新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章 第04講 空間直線、平面的垂直 講（教師版）

第04講空間直線、平面的垂直(精講）目錄第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第二部分：課前自我評估測試第三部分：典型例題剖析題型一：直線、平面垂直的判定與性質(zhì)題型二：平面與平面垂直的判定與性質(zhì)題型三：平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用題型四：幾何法求線面角題型五：幾何法求二面角第四部分：高考真題感悟第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶第一部分：知識(shí)點(diǎn)精準(zhǔn)記憶知識(shí)點(diǎn)一：直線與平面垂直1、直線和平面垂直的定義如果一條直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么直線SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，記為SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0叫做平面SKIPIF1<0的垂線，平面SKIPIF1<0叫做直線SKIPIF1<0的垂面，垂線與平面的交點(diǎn)P叫垂足.符號(hào)語言：對于任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.2、直線和平面垂直的判定定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直.簡記：線線垂直SKIPIF1<0線面垂直符號(hào)語言：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、直線和平面垂直的性質(zhì)定理3.1定義轉(zhuǎn)化性質(zhì)：如果一條直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直，那么直線SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0內(nèi)所有直線.符合語言：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3.2性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符合語言：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)二：直線與平面所成角1、直線與平面所成角定義如圖，一條直線SKIPIF1<0和一個(gè)平面SKIPIF1<0相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的交點(diǎn)SKIPIF1<0叫做斜足，過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線SKIPIF1<0，過垂足SKIPIF1<0和斜足SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.說明：①SKIPIF1<0為斜線②SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點(diǎn)SKIPIF1<0為斜足③直線SKIPIF1<0為在平面SKIPIF1<0上的射影④直線SKIPIF1<0與射影SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0(角SKIPIF1<0)為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0上所成角⑤當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直時(shí)：SKIPIF1<0；當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0平行或在平面SKIPIF1<0內(nèi)時(shí)：SKIPIF1<0⑥直線與平面所成角SKIPIF1<0取值范圍：SKIPIF1<0.2、直線與平面所成角的求解步驟①作：在斜線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平而引垂線，在這一步確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證：證明所找到的角為直線與平面所成的角，其證明的主要依據(jù)為直線與平面所成的角的定義；③算：一般借助三角形的相關(guān)知識(shí)計(jì)算.知識(shí)點(diǎn)三：二面角1、二面角定義（1）定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．（2）符號(hào)語言：①二面角SKIPIF1<0.②在SKIPIF1<0,SKIPIF1<0內(nèi)分別取兩點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(SKIPIF1<0,SKIPIF1<0),可記作二面角SKIPIF1<0;③當(dāng)棱記作SKIPIF1<0時(shí)，可記作二面角SKIPIF1<0或者二面角SKIPIF1<0.2、二面角的平面角（1）定義：在二面角SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0上任取一點(diǎn)SKIPIF1<0,以點(diǎn)SKIPIF1<0為垂足,在半平面SKIPIF1<0和SKIPIF1<0內(nèi)分別作垂直與直線SKIPIF1<0的射線SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則射線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0構(gòu)成的SKIPIF1<0叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.（2）說明：①二面角的大小可以用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個(gè)二面角是多少度；②二面角的大小與垂足SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的位置無關(guān)一個(gè)二面角的平面角有無數(shù)個(gè)，它們的大小是相等的；③構(gòu)成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面內(nèi)”“垂直”.即二面角的平面角的頂點(diǎn)必須在棱上，角的兩邊必須分別在兩個(gè)半平面內(nèi)，角的兩邊必須都與棱垂直，這三個(gè)條件缺一不可，前兩個(gè)要素決定了二面角的平面角大小的唯一性，后一個(gè)要素表明平面角所在的平面與棱垂直；④二面角的平面角SKIPIF1<0的范圍是SKIPIF1<0，當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)兩個(gè)半平面合成一個(gè)平面時(shí)，SKIPIF1<0⑤當(dāng)兩個(gè)半平面垂直時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)的二面角稱為直二面角.3、二面角的平面角SKIPIF1<0的取值范圍：SKIPIF1<04、二面角平面角求法（1）定義法：利用二面角的平面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)（一般取特殊點(diǎn)），過該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，兩射線所成的角就是二面角的平面角，這是一種最基本的方法，要注意用二面角的平面角定義的三要素來找出平面角.（2）三垂線定理及其逆定理①定理：平面內(nèi)的一條直線如果和經(jīng)過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面上的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.②三垂線定理（逆定理）法：由二面角的一個(gè)面上的斜線的射影與二面角的棱垂直，推得它在二面角的另一面上的射影也與二面角的棱垂直.從而確定二面角的平面角.(3)找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定義可知兩個(gè)面的公垂面與棱垂直，因此公垂面與兩個(gè)面的交線所成的角，就是二面角的平面角.(4)轉(zhuǎn)化法：化歸為分別垂直于二面角的兩個(gè)面的兩條直線所成的角（或其補(bǔ)角）.(5)向量法：用空間向量求平面間夾角的方法知識(shí)點(diǎn)四：平面與平面垂直1、平面與平面垂直的定義（1）定義:一般地,兩個(gè)平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直.（2）符號(hào)語言:SKIPIF1<0（3）圖形語言2、平面與平面垂直的判定（1）定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.(線面垂直，則面面垂直)（2）符號(hào)（圖形）語言:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03、平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．(2)符號(hào)（圖形）語言：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.第二部分：課前自我評估測試第二部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）判斷正誤．（1）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，任取直線SKIPIF1<0，則必有SKIPIF1<0．()（2）已知兩個(gè)平面垂直，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面．()（3）已知兩個(gè)平面互相垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線．()【答案】

