考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷4（共206題）

考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷4（共9套）（共206題）考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)f(χ)＝∫0sinχ，當(dāng)χ→0時(shí)，f(χ)是g(χ)的()．A、等價(jià)無窮小B、同階但非等價(jià)無窮小C、高階無窮小D、低階無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋哉_答案為B．2、設(shè)f(χ)連續(xù)可導(dǎo)，且＝1，f(0)為f(χ)的極值，則()．A、當(dāng)f(0)＝0時(shí)，f(0)是f(χ)的極小值B、當(dāng)f(0)＝0時(shí)，f(0)是f(χ)的極大值C、當(dāng)f(0)＞0時(shí)，f(0)是f(χ)的極大值D、當(dāng)F(0)＜0時(shí)，f(0)是f(χ)的極小值標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ)連續(xù)可導(dǎo)，所以由＝1得f(0)＋f′(0)＝0．當(dāng)f(0)≠0時(shí)，因?yàn)閒′(0)≠0，所以f(0)不是極值，C，D不對(duì)；當(dāng)f(0)＝0時(shí)，f′(0)＝0，由1＝＝f〞(0)＋f′(0)得f〞(0)＝1＞0，故f(0)為f(χ)的極小值，選A．3、設(shè)函數(shù)f(χ)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，滿足f(0)＝0，f″(χ)＜0．又0＜a＜b，則當(dāng)a＜χ＜b時(shí)恒有()．A、af(χ)＞χf(a)B、bf(χ)＞xf(b)C、χf(χ)＞bf(χ)D、bf(χ)＞af(a)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：令φ(χ)＝，當(dāng)a＜χ＜6時(shí)，φ′(χ)＝，再令h(χ)＝χf′(χ)因?yàn)閒〞(χ)＜0，所以f′(χ)單調(diào)減少，于是h(χ)＝χ[f′(χ)－f′(ξ)]＜0，故φ′(χ)＜0，φ(χ)單調(diào)減少．由a＜χ＜b得，選B．4、考慮二元函數(shù)f(χ，y)在點(diǎn)(χ0，y0)處的下面四條性質(zhì)：①連續(xù)②可微③f′χ(0，y0)與f′y(χ0，y0)存在④f′χ與f′y(χ，y)連續(xù)若用“PQ”表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)Q，則有()．A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：若f(χ，y)一階連續(xù)可偏導(dǎo)，則，f(χ，y)在(χ0，y0)處可微，若f(χ，y)在(χ0，y0)處可微，則f(χ，y)在(χ0，y0)處連續(xù)，故選B5、設(shè)y＝y(tǒng)(χ)是微分方程y〞＋(χ－1)y′＋χ2y＝eχ滿足初始條件y(0)＝0，y′(0)＝1的解，則為()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閥(0)＝0，y′(0)＝1，所以由y〞＋(χ－1)y′χ2y＝eχ得y〞(0)＝2，從而＝1，故選B．6、下列結(jié)論正確的是()．A、若A，B特征值相同，則A～BB、矩陣A的秩與其非零特征值個(gè)數(shù)相等C、若A，B特征值相同，則A，B等價(jià)D、A，B的特征值相同且A，B都可對(duì)角化，則A～B標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令，因?yàn)椋薊－A｜＝｜λE－B｜＝λ2(λ－1)，所以A，B特征值相同，但r(A)＝2≠r(B)＝1，故A，B不相似，A不正確；對(duì)，顯然λ1＝λ2＝0，λ3＝1，而r(A)＝2，所以B不正確；由(A)，A，B特征值相同，A，B的秩不一定相等，故C不正確。設(shè)A，B的特征值相同且A，B都可對(duì)角化，令其特征值為λ1，λ2，…λn，因?yàn)锳，B都可對(duì)角化，所以存在可逆陣P1，P2使得，從而有P1-1AP1＝P2-1BP2，于是即A~B，故選D.7、設(shè)A是n階矩陣，下列結(jié)論正確的是()．A、設(shè)r(A)＝r則A有，一個(gè)非零特征值，其余特征值皆為零B、設(shè)A為非零矩陣，則A一定有非零特征值C、設(shè)A為對(duì)稱矩陣，A2＝2A，r(A)＝r，則A有r個(gè)特征值為2，其余全為零D、設(shè)A，B為對(duì)稱矩陣，且A，B等價(jià)，則A，B特征值相同標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：取A＝顯然A的特征值為0，0，1，但r(A)＝2，A選項(xiàng)不對(duì)；設(shè)A＝顯然A為非零矩陣。但A的特征值都是零，B選項(xiàng)不對(duì)；兩個(gè)矩陣等價(jià)，則兩個(gè)矩陣的秩相等，但特征值不一定相同，D選項(xiàng)不對(duì)，應(yīng)選C事實(shí)上，令A(yù)X＝λX，由A2＝2A得A的特征值為0或2，因?yàn)锳是對(duì)稱矩陣，說以A一定可對(duì)角化，由r(A)＝r得A的特征值中有r個(gè)2，其余全部為零.二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)8、設(shè)f(χ)在(－∞，＋∞)內(nèi)可到，且f′(χ)＝e2，則a＝________.標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：，由微分中值定理得f(χ)－f(χ－1)＝f′(ξ)，其中χ＝1＜ξ＜χ則，于是e2u＝e2，a＝1.9、設(shè)f(χ，y)為連續(xù)函數(shù)，改變?yōu)闃O坐標(biāo)的累次積分為f(χ，y)dy＝________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：10、χy〞－y′＝χ2的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由xy〞－y′＝χ2，得＝1，或者＝1，則＝χ＋C1，由y′＝χ2＋C1χ，得原方程的通解為y＝.11、設(shè)F()＝0，且F(u，v)連續(xù)可偏導(dǎo)，則＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：z知識(shí)點(diǎn)解析：F()＝0兩邊對(duì)χ求偏導(dǎo)，得；F()＝0兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)，得，于是.12、＝________.標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：.13、設(shè)A為三階矩陣，A的三個(gè)特征值為λ1＝－2，λ2＝1，λ3＝2，A*是A的伴隨矩陣，則A11＋A22＋A33＝_______.標(biāo)準(zhǔn)答案：－4知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值為λ1＝－2，λ2＝1，λ3＝2，所以A*的特征值為μ1＝2，μ2＝－4，μ3＝－2，于是A11＋A22＋A33＝tr(A*)＝μ1＋μ2＋μ3＝2－4－2＝－4．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)14、設(shè)f(χ)滿足χf〞(χ)＋3χ[f′(χ)]2＝1－eχ．(Ⅰ)若f(χ)在χ＝χ0點(diǎn)(χ0≠0)取得極值，證明其為極小值；(Ⅱ)若f(0)＝f′(0)＝0，證明：當(dāng)χ≥0時(shí)，有時(shí)，有f(χ)≤χ2．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由f(χ)可導(dǎo)得f′(χ0)＝0，又f〞(χ0)＝無論χ0＞0或χ0＜0，均有f〞(χ0)＞0，所以該點(diǎn)為函數(shù)的極小點(diǎn)．(Ⅱ)f〞(χ)＝，令F(χ)＝χ－1＋e-χ，則F′(χ)＝1－c-χ＝1－≥0(χ≥0)，所以F(χ)為增函數(shù)，從而F(χ)≥F(0)＝0，故≤1．即f〞(χ)≤≤1．積分得f′(χ)－f′(0)≤χ，再積分得f(χ)－f(0)≤χ2，所以f(χ)≤χ2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、設(shè)g(χ)二階可導(dǎo)，且f(χ)＝(Ⅰ)求常數(shù)a，使得f(χ)在χ＝0處連續(xù)；(Ⅱ)求f′(χ)，并討論f′(χ)在χ＝0處的連續(xù)性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)當(dāng)f(χ)在χ＝0處連續(xù)時(shí)，g(0)＝1，，當(dāng)f(χ)在χ＝0處連續(xù)時(shí)，a＝g′(0)．(Ⅱ)當(dāng)χ≠0時(shí)，當(dāng)χ＝0時(shí)，所以f′(χ)在χ＝0處連續(xù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)a為實(shí)數(shù)，問方程eχ＝aχ2有幾個(gè)實(shí)根?標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a＝0時(shí)，方程無解；當(dāng)a≠0時(shí)，令φ(χ)＝χ2e-χ－．由φ′(χ)＝2χe-χ－χ2e-χ＝χ(2－χ)e-χ＝0得χ＝0或χ＝2．當(dāng)χ＜0時(shí)，φ′(χ)＜0；當(dāng)0＜χ＜2時(shí)，φ′(χ)＞0；當(dāng)χ＞2時(shí)，φ′(χ)＜0，于是φ(0)＝－為極小值，φ(2)為極大值，又．1)當(dāng)a≤0時(shí)，方程無解；2)a＝時(shí)，方程有兩個(gè)根，分別位于(－∞，0)內(nèi)及χ＝2；3)當(dāng)a＞時(shí)，方程有三個(gè)根，分別位于(－∞，0)，(0，2)，(2，＋∞)內(nèi)；4)當(dāng)0時(shí)，方程只有一個(gè)根，位于(－∞，0)內(nèi)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)(a＞0)，f(a)＝f(b)＝1．證明：存在ξ，η∈(a，b)，使得abeη－ξ＝η2[f(η)－f′(η)].標(biāo)準(zhǔn)答案：令φ(χ)＝e-χf(χ)，F(xiàn)(χ)＝，F(xiàn)′(χ)＝－≠0，由柯西中值定理，存在η∈(a，b)，使得，整理得．由微分中值定理，存在ξ∈(a，b)，使得，所以abeη－ξ＝η2[f(η)－f′(η)]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(χ)(χ≥0)連續(xù)可導(dǎo)，且f(0)＝1．