新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章 第01講 分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 精講（教師版）

第01講分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第三部分：典型例題剖析題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用角度1：與數(shù)字有關(guān)的問題角度2：與幾何有關(guān)的問題角度3：涂色問題第四部分：高考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,在第2類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法，那么完成這件事共有SKIPIF1<0種不同的方法.

知識(shí)點(diǎn)二：分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有SKIPIF1<0種不同的方法,做第2步有SKIPIF1<0種不同的方法，那么完成這件事共有SKIPIF1<0種不同的方法.知識(shí)點(diǎn)三：分類加法計(jì)數(shù)原理和分布乘法計(jì)數(shù)原理推廣（1）完成一件事有SKIPIF1<0類不同方案,在第1類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,在第2類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,……,在第SKIPIF1<0類方案中有SKIPIF1<0種不同的方法,那么完成這件事共有SKIPIF1<0種不同的方法.（2）完成一件事需要SKIPIF1<0個(gè)步驟,做第1步有SKIPIF1<0種不同的方法,做第2步有SKIPIF1<0種不同的方法,……,做第SKIPIF1<0步有SKIPIF1<0種不同的方法,那么完成這件事共有SKIPIF1<0種不同的方法.第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試第二部分：課前自我評(píng)估測(cè)試1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，則可得平面直角坐標(biāo)系中第一、二象限內(nèi)不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．18 B．16 C．14 D．10【答案】C【詳解】分兩類情況討論：第一類，從SKIPIF1<0中取的元素作為橫坐標(biāo)，從SKIPIF1<0中取的元素作為縱坐標(biāo)，則第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)共有SKIPIF1<0（個(gè)）；第二類，從SKIPIF1<0中取的元素作為縱坐標(biāo)，從SKIPIF1<0中取的元素作為橫坐標(biāo)，則第一、二象限內(nèi)的點(diǎn)共有SKIPIF1<0（個(gè)），由分類加法計(jì)數(shù)原理，所以所求個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0．故選：C2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某大學(xué)食堂備有6種葷菜、5種素菜、3種湯，現(xiàn)要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配成不同套餐的種數(shù)為（

）A．30 B．14 C．33 D．90【答案】D【詳解】因?yàn)閭溆?種素菜，5種葷菜，3種湯，所以素菜有6種選法，葷菜有5種選法，湯菜有3種選法，所以要配成一葷一素一湯的套餐，則可以配制出不同的套餐有SKIPIF1<0種故選：D3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）核糖核酸RNA是存在于生物細(xì)胞以及部分病毒、類病毒中的遺傳信息載體．參與形成RNA的堿基有4種，分別用A，C，G，U表示．在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，假設(shè)某一RNA分子由100個(gè)堿基組成，則不同的RNA分子的種數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】每個(gè)堿基有4種可能，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的RNA分子的種數(shù)為SKIPIF1<0．故A，C，D錯(cuò)誤.故選：B.4．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）某省新高考采用“SKIPIF1<0”模式：“3”為全國(guó)統(tǒng)考科目語文、數(shù)學(xué)、外語，所有學(xué)生必考；“1”為首選科目，考生須在物理、歷史科目中選擇1個(gè)科目；“2”為再選科目，考生可在思想政治、地理、化學(xué)、生物4個(gè)科目中選擇2個(gè)科目．已知小明同學(xué)必選化學(xué)，那么他可選擇的方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．12種【答案】B【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①小明必選化學(xué)，則須在思想政治、地理、生物中再選出1個(gè)科目，選法有3種；②小明在物理、歷史科目中選出1個(gè)，選法有2種．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，小明可選擇的方案共有SKIPIF1<0（種）．故選：B5．（2022·重慶·巫山縣官渡中學(xué)高二階段練習(xí)）從甲地去乙地有3班火車，從乙地去丙地有2班輪船，則從甲地去丙地可選擇的旅行方式有______種【答案】6【詳解】由分步計(jì)數(shù)的乘法原理，從甲地去丙地可選擇的旅行方式有SKIPIF1<0種.故答案為：6第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：分類加法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用典型例題例題1．（2022·廣東珠?！じ叨谀苌嫌?本語文書，3本不同的數(shù)學(xué)書，4本不同的物理書，某位同學(xué)從中任取1本，共有（

