高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3篇 三角函數(shù)及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)步驟規(guī)范2 北師大版

步驟規(guī)范練——三角函數(shù)及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)(建議用時：90分鐘)一、選擇題1．(·山東師大附中月考)化簡eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°cos80°)＝ ()．A．－2 B．－eq\f(1,2)C．－1 D．1解析eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°cos80°)＝eq\f(\f(1－cos70°,2)－\f(1,2),cos10°·sin10°)＝eq\f(－\f(1,2)cos70°,\f(1,2)sin20°)＝－1.答案C2．(·咸陽二模)在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，AB＝2，且△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)，則邊AC的長為 ()．A．1 B．eq\r(3)C．2 D．eq\r(2)解析由題意知S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×AC×sinA＝eq\f(1,2)×2×AC×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)，∴AC＝1.答案A3．(·陜西五校聯(lián)考)已知銳角α滿足cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，則sin2α等于()．A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D．－eq\f(\r(2),2)解析∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴2α∈(0，π)，eq\f(π,4)－α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4))).又cos2α＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))，2α＝eq\f(π,4)－α或2α＋eq\f(π,4)－α＝0，∴α＝eq\f(π,12)或α＝－eq\f(π,4)(舍)．∴sin2α＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，故選A.答案A4．(·南昌模擬)已知角A為△ABC的內(nèi)角，且sin2A＝－eq\f(3,4)，則sinA－cosA＝ ()．A.eq\f(\r(7),2) B．－eq\f(\r(7),2)C．－eq\f(1,2) D．eq\f(1,2)解析∵A為△ABC的內(nèi)角，且sin2A＝2sinAcosA＝－eq\f(3,4)＜0，∴sinA＞0，cosA＜0，∴sinA－cosA＞0.又(sinA－cosA)2＝1－2sinAcosA＝eq\f(7,4).∴sinA－cosA＝eq\f(\r(7),2).答案A5．(·銅川模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2A＋sin2C－sin2B＝eq\r(3)sinAsinC，則角B為 (A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C.eq\f(2,3)π D．eq\f(5,6)π解析由正弦定理可得a2＋c2－b2＝eq\r(3)ac，所以cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(\r(3)ac,2ac)＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,6).答案A6．(·湛江二模)若三條線段的長分別為3,5,7，則用這三條線段 ()．A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形解析設(shè)能構(gòu)成三角形的最大邊為a＝7，所對角為A，則cosA＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2)＜0，故A為鈍角，即構(gòu)成的三角形為鈍角三角形．答案C7．(·安徽卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，C.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，則角C＝ A.eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4) D．eq\f(5π,6)解析由3sinA＝5sinB，得3a＝5b，∴a＝eq\f(5,3)b，代入b＋c＝2a中，得c＝eq\f(7,3) B．由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(1,2)，∴C＝eq\f(2π,3).答案B8．(·東北三校聯(lián)考)設(shè)α，β都是銳角，且cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，則cosβ＝ ()．A.eq\f(2\r(5),25) B．eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(2\r(5),25)或eq\f(2\r(5),5) D．eq\f(\r(5),5)或eq\f(2\r(5),25)解析α，β都是銳角，當(dāng)cosα＝eq\f(\r(5),5)時，sinα＝eq\f(2\r(5),5).因?yàn)閏osα＝eq\f(\r(5),5)＜eq\f(1,2)，所以α＞60°.又sin(α＋β)＝eq\f(3,5)＜eq\f(\r(3),2)，所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.顯然α＋β＜60°不可能，所以α＋β為鈍角．又sin(α＋β)＝eq\f(3,5)，因此cos(α＋β)＝－eq\f(4,5)，所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－eq\f(4,5)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3,5)×eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(－4\r(5)＋6\r(5),25)＝eq\f(2\r(5),25).答案A9．(·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝A．10 B．9C．8 D．5解析化簡23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝eq\f(1,5).由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，代入數(shù)據(jù)，得b答案D10．(2013·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,4)，AB＝eq\r(2)，BC＝3，則sin∠BAC＝()．A.eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(10),5)C.eq\f(3\r(10),10) D．eq\f(\r(5),5)解析由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BCcosB＝(eq\r(2))2＋32－2×eq\r(2)×3coseq\f(π,4)＝5.∴AC＝eq\r(5)，由正弦定理eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，得sin∠BAC＝eq\f(BC·sin∠ABC,AC)＝eq\f(3×sin\f(π,4),\r(5))＝eq\f(3×\f(\r(2),2),\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).