又已知曲線y＝f(χ)、χ軸、y軸及過點(diǎn)(χ，0)且垂直于χ軸的直線所圍成的圖形的面積與曲線y＝f(χ)在[0，χ]上的一段弧長相等，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：曲線y＝f(φ)，χ軸，y軸及過點(diǎn)(χ，0)且垂直于χ軸的直線所圍成的圖形的面積為∫0χ；曲線y＝f(χ)在[0，π]上的一段弧長為，根據(jù)題意得，兩邊對(duì)χ求導(dǎo)得｜f(χ)｜或f2(χ)＝1＋f′2(χ)，則y′＝±，解得lnC(y＋)＝±χ，再由f(0)＝1得C＝1，所以y＋＝e±χ，解得y＝f(χ)＝．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算，其中D是χ2＋y2＝4與χ2＋(y＋1)2＝1圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：由對(duì)稱件得.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)函數(shù)f(t)在(0，＋∞)內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，函數(shù)z＝滿足＝0，若f(1)＝0，f′(1)＝1，求f(χ)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由f′(1)＝1得C1＝1，于是f′(χ)＝，故f(χ)＝lnχ＋C2又由f(1)＝0得C2＝0，故f(χ)＝lnχ.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè).(Ⅰ)當(dāng)a，b為何值時(shí)，β不可由α1，α2，α3線性表示；(Ⅱ)當(dāng)a，b為何值時(shí)，β可由α1，α2，α3線性表示，寫出表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：1)當(dāng)a≠－6，a＋2b－4≠0時(shí)，因?yàn)閞(A)≠r()，所以β不可由α1，α2，α3線性表示；2)a≠－6，a＋2b－4＝0時(shí)，，β可由α1，α2，α3唯一線性表示，表達(dá)式為β＝2α1－α2＋0α3；當(dāng)a＝－6時(shí)，當(dāng)a＝－6，b≠5時(shí)，由，β可由α1，α2，α3唯一線性表示，表達(dá)式為β＝6α1＋1α2＋2α3；當(dāng)a＝－6，b＝5時(shí)，由，β可由α1，α2，α3唯一線性表示，表達(dá)式為β＝(2k＋2)α1＋(k－1)α2＋kα3，其中k為任意常數(shù).知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)為矩陣A的特征向量．(Ⅰ)求a，b及α對(duì)應(yīng)的特征值λ.(Ⅱ)求正交矩陣Q，使得QTAQ為對(duì)角陣.標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由Aα＝λα得解得a＝3,b＝1,λ＝1.(Ⅱ)由｜λE－A｜＝＝λ(λ－1)(λ－4)＝0得λ1＝0，λ2＝1，λ3＝4將λ＝0代入(λE－A)X＝O得AX＝O，由得λ＝0對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為將λ＝4代入(λE－A)X＝O得(4E－A)X＝O由4E－A＝得λ＝4對(duì)應(yīng)的無關(guān)特征向量為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、當(dāng)x→∞時(shí)，的()．A、等價(jià)無窮小B、較低階無窮小C、較高階無窮小D、同階但不等價(jià)的無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：用等價(jià)無窮小代換求其極限判別之．解一解二2、若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是lnx，則等于()．A、B、C、xlnx—1nx+cD、xlnx—lnx+cx標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：已知被積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這是用分部積分法計(jì)算積分的好條件．解用分部積分法求之．又f′(x)=lnx，于是故3、下列反常積分發(fā)散的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：首先區(qū)分反常積分與定積分，特別要善于鑒別反常積分瑕點(diǎn)存在的隱蔽性．對(duì)于有多個(gè)瑕點(diǎn)的反常積分要分解為多個(gè)單一瑕點(diǎn)的反常積分逐個(gè)判斷，只有當(dāng)各個(gè)瑕點(diǎn)的單一反常積分都收斂時(shí)，該反常積分才收斂，否則發(fā)散．反常積分的斂散性也可直接利用下述結(jié)論判別之：(1)若p≥1，則都發(fā)散；(2)若p＜1，則它們都收斂．解一(A)中反常積分有兩個(gè)瑕點(diǎn)，要將該積分分解為兩個(gè)積分討論：利用Γ函數(shù)即得以上3個(gè)反常積分均收斂．因而(B)中反常積分發(fā)散．解二解三由知，該反常積分發(fā)散，從而發(fā)散．4、設(shè)f(x，y)為區(qū)域D內(nèi)的函數(shù)，則下列命題中不正確的是()．A、若在D內(nèi)，有，則f(x，y)≡常數(shù)B、若在D內(nèi)的任何一點(diǎn)處沿兩個(gè)不共線方向的方向?qū)?shù)都為0，則f(x，y)≡常數(shù)C、若在D內(nèi)有df(x，y)≡0，則f(x，y)≡常數(shù)D、若在D內(nèi)有，則f(x，y)≡常數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：大家知道，在區(qū)域D內(nèi)在D內(nèi)任何一點(diǎn)處沿兩個(gè)不共線方向的方向?qū)?shù)都為0<=>f(x，y)為常數(shù)，因此(A)、(B)、(C)正確，僅需考察(D)．解在極坐標(biāo)變換x=rcosθ，y=rsinθ下，有這僅能表示f(x，y)與r無關(guān)，不能說明f(x，y)為常數(shù)．如則但f(x，y)在D上不恒為常數(shù)．5、在極坐標(biāo)系內(nèi)將的積分次序交換正確的是()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因ρ=acosθ表示一個(gè)圓．調(diào)換積分次序，當(dāng)ρ由0變到a時(shí)，角從下半圓θ=一arccos變到上半圓θ=arccos解，因此僅C入選．6、設(shè)P(x)在(一∞，+∞)上連續(xù)，且以T為周期，則是有解y=y(x)≠0且以T為周期的()．A、必要非充分條件B、充分非必要條件C、充分且必要條件D、既不充分也非必要條件標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：利用周期函數(shù)的積分性質(zhì)判別之．解一方程(*)的解為y(x)≠0以T為周期，則又上面用到周期函數(shù)的積分的常用性質(zhì)：對(duì)任意x，有其中T為f(x)的周期，則解二利用周期函數(shù)的積分的另一性質(zhì)判別之：由此性質(zhì)得到7、行列式(已知abcd=1)=()．A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用行列式性質(zhì)求之．解8、下列敘述正確的是()．A、若兩個(gè)向量組的秩相等，則此兩個(gè)向量組等價(jià)B、若向量組α1，α2，…，αs可由向量組β1，β2，…，βt線性表示，則必有s＜tC、若齊次線性方程組．Ax=0與Bx=0同解，則矩陣A與B的行向量組等價(jià)D、若向量組α1，α2，…，αs與α2，…，αs均線性相關(guān)，則α1必不可由α2，α3，…，αs線性表示標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：可舉反例用排除法求解，也可證明選項(xiàng)(C)正確．解一用排除法解之．對(duì)于(A)，例如則α1的秩與β1的秩相等，但并不等價(jià)，可排除(A)；又如可由線性表示，但3＞2，可排除(B)；又如則α1，α2，α3，α4與α2，α3，α4均線性相關(guān)，且α1可由α2，α3，α4線性表示，可以排除(D)．只有(C)為正確答案．解二事實(shí)上，易證方程組同解，則因此B的行向量組可由A的行向量組線性表示．同理可證，A的行向量組可由B的行向量組線性表示，因此A的行向量組與B的行向量組等價(jià)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：e-1知識(shí)點(diǎn)解析：利用公式求之，也可利用重要極限求之．解一解二10、設(shè)，則f(n)(x)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：分式函數(shù)為簡單函數(shù)，其高階導(dǎo)數(shù)應(yīng)利用公式求之．為此只需將f(x)化為形如。的形式即可．如果記不住公式，那只能用遞推歸納求之．解一故解二直接求導(dǎo)，遞推歸納：f(x)=一1+2(1+x)-1，f′(x)=2·(一1)·(1+x)-2，f″(x)=2·(一1)(一2)·(1+x)-3，f′″(x)=2·(一1)(一2)(一3)·(1+x)-4，…11、設(shè)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：所給xn的表示式為積和式的形式，因而可用定積分定義求其極限．解首先將xn的形式改寫為積和式的標(biāo)準(zhǔn)形式：于是12、設(shè)函數(shù)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2(x2+y2)e-(x2+y2)2知識(shí)點(diǎn)解析：利用復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)法則及變上限積分求導(dǎo)公式直接求導(dǎo)．解因?yàn)閺亩?3、設(shè)z=f(u，v)，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f″11+f″22=1，則函數(shù)f(x2一y2，2xy)在x2+y2=1上滿足=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：4(f″11+f″22)=4知識(shí)點(diǎn)解析：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之．解于是14、設(shè)，則A-1=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：可分塊計(jì)算的逆矩陣．當(dāng)A1與B1可逆時(shí)，而為二階矩陣，其逆矩陣可用“二調(diào)一除”的方法求之：設(shè)可逆，將A中主對(duì)角線上的元素位置一調(diào)，次對(duì)角線上的元素符號(hào)一調(diào)，再用A的行列式∣A∣=ad一bc去除各個(gè)元素，所得結(jié)果即為此法簡稱為“兩調(diào)一除”的方法．