）種取法.A．8 B．7 C．12 D．5【答案】A【詳解】任取1本可分三類：第一類取的是語文書，第二類取的是數(shù)學(xué)書，第三類取的是物理書，由此可得取法為SKIPIF1<0．故選：A．例題2．（2022·陜西西安·高二期末（理））某班有男生13人，女生17人，從中選一名學(xué)生為數(shù)學(xué)課代表，則不同的選法共有（

）A．30種 B．17種 C．221種 D．13種【答案】A【詳解】解：從該班男中選一名同學(xué)為數(shù)學(xué)課代表有13種方法，從該班女中選一名同學(xué)為數(shù)學(xué)課代表有17種方法，不同的選法的種數(shù)有SKIPIF1<0種.故選：A．例題3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在某種信息傳輸過程中，用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列（允許數(shù)字重復(fù)）表示一個(gè)信息，不同排列表示不同信息，若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為（

）A．10 B．11 C．12 D．7【答案】B【詳解】與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息包括三類：①與信息0110只有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有SKIPIF1<0（個(gè)）；②與信息0110只有一個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同，有SKIPIF1<0（個(gè)）；③與信息0110對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字均不相同，有1個(gè)．綜上，與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息有SKIPIF1<0（個(gè)）．故選：B同類題型歸類練1．（2022·湖南·長(zhǎng)沙縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）從數(shù)字1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．9 C．10 D．13【答案】C【詳解】其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：①由1，1，4三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：114，141，411共3個(gè)；②由1，2，3三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)：123，132，213，231，312，321共6個(gè)；③由2，2，2三個(gè)數(shù)字可以組成1個(gè)三位數(shù)，即222．SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0個(gè)，故選：C．2．（2022·北京東城·高二期末）算盤是中國(guó)古代的一項(xiàng)重要發(fā)明，迄今已有2600多年的歷史.現(xiàn)有一算盤，取其兩檔（如圖一），自右向左分別表示十進(jìn)制數(shù)的個(gè)位和十位，中間一道橫梁把算珠分為上下兩部分，梁上一珠撥下，記作數(shù)字5，梁下四珠，上撥一珠記作數(shù)字1（如圖二算盤表示整數(shù)51）.若撥動(dòng)圖1的兩枚算珠，則可以表示不同整數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】B【詳解】撥動(dòng)兩枚算珠可分為以下三類（1）在個(gè)位上撥動(dòng)兩枚，可表示2個(gè)不同整數(shù).（2）同理在十位上撥動(dòng)兩枚，可表示2個(gè)不同整數(shù).（3）在個(gè)位、十位上分別撥動(dòng)一枚，由分步乘法計(jì)數(shù)原理易得，可表示SKIPIF1<0個(gè)不同整數(shù).所以，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，一共可表示SKIPIF1<0個(gè)不同整數(shù).故選：B.3．（2022·廣西·柳州市第三中學(xué)高二階段練習(xí)（理））有不同的紅球8個(gè)，不同的白球7個(gè)，不同的黃球6個(gè)，現(xiàn)從中任取不同的顏色的球兩個(gè)，不同的取法有__________.【答案】146【詳解】當(dāng)取出不同的球?yàn)榧t球和白球時(shí)，一共有SKIPIF1<0種；當(dāng)取出不同的球?yàn)榧t球和黃球時(shí)，一共有SKIPIF1<0種；當(dāng)取出不同的球?yàn)榘浊蚝忘S球時(shí)，一共有SKIPIF1<0種；綜上：一共有56+48+42=146種.故答案為：1464．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某大學(xué)開設(shè)選修課，要求學(xué)生根據(jù)自己的專業(yè)方向以及自身興趣從6個(gè)科目中選擇3個(gè)科目進(jìn)行研修．已知某班級(jí)a名學(xué)生對(duì)科目的選擇如表所示，則SKIPIF1<0的一組值可以是______．科目國(guó)際金融統(tǒng)計(jì)學(xué)市場(chǎng)管理歷史市場(chǎng)營(yíng)銷會(huì)計(jì)學(xué)人數(shù)2428141519b【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0為正整數(shù)且滿足SKIPIF1<0即可）【詳解】依題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是滿足該式的正整數(shù)即可．故答案為：SKIPIF1<0（答案不唯一，SKIPIF1<0為正整數(shù)且滿足SKIPIF1<0即可）題型二：分步乘法計(jì)數(shù)原理典型例題例題1．（2022·安徽·歙縣教研室高二期末）現(xiàn)有3位游客來黃山旅游，分別從4個(gè)景點(diǎn)中任選一處游覽，不同選法的種數(shù)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．24 D．12【答案】B【詳解】解：每位游客有4種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知不同選法的種數(shù)是SKIPIF1<0.故選：B例題2．（2022·吉林·遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)校高二期末）2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國(guó)人民的喜愛.某商店有3個(gè)不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2個(gè)不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺(tái)上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法有多少種？（

