人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)8.2 立體圖形的直觀圖 課件

8.2立體圖形的直觀圖必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)1.直觀圖(1)定義:觀察者站在某一點(diǎn)觀察一個(gè)___________獲得的圖形.(2)本質(zhì):把不完全在同一平面內(nèi)的點(diǎn)的集合,用同一平面內(nèi)的點(diǎn)表示.立體圖形的直觀圖通常是在平行投影下得到的平面圖形.空間幾何體【思考】圖形的形狀與其直觀圖一定一樣嗎?提示:圖形的形狀與其直觀圖往往不完全一樣.2.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)畫(huà)軸:在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點(diǎn)O,畫(huà)直觀圖時(shí),把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x′軸與y′軸,兩軸交于O′,且使∠x(chóng)′O′y′=_____(或______),它們確定的平面表示水平面.(2)畫(huà)線:已知圖形中平行于x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫(huà)成平行于______________的線段.(3)取長(zhǎng)度:已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持___________,平行于y軸的線段,在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的_____.45°135°x′軸或y′軸原長(zhǎng)度不變一半【思考】

x、y軸上的線段在直觀圖中的位置、長(zhǎng)度是怎樣的?提示:分別在x′,y′軸上,在x′軸上的長(zhǎng)度不變;在y′軸上的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半.3.空間幾何體直觀圖的畫(huà)法(1)畫(huà)軸:與平面圖形的直觀圖畫(huà)法相比多了一個(gè)z軸,直觀圖中與之對(duì)應(yīng)的是z′軸.(2)畫(huà)底面:平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示豎直平面.(3)畫(huà)側(cè)棱:已知圖形中平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中_______和_____都不變.(4)成圖:去掉輔助線,將被遮擋的部分改為_(kāi)____.平行性長(zhǎng)度虛線【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)垂直的線段在直觀圖中仍然垂直. (

)(2)菱形的直觀圖仍然是菱形. (

)(3)梯形的直觀圖仍然是梯形. (

)提示:(1)×.垂直的線段在直觀圖中不一定垂直.(2)×.相等的線段在直觀圖中不一定相等.(3)√.平行的線段在直觀圖中仍然平行,因此梯形的直觀圖仍然是梯形.2.利用斜二測(cè)畫(huà)法得到的:①三角形的直觀圖是三角形;②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形;③正方形的直觀圖是正方形;以上結(jié)論,正確的是 (

)

A.①② B.① C.③ D.①②③【解析】選A.由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則知①正確;平行性不變,故②正確;正方形的直觀圖是平行四邊形,③錯(cuò)誤.3.(教材二次開(kāi)發(fā):綜合運(yùn)用改編)如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,則原圖形的周長(zhǎng)是 (

)

A.4+2 B.8C.2(1+) D.2(1+)【解析】選A.依題意,AD=1,AC=,建立如圖直角坐標(biāo)系xA′y,在y軸上截取A′D′=2,在x軸上截取A′C′=,過(guò)C′作y軸的平行線,截取C′B′=2,則四邊形A′B′C′D′為正方形ABCD的原圖.A′B′=C′D′=所以原圖形的周長(zhǎng)是2×2+2×=4+2.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一平面圖形的直觀圖(直觀想象)【題組訓(xùn)練】1.如圖,△A′B′C′是△ABC的直觀圖,其中A′B′∥x′軸,A′C′∥y′軸,且A′B′=A′C′,那么△ABC是 (

)

A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.鈍角三角形2.如圖,矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖,其中O′A′=6cm,O′C′=2cm,則原圖形是 (

)A.正方形B.矩形C.菱形D.不是矩形或菱形的平行四邊形3.畫(huà)出圖中水平放置的四邊形ABCD的直觀圖.【解析】1.選B.由斜二測(cè)畫(huà)法,得∠x(chóng)′O′y′=135°,因?yàn)锳′B′∥x′軸,A′C′∥y′軸,故∠B′A′C′=135°,所以∠BAC=90°,并且橫不變,縱減半,所以AC=2AB.2.選C.如圖,在原圖形OABC中,應(yīng)有OD=2O′D′=2×2=4(cm),CD=C′D′=2cm,

