確；

第34行中第15個數(shù)與第16個數(shù)之比為

34x33x…x2134x33x…x20

=15:20=3:4,故D錯誤.

14xl3x---xl15xl4xl3x...xl

故選：C.

二、多選題

13.已知二項式［哄的展開式中各項系數(shù)的和為-128,則下列結(jié)論正確的是（）

A.〃=8

B.展開式中二項式系數(shù)和為128

C.展開式中x項的系數(shù)為21

D.展開式中有3項有理項

【答案】BD

【分析】根據(jù)各項系數(shù)的和為-128,令x=l即可得〃=7,可得選項A錯誤，二項式系數(shù)和即

C；+C；+…+C；=2,=128，即可判斷選項B的正誤，根據(jù)二項式定理寫出通項，使x的塞次為

1,解得項數(shù)，即可得選項C的正誤，使通項中x的塞次為有理數(shù)即可判斷選項D的正誤.

【解析】解:由題可得，不妨令x=l,

得（1一3）"=-128,

所以〃=7,

故選項A錯誤；

展開式中二項式系數(shù)和為C；+C；+…+C；=27=128,

故選項B正確；

展開式的通項公式為=q（版）7,（-野=（-l）rc；-3r-x-,（-=0,1,2,7）,

令17y-4±廠=l,解得r=l,

展開式中x項的系數(shù)為-C>3=-21,

故選項C錯誤；

展開式的通項公式為=C；（我）7-，.卜；|=（-l）C3.xk,f=0,l,2,7）,

當(dāng)—1,4,7時，

4M為有理項，

故選項D正確.

故選:BD

14.已知（2x-l）2（x+l）4=%+%X+〃2X2+。3x3+。4x4+。6%6，貝U（）

A.〃6=4B.%=~4

C.%+%+〃3+〃4+〃5+。6=15D.%+/+%<%+〃4+〃6

【答案】AC

【分析】對AB,根據(jù)二項式公式求解對應(yīng)項的系數(shù)求解即可；對CD,利用賦值法分別求為

與4+出+%+〃4+45+。6和％—〃2++〃5—判斷即?

【解析】對A,&為展開式中最高次項系數(shù)，只能由(2X-1『,(X+1)4展開式的最高次項相

乘，故為22X「=4，即4=4,故A正確；

對B,(2x-1)(x+1)=(4工2—4x+l)(x+1),故q=-4x1，+1xC；=0,故B錯誤；

對C,令％=1,則(2-1)2(1+1)4=%+%+出+〃3+。4+a5+。6，即

〃0+%+/+%+。4+〃5+4T6,令％=0,貝1](一1)2義14=旬，即4=1.

故％+%+%+〃4+〃5+。6="，故C正確；

■X寸D,x——11貝U(—2—1)(—1+1)=4—。1+。2—"3+%—%+"6=0，結(jié)C,a。=1,故

%—%+%—〃4+。5—〃6=]...(1)

又叫+%+。3+。4+。5+。6=15...(2),可得2(〃]+。3+%)=16,故％+%+%=8,

“2+%+。6=7,故4+%+。5>。2+44+”6，故D錯誤.

故選：AC

15.若—=4+%X+。2%2+…+40儲°，xeR,貝！J()

A.。2=180

B.|4|+|%|+|。2|+…+|。1()|=3]。

C.%+%+…+%0=1

D.幺+與+喜+…+繚=-1

22223210

【答案】ABD

【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理及賦值法逐項分析、計算判斷作答.

【解析】因(1一2%)1°=(2x—l)i°=%+qx+%%2+..+%%葭，則出=C；o(—2)2=180,A正確；

(1-2x)°展開式的通項給=C；°(-2%)，，VN,”10,當(dāng)i為奇數(shù)時，q<0,當(dāng)i為偶數(shù)時,

q>0,

1010

則|4o|+|〃11+|〃2-----卜+101="0_%+〃2_〃3T-----=卜2(-1)]=3,B正確；

%=1,而/+4+4+??,+%()=(l-2xl)i°=1,則％+出+…+%0=0,C不正確;

%=1,而QO+&+$+WH---=(1-2x』)]。=0,貝！+§+---D正確.