解則三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)標(biāo)準(zhǔn)答案：可按求參數(shù)方程導(dǎo)數(shù)的一般方法求之．解可用兩種方法求法一將代入上式，得由x，y的參數(shù)方程知x2+y2=2，因此法二知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、討論函數(shù)y=x2lnx的單調(diào)性、凹凸性及拐點(diǎn)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由y′=0確定駐點(diǎn)及單調(diào)區(qū)間，再由y″=0確定凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)．解y′=x(21nx+1)，令y′=0，得駐點(diǎn)又y″=2lnx+3，令y″=0，得為便于研究y=x2lnx的一些性質(zhì)，列表如下：由上表可知，函數(shù)y=x2lnx在區(qū)間內(nèi)單調(diào)下降，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)上升，在點(diǎn)處達(dá)到極小值又曲線y=x2lnx在區(qū)間內(nèi)是凸的，在區(qū)間由是凹的，拐點(diǎn)為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)，x＞0，試求f(x)的最小值．標(biāo)準(zhǔn)答案：先依據(jù)x的取值范圍，去掉被積函數(shù)的絕對(duì)值符號(hào)，求出f(x)的分段表達(dá)式，再求f(x)的極值和最值．解當(dāng)0＜x＜1時(shí)，當(dāng)x≥1時(shí)，于是有則由導(dǎo)數(shù)定義知f′(1)=2．因x＞0，故是函數(shù)f(x)唯一的駐點(diǎn)．又因?yàn)?，所以是極小值，且在定義域(0，+∞)內(nèi)達(dá)到，又無其他極值，故它也是最小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且f(a)=f(b)=λ，試證明至少存在一點(diǎn)ξ∈(a，b)，使f′(ξ)+f(ξ)=λ．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先考慮哪一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)能推出f′(x)+f(x)一λ=0．因?yàn)閒′(x)+f(x)一λ=[f(x)一λ]′+[f(λ)一λ]=0．故ex[f(x)一λ]′+(ex)′[f(x)一λ]=0·ex=0即{ex[f(x)一λ]}′=0．因而借助ex的導(dǎo)數(shù)等于它自己的性質(zhì)，由函數(shù)F(x)=ex[f(x)一λ]的導(dǎo)數(shù)能推出f′(x)+f(x)一λ=0．事實(shí)上，F(xiàn)′(x)=ex[f(x)一λ]+exf′(x)=ex[f′(x)+f(x)一λ]．因?yàn)閑x≠0，由ex[f′(x)+f(x)一λ]=0，就得到f′(x)+f(x)一λ=0，即f′(x)+f(x)=λ．證作輔助函數(shù)F(x)=ex(f(x)一λ)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=0，F(xiàn)′(x)=ex(f′(x)+f(x)一λ)，故由羅爾定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F′(ξ)=0，注意到eξ≠0，即得f′(ξ)+f(ξ)=λ．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、已知f(x)連續(xù)，且試求的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：兩次對(duì)變上限積分求導(dǎo)得到的表達(dá)式，然后令x=π／2，即得所求結(jié)果．解等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得令x一v=t，得于是有兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得令，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)有一容器由平面z=0，z=1及介于它們之間的曲面S所圍成，過z軸上任意點(diǎn)(0，0，z)(0≤z≤1)作垂直于z軸的平面與該立體相截得水平截面D(z)，它是半徑的圓面．若以每秒v0體積單位的均勻速度往該容器注水，并假設(shè)開始時(shí)容器是空的．(Ⅰ)寫出注水過程中t時(shí)刻水面高度z=z(t)與相應(yīng)的水體積V=V(t)之間的關(guān)系式，并求出水面高度z與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；(Ⅱ)求水表面上升速度最大時(shí)的水面高度；(Ⅲ)求灌滿容器所需的時(shí)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：要明確題中所出現(xiàn)的各個(gè)物理量之間的關(guān)系，并能用積分或?qū)?shù)表示其關(guān)系，以及它們所滿足的微分方程．解(Ⅰ)由題設(shè)知其中S(z)是水面D(z)的面積，且S(z)=π[z2+(1一z)2]，現(xiàn)由及z(0)=0，求z(t)．將上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則得S(z)dz=v0dt，即兩邊積分并注意z(0)=0，得(Ⅱ)求z取何值時(shí)，取最大值．已求得因此，求取最大值時(shí)，z的取值歸結(jié)為求f(z)=z2+(1一z)2在[0，1]上的最小值．由得在z=1／2處f(x)在[0，1]上取最小值，故z=1／2時(shí)，水表面上升速度最大．(Ⅲ)歸結(jié)求容器的容積，即因此，灌滿容器所需時(shí)間為或由于灌滿容器所需時(shí)間也就是z=1時(shí)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間t，于是在式(*)中令z=1得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)，f具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，求標(biāo)準(zhǔn)答案：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接求導(dǎo)即可．解知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、討論線性方程組的解的情況．標(biāo)準(zhǔn)答案：先用初等行變換將其增廣矩陣化為行階梯形矩陣，然后再討論參數(shù)取值的情況對(duì)方程組解的影響．解對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣：當(dāng)a≠1時(shí)，方程組有唯一解，將矩陣A的變換矩陣化為四階單位矩陣：因而a≠1時(shí)方程組的唯一解為：當(dāng)a=1，b≠1時(shí)，方程組無解，因?yàn)楫?dāng)a=1，b=一1時(shí)，方程組有無窮多組解，因由基礎(chǔ)解系和特解的簡便求法得到基礎(chǔ)解系：α1=[1，一2，1，0]T，α2=[1，一2，0，1]T；及其特解：η=[一1，1，0，0]T．故方程組的通解為k1α1+k2α2+η，其中k1，k2為任意常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A是n階矩陣，E+A可逆，其中E是n階單位矩陣．證明：(Ⅰ)(E—A)(E+A)-1=(E+A)-1(E—A)；(Ⅱ)若A是反對(duì)稱矩陣，則(E一A)(E+A)-1是正交矩陣；(Ⅲ)若A是正交矩陣，則(E—A)(E+A)-1是反對(duì)稱矩陣．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用反對(duì)稱矩陣及正交矩陣的定義AT=一A及AAT=ATA=E證之．證(Ⅰ)因(E—A)(E+A)=E一A2=(E+A)(E—A)，在上式兩邊分別左乘、右乘(E+A)-1得到(E+A)-1(E—A)(E+A)(E+A)-1=(E+A)-1(E+A)(E—A)(E+A)-1，即(E+A)-1(E—A)=(E一A)(E+A)-1．(Ⅱ)下證[(E—A)(E+A)-1][(E—A)(E+A)-1]T=E．事實(shí)上，由AT=一A得到[(E—A)(E+A)-1][(E—A)(E+A)-1]T=[(E—A)(E+A)-1][(E+A)-1]T(E—A)T=(E—A)(E+A)-1(E—A)-1(E+A)=(E+A)-1(E—A)(E—A)-1(E+A)，(利用(1)的結(jié)果(E—A)(E+A)-1=(E+A)(E—A))=E·E=E．)故(E—A)(E+A)-1為正交矩陣．(Ⅲ)下證[(E—A)(E+A)-1]T=一(E一A)(E+A)-1．利用AAT=ATA=E及-1=AT得到[(E—A)(E+A)-1]T=[(E+A)-1]T(E一A)T=[(E+A)T]-1(E—AT)=(E+AT)-1(E—AT)=(E+A-1)-1(E一A-1)=(A-1A+A-1)-1(E—A-1)=[A-1(A+E)]-1(E—A-1)=(A+E)-1A(E—A-1)=(A+E)-1(A—E)=一(A+E)-1(E—A)=一(E—A)(E+A)-1，(利用(Ⅰ)的結(jié)果(E+A)-1(E—A)=(E—A)(E+A)-1)故(E—A)(E+A)-1為反對(duì)稱矩陣．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、下列無窮小中階數(shù)最高的是()．A、eχ－etanχB、ln(1＋2t)dtC、In(1＋χ)－sinχD、－1標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：eχ－etanχ＝etanχ(eχ-tanχ－1)～χ－tanχ.因?yàn)?，所以eχ－etanχ～－χ3；故選B.2、下列命題正確的是()．A、若f(χ)在χ0處可導(dǎo)，則一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ內(nèi)f(χ)可導(dǎo)B、若f(χ)在χ0處連續(xù)，則一定存在δ＞0，在｜χ－χ0｜＜δ內(nèi)f(χ)連續(xù)C、若存在，則f(χ)在χ0處可導(dǎo)D、若f(χ)在χ0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)f(χ)在χ0處連續(xù)，且f′(χ)存在，則f(χ)在χ0處可導(dǎo)，且f′(χ0)＝f′(χ)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令f(χ＝)得f(χ)在χ＝0處可導(dǎo)(也連續(xù)).