2025年高考數(shù)學一輪專題復習-空間向量和立體幾何專題一（含解析）

21世紀教育網(wǎng)精品試卷·第2頁（共2頁）空間向量和立體幾何高考復習專題一知識點一求點面距離,面面角的向量求法典例1、如圖，在長方體中，，，點E是棱AB的中點．（1）證明：；（2）求點E到平面的距離；（3）求二面角的余弦值．

隨堂練習：如圖，在長方體中，，，E、M、N分別是、、的中點.（1）證明：平面；（2）求點C到平面的距離；（3）設P為邊上的一點，當直線與平面所成角的正切值為時，求二面角的余弦值.典例2、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，，，是的中點，，垂足為.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離；（3）求二面角的正弦值.

隨堂練習：如圖，正三棱柱中，，點，分別為，的中點.（1）求點到平面的距離；（2）求二面角的余弦值.典例3、如圖，在四棱錐中，已知平面，且四邊形為直角梯形，，，．（1）求點到平面的距離；（2）設是線段上的動點，當直線與所成的角的余弦值為時，求二面角的余弦值．隨堂練習：如圖，在四棱錐中，已知底面為直角梯形，，，，平面平面，，.（1）從下列條件①?條件②中再選擇一個作為已知條件，求證：平面PAB；條件①：E，F(xiàn)分別為棱PD，BC的中點；條件②：E，F(xiàn)分別為棱PC，AD的中點.（2）若點M在棱PD（含端點）上運動，當為何值時，直線CM與平面PAD所成角的正弦值為.知識點二線面垂直證明線線垂直,面面角的向量求法典例4、如圖，四邊形是菱形，，平面，，．（1）證明：．（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值．

隨堂練習：如圖，是以為斜邊的等腰直角三角形，是等邊三角形，，.（1）求證：；（2）求平面與平面夾角的余弦值.典例5、已知四棱錐中，，，，，，面面ABE，.（1）求證：（2）求面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值

隨堂練習：如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，平面，，，，．（1）證明：；（2）若，求二面角的余弦值．典例6、如圖，在直三棱柱中，側面是正方形，且平面平面.（1）求證：；（2）若直線與平面所成的角為，E為線段的中點，求平面與平面所成銳二面角的大小.