）A．24 B．12 C．6 D．2【答案】B【詳解】解：先對(duì)2個(gè)雪容融排列SKIPIF1<0，將3個(gè)冰墩墩插空放在3個(gè)空位上排列SKIPIF1<0，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，排列方法有SKIPIF1<0.故選：B例題3．（2022·廣西百色·高二期末（理））某學(xué)校推出了《植物栽培》，《手工編織》，《實(shí)用木工》，《實(shí)用電工》4門校本勞動(dòng)選修課程，要求每個(gè)學(xué)生從中任選2門進(jìn)行學(xué)習(xí)，則甲?乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的選法為（

）A．16 B．24 C．12 D．36【答案】B【詳解】甲先從4門課程選擇1門，有4種選法，乙再?gòu)氖Ｏ碌?門中選擇1門，有3種選法，甲乙再?gòu)氖Ｏ碌?門中共同選擇1門，有2種選法，所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得甲?乙兩名同學(xué)的選課中恰有一門課程相同的選法為SKIPIF1<0種.故選：B.同類題型歸類練1．（2022·北京師大附中高二期中）2022年4月4日至2022年7月3日期間，北京本地燃油機(jī)動(dòng)車尾號(hào)限行規(guī)定為周一周二周三周四周五3和84和95和01和62和7已知甲、乙、丙各擁有一輛本地燃油機(jī)動(dòng)車，車牌尾號(hào)分別為1,2,7三人住在同一小區(qū)且工作地點(diǎn)相近，故商議拼車出行，每天任選一輛符合規(guī)定的車，但甲的車只用一天，按此限行規(guī)定，周一到周五不同的用車方案種數(shù)為（

）A．12 B．16 C．24 D．36【答案】B【詳解】解：由題意知：甲的車只用一天且乙、丙車尾號(hào)為2,7,故甲的車安排在周五，又因?yàn)槠渌奶煲摇⒈嚥皇芟拗?，故每天都有兩種選法，故有：SKIPIF1<0種不同的方案.故選：B.2．（2022·河北石家莊·高二期末）7月3日，甲、乙兩人從邢臺(tái)各自乘坐火車到石家莊，當(dāng)天從刑臺(tái)到石家莊有11個(gè)車次，其中有5個(gè)車次的發(fā)車時(shí)間為凌晨1點(diǎn)到凌晨5點(diǎn)，有6個(gè)車次的發(fā)車時(shí)間為早上7點(diǎn)到晚上6點(diǎn).已知甲選擇凌晨6點(diǎn)以后出發(fā)的車次，乙選擇凌晨1點(diǎn)到晚上6點(diǎn)出發(fā)的車次，則兩人車次的不同選擇共有（

