2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用專題五（含解析）

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題五知識點(diǎn)一求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）,利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)典例1、已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為y=0，求m的值；（2）若對任意，都有，求m的取值范圍；（3）討論在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).典例2、已知，設(shè)函數(shù)，（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的值；（3）若函數(shù)與的圖象沒有交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(注：題中為自然對數(shù)的底數(shù)，即)隨堂練習(xí)：已知函數(shù)．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若存在，對與任意的，使得恒成立，求的最小值．典例3、設(shè)函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證：當(dāng)時(shí)，函數(shù)不存在零點(diǎn)．隨堂練習(xí)：已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的值；（3）設(shè)函數(shù)，在（2）的條件下，證明：存在唯一的極小值點(diǎn)，且．知識點(diǎn)二求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程（斜率）,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)典例4、已知函數(shù)求曲線在點(diǎn)處的切線方程若函數(shù)，恰有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍隨堂練習(xí)：已知函數(shù)，.（1）求在點(diǎn)處的切線方程；（2）求證：當(dāng)時(shí)，有且僅有個(gè)零點(diǎn).典例5、已知函數(shù)（）．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．典例6、已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有一個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．2024年高考導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)專題五答案典例1、答案：（1）；（2）；（3）.解:（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）因?yàn)椋艉愠闪?，則恒成立，所以恒成立，令，，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，所以，故a的取值范圍為.（3）若有兩個(gè)零點(diǎn)，則有兩個(gè)零點(diǎn)，所以在上有兩個(gè)解，所以在上有兩個(gè)解，令，，，令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，且，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，所以，又在上，；在上，，所以a的取值范圍為.隨堂練習(xí)：答案：（1）1（2）（3）3、答案見解析解：（1）因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為y=0，所以，即，解得m=1.（2），，由于在單調(diào)遞增，所以.①當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，即.②當(dāng)時(shí)，令，解得，，的情況如下：x-0+單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)在單調(diào)遞減，即，不合題意.綜上，使在都成立的m的范圍是.（3）根據(jù)第（2）的結(jié)論，①當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，且有唯一零點(diǎn)x=0，所以在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，若，即時(shí)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)；若，即時(shí)，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)；綜上，時(shí)，在區(qū)間上沒有零點(diǎn)：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn).典例2、答案：（1）；（2）；（3）．解:（1）時(shí)，，所以，所以，所以切線方程為：，即（2）設(shè)，，又不等式：恒成立，即恒成立，故是的極大值點(diǎn)，所以，得；另一方面，當(dāng)時(shí)，，，在區(qū)間單調(diào)遞減，又，故在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以，即恒成立綜合上述：（3）由題意，即方程沒有實(shí)根，我們先把方程有實(shí)根時(shí)，的取值范圍求出，再關(guān)于取補(bǔ)集，不妨設(shè)：()，則方程變?yōu)?，設(shè)函數(shù)，∵，在上遞增，（）設(shè)，則，所以在上增，在上減，(的圖象如圖)有實(shí)數(shù)解，結(jié)合，則，有即，所以方程有實(shí)根時(shí)，的取值范圍為所以方程沒有實(shí)根時(shí)，的取值范圍為．隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）（3）解：（1）當(dāng)時(shí)，，故，故在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得．（2）由題意知有且只有一個(gè)根且有正有負(fù)．構(gòu)建，則①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以有一個(gè)零點(diǎn)，即為的一個(gè)極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，即無極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，若，則即.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,設(shè)，故，故在上為增函數(shù)，故，故，故當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)恒成立，即無極值點(diǎn)；綜上所述：．由題意知，對與任意的，使得恒成立，則，又要使取到最小值，則．當(dāng)時(shí)，，故，所以的最小值為e；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以無最小值，即無最小值；當(dāng)時(shí)，由（2）得只有一個(gè)零點(diǎn)，即且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時(shí)，因，所以代入得：，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，此時(shí)，所以的最小值為．典例3、答案：（1）；（2）；（3）證明見解析.解：（1）因?yàn)?，則，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，則，所以，，解得.（2）因?yàn)槌闪?，則，當(dāng)時(shí)，，下面證明，設(shè)，其中，則，令，則且不恒為零，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即成立，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.（3）因?yàn)?，所以，且兩個(gè)等號不同時(shí)成立，即，令，其中，則且不恒為零，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，即，此時(shí)函數(shù)不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，而，此時(shí)，即，所以此時(shí)函數(shù)不存在零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，而，所以，即，所以此時(shí)函數(shù)不存在零點(diǎn)．綜上可得，時(shí)，函數(shù)不存在零點(diǎn)．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；（3）證明見解析.解：（1），而，所以在處的切線方程為：（2）由題意得：，因?yàn)?，所以問題等價(jià)于在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，舍去；當(dāng)時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值且為最大值，即最大值為，所以，整理得：令，則，易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，即最大值為，所以的解為．（3），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以在上有唯一零點(diǎn)，在上有唯一零點(diǎn)1；且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以時(shí)的唯一極小值點(diǎn)．由得故，由得，．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，在取得最小值，由得，．所以．典例4、答案：(1)x+y-1=0.(2).解:（1）因?yàn)?，所?所以又所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（2）由題意得，，所以.由，解得，故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.所以.又，，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由知，則，，所以，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）證明：記，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，，則，使得；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，，則，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上遞增，在上遞減，，，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上，有且僅有個(gè)零點(diǎn).典例5、答案：（1）；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（2）因?yàn)?，定義域?yàn)椋裕佼?dāng)時(shí)，與在上的變化情況如下：最大值所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．②當(dāng)時(shí)，與在上的變化情況如下：極大值極小值所以在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．③當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增．④當(dāng)時(shí)，與在上的變化情況如下：極大值極小值所以在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．（3）由（2）可知：①當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取得最大值．（i）當(dāng)時(shí)，，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．（ii）當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，，在?nèi)單調(diào)遞減，所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)．因?yàn)?，所以且．因?yàn)?，，且在?nèi)單調(diào)遞增，所以在內(nèi)有唯一零點(diǎn)．所以當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得極大值，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．④當(dāng)時(shí)，在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取得極大值，所以在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．典例6、答案：（1）