隨堂練習：如圖，直三棱柱，.（1）證明：；（2）設為的中點，，求二面角的余弦值.空間向量和立體幾何高考復習專題一答案典例1、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.解:（1）由長方體性質知：面，面，則，又，則為正方形，即，而，∴面，而面，∴.（2）由題設，，則，由，且E是棱AB的中點，則，即，若E到平面的距離為，則，可得.（3）構建如下圖示的空間直角坐標系，則，∴，若是面的法向量，∴，令，則，又是面的一個法向量，∴，則銳二面角的余弦值.隨堂練習：答案：（1）證明見解析；（2）；（3）.解:（1）證明：連接，，如圖，因為E、M分別是、的中點，所以且，又N是的中點，所以，結合長方體的性質可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）因為，，為長方體，E、M、N分別是、、的中點，所以，，，所以為等腰三角形，其底邊上的高為，所以，設點C到平面的距離為，則，又，所以，解得，所以點C到平面的距離為；（3）連接，如圖，由平面可得即為直線與平面所成角，又，所以,分別以、、作為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，所以，，設平面的一個法向量為，則，令則，得平面的一個法向量，所以，因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.典例2、答案：（1）證明見解析；（2）；（3）1.解：（1）證明：連接交于點，連接，易知為中點，在中，，分別為，中點，∴為的一條中位線，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）過點作交于點，則點到平面的距離，即點到平面的距離，∵平面，平面，∴，又，，平面，平面，∴平面，則點到平面的距離即為的長度，在中，，，故，又，故，則，∴，∴，∴，即點到平面的距離為.（3）以點為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，由（2）可得，，，，∴，，，，設平面的一個法向量為，則，則可取，設平面的一個法向量為，則，則可取，∴，∴二面角的正弦值為1.隨堂練習：答案：（1）；（2）.解：（1）取的中點，連結，則平面，是等邊三角形，，以為原點，分別以，，所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，，，，，，0，，，，，，0，，，，，，0，，，0，，設平面的法向量為，，，則，即，令可得，0，，點到平面的距離為.（2），，，，0，，設平面的法向量為，，，則，即，令可得，，，，，二面角的余弦值為.典例3、答案：（1）；（2）．解:（1），由于平面，從而即為三棱錐的高，故．設點到平面的距離為．由平面得，又由于，故平面，所以．由于，所以．故．因為，所以．（2）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點的坐標為，，，．設，因為，所以，由，得，又，從而．即時，．又因為，所以．，，設平面的一個法向量為，則，，即得：，令，則．所以是平面的一個法向量．又，，設平面的一個法向量為，則，，即，取，則，，所以是平面的一個法向量．從而，由圖知二面角為鈍角故二面角的余弦值為-．隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）解：若選條件①，取AD的中點為G，連接EG，GF，則，，因為平面，平面，平面，平面，所以∥平面，∥平面，因為，所以平面∥平面，又因為平面，所以∥平面PAB.若選條件②，取BC的中點為G，連接EG，GF，則∥，∥，因為平面，平面，平面，平面，因為，所以平面∥平面PAB，又因為平面EFG，所以∥平面PAB.取AB中點為O，連接PO，CO，因為，所以，又因為平面PAB，平面平面ABCD，平面平面所以平面ABCD，又因為，，，所以，又因為，，為AB中點，所以，，又因為，所以四邊形OADC為矩形，所以，故以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標系如圖，則，，，，所以，又因為M在PD上，所以存在，使，所以，又因為，所以，所以，又因為，，設平面PAD的法向量，則，所以，取，則.所以.設直線CM與平面PAD所成角為，則，故，所以或，又因為，所以，即.典例4、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：連接．因為四邊形是菱形，所以．又平面，所以．因為，所以平面．又，所以平面就是平面，因為平面，所以．（2）設，相交于點O，以O為坐標原點，，所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的空間直角坐標系．不妨設，則設平面的法向量為，，，則，取，可得．取的中點G，連接．易證平面平面，因為是正三角形，所以，從而平面，即是平面的一個法向量．因為，，所以，所以，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．隨堂練習：答案：（1）證明見解析;（2）.解：（1）取中點，連接，，因為是以為斜邊的等腰直角三角形，所以.因為是等邊三角形，所以.，平面，平面，所以平面.因為平面，故.（2）在中，，，，由余弦定理可得，，故.如圖，以，及過點垂直于平面的方向為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，可得，所以，，，設為平面的一個法向量，則，即，令，可得.設為平面的一個法向量，則，即，令，可得.所以，故平面與平面夾角的余弦值為.典例5、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）證明：過C作交AB于G，連接，∵面面ABE，且AB為交線，平面，∴面ABE，又平面，∴，∵，∴，即，即，∴，即，∵平面，∴面ABCD，又平面，∴；（2）過D作交AB于O，∴，∴面ABE，由（1）得，以O為坐標原點，以，，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，由，，得，，，∴，，，，，∴，，，，設面ADE，面BCE的法向量分別為，，∴，即，令，則，，即，令，則，∴，∴面ADE與面BCE所成的銳二面角的余弦值為.隨堂練習：答案：（1）證明見解析（2）．解：（1）證明：∵，，∴，，又，，∴，且四邊形為直角梯形，，則，∴，∴，∴，又∵平面，平面，∴，又∵，平面，∴平面，∵平面AOP，∴．（2）以為坐標原點，直線，，分別為，，軸，建立空間直角坐標系，，則，，．易知平面的法向量為．設平面的法向量為，∵，，由，有，令，從而，，∴．設二面角的平面角為，則，即二面角的余弦值為．典例6、答案：（1）證明見解析（2）解：（1）設，則中點為M，且∵平面平面且交線為，平面，∴平面，∵平面，∴，又直三棱柱，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴.（2）由（1）知平面，所以直線與平面所成的角為，不妨設以B為原點，分別為x，y，z軸正向建立坐標系，，設平面的法向量為，故可設，設平面的法向量