022223210222223210

故選：ABD

2320202021J

16.若(2—3%)=CIQ+a^X+U2X+6Z3XH-----1-^2020^^2021^則正確的是()

A."o=2

—1_52。21

B.〃]+“3+。5+F^2019+。2021=

C.E|+|%|+|。21+…+|。20211=52。21

/1\2021

D.女+與+,+...+端+需羋

222232202022021(2)

【答案】BC

【分析】利用二項式定理，結(jié)合賦值法逐項分析計算作答.

/(X)=(2-3%13tZX202°+G/

[解析】依題意,令廣=%+&%+生/+a^x+…+2020誣，

%=/(0)=22°2、A不正確；

/⑴=%+q+〃2+〃3+..?+。2020+&021=(-1)2021=-1,

/(-1)=_4+_43+?..+@2020_。2021=52021,

f(l)-f(-l)-1-52021

則Q]+/+%+'??+。2019+〃2021=-----------------=-----------，B正確；

顯然。2〃>°，a2n+l<0,^GN,W<1010,

則+|。2|+…+卜2021|=。0-"1+。2—%+…+?。??！?021=/(一^52°21,C正確；

“1/°3.°2020,°2021_「,,^2,^3,,42020,42021—

5??

5+^~+聲+…+^'+^-0+萬+>+聲+'一+^^+^°

=/(1)-22021=(1)2021-22021,D不正確.

故選：BC

三、填空題

17.在(a+2b+3c)6展開式中，含db2c的項的系數(shù)是.

【答案】720

【分析】根據(jù)乘法分配律以及組合數(shù)的計算求得正確答案.

【解析】根據(jù)乘法分配律可知，含的項的系數(shù)是：

C^X(C^X22)XC；X3=720.

故答案為：720

18.在尤的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含尤2項的系數(shù)為

【答案】70

【分析】先由二項式系數(shù)最大確定"，再由通項公式求含尤2項的系數(shù)即可.

【解析】由只有第5項的二項式系數(shù)最大可得：?=8.

...通項公式4M-=(一1)(二8丁，

3,

令8——r=2,角軍得尸=4.

2

..?展開式中含V項的系數(shù)為(-ifC；=70.

故答案為：70.

19.已知+=&丁+%工5+”4工，+%工3+°2》2+%尤+〃0，則%的值為.

【答案】-4

【分析】利用二項式展開式的通項進行求解即可.

【解析】(尤-1)5的展開式通項為=C"5"(一1)"

所以%=lxC；x(—iy+lxC?x(-1)。=-5+1=-4,

故答案為：-4

20.已知集合〃={2019,12,6,-10,-5,-1,0,1,8,15},記集合H的非空子集為M、M、L、M1023,

且記每個子集中各元素的乘積依次為四、切2、L、叫023，則叫+嗎+…+嗎023的值為

【答案】-1

【分析】構(gòu)造函數(shù)y(x)=(尤+2019)(x+12)(x+6)(x-10)(尤-5)(x-l)x(x+l)(x+8)(x+15),

設(shè)該函數(shù)展開式中所有項系數(shù)之和為7,則網(wǎng)+啊+…+叫儂=7-1，利用賦值法可求得結(jié)

果.

【解析】設(shè)集合H的十個元素分別為可、。2、L、a10.

ml+m2-\---i-ml023=ax+a2+■■■+aw+axa2+axa3+■?+a9o10+axa2a3-\—+a8a9a10+Ha；q…苗

設(shè)函數(shù)f(x)=(尤+2019)(尤+12)(x+6)(x-10)(x-5)(x-l)x(x+l)(x+8)(x+15)展開式中所

有項系數(shù)之和為T,

貝U㈣+加2■*-------H/023=T—1，

因為7=/(1)=0,所以？_1=一1.