對(duì)任意的a＝0f(χ)不存在，所以f(χ)在χ＝a處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，即χ＝0是f(χ)唯一的連續(xù)點(diǎn)和可導(dǎo)點(diǎn)，選項(xiàng)A、B不對(duì)；令f(χ)＝顯然＝0，因?yàn)閒(χ)＝0≠f(0)，所以f(χ)在χ＝0處不連續(xù)，當(dāng)然也不可導(dǎo)，C項(xiàng)不正確；因?yàn)閒(χ)在χ0處連續(xù)且在χ0的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，所以由微分中值定理有f(χ)－f(χ0)＝f′(ξ)(χ－χ0)或者＝f′(ξ)，其中ξ介于χ0與χ之間，兩邊取極限得存在，即f(χ)在χ0處可導(dǎo)，且f′(χ0)＝f′(χ)，故選D.3、下列說法中正確的是()．A、若f′(χ)<0，則f(χ)在χ0的鄰域內(nèi)單調(diào)減少B、若f(χ)在χ0取極大值，則當(dāng)χ∈(χ0－δ，χ0)時(shí)，f(χ)單調(diào)增加，當(dāng)χ∈(χ0，χ0＋δ)時(shí)，f(χ)單調(diào)減少C、f(χ)在χ0取極值，則f(χ)在χ0連續(xù)D、f(χ)為偶函數(shù)，f〞(0)≠0，則f(χ)在χ＝0處一定取到極值標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：f(χ)＝f′(0)＝－1＜0，f′(χ)＝－1＋2χsin，當(dāng)χ＝(k∈N)時(shí)，f′(χ)＞0f(χ)在χ＝0的任意鄰域內(nèi)都不單調(diào)減少，選項(xiàng)A不對(duì)；f(χ)在χ＝0處取得極大值，但其在χ＝0的任一鄰域內(nèi)皆不單調(diào)，選項(xiàng)B不對(duì)；f(χ)在χ＝1處取得極大值，但f(χ)在χ＝1處不連續(xù)；由f〞(0)存在，得f′(0)存在，又f(χ)為偶函數(shù)，所以f′(0)＝0，所以χ＝0一定為f(χ)的極值點(diǎn)，故選D.4、設(shè)δ＞0，f(χ)在(－δ，δ)內(nèi)恒有f〞(χ)＞0，且｜f(χ)｜≤χ2，記I＝∫-δδf(χ)dχ，則有()．A、I＝0B、I＞0C、I＜0D、不能確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椋黤(χ)｜≤χ2，所以f(0)＝0，由｜f(χ)｜≤χ2，得0≤｜｜≤｜χ｜，由夾逼定理得f′(0)＝0．由泰勒公式得f(χ)＝f(0)＋f′(0)χ＋，其中ξ介于0與χ之間，因?yàn)樵?－δ，δ)內(nèi)恒有f〞(χ)＞0，所以I＝＞0，故選B．5、設(shè)f有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，則χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)為()．A、2χ2－8χy－2y2B、－2χ2＋8χy－2y2C、2χ2－8χy＋2y2D、－2χ2＋8χy＋2y2標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：令χ＋y＝u，χ－y＝v，則χ＝(u＋v)，y＝(u＋v)，于是由f(χ＋y，χ－y)＝4(χ2－χy－y2)，得f(u，v)＝4uv－u2＋v2，故f(χ，y)＝4χy－χ2＋y2，χf′χ(χ，y)＋yf′y(χ，y)＝χ(4y－2χ)＋y(4χ＋2y)＝－2χ2＋8χy＋2y2，選D．6、設(shè)f(χ)＝χ3－3χ＋k只有一個(gè)零點(diǎn)，則k的范圍是()．A、｜k｜＜1B、｜k｜＞1C、｜k｜＞2D、k＜2標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f(χ)為三次函數(shù)，至少有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)不單調(diào)，故要使函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，必須極小值大于零或極大值小于零，由f′(χ)＝3(χ2－1)＝0，得駐點(diǎn)χ＝±1，且由圖形可知，χ＝－1’為極大點(diǎn)χ＝1為極小點(diǎn)，故f(-1)＝2＋k＜0k＜－2，f(1)＝－2＋k＞0k＞2，所以選C.7、設(shè).則B等于().A、P1P2-1AB、AP1P2-1C、P1AP2-1D、P2-1AP1標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：故選C.8、設(shè)A，B為n階方陣，令A(yù)＝(α1，α2，…，αn)，B＝(β1，β1，…，βn)，則下列命題正確的A、若矩陣A，B等價(jià)，則向量組α1，α2，…，αn，與向量組β1，β1，…，βn等價(jià)B、若A，B的特征值相同，則A，B等價(jià)C、若AX＝0與BX＝0同解，則A，B等價(jià)D、若A，B等價(jià)，則AX＝0與BX＝0同解標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由A，B等價(jià)得r(A)＝r(B)，從而向量組α1，α2，…αn與向量組β1，β2，…βn的秩相等，但兩向量組秩相等不一定可相互線性表示，即不一定等價(jià)，不選A；若A，B特征值相同，r(A)與r(B)不一定相等，從而A，B不一定等價(jià)，如：，顯然A，B的特征值相同，但r(A)＝1≠r(B)＝2，故A，B不等價(jià)，不選B；若方程組AX＝0與BX＝0同解，則r(A)＝r(B)，從而A，B等價(jià)，反之不對(duì)，應(yīng)選C.二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：e知識(shí)點(diǎn)解析：．10、已知函數(shù)z＝u(χ，y)eaχ+by，且＝0．若z＝z(χ，y)滿足方程＋z＝0，則a＝________，b＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：a＝1，b＝1知識(shí)點(diǎn)解析：則a＝1，b＝1.11、設(shè)f(χ)為連續(xù)函數(shù)，且χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt，則＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：[f(χ)－f(y)]－(χ＋y)知識(shí)點(diǎn)解析：χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt兩邊對(duì)χ求偏導(dǎo)得2χ＋2z＝f(χ).再將χ2＋y2＋z2＝∫χyf(χ＋y－t)dt兩邊對(duì)y求偏導(dǎo)得2y＋2z＝f(y)兩式相加得z[f(χ)－f(y)]－(χ＋y)．12、擺線(a＞0．0≤t≤2π)繞χ軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的表面積為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)[χ，χ＋dy][0，2πa]，ds＝2πy，于是s＝．13、微分方程χy′＝＋y(χ>0)的通解為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：arcsin＝lnχ＋C知識(shí)點(diǎn)解析：由χy′＝＋y得，令u＝，則u＋χ，解得arcsinu＝lnχ＋C，原方程的通解為arcsin＝Inχ＋C．14、設(shè)A為三階矩陣，其特征值為λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，其對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量為α1，α2·α3，令P＝(4α1，α2－α3，α2＋2α3)，則P-1(A*＋3E)P為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳的特征值為λ1＝－2，λ2＝λ3＝1，所以A*的特征值為μ1＝1，μ2＝μ3＝－2，A*＋3E的特征值為4，1，1，又因?yàn)?α1，α2－α3，α2＋2α3也為A的線性無關(guān)的特征向量，所以4α1，α2－α3，α2＋2α3也是A*＋3E的線性無關(guān)的特征向量，所以三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)f(χ)二階可導(dǎo)，且f(0)＝f(1)＝0，f(χ)＝－1.證明：存在ξ∈(0,1)，使得f〞(ξ)≥8.標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒(χ)＝－1，所以存在c∈(0，1)，使得，f(c)＝-1且f′(c)＝0，由勒公式得整理得f〞(ξ1)＝．當(dāng)c∈(0，)≥8，取ξ＝ξ1；當(dāng)c∈≥8，取ξ＝ξ2，故存在ξ∈(0，1)，使得f〞(ξ)≥8．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求不定積分標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、求曲線y＝－χ2＋1上一點(diǎn)P(χ0，y0)(其中χ0≠0)，使過P點(diǎn)作拋物線的切線，此切線與拋物線及兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積最?。畼?biāo)準(zhǔn)答案：切線萬程為y＝－2χ0χ＋χ02＋1，令y＝0，得切線與χ軸的交點(diǎn)為A(，0)，令χ＝0，得切線與y軸的交點(diǎn)為B(0，1＋χ02)．1)當(dāng)χ0＞0時(shí)，因?yàn)椋?，所以所同成圖形面積為，所圍成的面積最小，所求的點(diǎn)為P()2)當(dāng)χ0＜0時(shí)，因?yàn)椋?，所以所圍成的面積為所圍成的面積最小，所求點(diǎn)為P()知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)f(χ)在[0，a]上一階連續(xù)可導(dǎo)，f(0)＝0，在(0，a)內(nèi)二階可導(dǎo)且f〞(χ)＞0．證明：標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閒〞(χ)＞0，所以f′(χ)單調(diào)增加，故f′(ξ)＜f′(χ)，于是φ〞(χ)＞0(0＜χ＜a)．于是由φ(a)＞0，故．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算二重積，其中積分區(qū)域D＝{χ，y)｜0≤χ2≤y≤χ≤1}標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)u＝f(χ2＋y2，χy)，由eχ＋ey＝ez確定，其中f二階連續(xù)可偏導(dǎo)，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：由eχ＋ey＝ez得．再由u＝f(χ2＋y2，χz)得.