）A．11種 B．36種 C．66種 D．121種【答案】C【詳解】解：依題意可得甲有6種選擇，乙有11種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得兩人車次的不同選擇共有SKIPIF1<0種.故選：C3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）7個(gè)不同型號(hào)的行李箱上分別對(duì)應(yīng)貼有不同的標(biāo)簽以作標(biāo)記，其中恰有3個(gè)行李箱標(biāo)簽貼錯(cuò)的種數(shù)為（

）A．49 B．70 C．265 D．1854【答案】B【詳解】第一步，從7個(gè)行李箱中挑選3個(gè)，有SKIPIF1<0種方法；第二步，3個(gè)行李箱標(biāo)簽貼錯(cuò)的方法有2種，所以恰有3個(gè)行李箱標(biāo)簽貼錯(cuò)的種數(shù)為SKIPIF1<0．故選：B4．（2022·廣東·石門高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（

）種A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】由題意四項(xiàng)比賽的冠軍依次在甲、乙、丙三人中選取，每項(xiàng)冠軍都有3種選取方法，由乘法原理共有SKIPIF1<0種．故A，B，D錯(cuò)誤.故選：C．5．（2022·陜西·西北農(nóng)林科技大學(xué)附中高二期末（理））將6封信投入4個(gè)郵筒，且6封信全部投完，不同的投法有（

）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．4種 D．24科【答案】A【詳解】將6封信投入4個(gè)郵筒，且6封信全部投完，根據(jù)乘法原理共有SKIPIF1<0種故選：A題型三：兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用角度1：與數(shù)字有關(guān)的問題典型例題例題1．（2022·遼寧·二模）重慶九宮格火鍋，是重慶火鍋獨(dú)特的烹飪方式．九宮格下面是相通的，實(shí)現(xiàn)了“底同火不同，湯通油不通”它把火鍋分為三個(gè)層次，不同的格子代表不同的溫度和不同的牛油濃度，其鍋具抽象成數(shù)學(xué)形狀如圖（同一類格子形狀相同）：“中間格“火力旺盛，不宜久煮，適合放一些質(zhì)地嫩脆、頃刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均勻，適合煮食，長(zhǎng)時(shí)間加熱以鎖住食材原香；“四角格”屬文火，火力溫和，適合燜菜，讓食物軟糯入味．現(xiàn)有6種不同食物（足夠量），其中1種適合放入中間格，3種適合放入十字格，2種適合放入四角格．現(xiàn)將九宮格全部放入食物，且每格只放一種，若同時(shí)可以吃到這六種食物（不考慮位置），則有多少種不同放法（

