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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知平面向量,,滿足:,,則的最小值為()A.5 B.6 C.7 D.82.已知,則的值構(gòu)成的集合是()A. B. C. D.3.設(shè)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù),若,則()A. B. C. D.4.設(shè)函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),令.有以下6個(gè)論斷:①是奇函數(shù)時(shí),是奇函數(shù);②是偶函數(shù)時(shí),是奇函數(shù);③是偶函數(shù)時(shí),是偶函數(shù);④是奇函數(shù)時(shí),是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù);⑥對(duì)任意的實(shí)數(shù),.那么正確論斷的編號(hào)是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤5.已知函數(shù),,若總有恒成立.記的最小值為,則的最大值為()A.1 B. C. D.6.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則公比的值為()A. B.或 C. D.7.已知無窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.8.已知實(shí)數(shù)滿足線性約束條件,則的取值范圍為()A.(-2,-1] B.(-1,4] C.[-2,4) D.[0,4]9.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.10.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長度 B.向右平移個(gè)單位長度C.向左平移個(gè)單位長度 D.向右平移個(gè)單位長度11.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.12.下列函數(shù)中,在區(qū)間上為減函數(shù)的是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,.若,則_________.14.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則其單調(diào)遞減區(qū)間為_______.15.在中,內(nèi)角的對(duì)邊長分別為,已知,且,則_________.16.已知函數(shù)在定義域R上的導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)沒有零點(diǎn),且,當(dāng)在上與在R上的單調(diào)性相同時(shí),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)橢圓的右焦點(diǎn),過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)過點(diǎn)且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點(diǎn).為坐標(biāo)原點(diǎn),為橢圓的右頂點(diǎn),求四邊形面積的最大值.18.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率為,為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)(異于左右頂點(diǎn)),面積的最大值為.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相交于點(diǎn)兩點(diǎn),問軸上是否存在點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.19.(12分)某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品,每件產(chǎn)品不合格的概率均為,現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù),要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過合格檢驗(yàn),已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品,且每件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立.若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次,所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多,該工廠提出以下檢驗(yàn)方案:將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn),如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格,則說明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格,若檢驗(yàn)不合格,則說明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品,再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn),如此,每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次.設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品,記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)為.(1)求的分布列及其期望;(2)(i)試說明,當(dāng)越小時(shí),該方案越合理,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少;(ii)當(dāng)時(shí),求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù).20.(12分)如圖,點(diǎn)是以為直徑的圓上異于、的一點(diǎn),直角梯形所在平面與圓所在平面垂直,且,.(1)證明:平面;(2)求點(diǎn)到平面的距離.21.(12分)為調(diào)研高中生的作文水平.在某市普通高中的某次聯(lián)考中,參考的文科生與理科生人數(shù)之比為,且成績分布在的范圍內(nèi),規(guī)定分?jǐn)?shù)在50以上(含50)的作文被評(píng)為“優(yōu)秀作文”,按文理科用分層抽樣的方法抽取400人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖,如圖所示.其中構(gòu)成以2為公比的等比數(shù)列.(1)求的值;(2)填寫下面列聯(lián)表,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生的文理科”有關(guān)?文科生理科生合計(jì)獲獎(jiǎng)6不獲獎(jiǎng)合計(jì)400(3)將上述調(diào)查所得的頻率視為概率,現(xiàn)從全市參考學(xué)生中,任意抽取2名學(xué)生,記“獲得優(yōu)秀作文”的學(xué)生人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附:,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,若(1)求角的大?。?)若,求的周長
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
建立平面直角坐標(biāo)系,將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式,再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式,利用基本不等式求得最小值.【詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示,設(shè),,且,由于,所以..所以,即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值,此時(shí)由得,當(dāng)時(shí),有最小值為,即,,解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模,考查基本不等式的運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.2.C【解析】
對(duì)分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論,利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得.【詳解】為偶數(shù)時(shí),;為奇數(shù)時(shí),,則的值構(gòu)成的集合為.【點(diǎn)睛】本題考查三角式的化簡(jiǎn),誘導(dǎo)公式,分類討論,屬于基本題.3.D【解析】
利用與的關(guān)系,求得的值.【詳解】依題意,所以故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)值的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.4.A【解析】
根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù),則,所以,所以是偶函數(shù);當(dāng)是奇函數(shù)時(shí),則,所以,所以是偶函數(shù);當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時(shí),例如:,則,,此時(shí),故⑥錯(cuò)誤;故③④正確.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義,掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
根據(jù)總有恒成立可構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)后分情況討論的最大值可得最大值最大值,即.根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得,求得,再換元求導(dǎo)分析最大值即可.【詳解】由題,總有即恒成立.設(shè),則的最大值小于等于0.又,若則,在上單調(diào)遞增,無最大值.若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增.故在處取得最大值.故,化簡(jiǎn)得.故,令,可令,故,當(dāng)時(shí),,在遞減;當(dāng)時(shí),,在遞增.故在處取得極大值,為.故的最大值為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題,需要根據(jù)題意分析導(dǎo)數(shù)中參數(shù)的范圍,再分析函數(shù)的最值,進(jìn)而求導(dǎo)構(gòu)造函數(shù)求解的最大值.屬于難題.6.C【解析】