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求微分方程y〞＋y′－2y＝χeχ＋sin2χ的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：特征方程為λ2＋λ－2＝0，特征值為λ1＝－2，λ2＝1，y〞＋y′－2y＝0的通解為y＝C1e-2χ＋C2eχ，設(shè)y〞＋y′－2y＝χeχ(*)y〞＋y′－2y＝sin2χ(**)令(*)的特解為y1(χ)＝(aχ2＋bχ)eχ，帶入(*)得由y〞＋y′－2y＝sin2χ得y〞＋y′－2y＝(1－cos2χ)，顯然y〞＋y′－2y＝有特解y＝－對(duì)y〞＋y′－2y＝－cos2χ，令其特解為y＝Acos2χ＋Bsin2χ，帶入得，則y2＝，所以原方程的通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)矩陣A滿足A(E－C-1B)TCT＝E＋A，其中B＝求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：由A(E－C-1B)TCT＝E＋A得A[C(E－C-1B)]T＝E＋A，即E＋A＝A(C－B)T，E＝A[(C－B)－E]T，而(C－B)T－E．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)A為三階實(shí)對(duì)稱矩陣，若存在正交矩陣Q，使得QTAQ＝且A*α＝α.(Ⅰ)求正交矩陣Q；(Ⅱ)求矩陣A．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)顯然A的特征值為λ1＝λ2＝-1，λ3＝2，A*的特征值為μ1＝μ2＝－2，μ3＝1，因?yàn)棣翞锳*的屬于特征值μ3＝1的特征向量，所以α是A的屬于特征值λ3＝2的特征向量，令α＝α3.令A(yù)的屬于特征值λ1λ2＝－1的特征向量為ξ＝，因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量正交，所以－χ1－χ2＋χ3＝0，則A的屬于特征值λ1＝λ2＝－1的線性無關(guān)的特征向量為.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(x)=(1+x2)x2一1，，則z→0時(shí)f(x)是g(x)的()．A、高階無窮小B、低價(jià)無窮小C、同階的非等價(jià)無窮小D、等價(jià)無窮小標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：歸結(jié)為求極限．用等價(jià)無窮小代換和洛必達(dá)法則求之．解一因分母為x的(2+1)×2=6階無窮小量，而分子為x的4階無窮小量，因而f(x)是g(x)的低階無窮?。舛蔲(x)為g(x)的低階無窮小．解三f(x)～x4(x→0)，g(x)為(2+1)×2=6階無窮小量(x→0)．顯然，f(x)為g(x)的低階無窮?。?、曲線r=aebθ(a＞0，b＞0)，從θ=0到θ=β(β＞0)的一段弧長為()．A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用弧長的計(jì)算公式計(jì)算．解一解二令則其弧長公式為3、設(shè)f(x)，g(x)在點(diǎn)x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)．當(dāng)f(x)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足時(shí)，則()．A、x=0為f(x)的極小值點(diǎn)B、x=0為f(x)的極大值點(diǎn)C、(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)D、x=0不是f(x)的極值點(diǎn)，(0，f(0))也不是曲線y=f(x)的拐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)易知f′(0)=0．為判斷x=0的性質(zhì)，只好考察x=0的附近f″(x)是否改變符號(hào)，如改變符號(hào)，(0，f(0))為拐點(diǎn)．解由有于是可見在x=0的左、右兩側(cè)f″(x)變號(hào)．因此(0，f(0))為曲線y=f(x)的拐點(diǎn)．4、設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則()．A、當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)B、當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù)C、當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù)D、當(dāng)f(x)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)(x)必是單調(diào)增函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用f(x)的所有原函數(shù)的性質(zhì)判別．f(x)的所有原函數(shù)可寫為它有下述常用的性質(zhì)：(1)若f(x)是奇函數(shù)，則必為偶函數(shù)；(2)若f(x)為偶函數(shù)，則只有當(dāng)c=0時(shí)，才為奇函數(shù)；(3)若f(x)為周期函數(shù)，則存在常數(shù)T，使得對(duì)任意x，有f(x+T)=f(x)，而即只有時(shí)，F(xiàn)(x)才是周期函數(shù)；(4)若f(x)為單調(diào)增函數(shù)，對(duì)任意x1，x2，不妨設(shè)x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)，而要想F(x)是單調(diào)增函數(shù)，則應(yīng)有，而由x1，x2的任意性，且設(shè)x1＜x2時(shí)，必須有f(x)＞0才行．解一設(shè)若f(x)為奇函數(shù)，則f(一x)=一f(x)，故F(x)為偶函數(shù)．解二令，則可排除(B)；令f(x)=1，F(xiàn)(x)=x，則可排除(C)；令f(x)=x，，則可排除(D)；5、設(shè)，其中f(t)是連續(xù)函數(shù)，則等于()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：先求出F(x)中因子x2的極限，再用洛必達(dá)法則去掉積分號(hào)，求出極限．也可用洛必達(dá)法則直接求之．解一解二6、設(shè)，f(0)=1，則f(π)=()．A、一3B、0C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：注意到被積函數(shù)含有導(dǎo)函數(shù)，應(yīng)先利用分部積分法求出定積分．有人可能認(rèn)為算不出來，但不要急，在計(jì)算過程中也可能產(chǎn)生這一項(xiàng)，因而它會(huì)自動(dòng)消失．解即f(π)=4一f(0)=4—1=3．7、設(shè)0是矩陣的特征值，則a=()．A、0B、1C、2D、37標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由題設(shè)知，∣A∣=0，由此確定a．解因0是A的特征值，則∣A∣=0，而∣A∣=2a+0+0一2—72—0=2a一74．故2a一74=0，所以a=37．8、設(shè)A，B均為n階方陣，且A為可逆矩陣，B為不可逆矩陣，A*，B*分別為A，B的伴隨矩陣，則()．A、A*+B*必為可逆矩陣B、A*+B*必為不可逆矩陣C、A*B*必為可逆矩陣D、A*B*必為不可逆矩陣標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：可利用A*的秩與A的秩的關(guān)系判別．當(dāng)A為滿秩矩陣(或?yàn)榱袧M秩矩陣)時(shí)，還可利用秩(AB)=秩(B)，簡易判別．解一因A為可逆矩陣，故秩(A)=n，因而秩(A*)=n，而B為不可逆矩陣，故秩(B)≤n一1，從而秩(B*)≤1．于是秩(A*B*)一秩(B*)≤1，故A*B*必為不可逆矩陣．解二用反證法證之．如A*B*可逆，由題設(shè)又知A可逆，則A*=∣A∣A-1可逆．(A*)-1存在，則(A*)-1(A*B*)為兩個(gè)可逆矩陣的乘積，故也可逆，即(A*)-1A*B=[(A*)-1A*]B*=B*可逆，進(jìn)而B可逆．這與題設(shè)矛盾，故A*B*不可逆．解三用排錯(cuò)法確定選項(xiàng)．設(shè)則A可逆，B不可逆，易求得則不可逆，且也不可逆．因而(A)、(C)都不對(duì)．如令因，故A*+B*可逆，(B)也不對(duì)．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知，則a=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：一2知識(shí)點(diǎn)解析：高階無窮小在求極限的過程中可去掉，而且不影響所求極限的值．解因分子、分母去掉高階無窮小，得到故a=一2．10、曲線的漸近線方程是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：按照水平漸近線的定義求之．解，曲線的水平漸近線為而故當(dāng)x→3時(shí)，函數(shù)y不趨向無窮大，同法可得當(dāng)x→4時(shí)，y也不趨向無窮大．y無鉛直漸近線，也無斜漸近線，y的水平漸近線為11、設(shè)函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)，且，則f′(1)=_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1／2知識(shí)點(diǎn)解析：用導(dǎo)數(shù)定義求之．解一因故．又函數(shù)在x=1處連續(xù)，故f(1)=0，于是故f′(1)=1／2．解二=2·(1／4)=1／2．12、標(biāo)準(zhǔn)答案：e知識(shí)點(diǎn)解析：先用洛必達(dá)法則去掉分子、分母的積分號(hào)，再按冪指函數(shù)求其極限的方法求之．解或13、標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：先畫出積分區(qū)域，如下圖陰影部分所示．然后調(diào)換積分次序(先對(duì)y后對(duì)x)計(jì)算．這是因?yàn)楸环e函數(shù)為直接對(duì)x積分是無法求出結(jié)果的．解交換積分次序(先對(duì)y后對(duì)x)計(jì)算，得到：14、設(shè)A為三階方陣，B為四階方陣，且A的三個(gè)特征值分別為1，2，3，B2=0，則矩陣的非零特征值為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：5，7，13知識(shí)點(diǎn)解析：冪零矩陣(Ak=0)(k≥2)的特征值全為0，關(guān)鍵是由A的特征值求出2A*+E的特征值，從而求出的非零特征值．解矩陣的特征值由2A*+E與B的特征值組成．由B2=O知，B的特征值為0．而2A*+E的特征值為，其中λi(i=1，2，3)為A的特征值，故∣A∣=λ1λ2λ3=6．于是2A*+E的三個(gè)特征值為又因B的特征值全為0，故的非零特征值為5，7，13．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、設(shè)函數(shù)f(x)處處連續(xù)，并滿足關(guān)系式求標(biāo)準(zhǔn)答案：利用冪指函數(shù)極限的簡便求法求之，也可利用重要極限求之．解一因故注意到，有所以由得到又f(x)連續(xù)，故解二利用重要極限求之．