所以O(shè)C==6(cm),所以O(shè)A=OC,故四邊形OABC是菱形.3.四邊形ABCD的直觀圖如圖所示:【解題策略】關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法作圖

(1)首先在原圖中建立直角坐標(biāo)系,一般采用對(duì)稱(chēng)建系,或盡可能將圖形中的邊、頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上.(2)建立斜二測(cè)坐標(biāo)系,先作坐標(biāo)軸上的點(diǎn)、與坐標(biāo)軸平行的線段,原則是“橫不變,縱減半”.(3)對(duì)于不與坐標(biāo)軸平行的線段,可通過(guò)在原圖中作輔助線的方法確定在直觀圖中的位置.類(lèi)型二空間幾何體的直觀圖(直觀想象)【典例】如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,試用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖.【思路導(dǎo)引】首先根據(jù)三視圖想象出幾何體的形狀,再利用圖中尺寸作圖.【解析】由題圖可知圖中幾何體是正六棱臺(tái),畫(huà)法如下:(1)畫(huà)軸:畫(huà)x′軸、y′軸、z軸,使∠x(chóng)′O′y′=45°,∠x(chóng)′O′z=90°(如圖1)(2)畫(huà)底面:以O(shè)′為中心,在x′O′y′坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)正六棱臺(tái)下底面六邊形的直觀圖ABCDEF.在z軸上取線段O′O1等于正六棱臺(tái)的高;過(guò)O1畫(huà)O1M、O1N分別平行于O′x′、O′y′,再以O(shè)1為中心,畫(huà)正六棱臺(tái)上底面六邊形的直觀圖A′B′C′D′E′F′.(3)成圖:連接AA′,BB′,CC′,DD′,EE′,FF′,并且加以整理,就得到正六棱臺(tái)的直觀圖(如圖2).【解題策略】畫(huà)空間圖形的直觀圖,一般先用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出水平放置的平面圖形,再畫(huà)z軸,并確定豎直方向上的相關(guān)的點(diǎn),最后連點(diǎn)成圖便可.【跟蹤訓(xùn)練】已知某幾何體的三視圖如圖,請(qǐng)畫(huà)出它的直觀圖(單位:cm).【解析】畫(huà)法:(1)建系:如圖①,畫(huà)x軸,y軸,z軸,三軸相交于點(diǎn)O,使∠x(chóng)Oy=45°,∠x(chóng)Oz=90°.(2)畫(huà)底:在x軸上取線段OB=8cm,在y軸上取線段OA′=2cm,以O(shè)B和OA′為鄰邊作平行四邊形OBB′A′.(3)定點(diǎn):在z軸上取線段OC=4cm,過(guò)C分別作x軸,y軸的平行線,并在平行線上分別截取CD=4cm,CC′=2cm.以CD和CC′為鄰邊作平行四邊形CDD′C′.(4)成圖:連接A′C′,BD,B′D′,并加以整理,就得到該幾何體的直觀圖(如圖②).類(lèi)型三斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)角度1計(jì)算原圖中的量

【典例】(2020·石嘴山高一檢測(cè))如圖所示,四邊形ABCD為一平面圖形的直觀圖,AB=2,AD=2BC=4,AD∥BC,AB∥y軸,AD∥x軸,則原四邊形的面積為 (

)A.4 B.8 C.12 D.10【思路導(dǎo)引】先按照已知數(shù)據(jù)還原出原圖形,再求面積.【解析】選C.畫(huà)出四邊形ABCD的原圖形,如圖所示,

由直觀圖中,AB=2,AD=2BC=4,AD∥BC,則原四邊形A′B′C′D′為直角梯形,且A′B′=2AB=4,A′D′=2B′C′=4,所以原圖形的面積為S=×(A′D′+B′C′)×A′B′=×(4+2)×4=12.