）A．108 B．36 C．9 D．6【答案】C【詳解】由題可知中間格只有一種放法；十字格有四個(gè)位置，3種適合放入，所以有一種放兩個(gè)位置，共有3種放法；四角格有四個(gè)位置，2種適合放入，可分為一種放三個(gè)位置，另一種放一個(gè)位置，有兩種放法，或每種都放兩個(gè)位置，有一種放法，故四角格共有3種放法；所以不同放法共有SKIPIF1<0種.故選：C.例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在某運(yùn)動(dòng)會(huì)的百米決賽上，8名男運(yùn)動(dòng)員參加100米決賽．其中甲、乙、丙3人必須在1，2，3，4，5，6，7，8八條跑道的奇數(shù)號(hào)跑道上，則安排這8名運(yùn)動(dòng)員比賽的方式共有________種．【答案】2880【詳解】分兩步安排這8名運(yùn)動(dòng)員．第1步：安排甲、乙、丙3人，共有1,3,5,7四條跑道可安排，安排方式有4×3×2＝24(種)．第2步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一條奇數(shù)號(hào)跑道上安排，安排方式有5×4×3×2×1＝120(種)．所以安排這8人的方式有24×120＝2880(種).故答案為：2880例題3．（2022·山東聊城·高二期末）數(shù)字2022具有這樣的性質(zhì)：它是6的倍數(shù)并且各位數(shù)字之和為6，稱這種正整數(shù)為“吉祥數(shù)”.在所有的三位正整數(shù)中，“吉祥數(shù)”的個(gè)數(shù)為___________.【答案】12【詳解】當(dāng)百位為6，符合要求的“吉祥數(shù)”有600；當(dāng)百位為5，符合要求的“吉祥數(shù)”有510；當(dāng)百位為4，符合要求的“吉祥數(shù)”有420、402；當(dāng)百位為3，符合要求的“吉祥數(shù)”有330、312；當(dāng)百位為2，符合要求的“吉祥數(shù)”有240、204、222；當(dāng)百位為1，符合要求的“吉祥數(shù)”有150、114、132；綜上，共有12個(gè)“吉祥數(shù)”.故答案為：12例題4．（2022·湖南·高二期中）從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(1)一共可以組成多少個(gè)？(2)其中偶數(shù)有多少個(gè)？【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則千位數(shù)字除0外有4種選法，百位、十位、個(gè)位數(shù)字共有SKIPIF1<0種選法．所以組成的四位數(shù)共有SKIPIF1<0（個(gè)）；(2)解：從0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中的偶數(shù)分兩類．一類：個(gè)位為0：有SKIPIF1<0；二類：個(gè)位為2或4：有SKIPIF1<0，所以組成的四位數(shù)中是偶數(shù)的共有SKIPIF1<0（個(gè)）．同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）將擺放在編號(hào)為SKIPIF1<0五個(gè)位置上的SKIPIF1<0件不同商品重新擺放，則恰有一件商品的位置不變的擺放方法數(shù)為_________．（用數(shù)字作答）【答案】45【詳解】根據(jù)題意，分SKIPIF1<0步進(jìn)行分析：（1）將SKIPIF1<0件不同商品中選出SKIPIF1<0件，放回原來的位置，有SKIPIF1<0種情況，假設(shè)編號(hào)為SKIPIF1<0的位置不變，（2）剩下四件都不在原來位置，即編號(hào)為SKIPIF1<0的四件商品都不在原來位置，編號(hào)為SKIPIF1<0的商品有SKIPIF1<0種放法，假設(shè)其放在了SKIPIF1<0號(hào)商品原來的位置，則SKIPIF1<0號(hào)商品有SKIPIF1<0種放法，剩下編號(hào)為3，4的兩件商品只有SKIPIF1<0種放法，則其余四件商品的放法有SKIPIF1<0種，故恰有一件商品的位置不變的擺放方法有SKIPIF1<0種，故答案為：45．2．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）從1，3，5，7中任取兩個(gè)數(shù)，從0，2，4，6中任取兩個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．(1)可以組成多少個(gè)四位偶數(shù)？(2)可以組成多少個(gè)兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字相鄰的四位數(shù)？（所有結(jié)果均用數(shù)值表示）【答案】(1)396(2)360(1)當(dāng)0在末位時(shí)，共有SKIPIF1<0個(gè)四位偶數(shù)，當(dāng)末位為2，4，6，且0不在首位時(shí)，共有SKIPIF1<0個(gè)四位偶數(shù)，則可以組成SKIPIF1<0個(gè)四位偶數(shù)．(2)當(dāng)0在首位時(shí)，有SKIPIF1<0種，則兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字相鄰的四位數(shù)共有SKIPIF1<0個(gè)．3．（2022·山東煙臺(tái)·高二期中）（1）將標(biāo)有1，2，3，4，5號(hào)的小球依次放入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)方格，每個(gè)方格一個(gè)小球，若3號(hào)小球不放在3號(hào)方格，則共有多少種不同的放法？（2）由數(shù)字1，2，3，4，5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字，并且比34000大的正整數(shù)？【答案】（1）SKIPIF1<0個(gè)；（2）SKIPIF1<0個(gè).（2）根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，按最高兩位34和35以及最高位4和5去排數(shù)即可.【詳解】（1）由題知，3號(hào)球不放在3號(hào)方格，則有SKIPIF1<0種放法，將其余的球放入方格中，則有SKIPIF1<0種放法，所以，一共有SKIPIF1<0種放法.（2）由題知，34和35在萬位和千位的五位數(shù)有SKIPIF1<0個(gè)；4和5在萬位的五位數(shù)有SKIPIF1<0個(gè).所以，一共有SKIPIF1<0個(gè)比34000大的的正整數(shù).角度2：與幾何有關(guān)的問題典型例題例題1．（2022·湖北咸寧·高二期末）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國(guó)文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由SKIPIF1<0個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從SKIPIF1<0點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)SKIPIF1<0點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種【答案】D【詳解】由題意可知，從SKIPIF1<0到SKIPIF1<0最少需要SKIPIF1<0步完成，其中有SKIPIF1<0步是橫向的，SKIPIF1<0步是縱向的，SKIPIF1<0步是豎向的，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有SKIPIF1<0種.故選：D.例題2.（多選）（2022·全國(guó)·高二期末）在某城市中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩地之間有如圖所示的道路網(wǎng)．甲隨機(jī)沿路網(wǎng)選擇一條最短路徑，從SKIPIF1<0地出發(fā)去往SKIPIF1<0地．下列結(jié)論正確的有（