因故于是由得到于是故因此．而f連續(xù)，故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求，其中b＞a＞0．標(biāo)準(zhǔn)答案：極限式可化為n項(xiàng)的積和式，因而可用定積分的定義求之．解一解二知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且試證：(Ⅰ)存在，使f(η)=η；(Ⅱ)對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，必存在ξ∈(0，η)，使得f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)只需作出輔助函數(shù)φ(x)=f(x)一x，利用介值定理證之；(Ⅱ)對(duì)于中值等式f′(ξ)一λf(ξ)=0，常作輔助函數(shù)F(x)一f(x)e-λx證之．將待證等式右邊的1看成ξ′，則待證等式可化為f′(ξ)一ξ′一λ[f(ξ)一ξ]=[f(ξ)一ξ]′一λ[f(ξ)一ξ]．于是易想到作輔助函數(shù)F(x)=e-λx[f(x)一x]，利用羅爾定理證之．證(Ⅰ)令φ(x)=f(x)一x．則φ(x)在[0，1]上連續(xù)，又故由介值定理知，存在，使得φ(η)一f(η)一η=0，即f(η)=η．(Ⅱ)設(shè)F(x)=e-λxφ(x)=e-λx[f(x)一x]，則F(x)在[0，η]上連續(xù)，在(0，η)內(nèi)可導(dǎo)，且F(0)=0，F(xiàn)(η)=e-ληφ(η)=0，即F(x)在[0，η]上滿足羅爾定理的條件，故存在ξ∈(0，η)，使得F′(ξ)=0，即e-λξ{f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]一1)=0，從而f′(ξ)一λ[f(ξ)一ξ]=1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、(Ⅰ)證明(Ⅱ)設(shè)f(x)是[a，b]上的正值連續(xù)函數(shù)，證明其中D={(x，y)∣a≤x≤b，a≤y≤b}．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意到f(x)=ex的圖形是凹的，可試用下述定義證之．設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)連續(xù)，對(duì)任意x1，x2∈(a，b)，都有則稱f(x)在(a，b)內(nèi)的圖形是凹的(或凹弧)．(Ⅱ)注意到積分區(qū)域D為正方形，有輪換對(duì)稱性，利用此性質(zhì)及f2(x)+g2(x)≥2f(x)g(x)可證待證不等式．證(Ⅰ)令f(x)=ex，則f′(x)=f″(x)=ex＞0．因而y=f(x)的圖形是凹的，由其定義得到(Ⅱ)因積分區(qū)域D為正方形：a≤x≤b，a≤y≤b，關(guān)于x與y具有輪換對(duì)稱性，所以從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[0，1]上可微，且滿足λ∈(0，1)為常數(shù)．求證：在(0，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使f′(ξ)=一f(ξ)／ξ．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用積分中值定理，存在ξ1∈(0，λ)，使f(1)=ξ1f(ξ1)．如果令F(x)=xf(x)，則F(1)=f(1)=ξ1f(ξ1)=F(ξ1)，即F(x)在x=1，x=ξ1兩點(diǎn)處函數(shù)值相等，故可對(duì)F(x)在(ξ1，1)內(nèi)使用羅爾定理．證令F(x)=xf(x)，顯然F(x)在[0，1]上可微．應(yīng)用積分中值定理得又F(ξ1)=ξ1f(ξ1)，則F(ξ1)=F(1)．于是對(duì)F(x)在[ξ1，1]上應(yīng)用羅爾定理知，至少存在，使得F′(ξ)=ξf′(ξ)+f(ξ)=0，即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)f(x)在[a，b]上可導(dǎo)，在(a，b)內(nèi)二階可導(dǎo)，f(a)=f(b)=0，f′(a)f′(b)＞0．試證：(Ⅰ)存在ξ∈(a，b)，使f(ξ)=0；(Ⅱ)存在η∈(a，b)，使f″(η)=f(η)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用極限的保號(hào)性及介值定理易證(Ⅰ)．對(duì)(Ⅱ)可先作輔助函數(shù)ψ(x)=exf(x)．令其導(dǎo)數(shù)等于0，可產(chǎn)生ex[f′(x)+f(x)]=0，即f′(x)+f(x)=0．再作輔助函數(shù)F(x)=e-x[f(x)+f′(x)]證之．證(Ⅰ)由f′(a)f′(b)＞0知，f′(a)與f′(b)同號(hào)，不妨設(shè)f′(a)＞0，f′(b)＞0，則又由極限的保號(hào)性知，存在x1∈(a，a+δ1)，使得f(x1)＞0；同理存在x2∈(b一δ2，b)，使得f(x2)＜0．由連續(xù)函數(shù)的介值定理(零點(diǎn)定理)知，存在，使得f(ξ)=0．(Ⅱ)令ψ(x)=exf(x)，則ψ(a)=ψ(ξ)=ψ(b)．由羅爾定理知，存在ξ1∈(a，ξ)，使ψ′(ξ1)=[exf(x)]′∣x=ξ1=0，即f(ξ1)+f′(ξ1)=0．同理，存在ξ2∈(ξ，b)，使ψ′(ξ2)=eξ2[f(ξ2)+f′(ξ2)]=0，即f(ξ2)+f′(ξ2)=0．再令F(x)=e-x(f(x)+f′(x))，則F(ξ1)=F(ξ2)=0．對(duì)F(x)在[ξ1，ξ2]上應(yīng)用羅爾定理知，存在使得F′(x)∣x=η={一e-x[f(x)+f′(x)]+e-x[f′(x)+f″(x)])x=η=e-x[f″(x)一f(x)]∣x=η=0，即F′(η)=e-η[f″(η)一f(η)]=0，亦即f″(η)=f(η)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、證明：若f(x)，g(x)都是可微函數(shù)，且z≥a時(shí)，∣f′(x)∣≤g′(x)，則當(dāng)x≥a時(shí)，∣f(x)―f(a)∣≤g(x)―g(a)．標(biāo)準(zhǔn)答案：為證g(x)一g(a)≥f(x)一f(a)，即證g(x)一f(x)≥g(a)一f(a)．需作輔助函數(shù)φ(x)=g(x)一f(x)，對(duì)φ(x)在[a，x]上使用拉格朗日中值定理．為證一[g(x)一g(a)]≤f(x)一f(a)，即證f(x)+g(x)≥f(a)+g(a)．需作輔助函數(shù)ψ(x)=f(x)+g(x)，對(duì)ψ(x)在[a，x]上使用拉格朗日中值定理．證令φ(x)=g(x)一f(x)，由拉格朗日中值定理得φ(x)一φ(a)=φ′(ξ)(x一a)，a＜ξ＜x．當(dāng)x≥a時(shí)，由于∣f′(x)∣≤g′(x)，則一g′(x)≤f′(x)≤g′(x)，于是φ′(ξ)=g′(ξ)一f′(ξ)≥0．所以當(dāng)x≥a時(shí)，φ(x)一φ(a)≥0，即g(x)一f(x)一[g(a)一f(a)]≥0，則g(x)一g(a)≥f(x)一f(a)(x≥a)．①又令ψ(x)=g(x)+f(x)，由拉格朗日中值定理得ψ(x)一ψ(a)=ψ′(ξ)(x一a)，a＜ξ＜x．當(dāng)x≥a時(shí)，由于∣f′(x)∣≤g′(x)，則f′(x)+g′(x)≥0，于是ψ′(ξ)≥0．故當(dāng)x≥a時(shí)，ψ(x)一ψ(a)≥0，即g(x)+f(x)一[g(a)+f(a)]≥0．所以，當(dāng)x≥a時(shí)，g(x)一g(a)≥一[f(x)一f(a)]，即f(x)一f(a)≥一[g(x)一g(a)]．②綜合式①、式②得∣f(x)一f(a)∣≤g(x)一g(a)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、已知向量組(Ⅰ)能由向量組(Ⅱ)線性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，證明向量組(Ⅰ)與向量組(Ⅱ)等價(jià)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且設(shè)組(Ⅰ)和組(Ⅱ)的極大線性無關(guān)組分別為α1，α2，…αr；β1，β2，…，βr，歸結(jié)證明α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr等價(jià)．可用兩種方法證之．一種方法是作向量組(Ⅲ)：α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr證明α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr均為組(Ⅲ)的極大線性無關(guān)組，從而α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr等價(jià)．另一種方法是用矩陣表示法，令(α1，α2，…，αr)=(β1，β2，…，βr)A，其中A為r階矩陣．因α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr都線性無關(guān)，故A可逆，從而(β1，β2，…，βr)=(α1，α2，…，αr)A-1．于是β1，β2，…，βr可由α1，α2，…，αr線性表出．當(dāng)然，α1，α2，…，αr也可由β1，β2，…，βr線性表示，所以α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr等價(jià)，故組(Ⅰ)與組(Ⅱ)等價(jià)．證一設(shè)秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr分別為組(Ⅰ)和組(Ⅱ)的極大線性無關(guān)組．作向量組(Ⅲ)：α1，α2，…，αr，β1，β2，…，βr．下證α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr均為組(Ⅲ)的極大線性無關(guān)組．因組(Ⅰ)能由組(Ⅱ)線性表出，故α1，α2，…，αr也能由β1，β2，…，βr線性表出，從而組(Ⅲ)能由β1，β2，…，βr線性表出，又β1，β2，…．βr線性無關(guān)，故β1，β2，…，βr為組(Ⅲ)的一個(gè)極大線性無關(guān)組，從而秩(Ⅲ)=r，所以組(Ⅲ)中的r個(gè)線性無關(guān)的向量組也是組(Ⅲ)的一個(gè)極大線性無關(guān)組，又因同一向量組中的極大線性無關(guān)組必等價(jià)，故α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr等價(jià)．顯然組(Ⅰ)與α1，α2，…，αr等價(jià)，組(Ⅱ)與β1，β2，…，βr等價(jià)，故組(Ⅰ)與組(Ⅱ)必等價(jià)(等價(jià)的傳遞性)．證二因組(Ⅰ)可由組(Ⅱ)線性表示，故α1，α2，…，αr可由β1，β2，…，βr線性表示，于是存在r階矩陣A，使(α1，α2，…，αr)=(β1，β2，…，βr)A．利用下述命題：設(shè)α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βr(r≤n)都是n維向量，如果β1，β2，…，βr線性無關(guān)且(α1，α2，…，αr)=(β1，β2，…，βr)A，其中A為r階矩陣，則α1，α2，…，αr線性無關(guān)的充分必要條件是A為可逆矩陣．