平面與平面平行的判定

平面與平面平行的判定第1頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一問題提出1.空間兩個不同平面的位置關(guān)系有哪幾種情況？2.兩個平面平行的基本特征是什么？有什么簡單辦法判定兩個平面平行呢？αβ第2頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究(一):平面與平面平行的背景分析

思考1：根據(jù)定義，判定平面與平面平行的關(guān)鍵是什么？思考2:若一個平面內(nèi)的所有直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面的位置關(guān)系怎樣？若一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面有公共點(diǎn)，那么這兩個平面的位置關(guān)系又會怎樣呢？第3頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3：三角板的一條邊所在直線與桌面平行，這個三角板所在平面與桌面平行嗎？思考4：三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行，三角板所在平面與桌面平行嗎？A第4頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考5:

建筑師如何檢驗(yàn)屋頂平面與水平面是否平行？第5頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考6：一般地，如果平面α內(nèi)有一條直線平行于平面β，那么平面α與平面β一定平行嗎？如果平面α內(nèi)有兩條直線平行于平面β，那么平面α與平面β一定平行嗎？αβ第6頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究(二):平面與平面平行的判定定理

思考1:對于平面α、β，你猜想在什么條件下可保證平面α與平面β平行？思考2:設(shè)a，b是平面α內(nèi)的兩條相交直線，且

a//β，b//β.在此條件下，若α∩β=l

，則直線a、b與直線l的位置關(guān)系如何？labαβ第7頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3:通過上述分析，我們可以得到判定平面與平面平行的一個定理，你能用文字語言表述出該定理的內(nèi)容嗎？定理一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.第8頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:上述定理通常稱為平面與平面平行的判定定理，該定理用符號語言可怎樣表述？且abαβP第9頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考5:在直線與平面平行的判定定理中，“a∥α,b∥β”

，可用什么條件替代？由此可得什么推論？推論如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行.αβab第10頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一理論遷移例1在正方體ABCD-A′B′C′D′中.求證：平面AB′D′∥平面BC′D.BAA′B′C′D′CD第11頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一PABCDEF例2在三棱錐P-ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是△PAB、△PBC、△PAC的重心，求證：平面DEF//平面ABC.MN第12頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一平面與平面垂直第13頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一問題提出

1.二面角與二面角的平面角分別是什么含義？二面角的平面角有哪幾個基本特征？(1)頂點(diǎn)在棱上；(2)邊在兩個面內(nèi)；(3)邊垂直于棱.第14頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一

2.直線與直線，直線與平面可以垂直，平面與平面是否存在垂直關(guān)系？如何認(rèn)識兩個平面垂直？我們從理論上作些探討.第15頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（一）：兩個平面垂直的概念

思考1:空間兩條直線垂直是怎樣定義的？直線與平面垂直是怎樣定義的？思考2:什么叫直二面角？如果兩個相交平面所成的四個二面角中，有一個是直二面角，那么其他三個二面角的大小如何？第16頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3:如果兩個相交平面所成的二面角是直二面角，則稱這兩個平面互相垂直.在你的周圍或空間幾何體中，有哪些實(shí)例反映出兩個平面垂直？第17頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:在圖形上，符號上怎樣表示兩個平面互相垂直？αβαβ第18頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一αβ思考5:如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)的任一條直線都與平面β垂直嗎？第19頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（二）：兩個平面垂直的判定

思考1:根據(jù)定義判斷兩個平面是否垂直需要解決什么問題？思考2:如圖，∠AOB為直二面角Α-l-β的平面角，那么直線AO與平面α的位置關(guān)系如何？αβABOl第20頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3：在二面角α-l-β中，直線m在平面β內(nèi)，如果m⊥α，那么二面角α-l-β是直二面角嗎？αβmla第21頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:根據(jù)上述分析，可以得到兩個平面互相垂直的判定定理，用文字語言如何表述這個定理？如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.第22頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考5:結(jié)合圖形，兩個平面垂直的判定定理用符號語言怎樣表述？αβl第23頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考6:過一點(diǎn)P可以作多少個平面與平面α垂直？過一條直線l可以作多少個平面與平面α垂直？αPlαl第24頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一理論遷移例1如圖，⊙O在平面α內(nèi)，AB是⊙O的直徑，PA⊥α，C為圓周上不同于A、B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.PABCO第25頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例2如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，M為AB的中點(diǎn)，求證：平面PMC⊥平面PCD.PABCDMEF第26頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例3在四面體ABCD中，已知AC⊥BD，BAC=∠CAD=45°，∠BAD=60°，求證：平面ABC⊥平面ACD.ABCDE第27頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一平面與平面平行的性質(zhì)第28頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一問題提出1.平面與平面平行的判定定理是什么？2.平面與平面平行的判定定理解決了平面與平面平行的條件問題，反之，在平面與平面平行的條件下，可以得到什么結(jié)論呢？定理