×

√

√（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知錯(cuò)誤；（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知正確；（3）已知兩個(gè)平面互相垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)與交線垂直的直線，這樣的直線有無數(shù)條，故正確.2．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）空間中直線l和三角形的兩邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊SKIPIF1<0的位置關(guān)系是()A．平行

B．垂直

C．相交

D．不確定【答案】B由直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，所以該直線垂直平面ABC,則該直線與AB垂直故選：B3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）對于直線m，n和平面SKIPIF1<0，能得出SKIPIF1<0的一個(gè)條件是()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0

D．SKIPIF1<0【答案】C對A，SKIPIF1<0可以平行或相交；對B，SKIPIF1<0相交但不一定垂直；對C，根據(jù)SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故成立；對D，由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平行故選：C4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則過l與SKIPIF1<0垂直的平面()A．有1個(gè)

B．有2個(gè)

C．有無數(shù)個(gè)

D．不存在【答案】C由題可知：經(jīng)過直線l的平面有無數(shù)個(gè)，所以滿足條件的平面有無數(shù)個(gè)故選：C5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則()A．SKIPIF1<0

B．SKIPIF1<0

C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相交但不垂直

D．以上都有可能【答案】D若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可以平行，垂直，相交且不垂直故選：D第三部分：典型例題剖析第三部分：典型例題剖析題型一：直線、平面垂直的判定與性質(zhì)典型例題例題1．（2022·山東省萊西市第一中學(xué)高一期中）如圖，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(1)證明：（1）取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，從而SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)證明∵SKIPIF1<0垂直于平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由（1）可知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例題2．（2022·廣西貴港·高二期末（文））如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析；由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．例題3．（2022·遼寧·沈陽二十中高一期末）已知四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為矩形，點(diǎn)E在AD上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析證明：如圖所示，連接SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0AB的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.例題4．（2022·北京·高一期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為平行四邊形，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，指出點(diǎn)SKIPIF1<0的位置；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)(1)因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0底面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)解：存在，點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn).連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，如圖所示：因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0為平行四邊形，所以點(diǎn)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn).在SKIPIF1<0中，因?yàn)辄c(diǎn)SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn).所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.題型歸類練1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析；(1)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相似，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；2．（2022·全國·高二單元測試）在四棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0①又因?yàn)镾KIPIF1<0②，由①②，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0③.在SKIPIF1<0中：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0④，由③④，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.3．（2022·河北唐山·高一期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD是矩形，SKIPIF1<0平面ABCD，M為AD的中點(diǎn)且SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析(1)證明：∵SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面PAC，∴SKIPIF1<0平面PAC，∵SKIPIF1<0平面PAC，∴SKIPIF1<0；4．（2022·福建三明·高一期末）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)證明：AB⊥BC；【答案】(1)見解析因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是直三棱柱，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以AB⊥BC.題型二：平面與平面垂直的判定與性質(zhì)典型例題例題1．（2022·四川綿陽·高二期末（理））如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn).(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析證明：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例題2．（2022·北京延慶·高一期末）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，已知底面SKIPIF1<0是一個(gè)菱形，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析(1)因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0是一個(gè)菱形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(3)因?yàn)榈酌鍿KIPIF1<0是一個(gè)菱形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；例題3．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）如圖，在四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析；在四棱柱SKIPIF1<0中，取CD中點(diǎn)E，連接SKIPIF1<0，如圖，菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.例題4．（2022·廣東茂名·高二期末）在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析；(1)在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為矩形，有SKIPIF1<0，因平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.題型歸類練1．（2022·江西·景德鎮(zhèn)一中高一期末）如圖所示，已知菱形SKIPIF1<0和矩形SKIPIF1<0所在平面互相垂直，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為菱形SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0

SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0面SKIPIF1<02．（2022·河南南陽·高一期末）如圖，已知SKIPIF1<0是正三角形，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(1)證明：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0都垂直于平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)證明：SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.3．（2022·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）如圖，四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值；【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(1)證明：在底面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為等腰直角三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0或其補(bǔ)角，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0.因此，異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.4．（2022·全國·高一單元測試）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0；【答案】(1)證明見解析如圖所示，設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面ABCD，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABCD．所以SKIPIF1<0平面PBD，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面PBD，所以SKIPIF1<0．題型三：平行、垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用典型例題例題1．（2022·四川成都·高一期末）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，等邊三角形SKIPIF1<0的重心為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)求證：SKIPIF1<0平面DEF；(2)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(1)連接PE，因?yàn)镾KIPIF1<0為等邊三角形，且O為重心，所以P、O、E三點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0，因?yàn)镸為PA中點(diǎn)，D是線段AM的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面DEF，SKIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0平面DEF(2)連接AE、BD，如圖所示因?yàn)镾KIPIF1<0為等邊三角形，E為BC中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BC中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面PAE，所以SKIPIF1<0平面PAE，因?yàn)镾KIPIF1<0平面PAE，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面PBC，所以SKIPIF1<0平面PBC，因?yàn)镾KIPIF1<0平面DEF，所以平面SKIPIF1<0平面PBC例題2．（2022·福建三明·高一期末）如圖1，在平行四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．連結(jié)SKIPIF1<0，并以SKIPIF1<0為折痕將SKIPIF1<0折起，使點(diǎn)SKIPIF1<0到達(dá)點(diǎn)SKIPIF1<0的位置，得到四棱錐SKIPIF1<0，如圖2．(1)設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0；(2)在圖2中，已知SKIPIF1<0．①證明：平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；②求以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為頂點(diǎn)的四面體外接球的表面積．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②SKIPIF1<0.(1)由題設(shè)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，平面PEC與平面PAD的交線為l，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0.(2)①若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，由題設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，平行四邊形ABCD中SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，故SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.②由①知：△SKIPIF1<0為直角三角形，則外接圓圓心為SKIPIF1<0，故外接圓半徑為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則以P，A，D，E為頂點(diǎn)的四面體外接球球心在直線SKIPIF1<0上，若外接球半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為SKIPIF1<0.題型歸類練1．（2022·四川成都·高三期末（理））如圖，已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，M，N分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)．有下列結(jié)論：①三棱錐SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的正投影圖為等腰三角形；②直線SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；③在棱BC上存在一點(diǎn)E，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；④若F為棱AB的中點(diǎn)，且三棱錐SKIPIF1<0的各頂點(diǎn)均在同一求面上，則該球的體積為SKIPIF1<0．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D對于①，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的正投影分別為SKIPIF1<0，且點(diǎn)SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的正投影分別為其本身，SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的正投影圖為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為等腰三角形，①正確；對于②，以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，分別以SKIPIF1<0所在直線為SKIPIF1<0軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<