由可得,故可求的值.【詳解】因?yàn)?,所以,故,因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列,故,所以,故選C.【點(diǎn)睛】一般地,如果為等比數(shù)列,為其前項(xiàng)和,則有性質(zhì):(1)若,則;(2)公比時(shí),則有,其中為常數(shù)且;(3)為等比數(shù)列()且公比為.7.A【解析】
依據(jù)無窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項(xiàng),再求出,利用無窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?!驹斀狻恳?yàn)闊o窮等比數(shù)列的公比為2,則無窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!军c(diǎn)睛】本題主要考查無窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。8.B【解析】
作出可行域,表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,觀察可行域可得最小值.【詳解】作出可行域,如圖陰影部分(含邊界),表示可行域內(nèi)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,,,過與直線平行的直線斜率為-1,∴.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的非線性規(guī)劃.解題關(guān)鍵是理解非線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,本題表示動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線斜率,由直線與可行域的關(guān)系可得結(jié)論.9.A【解析】
先化簡(jiǎn)求出,即可求得答案.【詳解】因?yàn)?,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,注意計(jì)算的準(zhǔn)確度,屬于簡(jiǎn)單題目.10.A【解析】
由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個(gè)單位可得到的圖象.故選A.考點(diǎn):函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)圖象變換方法:11.A【解析】
根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點(diǎn)位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(),所以,又因?yàn)闈u近線方程為,所以,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷各選項(xiàng)中函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對(duì)于B選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù);對(duì)于C選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);對(duì)于D選項(xiàng),函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性的判斷,熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調(diào)性是判斷的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】分析:首先設(shè)出相應(yīng)的直角邊長,利用余弦勾股定理得到相應(yīng)的斜邊長,之后應(yīng)用余弦定理得到直角邊長之間的關(guān)系,從而應(yīng)用正切函數(shù)的定義,對(duì)邊比臨邊,求得對(duì)應(yīng)角的正切值,即可得結(jié)果.詳解:根據(jù)題意,設(shè),則,根據(jù),得,由勾股定理可得,根據(jù)余弦定理可得,化簡(jiǎn)整理得,即,解得,所以,故答案是.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)解三角形的問題,在解題的過程中,注意分析要求對(duì)應(yīng)角的正切值,需要求誰,而題中所給的條件與對(duì)應(yīng)的結(jié)果之間有什么樣的連線,設(shè)出直角邊長,利用所給的角的余弦值,利用余弦定理得到相應(yīng)的等量關(guān)系,求得最后的結(jié)果.14.【解析】
利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式,再求出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】解:冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),則,解得;所以,其中;所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題.15.4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為416.【解析】
由題意可知:為上的單調(diào)函數(shù),則為定值,由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知為上的增函數(shù),則在,單調(diào)遞增,求導(dǎo),則恒成立,則,根據(jù)函數(shù)的正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】若方程無解,則或恒成立,所以為上的單調(diào)函數(shù),都有,則為定值,設(shè),則,易知為上的增函數(shù),,,又與的單調(diào)性相同,在上單調(diào)遞增,則當(dāng),,恒成立,當(dāng),時(shí),,,,,,此時(shí),故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,正弦函數(shù)的性質(zhì),輔助角公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)最大值.【解析】
(1)根據(jù)通徑和即可求(2)設(shè)直線方程為,聯(lián)立橢圓,利用,用含的式子表示出,用換元,可得,最后用均值不等式求解.【詳解】解:(1)依題意有,,,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.所以,.所以.令,則,所以,因,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取得等號(hào),即四邊形面積的最大值.【點(diǎn)睛】考查橢圓方程的求法和橢圓中四邊形面積最大值的求法,是難題.18.(1);(2)見解析【解析】
(1)由面積最大值可得,又,以及,解得,即可得到橢圓的方程,(2)假設(shè)軸上存在點(diǎn),是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,設(shè),,線段的中點(diǎn)為,根據(jù)韋達(dá)定理求出點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù),,即可求出的值,可得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】(1)面積的最大值為,則:又,,解得:,橢圓的方程為:(2)假設(shè)軸上存在點(diǎn),是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形設(shè),,線段的中點(diǎn)為由,消去可得:,解得:∴,,依題意有,由可得:,可得:由可得:,代入上式化簡(jiǎn)可得:則:,解得:當(dāng)時(shí),點(diǎn)滿足題意;當(dāng)時(shí),點(diǎn)滿足題意故軸上存在點(diǎn),使得是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的方程,直線和橢圓的位置關(guān)系,斜率公式,考查了運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.19.(1)見解析,(2)(i)見解析(ii)時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約為594次.【解析】
(1)由題意可得,的可能取值為和,分別求出其概率即可求出分布列,進(jìn)而可求出期望.(2)(i)由記,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可證出;記,當(dāng)且取最小值時(shí),該方案最合理,對(duì)進(jìn)行賦值即可求解.【詳解】(1)由題,的可能取值為和,故的分布列為由記,因?yàn)?,所以在上單調(diào)遞增,故越小,越小,即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少,該方案越合理記當(dāng)且取最小值時(shí),該方案最合理,因?yàn)?,,所以時(shí)平均檢驗(yàn)次數(shù)最少,約為次.【點(diǎn)睛】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望,考查了分析問題、解決問題的能力,屬于中檔題.20.(1)見解析;(2)【解析】
(1)取的中點(diǎn),證明,則平面平面,則可證平面.(2)利用,是平面的高,容易求.,再求,則點(diǎn)到平面的距離可求.【詳解】解:(1)如圖:取的中點(diǎn),連接、.在中,是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),平面平面,故平面在直角梯形中,,且,∴四邊形是平行四邊形,,同理平面又,故平面平面,又平面平面.(2)是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于、的一點(diǎn),又∵平面平面,平面平面平面,可得是三棱錐的高線.在直角梯形中,.設(shè)到平面的距離為,則,即由已知得,由余弦定理易知:,則解得,即點(diǎn)到平面的距離為故答案為:.【點(diǎn)睛】考查線面平行的判定和利用等體積法求距離的方法,是中檔題.21.(1),,.(2)填表見解析;在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的情況下,不能認(rèn)為“獲得優(yōu)秀作文”與“學(xué)生
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