新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第06講 向量法求空間角（含探索性問(wèn)題） 練（教師版）

第06講向量法求空間角（含探索性問(wèn)題）(精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·福建·廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二期末）將正方形SKIPIF1<0沿對(duì)角線SKIPIF1<0折起，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0且交線為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設(shè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為2，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選:A2．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若兩個(gè)半平面的法向量所成的角為SKIPIF1<0，則這個(gè)二面角的平面角的大小為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．以上都不對(duì)【答案】C解：因?yàn)閮蓚€(gè)半平面的法向量所成的角為SKIPIF1<0，所以這個(gè)二面角的平面角的大小為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：C.3．（2022·新疆·烏蘇市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（理））如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)E是上底面SKIPIF1<0的中心，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：B4．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖為一個(gè)四棱錐與三棱錐的組合體，C，D，E三點(diǎn)共線，已知三棱錐P－ADE四個(gè)面都為直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，則直線PC與平面PAE所成角的正弦值等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C如圖建立空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)平面PAE的法向量SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即直線PC與平面PAE所成角的正弦值為SKIPIF1<0．故選：C．5．（2022·天津天津·高二期末）已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A如圖，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則根據(jù)三角形面積得SKIPIF1<0，代入解得SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角的余弦值為SKIPIF1<0，故選：SKIPIF1<0．6．（2022·吉林白山·高一期末）在三棱錐SKIPIF1<0中，PA，PB，PC互相垂直，SKIPIF1<0，M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DM是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM．因?yàn)镻A，PB，PC互相垂直，所以SKIPIF1<0是直線AM與平面PBC所成的角．當(dāng)PM最短，即SKIPIF1<0時(shí)，直線AM與平面PBC所成角的正切值最大，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．將三棱錐SKIPIF1<0擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為SKIPIF1<0．故三棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0外接球的體積為SKIPIF1<0．所以D正確；故選：D.7．（2022·全國(guó)·高一單元測(cè)試）正方體SKIPIF1<0棱長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是四邊形SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界），且SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為定值，要想三棱錐SKIPIF1<0的體積最大，則F到底面ADE的距離最大，其中SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0故選：A8．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，當(dāng)二面角SKIPIF1<0處于SKIPIF1<0過(guò)程中，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D設(shè)向量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角大小為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)橹本€夾角范圍為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值范圍是SKIPIF1<0．故選：D．二、多選題9．（2022·廣東·普寧市華僑中學(xué)高二階段練習(xí)）三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的法向量分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則二面角SKIPIF1<0的大小可能為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD由已知可得SKIPIF1<0，因此，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故選：AD.10．（2022·湖北十堰·高二階段練習(xí)）如圖，在多面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是正方形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0B．存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值是SKIPIF1<0D．當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0自SKIPIF1<0向SKIPIF1<0處運(yùn)動(dòng)時(shí)，二面角SKIPIF1<0的平面角先變小后變大【答案】AD解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0點(diǎn)的位置，故選項(xiàng)A正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0無(wú)實(shí)數(shù)解，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；連結(jié)SKIPIF1<0,SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0面積最大，SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂線交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，所以SKIPIF1<0，又點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，所以SKIPIF1<0先變大后變小，故二面角SKIPIF1<0的平面角先變小后變大，故選項(xiàng)D正確.故選：AD.三、填空題11．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在如圖所示的正方體SKIPIF1<0中，E是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則異面直線DE與AC所成角的余弦值為_(kāi)__________.【答案】SKIPIF1<0解：以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體SKIPIF1<0中棱長(zhǎng)為2，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．12．（2022·四川綿陽(yáng)·高二期末（理））在正方體SKIPIF1<0SKIPIF1<0中，點(diǎn)Р在側(cè)面SKIPIF1<0(包括邊界)上運(yùn)動(dòng)，滿足SKIPIF1<0SKIPIF1<0記直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是_____________【答案】SKIPIF1<0如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則SKIPIF1<0，由題可設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量可取SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.四、解答題13．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）如圖所示，SKIPIF1<0是棱長(zhǎng)為1的正方體.(1)設(shè)SKIPIF1<0的重心為O，求證：直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)E?F分別是棱SKIPIF1<0?SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0，M為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，若異面直線SKIPIF1<0與EF所成的角的余弦值為SKIPIF1<0，求a的值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)SKIPIF1<0．(1)設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，首先SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等邊SKIPIF1<0的中心也是重心，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，(2)如圖，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（負(fù)值舍去）．14．（2022·天津市西青區(qū)楊柳青第一中學(xué)高二期末）如圖，SKIPIF1<0垂直于梯形SKIPIF1<0所在平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的大??；(3)在線段SKIPIF1<0上是否存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)SKIPIF1<0(3)存在，SKIPIF1<0(1)證明：以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，由題意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由圖可知二面角SKIPIF1<0為銳二面角，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0；(3)設(shè)存在點(diǎn)SKIPIF1<0滿足條件，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0點(diǎn)和SKIPIF1<0點(diǎn)重合，故在線段SKIPIF1<0上存在一點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．B能力提升1．（多選）（2022·河北承德·高一期末）如圖，在棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別為棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為面對(duì)角線SKIPIF1<0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值B．線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．線段SKIPIF1<0上存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0【答案】ABD易得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為定值，又SKIPIF1<0為定值，所以三棱錐SKIPIF1<0即三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值，故A正確．對(duì)于B,如圖所示,以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn),SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上靠近SKIPIF1<0的四等分點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故B正確對(duì)于C，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0得SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0取SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不合題意SKIPIF1<0線段SKIPIF1<0上不存在點(diǎn)SKIPIF1<0,使平面SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0．故D正確．故選：ABD2．（2022·廣東汕頭·二模）如圖，在正方體SKIPIF1<0中，點(diǎn)P在線段SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值C．異面直線AP與SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0D．直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為SKIPIF1<0【答案】AB建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.A：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；B：側(cè)面SKIPIF1<0的對(duì)角線交點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為定值，因此本選項(xiàng)結(jié)論正確；C：SKIPIF1<0，設(shè)異面直線AP與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，綜上所述：SKIPIF1<0，所以本選項(xiàng)結(jié)論不正確；D：設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為：SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最小值，最小值為SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值的最大值為SKIPIF1<0，因此本選項(xiàng)結(jié)論不正確，故選：AB3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已如平面四邊形ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．沿直線AC將SKIPIF1<0翻折成SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________；當(dāng)平面SKIPIF1<0平面ABC時(shí)，則異面直線AC與SKIPIF1<0所成角余弦值是___________．【答案】