可知，A為可逆矩陣，且(β1，β2，…，βr)=(α1，α2，…，αr)A—1．則β1，β2，…，βr可由α1，α2，…，αr線性表出，由等價(jià)的定義知α1，α2，…，αr與β1，β2，…，βr等價(jià)．又組(Ⅰ)與α1，α2，…，αr等價(jià)，組(Ⅱ)與β1，β2，…，βr，等價(jià)，由等價(jià)的傳遞性得到組(Ⅰ)與組(Ⅱ)等價(jià)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、若三階方陣，試求秩(A)．標(biāo)準(zhǔn)答案：可用秩的定義分別討論a的不同取值時(shí)秩(A)的大小，也可用初等變換法討論之．解一當(dāng)a≠1且a≠一2時(shí)，∣A∣≠0，有秩(A)=3．當(dāng)a=1時(shí)，∣A∣=0，且，有秩(A)=1．當(dāng)a=一2時(shí)，∣A∣=0，且，有二階子式，故秩(A)=2．解二因初等變換不改變矩陣的秩，所以(1)當(dāng)a≠1且a≠一2時(shí)，秩(B)=3=秩(A)；(2)當(dāng)a=1時(shí)，秩(B)=1，故秩(A)=1；(3)當(dāng)a=一2時(shí)，秩(B)=2=秩(A)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)＝，χ≠0，若f(χ)在χ＝0出可導(dǎo)數(shù)不為零，則k為().A、3B、4C、5D、6標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閒(χ)在χ＝0處可導(dǎo)，所以k－2＝3，即k＝5，選C.2、曲線y＝的漸近線條數(shù)為()．A、3條B、2條C、1條D、0條標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：＝∞，所以曲線y＝無水平漸近線；因?yàn)椋健蓿驭郑?為曲線y＝的鉛直漸近線．又因?yàn)椋健?，所以χ?為曲線y＝的鉛直漸近線；因?yàn)?，所以曲線的斜漸近線為y＝χ＋2，故曲線有3條漸沂線，故選A．3、設(shè)函數(shù)F(χ)是連續(xù)且單調(diào)增加的奇函數(shù)，φ(χ)＝∫0χ(2u－χ)f(χ－u)du，則φ(χ)是()．A、單調(diào)增加的奇函數(shù)B、單調(diào)減少的奇函數(shù)C、單調(diào)增加的偶函數(shù)D、單調(diào)減少的偶函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：所以φ(χ)為奇函數(shù)；又φ′f(χ)＝∫0χf(t)dt－χf(χ)，當(dāng)χ＞0時(shí)，φ′(χ)∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(≤0ξ≤χ)當(dāng)χ≤0時(shí)，φ′(χ)∫0χf(t)dt－χf(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]≤0(≤χξ≤0)所以φ（χ）為單調(diào)減少的奇函數(shù)，故選B．4、設(shè)函數(shù)f(χ)具有一階導(dǎo)數(shù)，下述結(jié)論中正確的是()．A、若f(χ)只有一個(gè)零點(diǎn)，則f′(χ)必至少有兩個(gè)零點(diǎn)B、若f′(χ)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則f(χ)必至少有兩個(gè)零點(diǎn)C、若f(χ)沒有零點(diǎn)，則f′(χ)至少有一個(gè)零點(diǎn)D、若f′(χ)沒有零點(diǎn)，則f(χ)至多有一個(gè)零點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：若f(χ)至少有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理，f′(χ)至少有一個(gè)零點(diǎn)，故若f′(χ)沒有零點(diǎn)，則f(χ)至多一個(gè)零點(diǎn)，選D．5、設(shè)f(χ，y)在(0，0)處連續(xù)，且＝4，則()．A、f(χ，y)在(0，0)處不可偏導(dǎo)B、f(χ，y)在(0，0)處可偏導(dǎo)但不可微C、f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝4且f(χ，y)在(0，0)處可微分D、f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0且f(χ，y)在(0，0)處可微分標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由＝4得f(0，0)＝,1，因?yàn)椋?~χ2＋y2，所以＝4＋α，其中α為當(dāng)(χ，y)→(0，0)時(shí)的無窮小，于是△f＝f(χ，y)－f(0，0)＝0×χ＋0×y＋o()，故f(χ，y)在(0，0)處可微，且f′χ(0，0)＝f′y(0，0)＝0，選D．6、設(shè)函數(shù)y＝f(χ)的增量函數(shù)，且f(0)＝π，則f(－1)為()．A、B、πeπC、πD、πe-π標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由△y＝＋o(△χ)得y＝f(χ)為可導(dǎo)函數(shù)，且，則y＝f(χ)＝，因?yàn)閒(0)＝π，所以C＝π，于是f(χ)＝πearctanχ故f(－1)＝π，選C．7、設(shè)A為m×n矩陣，且r(A)＝m＜n，則下列結(jié)論正確的是()．A、A的任意m階子式都不等于零B、A的任m個(gè)列向量線性無關(guān)C、方程組AX＝b一定有無數(shù)個(gè)解D、矩陣A經(jīng)過初等行變換化為()標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)锳與都是m行，所以r(A)一r()＝m＜n，所以方程組AX＝b一定有無數(shù)個(gè)解，選C．8、設(shè)α，β為四維非零的正交向量，且A＝αβT，則A的線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為()．A、1B、2C、3D、4標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：令A(yù)X＝λX，則A2X＝λ2X，因?yàn)棣?，β正交，所以αTβ＝βTα＝0，A2＝αβT.αβT＝0，于是λ2X＝0，故λ1＝λ2＝λ3＝λ4＝0，因?yàn)棣粒聻榉橇阆蛄?，所以A為非零矩陣，故r(A)≥1；又r(A)＝r(αβT)≤r(α)＝1，所以r(A)＝1．因?yàn)?－r(OE－A)＝4－r(A)＝3．所以A的線性無關(guān)的特征向量是3個(gè)，選C．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、極限＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令則10、設(shè)f(χ)二階可導(dǎo)且滿足∫0χt2f(t)dt＝χ3＋f(χ)，則f(χ)＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)∫0χt2f(t)dt＝χ3＋f(χ)兩邊求導(dǎo)得χ2f(χ)＝3χ2＋f′(χ)，整理得f′(χ)－χ2f(χ)＝－3χ2，解得f(χ)＝當(dāng)χ＝0時(shí)，f(χ)＝0，于是C＝－3，故f(χ)＝－3＋3．11、＝．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：.12、y＝y(tǒng)(χ)由＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：2(e-2－e-1)知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)t＝0時(shí)，χ＝0,y＝－1，＝2t－1，由tey＋y＋1＝0，得ey＋tey＝0，解得.于是.13、若f(χ)＝2nχ(1－χ)n，記＝________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：令f′(χ)＝2n(1－χ)n－2n2χ(1－χ)n-1＝0，得χ＝，由f(0)＝f(1)＝0，得.14、設(shè)，且ABAT＝E＋BAT，則B＝_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由ABAT＝E＋2BAT，得ABAT＝(AT)-1AT＋2BAT，因?yàn)锳T可逆，所以AB＝(AT)-1＋2B或B＝(A－2E)-1(AT)-1＝[AT(A－2E)]-1，解得．三、解答題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)15、計(jì)算極限．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)χ→0時(shí)，1－，則.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)u＝f(χ＋y，χ－y，z)由z＝p(t)dt確定z為χ，y的函數(shù)，又f連續(xù)可偏導(dǎo)，P可導(dǎo)，且P(y＋z)－P(χ＋z)－1≠0，求．標(biāo)準(zhǔn)答案：將u＝f(χ＋y，χ－y，z)及z＝p(t)dt兩邊對(duì)χ求偏導(dǎo)得.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)f(χ)在[0，2]上二階可導(dǎo)，且f〞(χ)<0，f′(0)＝1，f′(2)＝－1，f(0)＝f(2)＝1．證明：2≤∫02(χ)dχ≤3．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先f〞(χ)＜0，所以f(χ)在(0，2)內(nèi)不可能取到最小值，從而f(0)＝f(2)＝1為最小值，故f(χ)≥1∈[0，2])，從而∫02f(χ)dχ≥0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)拋物線y＝χ2與它的兩條相互垂直的切線所圍成的平面圖形的面積為S，其中一條切線與拋物線相切于點(diǎn)A((a，a2)(a＞0)．(1)求S＝S(a)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)a取何值時(shí)，面積S(a)最小?標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)設(shè)另一個(gè)切點(diǎn)為(χ0，χ02)，則拋物線y＝χ2的兩條切線分別為L1：y＝2aχ－a2，L2：y＝2χ0χ－02.因?yàn)長1⊥L2，所以χ0＝－，兩條切線L1，L2的交點(diǎn)為χ1＝，y1＝aχ0，L1，L2及拋物線y＝χ2所圍成的面積為．因?yàn)楫?dāng)a∈(0，)時(shí)，S′(a)＜0，當(dāng)a＞時(shí)，S′(a)＞0，所以當(dāng)a＝時(shí)，面積S(a)取最小值．