答案C二、填空題11．(·浙江五校聯(lián)盟聯(lián)考)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝eq\f(3,4)，且x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))，則cos2x的值為________．解析sin2x＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＝－eq\f(1,8)，∵x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,4)))，∴2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,2))).∴cos2x＝－eq\r(1－sin22x)＝－eq\f(3\r(7),8).答案－eq\f(3\r(7),8)12．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．解析由△ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，可得B＝60°，又在△ABD中，AB＝1，BD＝2，由余弦定理可得AD＝eq\r(AB2＋BD2－2AB·BDcosB)＝eq\r(3).答案eq\r(3)13．(·濟(jì)寧期末考試)在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若b＝1，c＝eq\r(3)，C＝eq\f(2,3)π，則S△ABC＝________.解析因?yàn)閏＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(1,sinB)＝eq\f(\r(3),sin\f(2π,3))＝2，即sinB＝eq\f(1,2)，所以B＝eq\f(π,6)，所以A＝π－eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,6).所以S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).答案eq\f(\r(3),4)14．(·天水模擬)f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x－1，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))，則f(x)的最小值為________.解析f(x)＝2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x－1＝1－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))－eq\r(3)cos2x－1＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋2x))－eq\r(3)cos2x＝sin2x－eq\r(3)cos2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，因?yàn)閑q\f(π,4)≤x≤eq\f(π,2)，所以eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(2π,3)，所以eq\f(1,2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1，所以1≤2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值為1.答案1三、解答題15．(·金華十校模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\r(3)sinxcosx＋cos2x－eq\f(1,2)，△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且f(B)＝1.(1)求角B的大?。?2)若a＝eq\r(3)，b＝1，求c的值．解(1)因?yàn)閒(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，所以f(B)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B＋\f(π,6)))＝1，又2B＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(13π,6)))，所以2B＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以B＝eq\f(π,6).(2)法一由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得c2－3c＋2＝0，所以c＝1或c法二由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinA＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝eq\f(π,3)或A＝eq\f(2π,3)，當(dāng)A＝eq\f(π,3)時，C＝eq\f(π,2)，所以c＝2；當(dāng)A＝eq\f(2π,3)時，C＝eq\f(π,6)，所以c＝1.所以c＝1或c＝2.16．(·延安模擬)△ABC的三個內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的三條邊長分別是a，b，c，且滿足csinA－eq\r(3)acosC＝0.(1)求角C的大小；(2)若cosA＝eq\f(2\r(7),7)，c＝eq\r(14)，求sinB和b的值．解(1)由csinA－eq\r(3)acosC＝0得sinCsinA－eq\r(3)sinAcosC＝0，∵A為△ABC的內(nèi)角，∴sinA≠0，∴sinC－eq\r(3)cosC＝0，即tanC＝eq\r(3)，所以C＝eq\f(π,3).(2)由cosA＝eq\f(2\r(7),7)，得sinA＝eq\f(\r(21),7)，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(\r(21),7)×eq\f(1,2)＋eq\f(2\r(7),7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(21),14).在△ABC中，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(14)×\f(3\r(21),14),\f(\r(3),2))＝3eq\r(2).17．(·濰坊一模)已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB＋eq\r(3)bsinA＝C.(1)求角A的大?。?2)若a＝1，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3，求b＋c的值．解(1)由acosB＋eq\r(3)bsinA＝c，得sinAcosB＋eq\r(3)sinBsinA＝sin(A＋B)，即eq\r(3)sinBsinA＝cosAsinB，所以tanA＝eq\f(\r(3),3)，故A＝eq\f(π,6).(2)由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝3，得bccoseq\f(π,6)＝3，即bc＝2eq\r(3)，①又a＝1，∴1＝b2＋c2－2bccoseq\f(π,6)，②由①②可得(b＋c)2＝7＋4eq\r(3)，所以b＋c＝2＋eq\r(3).18．(·福建卷)如圖，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90°，OP＝2eq\r(2)，點(diǎn)M在線段PQ上．(1)若OM＝eq\r(5)，求PM的長；(2)若點(diǎn)N在線段MQ上，且∠MON＝30°，問：當(dāng)∠POM取何值時，△OMN的面積最小？并求出面積的最小值．解(1)在△OMP中，∠OPM＝45°，OM＝eq\r(5)，OP＝2eq\r(2)，由余弦定理得OM2＝OP2＋MP2－2×OP×MP×cos