2025高考總復(fù)習(xí)專項(xiàng)復(fù)習(xí)-圓錐曲線的方程專題二

21世紀(jì)教育網(wǎng)精品試卷·第2頁(yè)（共2頁(yè)）人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題二知識(shí)點(diǎn)一橢圓中三角形（四邊形）的面積,求橢圓中的最值問(wèn)題,橢圓中的定值問(wèn)題典例1、已知焦點(diǎn)在x軸的橢圓C：離心率e=，A是左頂點(diǎn)，E（2，0）（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）若斜率不為0的直線l過(guò)點(diǎn)E，且與橢圓C相交于點(diǎn)P，Q兩點(diǎn)，求三角形APQ面積的最大值隨堂練習(xí)：已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若橢圓上有一點(diǎn)P，另一焦點(diǎn)，求的面積的最大值．典例2、已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，且，直線過(guò)且與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)線段的中點(diǎn)不在軸上時(shí)，設(shè)線段的中垂線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)為橢圓的中心，記的面積為的面積為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線的方程．

隨堂練習(xí)：已知橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，右頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，（1）若的面積為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）過(guò)點(diǎn)作斜率的直線交橢圓于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，在橢圓上存在點(diǎn)，使，記四邊形的面積為，求的最大值.

典例3、已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)橢圓和圓：.過(guò)點(diǎn)作直線和，且兩直線的斜率之積等于，與圓相切于點(diǎn)，與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，．（i）求的取值范圍；（ii）求面積的最大值．

隨堂練習(xí)：已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，直線與x軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；（2）設(shè)和的面積分別為，求的最大值.知識(shí)點(diǎn)二根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題典例4、已知，是橢圓E：上的兩點(diǎn)．（1）求橢圓E的方程．（2）若直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)（C，D均不與點(diǎn)A重合），且以線段CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)A，問(wèn)：直線l是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

隨堂練習(xí)：已知橢圓過(guò)點(diǎn)B（0，1），A為其左頂點(diǎn)，且直線AB的斜率為.（1）求E的方程；（2）不經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的直線l與E相交于C，D兩點(diǎn)，若兩直線BC，BD的斜率之和為，求直線l所過(guò)的定點(diǎn).典例5、已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）若、為橢圓上異于點(diǎn)的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在以為直徑的圓上，求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)．

隨堂練習(xí)：已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為．（1）求該橢圓的方程；（2）在x軸上是否存在定點(diǎn)M，過(guò)該點(diǎn)的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.典例6、已知橢圓過(guò)點(diǎn)，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P坐標(biāo)為，成等差數(shù)列．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若對(duì)斜率存在的任意直線l與橢圓恒有M，N兩個(gè)交點(diǎn)，且．證明：直線l過(guò)定點(diǎn)．