故答案為：-1.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查的集合子集的判定，構(gòu)造函數(shù)求解，屬于難題.本題的

關(guān)鍵是根據(jù)二項定理的推導(dǎo)過程構(gòu)造出函數(shù)

/(x)=(x+2019)(x+12)(x+6)(x-10)(x-5)(x-l)x(x+1)(x+8)(x+15),這種轉(zhuǎn)化思想是

本題的難點.

四、解答題

21.在二項式(2尤-3yy的展開式中，求：

(1)二項式系數(shù)之和；

(2)各項系數(shù)之和；

【答案】(1)512

⑵T

【分析】(1)利用展開式的二項式系數(shù)和可求得結(jié)果；

(2)令x=y=l可求得展開式各項系數(shù)之和.

(1)

解：由題意可知，展開式的二項式系數(shù)之和為29=512.

⑵

解：由題意可知，展開式的各項系數(shù)之和為(2-3)9=-1.

22.已知二項式(1+26)"的展開式中共有11項.

(1)求展開式的第3項的二項式系數(shù)；

(2)求展開式中含的項.

【答案】(1)45

(2)3360-

【分析】(1)先根據(jù)項數(shù)求出〃，再求解第3項的二項式系數(shù)；

(2)利用通項公式求解含/的項.

(1)

因為二項式(1+24)"的展開式中共有11項，所以“=10,

所以展開式的第3項的二項式系數(shù)為=45.

(2)

,,k

(1+24)1。的展開式的通項公式為％=/2晨5；

42

令g=2可得上=4,所以展開式中含一的項為T5=C12x=3360/.

23.已知［二+?丫(〃eN*)的展開式中前3項的二項式系數(shù)之和等于29.

(1)求〃的值；

(2)若展開式中x的一次項的系數(shù)為56,求實數(shù)。的值.

【答案】⑴〃=7；

(2)a=8.

【分析】(1)由題設(shè)有C：+C：+C=29,結(jié)合組合數(shù)公式整理成關(guān)于"的一元二次方程求

解即可.

(2)由(1)寫出二項式展開式通項，進而判斷含x的項，結(jié)合其系數(shù)列方程求。的值.

(1)

由題設(shè)，C"+C；=29,整理得/+56=0,解得"=-8(舍)或”=7；

(2)

_k5k

由⑴知：二項式展開式通項為rk+i=C；(亦、尸尸=尸C；，

當(dāng)人=6時為含x的項，故7a=56,解得a=8.

24.已知(l+2x)”=旬+---1-a?x",其中2eR.

⑴若"=8,%=1024,求4的值；

1

(2)若/=-1,n=2022,求劭+出+&"--1"。2022的值.

【答案】(1)2

⑵22021

【分析】(1)結(jié)合二項式的展開式的通項公式得尤)'=CM，x，,令廠=7即可求出

結(jié)果；

(2)構(gòu)造/(司=(1-切的=%+卬：+叱2+--+出。22鏟)22,分別求出"1)和/(T)的值，進

而可求出結(jié)果.

(1)

88

n=8,(l+2x)=a0+axx+—I-a8x,

=c;(3'=C；”，，

令r=7,=C；A7=827=1024,A=2.

(2)

若4=-l,n=2022,

t己f(x)=(l-x)~UQ+++…+%022彳~°一,

/(I)=。0+%+。2+…+。2022=(1-1)=0，

20222022

f(-1)=a0—ax+a2—a3-----Ft72022=(1+1^=2,

。22

/(1)+〃T)0+2222021

??旬+---H。2022=

22

25.已知(〃為正整數(shù))的二項展開式中.

⑴若C：+C；+C：+…=256,求所有項的系數(shù)之和;

⑵若C：+C；+C；=821,求展開式中的有理項的個數(shù);

(3)若〃=30,求系數(shù)最大的項.

【答案】(1)(|]

⑵11

(MY出

【分析】(1)由題意求出〃=9即可得出答案.

3

(2)求出〃=40,寫出的通項，要使展開式為有理項，則。求解

即可;

(3)設(shè)二項式展開式第r+1項的系數(shù)最大，求出的通項,則

【解析】(1)因為C：+C；+C；+C：+…+C：=2",

而C：+C；+C：+……=C：+C：+C：+…=2"、

所以2〃T=256=>〃=9.