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、計(jì)算二重積分dχdy。其中D是由y＝－a＋(a＞0)及y＝－χ所圍成的區(qū)域．標(biāo)準(zhǔn)答案：令其中－≤θ≤0，0≤r≤一2asinθ，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、討論，在點(diǎn)(0，0)處的連續(xù)性、可偏導(dǎo)性及可微性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋?，所以f(χ，y)＝0＝f(0，0)，即函數(shù)f(χ，y)在點(diǎn)(0，0)處連續(xù).因?yàn)椋?，所以f′χ(0，0)＝0，根據(jù)對(duì)稱性得f′y(0，0)＝0，即函數(shù)f(χ，y)在(0，0)處可偏導(dǎo).因?yàn)椴淮嬖?，所以函?shù)f(χ，y)在(0，0)處不可微.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)曲線y＝y(tǒng)(χ)(χ＞0)是微分方程2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的一個(gè)特解，此曲線經(jīng)過原點(diǎn)且在原點(diǎn)處的切線平行于χ軸．(Ⅰ)求曲線y＝y(tǒng)(χ)的表達(dá)式；(Ⅱ)求曲線y＝y(tǒng)(χ)到χ軸的最大距離；(Ⅲ)計(jì)算積分∫0＋∞y(χ)dχ．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)微分方程的特征方程為2λ2＋λ－1＝0特征值為λ1＝－1，λ2＝則微分方程2y〞＋y′－y＝0的通解為y＝C1e-χ＋C2令非齊次線性微分方稗2y〞＋y′－y＝(4－6χ)e-χ的特解為y0(χ)＝χ(aχ＋b)e-χ，代人原方程得a＝1，b＝0，故原方程的特解為y0(χ)＝χ2e-χ，原方程的通解為．由初始條件y(0)＝y(tǒng)′(0)＝0得C1＝C2＝0，故y＝χ2e-χ．(Ⅱ)曲線y＝χ2e-χ到χ軸的距離為d＝χ2e-χ，令d′＝2χe-χ－χ2e-χ＝χ(2－χ)e-χ＝0.得χ＝2.當(dāng)χ∈(0，2)時(shí)，d′＞0；當(dāng)χ＞2時(shí)，d′＜0，則χ＝2為d＝χ2e-χ的最大值點(diǎn)，最大距離為d(2)＝．(Ⅲ)∫0＋∞y(χ)dχ＝∫0＋∞χ2e-χdχ＝2．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)非齊次線性方程組有三個(gè)線性無關(guān)解α1，α2，α3，(Ⅰ)證明系數(shù)矩陣的秩r(A)＝2；(Ⅱ)求常數(shù)a，b及通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)令r(A)＝r，因?yàn)橄禂?shù)矩陣至少有兩行不成比例，所以f(A)≥2.α1－α2，α1－α3為對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的兩個(gè)解．令k1(α1－α2)＋k2(α1－α3)＝0，即(k1＋k2)α1－k1α2－k2α3＝0．因?yàn)棣?，α2，3線性無關(guān)，所以k1＝k2＝0，即α1－α2，α1－α3線性無關(guān)，于是對(duì)應(yīng)的齊次線件方程絹的基礎(chǔ)解系至少含兩個(gè)線性無關(guān)解向量，即4－r≥2或r≤2，故r(A)＝2．解得a＝2，b＝－3，于是通解為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)ξ1＝為矩陣A＝的一個(gè)特征向量．(I)求常數(shù)a，b及ξ1所對(duì)應(yīng)的特征值；(Ⅱ)矩陣A可否相似對(duì)角化?若A可對(duì)角化，對(duì)A進(jìn)行相似對(duì)角化；若A不可對(duì)角化，說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)根據(jù)特征值特征向量的定義，有Aξ1＝λξ1，即，于是有解得a＝1，b＝1，λ＝3，則A＝(Ⅱ)由｜λE－A｜＝0，得λ1＝λ2＝2，λ3＝3.2E－A＝，因?yàn)閞(2E－A)＝2，所以A不可對(duì)角化.知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)（數(shù)學(xué)二）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)f(χ)＝則f(χ)在χ＝0處()A、不存在極限B、存在極限但不連續(xù)C、連續(xù)但不可導(dǎo)D、可導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：＝f(0)，所以選項(xiàng)A和B均錯(cuò)．所以f(χ)在χ＝0處可導(dǎo)，選D．2、設(shè)α(χ)＝ln(1＋t)dt，β(χ)＝χ5＋7χ7，γ(χ)＝arctanχ－arcsinχ，當(dāng)χ→0時(shí)，按照前面一個(gè)比后面一個(gè)為高階無窮小的排列次序?yàn)?)A、α，β，γB、β，α，γC、γ，α，βD、α，γ，β標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：所以當(dāng)k＝6時(shí)，上述極限存在且不為零．故知：χ→0時(shí)α(χ)與χ6是同階無窮?。援?dāng)k＝5時(shí)，此極限存在且不為零．故知：χ→0時(shí)β(χ)與χ6是同階無窮?。援?dāng)k＝3時(shí)，存在且不為零．故知：χ→0時(shí)γ(χ)與χ3是同階無窮小．所以選A．3、f(χ)＝｜χ3－4χ｜的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A、0B、1C、2D、3標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：f(χ)＝｜χ(χ－2)(χ＋2)｜f(χ)的不可導(dǎo)點(diǎn)應(yīng)該從使｜χ(χ－2)(χ＋2)｜＝0的點(diǎn)去考慮．取χ＝0，χ＝2，χ＝－2討論之．所以f(χ)在χ＝0處不可導(dǎo)．同理f(χ)在χ＝2處也不可導(dǎo)．所以f(χ)在χ＝－2處可導(dǎo)．所以f(χ)共有2個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)，故選C．4、設(shè)f(χ)可導(dǎo)且f′(χ)＞0，并設(shè)F(χ)＝∫0χ2uf(u)du－χ∫0χf(u)du，則()A、F(0)是F(χ)的極大值B、F(0)是F(χ)的極小值C、曲線y＝F(χ)在點(diǎn)(0，0)的左側(cè)是凸的，右側(cè)是凹的D、曲線y＝F(χ)在點(diǎn)(0，0)的左側(cè)是凹的，右側(cè)是凸的標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镕(χ)＝∫0χ2uf(u)du－χ∫0χf(u)du所以F′(χ)＝2χf(χ)－χf(χ)－∫0χf(u)du＝χf(χ)－∫0χf(u)du，所以F〞(χ)＝χf′(χ)，F(xiàn)′(0)＝0，F(xiàn)〞(0)＝0，又因?yàn)棣郑?，F(xiàn)〞(χ)＜0，χ＞0，F(xiàn)〞(χ)＞0．所以曲線y＝F(χ)在點(diǎn)(0，0)的左側(cè)是凸的，右側(cè)凹的．5、下列反常積分結(jié)論正確的是()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于選項(xiàng)A，所以dχ＝－2ln2＋2ln2＝0至于選項(xiàng)B，C，D．這幾個(gè)反常積分都是發(fā)散的，可以按反常積分的定義直接計(jì)算，不能亂用奇偶性質(zhì)．6、設(shè)p(χ)，q(χ)，f(χ)均是χ的連續(xù)函數(shù)，y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的三個(gè)線性無關(guān)解，C1，C2為任意常數(shù)，則齊次方程y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的通解是()A、C1y1(χ)＋(C1－C2)y2(χ)＋(1－C2)y3(χ)B、(C1－C2)y1(χ)＋(C2－1)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)C、(C1＋C2)y1(χ)＋(C1－C2)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)D、C1y1(χ)＋C2y2(χ)＋(1－C1－C2)y3(χ)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：將選項(xiàng)B改寫為：(C1－C2)y1(χ)＋(C2－1)y2(χ)＋(1－C1)y3(χ)＝C1[y1(χ)－y3(χ)]＋C2[y2(χ)－y1(χ)]＋[y3(χ)－y2(χ)]．因?yàn)閥1(χ)，y2(χ)，y3(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝f(χ)的解，所以y1(χ)－y3(χ)，y2(χ)－y1(χ)，y3(χ)－y2(χ)均是y〞＋p(χ)y′＋q(χ)y＝0的解，并且y1(χ)－y2(χ)與y2(χ)－y1(χ)線性無關(guān)．故B為通解．(事實(shí)上，若y1(χ)－y3(χ)與y2(χ)－y1(χ)線性相關(guān)，則存在不全為零的k1，k2使得k1[y1(χ)－y3(χ)]＋k2[y2(χ)－y1(χ)]＝0，即(k1－k2)y1(χ)＋k2y2(χ)－k1y3(χ)＝0．由于y1(χ)，y2(χ)，y3(χ)是線性無關(guān)的，故k1，k2全為零，矛盾．故y1(χ)－y3(χ)與y2(χ)－y1(χ)線性無關(guān))．7、設(shè)A為m×n矩陣，對(duì)于齊次線性方程組(Ⅰ)Aχ＝0和(Ⅱ)ATAχ＝0，必有()A、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也是(Ⅰ)的解B、(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解C、(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解，但(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解D、(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(Ⅰ)的解標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)α是Aχ＝0的解，即Aα＝0，則ATAα＝0，即(Ⅰ)的解是(Ⅱ)的解．設(shè)β是ATAχ＝0的解，則ATAB＝0．兩邊左乘βT得到βTATAβ＝βT0＝0，整理可得(Aβ)TAβ＝0，從而得到Aβ＝0，即(Ⅱ)的解是(Ⅰ)的解．8、設(shè)三元二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χTAχ的負(fù)慣性指數(shù)為q＝1，且二次型的矩陣A滿足A2－A＝6E，則二