【變式探究】將本例中的直觀圖變?yōu)槿鐖D的正方形A′B′C′D′,邊長(zhǎng)為1,試求出原圖形的面積.【解析】依題意得,直觀圖A′B′C′D′的面積S直=1,設(shè)原圖形面積為S原,則所以,所以S原=2.角度2計(jì)算直觀圖中的量

【典例】(2020·衢州高一檢測(cè))已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為 (

)

【思路導(dǎo)引】根據(jù)原圖與直觀圖中橫、縱線段的比例關(guān)系求值.【解析】選D.如圖所示,直觀圖△A′B′C′的高為h=C′D′sin45°=CDsin45°=×2×sin60°×sin45°=,底邊長(zhǎng)A′B′=AB=2,

所以△A′B′C′的面積為:S=A′B′·h=×2×=.【解題策略】1.直觀圖的還原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x′軸、y′軸平行的直線或線段,且平行于x′軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不變,平行于y′軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍,由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn),順次連接即可.2.直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S′,則有S′=S或S=2S′.利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.【題組訓(xùn)練】1.(2020·廈門(mén)高一檢測(cè))用斜二測(cè)畫(huà)法表示水平放置的△ABC的直觀圖,得到如圖所示的等腰直角△A′B′C′.若點(diǎn)O′是斜邊B′C′的中點(diǎn),且A′O′=1,則原圖形△ABC中BC邊上的高為 (

)A.1 B.2 C. D.2

【解析】選D.由直觀圖是等腰直角△A′B′C′,∠B′A′C′=90°,A′O′=1,所以A′B′=;根據(jù)直觀圖平行于y軸的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半,如圖所示,

所以△ABC的高為AB=2A′B′=2.2.(2020·南昌高一檢測(cè))如圖所示,四邊形ABCD是一個(gè)梯形,CD∥AB,CD=BO=1,△AOD為等腰直角三角形,O為AB的中點(diǎn),試求梯形ABCD水平放置的直觀圖的面積

.

【解析】在梯形ABCD中,AB=2,高OD=1,梯形ABCD水平放置的直觀圖仍為梯形,且上底CD和下底AB的長(zhǎng)度都不變,如圖所示,

在直觀圖中,O′D′=OD,梯形的高為D′E′=,于是梯形A′B′C′D′的面12×2×64=64.積為S=

答案:立體圖形的直觀圖核心知識(shí)方法總結(jié)核心素養(yǎng)易錯(cuò)提醒1.水平放置平面圖形直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法步驟：畫(huà)軸——取點(diǎn)——連線成圖2.空間幾何體直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法步驟：畫(huà)軸——畫(huà)底面——畫(huà)側(cè)棱——連線成圖在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn)．原圖中不平行于坐標(biāo)軸的線段可以通過(guò)作平行于坐標(biāo)軸的線段來(lái)作出其對(duì)應(yīng)線段．

(1)作直觀圖時(shí)平行于x軸的線段畫(huà)成平行于x′軸的線段并且長(zhǎng)度不變(2)平行于y軸的線段畫(huà)成平行于y′軸的線段，且長(zhǎng)度畫(huà)成原來(lái)的一半(3)平行于z軸的線段畫(huà)成平行于z′軸的線段并且長(zhǎng)度不變．1.數(shù)學(xué)抽象：斜二測(cè)畫(huà)法的理解；2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：與直觀圖還原的有關(guān)計(jì)算；3.數(shù)學(xué)建模：畫(huà)平面幾何和空間幾何體的直觀圖.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.對(duì)于用斜二測(cè)畫(huà)法所得的直觀圖,以下說(shuō)法正確的是 (

)A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B.正方形的直觀圖為平行四邊形C.相等的角在直觀圖中仍相等D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形【解析】選B.根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法的要求知,正方形的直觀圖為平行四邊形.2.利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出邊長(zhǎng)為3cm的正方形的直觀圖,正確的是圖中的 (

)

【解析】選C.正方形的直觀圖應(yīng)是平行四邊形,且相鄰兩邊的邊長(zhǎng)之比為2∶1.3.(教材二次開(kāi)發(fā):復(fù)習(xí)鞏固改編)