如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.第29頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究(一):平面與平面平行的性質(zhì)分析

思考1:若，則直線l與平面β的位置關(guān)系如何？lβα思考2：若，直線l與平面α平行，那么直線l與平面β的位置關(guān)系如何？lβαl第30頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:若，平面α與平面γ相交，則平面β與平面γ的位置關(guān)系如何？思考3:若，直線l與平面α相交，那么直線l與平面β的位置關(guān)系如何？βαlβα第31頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考5:若，平面α、β分別與平面γ相交于直線a、b，那么直線a、b的位置關(guān)系如何？為什么？abαβγ第32頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究(二):平面與平面平行的性質(zhì)定理

思考1:由下圖反映出來的性質(zhì)就是一個定理，分別用文字語言和符號語言可以怎樣表述？定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.abαβγ第33頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考2:上述定理通常稱為平面與平面平行的性質(zhì)定理，該定理在實(shí)際應(yīng)用中有何功能作用？abαβγ判定兩直線平行的依據(jù)第34頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3:如果兩個相交平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線的位置關(guān)系如何？αβγablbαβγal第35頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:若，那么在平面β內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)P且與l

平行的直線存在嗎？有幾條？βlαP思考5:若平面α、β都與平面γ平行，則平面α與平面β的位置關(guān)系如何？βγα第36頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一理論遷移例1

求證：夾在兩個平行平面間的平行線段相等.DαBβACγ第37頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例2

在正方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)M在CD′上，試判斷直線B′M與平面A′BD的位置關(guān)系，并說明理由.A′B′C′D′ABCDM第38頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例3

如圖，已知AB、CD是夾在兩個平行平面α、β之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點(diǎn)，求證：MN∥平面β.ABCDαMNβEl第39頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一平面與平面垂直的性質(zhì)第40頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一問題提出

1.平面與平面垂直的定義是什么？如何判定平面與平面垂直？

2.平面與平面垂直的判定定理，解決了兩個平面垂直的條件問題；反之，在平面與平面垂直的條件下，能得到哪些結(jié)論？定義和判定定理第41頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（一）平面與平面垂直的性質(zhì)定理

思考1:如果平面α與平面β互相垂直，直線l在平面α內(nèi)，那么直線l與平面β的位置關(guān)系有哪幾種可能？αβllαβlαβ第42頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（一）平面與平面垂直的性質(zhì)定理

思考2:黑板所在平面與地面所在平面垂直，在黑板上是否存在直線與地面垂直？若存在，怎樣畫線？αβ第43頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3:如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1與平面ABCD垂直，其交線為AD，直線A1A，D1D都在平面A1ADD1內(nèi)，且都與交線AD垂直，這兩條直線與平面ABCD垂直嗎？AA1BCDB1C1D1第44頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:一般地，

,垂足為B，那么直線AB與平面的位置關(guān)系如何？為什么？αβABDCE第45頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考5:據(jù)上分析可得什么定理？試用文字語言表述之.定理若兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直交線的直線與另一個平面垂直.αβABDC第46頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考6:上述定理通常叫做兩平面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合下圖，如何用符號語言描述這個定理？該定理在實(shí)際應(yīng)用中有何理論作用？αβlm第47頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（二）平面與平面垂直的性質(zhì)探究