）A．不同的路徑共有31條B．不同的路徑共有61條C．若甲途經(jīng)SKIPIF1<0地，則不同的路徑共有18條D．若甲途經(jīng)SKIPIF1<0地，且不經(jīng)過SKIPIF1<0地，則不同的路徑共有9條【答案】ACD【詳解】由圖可知，從A地出發(fā)去往B地的最短路徑共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中，至少有1步向上，則不同的路徑共有SKIPIF1<0條．若甲途經(jīng)C地，則不同的路徑共有SKIPIF1<0條．若甲途經(jīng)C地，且不經(jīng)過D地，則不同的路徑共有SKIPIF1<0條．故選：ACD．同類題型歸類練1．（2022·山東濰坊·高二階段練習(xí)）如圖所示，若從正六邊形SKIPIF1<0的六個(gè)頂點(diǎn)中任取三個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，則直角三角形的個(gè)數(shù)為（

）A．6個(gè) B．8個(gè) C．12個(gè) D．16個(gè)【答案】C【詳解】由正六邊形的性質(zhì)可得，當(dāng)以SKIPIF1<0為斜邊時(shí)，可構(gòu)成直角三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四種；同理可得當(dāng)以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為斜邊時(shí)，分為也為四種，即直角三角形的個(gè)數(shù)為12，故選：C.2．（2022·浙江省杭州第二中學(xué)高二期中）將一些小于10的正整數(shù)填入如下SKIPIF1<0的方格SKIPIF1<0中，使得每行和每列中的數(shù)的乘積都等于10，共有__________種不同的填法．【答案】SKIPIF1<0【詳解】問題等價(jià)于填入數(shù)字1，1，2，5，滿足每行每列都有一個(gè)2和一個(gè)5，先填入2，共有SKIPIF1<0種填法，對(duì)于其中任一給定的2的填法，5僅有SKIPIF1<0種填法，故共有SKIPIF1<0種填法．故答案為：SKIPIF1<03．（2022·江蘇南通·高二期中）將某商場(chǎng)某區(qū)域的行走路線圖抽象為一個(gè)SKIPIF1<0的長(zhǎng)方體框架（如圖），小紅欲從A處行走至B處，則小紅行走路程最近的路線共有_________．（結(jié)果用數(shù)字作答）【答案】210【詳解】由題意,最近的路線應(yīng)該是3次向上,2次向右,2次向前,一共走7次,所以路線共有SKIPIF1<0,故答案為：210角度3：涂色問題典型例題例題1．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）用紅、黃、藍(lán)3種顏色給如圖所示的6個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂2個(gè)圓，且相鄰2個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為（