中x=l,則所有項的系數(shù)之和為:

(2)若C：+C：+C；=821,貝1J1+〃+二821,

2

(w-40)(w+41)=0,解得：〃=40.

r3

4\10--r

的通項為：（?。?

則4+1=@0MX

2

其中{0,1,2,3,…,40},要使展開式為有理項,

3

則10-?！闦,則4=0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,

4

故展開式中的有理項的個數(shù)為11.

r30-3r

的通項為：；；（

(3)若"=30,則7,+1=C0^p'

則設(shè)二項式展開式第『+1項的系數(shù)最大,

r-\

30!1

(r-l)(31-r)!(2

30!

(r+l)(29-

10

因為reZ,則r=10,所以系數(shù)最大的項為「=

s

26.若(1+加X，=%H-----Fasx,其中。3=-56.

⑴求加的值;

(2)求Q]+出---1~^8；

(3)求(a。+/+%+&+%)~-(%+ai+a5+a1j.

【答案】(1)-1

(2)-1

(3)0

【分析】（1）由（1+/MX）8展開式的通項求解即可；

（2）令尤=0與x=l即可求解；

（3）令x=T并結(jié)合（2）即可求解得

【解析】（1）（1+必）8的展開式的通項為&|=項下".（加尤y=[”?/，

所以%=砥-加=_56,

所以加3=-1,解得"7=-1;

8

（2）由（1）知（1-Jr）'=/+。研+0/2H-----Fagx,

令尤=0,可得a0=l,

令x=1,可得00+0]+<7,+…+%=(1—1)=0,

所以％+。2+L+/=_];

(3)令x——1,可得<70—+<72—,■+。8=(1+1)=256,

由(2)矢口&+%+&+…+歿=(1-1)=0，

=(旬+。]++?,,+/)(旬—q+—,,+1)=0x256=0

27.將(0+6)1°°的二項展開式中的二項式系數(shù)依次列為：Ci00,C；00,C,00,……,C器.

(1)依據(jù)二頂式定理，將(。+媛》展開,并求證：C?oo+C；oo+C^o+……+C依=2嗎

(2)研究所列二項式系數(shù)的單調(diào)性，并求證：其最大值為C落.

【答案】(l)(a+6y°c=C：ooT°+CCa9%+-+cC6i。。,證明見解析；

(2)答案見解析.

【分析】(1)由二項式定理得展開式，在展開式中令。=6=1可證結(jié)論成立；

(2)用作差法可得出二項式系數(shù)的單調(diào)性，從而得出最大值.

【解析】⑴由已知(。+6嚴=C；oo/°+C；ooa9%+...+c<t。。,

100

令a=b=l得2=或+C；oo+C；；o+……+C器；

當(dāng)99一2斤20,k449.5,即％449時，啕-%>0,>C{00,

當(dāng)99-2左<0,即左250時，啕-*<0,C儒VC：。。，

所以Cb.Goo'C:…,C器中,從C：。。到C落遞增，從C擊到C：黑遞減，

所以C落是最大值.

28.已知(4+x)(7-2x)6=%+%x+…+°7-.在以下A,B,C三問中任選兩問作答，若三

問都分別作答，則按前兩問作答計分，作答時，請在答題卷上標(biāo)明所選兩問的題號.

(A)求應(yīng)；

(B)求logsSo+aj--F的)；

(C)設(shè)m=7，,證明：+4"a2HF4’的=8—4"?.

【答案】答案不唯一，具體見解析

【分析】選A利用二項式展開寫出所有含的項即可算出結(jié)果；選B,利用賦值法x=l時,

可得/+%+…+%=57進而求得結(jié)果；選C,分別令x=0,x=4即可得出證明.

【解析】選A解:

因為%=4XC；X7X(-2)5+C^X72X(-2)4=6384.

選B解:

67

令x=l,得---ba7=(4+1)x(7—2)=5,IJ!!!log5[a0+