2

SKIPIF1<0解：∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴三角形ABC為等腰三角形取AC的中點(diǎn)O，則OB⊥AC，以O(shè)為原點(diǎn)，OB所在直線為x軸，OA所在直線為y軸，垂直于平面ABC的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；當(dāng)平面SKIPIF1<0平面ABC時(shí)，SKIPIF1<0在yoz平面上，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)異面直線AC與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，異面直線AC與SKIPIF1<0所成角余弦值是SKIPIF1<0.故答案為：2；SKIPIF1<0．4．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為_(kāi)___________；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，則二面角SKIPIF1<0的余弦值為_(kāi)_________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0．解：在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又由在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以取SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，因?yàn)槎娼荢KIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.C綜合素養(yǎng)1．（2022·江蘇南通·高二期末）如圖，在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上．(1)當(dāng)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0中點(diǎn)時(shí)，求SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離；(2)若二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.(2)解：設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，由已知可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此時(shí)點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，故SKIPIF1<0.2．（2022·廣東·執(zhí)信中學(xué)高一階段練習(xí)）已知等邊△SKIPIF1<0邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，△BCD中，BD=CD=1，BC=SKIPIF1<0(如圖1所示)，現(xiàn)將B與SKIPIF1<0，C與SKIPIF1<0重合，將△SKIPIF1<0向上折起，使得AD=SKIPIF1<0(如圖2所示).(1)若BC的中點(diǎn)O，求證：平面BCD⊥平面AOD；(2)在線段AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成SKIPIF1<0角，若存在，求出CE的長(zhǎng)度，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)求三棱錐A—BCD的外接球的表面積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)在線段AC上是存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成SKIPIF1<0角，且SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0.(1)因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面BCD⊥平面AOD.(2)在線段AC上是存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成SKIPIF1<0角，且SKIPIF1<0.作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延長(zhǎng)線于點(diǎn)SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍮CD⊥面AOD，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面AOD，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且三角形SKIPIF1<0為等腰直角三角形，且直角三角形SKIPIF1<0為等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為銳角，故SKIPIF1<0.(3)將三棱錐A—BCD補(bǔ)形為棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方體，如圖：則三棱錐A—BCD的外接球的半徑為SKIPIF1<0，所以三棱錐A—BCD的外接球的表面積為SKIPIF1<0.3．（2022·內(nèi)蒙古·赤峰紅旗中學(xué)松山分校模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為正方形，SKIPIF1<0底面ABCD，M為線段PC的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，N為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的何位置時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°？指出點(diǎn)N的位置，并說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)(1)證明：因?yàn)镾KIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0底面ABCD，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)樵赟KIPIF1<0中，SKIPIF1<0，M為線段PC的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，(2)當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，理由如下：因?yàn)镾KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0兩兩垂直，所以以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，以SKIPIF1<0所在的直線分別為SKIPIF1<0軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍹ND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°，所以SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以當(dāng)點(diǎn)N在線段BC的中點(diǎn)時(shí)，平面MND與平面PAB所成銳二面角的大小為30°4．（2022·四川·成都七中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖1，在邊上為4的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．沿SKIPIF1<0將SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到如圖2所示的五棱錐SKIPIF1<0．(1)在翻折過(guò)程中是否總有平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)四棱錐SKIPIF1<0體積最大時(shí)，求直線SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)在（2）的