）A．24 B．30 C．36 D．42【答案】B【詳解】分2類（先涂前3個(gè)圓，再涂后3個(gè)圓．）：第1類，前3個(gè)圓用3種顏色，后3個(gè)圓也用3種顏色，有SKIPIF1<0種涂法；第2類，前3個(gè)圓用2種顏色，后3個(gè)圓也用2種顏色，有SKIPIF1<0種涂法．綜上，不同的涂法和數(shù)為SKIPIF1<0．故選：B．例題2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶.如圖所示的弦圖中，由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)有六種不同的顏色可供涂色，要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方案有（

）A．SKIPIF1<0 B．1020 C．1180 D．1560【答案】D【詳解】第一步中間小正方形涂色，有6種方法，剩下5種顏色涂在四個(gè)直角三角形中，就按圖中所示1234的順序，1有5種方法，2有4種方法，3有4種方法，但要分類：與1相同和與1不相同，然后確定4的方法數(shù)，所以所求方法數(shù)為SKIPIF1<0.故選：D.例題3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，有SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0四塊區(qū)域需要植入花卉，現(xiàn)有SKIPIF1<0種不同花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有（）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．SKIPIF1<0種 D．SKIPIF1<0種【答案】D【詳解】SKIPIF1<0區(qū)域有SKIPIF1<0種選擇，SKIPIF1<0區(qū)域有SKIPIF1<0種選擇，SKIPIF1<0區(qū)域有SKIPIF1<0種選擇，SKIPIF1<0區(qū)域有SKIPIF1<0種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的檀入方法共有SKIPIF1<0種.故選：D.例題4．（2022·江蘇江蘇·高二階段練習(xí)）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色．現(xiàn)有5種顏色可供選擇，則不同的涂色方法的有(

)種A．540 B．360 C．300 D．420【答案】D【詳解】分兩種情況討論即可：(i)②和④涂同種顏色時(shí)，從①開始涂，①有5種涂法，②有4種涂法，④有1種涂法，③有3種涂法，⑤有3種涂法，∴此時(shí)有5×4×1×3×3＝180種涂法；(ii)②和④涂不同種顏色時(shí)，從①開始涂，①有5種涂法，②有4種涂法，④有3種涂法，③有2種涂法，⑤有2種涂法，∴此時(shí)有5×4×3×2×2＝240種涂法；∴總共有180＋240＝420種涂色方法．故選：D﹒同類題型歸類練1．（2022·全國(guó)·高二期末）現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對(duì)如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色（分割成六個(gè)不同區(qū)域），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分（有公共邊的兩個(gè)區(qū)域）的顏色不同，則不同的涂色方法有（

）A．48種 B．64種 C．96種 D．144種【答案】C【詳解】根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖所示，先對(duì)SKIPIF1<0區(qū)域涂色，有3種方法，再對(duì)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0這5個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0這5個(gè)區(qū)域都與SKIPIF1<0相鄰，所以每個(gè)區(qū)域都有2種涂色方法，所以共有SKIPIF1<0種涂色方法．故選：C.2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二期末）學(xué)習(xí)涂色能鍛煉手眼協(xié)調(diào)能力，更能提高審美能力.現(xiàn)有四種不同的顏色：湖藍(lán)色、米白色、橄欖綠、薄荷綠，欲給小房子中的四個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不涂同一顏色，且橄欖綠與薄荷綠也不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，則共有______種不同的涂色方法.【答案】66【詳解】當(dāng)選擇兩種顏色時(shí)，因?yàn)闄炀G與薄荷綠不涂在相鄰的區(qū)域內(nèi)，所以共有SKIPIF1<0種選法，因此不同的涂色方法有SKIPIF1<0種，當(dāng)選擇三種顏色且橄欖綠與薄荷綠都被選中，則有SKIPIF1<0種方法選法，因此不同的涂色方法有SKIPIF1<0