思考1:若α⊥β，過平面α內(nèi)一點(diǎn)A作平面β的垂線，垂足為B，那么點(diǎn)B在什么位置？說明你的理由.BαβA第48頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考2:上述分析表明：如果兩個平面互相垂直，那么經(jīng)過一個平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于另一個平面的直線，必在這個平面內(nèi).該性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中有何理論作用？BαβA第49頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3:對于三個平面α、β、γ，如果α⊥γ，β⊥γ，，那么直線l與平面γ的位置關(guān)系如何？為什么？αβγlab第50頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:上述結(jié)論如何用文字語言表述？該性質(zhì)在實(shí)際應(yīng)用中有何理論作用？如果兩個相交平面都垂直于另一個平面，那么這兩個平面的交線垂直于這個平面.αβγl第51頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一理論遷移例1如圖，已知α⊥β，l⊥β，，試判斷直線l與平面α的位置關(guān)系，并說明理由.αβlma第52頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例2如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，AB=2，，側(cè)面PAB是等邊三角形，且側(cè)面PAB⊥底面ABCD.（1）證明：側(cè)面PAB⊥側(cè)面PBC；（2）求側(cè)棱PC與底面ABCD所成的角.PABCDE第53頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一直線與平面平行的判定第54頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一一觀察實(shí)例：

1.教室中墻面與地面的相交線與地面的位置關(guān)系3.天花板與墻面的相交線和地面的位置關(guān)系.2.兩墻面的相交線和地面的位置關(guān)系.

直線和平面平行第55頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一1．直線和平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（無數(shù)個公共點(diǎn)）；符號分別可表示為第56頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一（2）直線和平面相交（有且只有一個公共點(diǎn)）；（3）直線和平面平行（沒有公共點(diǎn)）用符號分別可表示為用符號分別可表示為第57頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一2．線面平行的判定定理：

如果平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行．

第58頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一判定定理:如果不在平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.l∥α已知:求證：lα，mα,l∥m線線平行,則線面平行第59頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例1已知空間四邊形中，分別是的中點(diǎn)，求證：

ABCDEF第60頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一ABCDEF證明：EF∥平面BCD連結(jié)BD，在△ABD中，因?yàn)镋、F，分別是AB、AD的中點(diǎn)，EF∥BD又EF平面BCD，BD平面BCD，第61頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)一、判斷題1、一條直線平行于一個平面，

這條直線就與這個平面內(nèi)的

任意直線不相交。2、過平面外一點(diǎn)有且只有一條

直線與已知平面平行。3、過直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面與已知直線平行。4、a、b是異面直線，則過b存在

唯一一個平面與a平行。()()()()第62頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一5、過直線外一點(diǎn)只能引一條直線與這條直線平行.

７、若兩條直線都和第三條直線垂直，則這兩條直線平行.８、若兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行.６、如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個平面平行。()

()

()()第63頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)二：如圖，長方體的六個面都是矩形，則(1)與直線AB平行的平面是(2)與直線AD平行的平面是(3)與直線AA1

平行的平面是平面A1C1與平面DC1

平面BC1與平面A1C1

平面BC1與平面DC1

第64頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一練習(xí)三：

已知：E、F、G、H分別為空

間四邊形ABCD中各邊

的中點(diǎn)，

求證：AC∥平面EFGH，

BD∥平面EFGH。第65頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一PABCDQ

作業(yè)：

已知：P是平行四邊形ABC所在平面外一點(diǎn)，Q是PA的中點(diǎn)，求證：PC∥平面BDQ

第66頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一方法一根據(jù)定義判定方法二根據(jù)判定定理判定直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。線線平行線面平行第67頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一直線與平面平行的性質(zhì)第68頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一問題提出1.直線與平面平行的判定定理是什么？2.直線與平面平行的判定定理解決了直線與平面平行的條件問題，反之，在直線與平面平行的條件下，可以得到什么結(jié)論呢？定理若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.第69頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究(一):直線與平面平行的性質(zhì)分析

思考1:如果直線a與平面α平行，那么直線a與平面α內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系？思考2:若直線a與平面α平行，那么在平面α內(nèi)與直線a平行的直線有多少條？這些直線的位置關(guān)系如何？aαaα第70頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3:如果直線a與平面α平行，那么經(jīng)過直線a的平面與平面α有幾種位置關(guān)系？αaαa第71頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:如果直線a與平面α平行，經(jīng)過直線a的平面與平面α相交于直線b，那么直線a、b的位置關(guān)系如何？為什么？αabb思考5:如果直線a與平面α平行，那么經(jīng)過平面α內(nèi)一點(diǎn)P且與直線a平行的直線怎樣定位？Pαa第72頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究(二):直線與平面平行的性質(zhì)定理