隨堂練習(xí)：已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，且點(diǎn)A到橢圓的右頂點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線：與交于M，N兩點(diǎn)，記線段MN的中點(diǎn)為P，連接OP并延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，直線交射線OP于點(diǎn)R，且，求證；直線過(guò)定點(diǎn).人教A版數(shù)學(xué)--高考解析幾何復(fù)習(xí)專題二典例1、答案：（1）（2）解:（1）∵∴，a=4，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）設(shè)直線l的方程為x=my+2，代入橢圓方程得，設(shè)P，Q，則∴三角形APQ面積為：，令∵函數(shù)y=x+在上單調(diào)遞增∴當(dāng)u=，即m=0時(shí)，三角形APQ的面積取最大值.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為且過(guò)，所以所以，，所以橢圓方程為：；（2）因?yàn)?，因?yàn)椋?，此時(shí)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)處典例2、答案：（1）（2）解：（1）由于，所以，則右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，代入橢圓方程為，故當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)軸，故，又，聯(lián)立即可求解解得，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）由線段的中點(diǎn)不在軸上可知直線有斜率且不為0，設(shè)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線的方程為，，設(shè)，，，，聯(lián)立整理得：，由韋達(dá)定理得，．．為線段的中點(diǎn)，則可得點(diǎn)，．，又直線的斜率為，直線的方程為：．令得，，故令得，,故因此,,故令，故，記，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故此時(shí)取最大值，此時(shí)，此時(shí)直線的方程為隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）解：（1），∴，，，又，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2），∴，橢圓，令，直線l的方程為：，聯(lián)立方程組：，消去y得，由韋達(dá)定理得，，有，因?yàn)椋海?，，將點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程化簡(jiǎn)得：，而此時(shí)：.，而，O點(diǎn)到直線l的距離，所以：，因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)部，所以，得，又，所以，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最大值是.典例3、答案：（1）（2）（i）；（ii）解：（1）由題意，，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）由題意，兩直線、的斜率均存在，且兩直線的斜率之積為1，設(shè)的斜率為，則的斜率為，則直線的方程為，即，直線的方程為，即，與圓相切于點(diǎn)，，化簡(jiǎn)得，由得，，，化簡(jiǎn)得，，由得，，代入上式化簡(jiǎn)得，，解得，又，則，得，所以的取值范圍是.（ii）設(shè)，，由（1）可知，，，又，又原點(diǎn)到直線的距離，

面積，

設(shè)，則，由以及得，

所以當(dāng)時(shí)，面積取最大值.所以面積的最大值是.隨堂練習(xí)：答案：（1）證明見解析；（2）.解：（1）依題意，，設(shè)，直線方程為，由消去x并整理得：，，則，因在橢圓上，有，直線BP斜率，有，則，即，而，解得，此時(shí)，直線：恒過(guò)點(diǎn)，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).由（1）知，，令，，則，令，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.典例4、答案：（1）（2）定點(diǎn)，理由見解析.解：（1）將，代入橢圓方程可得，解得，所以橢圓方程為；（2）若直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，由題可得為等腰直角三角形，則可將代入橢圓，解得（舍去）或，即直線方程為；若直線的斜率存在，設(shè)方程為，設(shè)，聯(lián)立方程，可得，則，可得，①，②，由題可得，則，即，代入①②，整理可得，解得或，若，直線為，經(jīng)過(guò)點(diǎn),不符合，若，直線為，經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，綜上所述，直線l過(guò)定點(diǎn).隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）由題意，直線AB為，即，故當(dāng)時(shí)，所以，橢圓過(guò)，則，所以橢圓E為.（2）設(shè)直線BC與直線BD的斜率分別為，.若直線l與x軸垂直，設(shè)直線，且，可得C，D分別為，，則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)直線.將代入得：.由題意.設(shè)，，則，.而.所以，即，解得或（舍去）.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，于是直線，即，所以直線l過(guò)定點(diǎn).典例5、答案：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為（2）證明見解析解：（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入橢圓的方程可得，解得，則，所以，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率為.（2）分以下兩種情況討論：①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，可得，由韋達(dá)定理可得，，，同理可得，由已知，則，所以，，即，解得或.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)點(diǎn)，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)，合乎題意；②當(dāng)直線軸，則點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，，即點(diǎn)，由已知可得，，，由已知，則，所以，，因?yàn)?，解得，此時(shí)直線的方程為，則直線過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線過(guò)定點(diǎn).隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）存在，解：（1），，橢圓，將代入可得，故，橢圓方程為：；（2）當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，，，，聯(lián)立方程可得：，，，為常數(shù)，代入韋達(dá)定理可知，即為常數(shù)，，故且，直線l過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，可檢驗(yàn)也成立，故存在定點(diǎn).典例6、答案：（1）（2）證明見解析解：（1）由題意知：，，成等差數(shù)列．可得：解得：又，，解得：故橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為：（2）設(shè)直線方程為聯(lián)立，化簡(jiǎn)得：可得：，，則有：可得：解得：或故直線方程為：或所以直線恒過(guò)點(diǎn)或