思考1:綜上分析，在直線與平面平行的條件下可以得到什么結(jié)論？并用文字語言表述之.定理：如果一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.第73頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考2:上述定理通常稱為直線與平面平行的性質(zhì)定理，該定理用符號語言可怎樣表述？αabβ第74頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3:直線與平面平行的性質(zhì)定理可簡述為“線面平行，則線線平行”，在實(shí)際應(yīng)用中它有何功能作用？作平行線的方法，判斷線線平行的依據(jù).αabβ第75頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4:教室內(nèi)日光燈管所在的直線與地面平行，如何在地面上作一條直線與燈管所在的直線平行？第76頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一理論遷移例1如圖所示的一塊木料中，棱BC平行于面A′C′.（1）要經(jīng)過面A′C′內(nèi)一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開，應(yīng)怎樣畫線？（2）所畫的線與平面AC是什么位置關(guān)系？AA′CBDPD′B′C′第77頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例2

已知平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個平面，求證另一條也平行于這個平面.cabα如圖，已知直線a，b和平面α

，a∥b，a∥α,a，b都在平面α外.求證：b∥α.第78頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一直線與平面垂直的概念和判定第79頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一問題提出1.前面我們?nèi)娣治隽酥本€與平面平行的概念、判定和性質(zhì)，對于直線與平面相交，又有哪些相關(guān)概念和原理？我們有必要進(jìn)一步研究.2.直線與直線存在有垂直關(guān)系，直線與平面也存在有垂直關(guān)系，我們?nèi)绾螐睦碚撋霞右哉J(rèn)識？第80頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（一）：直線與平面垂直的概念

思考1：田徑場地面上豎立的旗桿與地面的位置關(guān)系給人以什么感覺？你還能列舉一些類似的實(shí)例嗎？第81頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考2：將一本書打開直立在桌面上，觀察書脊（想象成一條直線）與桌面的位置關(guān)系呈什么狀態(tài)？此時書脊與每頁書和桌面的交線的位置關(guān)系如何？第82頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3：如圖，在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面的影子，隨著時間的變化，影子BC的位置在移動，在各時刻旗桿AB所在直線與影子BC所在直線的位置關(guān)系如何？

ABC第83頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4：上述旗桿與地面、書脊與桌面的位置關(guān)系，稱為直線與平面垂直.一般地，直線與平面垂直的基本特征是什么？怎樣定義直線與平面垂直？

如果一條直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱這條直線與這個平面垂直.

第84頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考5：在圖形上、符號上怎樣表示直線與平面垂直？lα第85頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考6：如果直線l與平面α垂直，則直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們的交點(diǎn)叫做垂足.那么過一點(diǎn)可作多少條平面α的垂線？過一點(diǎn)可作多少個直線l的垂面？lαA垂線垂面垂足第86頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（二）：直線與平面垂直的判定

思考1：對于一條直線和一個平面，如果根據(jù)定義來判斷它們是否垂直，需要解決什么問題？如何操作？第87頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考2：我們需要尋求一個簡單可行的辦法來判定直線與平面垂直.如果直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，能保證l⊥α嗎？如果直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，能保證l⊥α嗎？第88頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考3：如圖，將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，把翻折后的紙片豎起放置在桌面上，使BD、DC與桌面接觸，觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系.ABCDABCD第89頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考4：由上可知當(dāng)折痕AD垂直平面α內(nèi)的兩條相交直線時，折痕AD與平面α垂直.由此我們是否能得出直線與平面垂直的判定方法？ABCDABCD如何調(diào)整折痕AD的位置，才能使翻折后直線AD與桌面所在的平面垂直？第90頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面.思考5：上述定理通常稱為直線和平面垂直的判定定理，它是判定直線與平面垂直的理論依據(jù).結(jié)合下圖，怎樣用符號語言表述這個定理？αalPb第91頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一思考6：如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線與這個平面垂直嗎？第92頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一理論遷移例1已知.求證：αabcd第93頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例2在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D為PB的中點(diǎn)，求證：AD⊥PC.PABCD第94頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一例3側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足什么條件時，有A1C⊥B1D1，說明你的理由.AA1BCDB1C1D1第95頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一直線與平面垂直的性質(zhì)第96頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一問題提出

1.直線與平面垂直的定義是什么？如何判定直線與平面垂直？

2.直線與平面垂直的判定定理，解決了直線與平面垂直的條件問題；反之，在直線與平面垂直的條件下，能得到哪些結(jié)論？第97頁，共108頁，2023年，2月20日，星期一知識探究（一）直線與平面垂直的性質(zhì)定理

思考1:如圖，長方