考研數(shù)學二（一元函數(shù)積分概念、計算及應用）模擬試卷1（共137題）

考研數(shù)學二（一元函數(shù)積分概念、計算及應用）模擬試卷1（共5套）（共137題）考研數(shù)學二（一元函數(shù)積分概念、計算及應用）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、函數(shù)F(χ)＝∫χχ＋2πf(t)dt，其中f(t)＝(1＋sin2t)cos2t，則F(χ)A、為正數(shù)．B、為負數(shù)．C、恒為零．D、不是常數(shù)．標準答案：B知識點解析：由于被積函數(shù)連續(xù)且以π為周期(2π也是周期)，故F(χ)＝F(0)＝∫02πf(t)dt＝2∫0πf(t)dt，即F(χ)為常數(shù)．由于被積函數(shù)是變號的，為確定積分值的符號，可通過分部積分轉化為被積函數(shù)定號的情形，即2∫0πf(t)dt＝∫0π(1＋sin2t)d(sin2t)＝∫0π－sin2t(2＋sin2t)dt＜0，故應選B．2、設F(χ)＝f(t)dt，f(χ)連續(xù)，則F′(χ)＝A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：這是上、下限均為已知函數(shù)的變限積分，直接由變限積分求導法得F′(χ)＝故應選A．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、＝_______．標準答案：3．知識點解析：令χ2＝t，則．4、＝_______．標準答案：知識點解析：5、＝_______．標準答案：ln(1＋)知識點解析：因(χeχ)′＝eχ(χ＋1)，令χeχ＝t，則dt＝eχ(χ＋1)dχ，于是6、曲線χ＝a(cost＋tsint)，y＝a(sint－tcost)(0≤t≤2π)的長度L＝_______．標準答案：2π2a知識點解析：曲線由參數(shù)方程表出，直接套弧長公式得7、曲線y2＝2χ在任意點處的曲率為_______．標準答案：知識點解析：用曲率計算公式K＝由y2＝2χ推出2yy′＝2，得三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)8、設兩y＝a(a＞0)與y＝ln在(χ0，y0)處有公切線(如圖3．13)，求這兩曲線與χ軸圍成的平面圖形繞χ軸旋轉而成的旋轉體的體積V．標準答案：先求a值與切點坐標．由兩曲線在(χ0，y0)處有公切線得所求的旋轉體體積等于曲線y＝分別與χ軸及直線χ＝e2所圍成平面圖形繞χ軸旋轉而成的旋轉體體積之差．知識點解析：暫無解析9、求圓弧χ2＋y2＝a2(≤y≤a)繞y軸旋轉一周所得球冠的面積．標準答案：將它表為直接由旋轉面的面積計算公式得知識點解析：暫無解析10、有一橢圓形薄板，長半軸為a，短半軸為b，薄板垂直立于水中，而其短半軸與水面相齊，求水對薄板的側壓力．標準答案：取坐標系如圖3．17所示，橢圓方程為＝1．分割區(qū)間[0，a]，在小區(qū)間[χ，χ＋dχ]對應的小橫條薄板上，水對它的壓力dP＝壓強×面積＝γχ.2γdχ＝γχdχ，其中γ為水的比重．于是從0到a積分便得到橢圓形薄板所受的壓力知識點解析：暫無解析11、在χ軸上有一線密度為常數(shù)μ，長度為l的細桿，在桿的延長線上離桿右端為a處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點P，求證：質(zhì)點與桿間的引力為F＝(M為桿的質(zhì)量)．標準答案：如圖3．21建立坐標系，取桿的右端為原點，χ軸正向指向質(zhì)點P．任取桿的一段[χ，χ＋dχ]，它對質(zhì)點P的引力為dF＝因此，桿與質(zhì)點P間的引力大小為F＝其中M是桿的質(zhì)量．知識點解析：暫無解析12、比較定積分的大?。畼藴蚀鸢福寒攦蓚€定積分的積分區(qū)間相同且被積函數(shù)連續(xù)時，只需比較被積函數(shù)的大小就可比較定積分的大?。@里被積函數(shù)連續(xù)，但積分區(qū)間不同，應先通過變量替換轉化為積分區(qū)間相同的情形之后再比較被積函數(shù)的大小．知識點解析：暫無解析13、證明下列不等式：標準答案：(Ⅰ)設f(χ)＝，則f(χ)在區(qū)間[0，1]上連續(xù)，且可見函數(shù)f(χ)在點χ＝處取得它在區(qū)間[0，1]上的最小值，又因f(0)＝f(1)＝1，故f(χ)在區(qū)間[0，1]上的最大值是f(0)＝f(1)＝1，從而(Ⅱ)注意0＜χ＜時，0＜χ＜tanχ＜1，則知識點解析：暫無解析14、設f(χ)在(a，b)上有定義，c∈(a，b)，又f(χ)在(a，b)＼{c}連續(xù)，c為f(χ)的第一類間斷點．問f(χ)在(a，b)是否存在原函數(shù)?為什么?標準答案：設F(χ)是f(χ)在(a，b)的原函數(shù)．考察由于χ＝c是f(χ)的第一類間斷點，故存在，但不相等，即F′+(c)≠F′(c)．或f(χ)≠f(c)，即F′(c)≠f(c)．這都與F(χ)是f(χ)在(a，b)的原函數(shù)相矛盾．因此f(χ)在(a，b)不存在原函數(shù)．知識點解析：暫無解析15、設f(χ)定義在(a，b)上，c∈(a，b)，又設H(χ)，G(χ)分別在(a，c]，[c，b)連續(xù)，且分別在(a，c)與(c，b)是f(χ)的原函數(shù)．令F(χ)＝其中選常數(shù)C0，使得F(χ)在χ＝c處連續(xù)．就下列情形回答F(χ)是否是f(χ)在(a，b)的原函數(shù)．(Ⅰ)f(χ)在點χ＝c處連續(xù)；(Ⅱ)點χ＝c是f(χ)的第一類間斷點；(Ⅲ)點χ＝c是f(χ)的第二類間斷點．標準答案：(Ⅰ)因此，F(xiàn)(χ)是f(χ)在(a，b)的原函數(shù)．(Ⅱ)F(χ)不是f(χ)在(a，b)的原函數(shù)，因為在這種情形下f(χ)在(a，b)不存在原函數(shù)．(Ⅲ)若χ＝c是f(χ)的∞型第二類間斷點，則f(χ)在(a，b)也不存在原函數(shù)．若存在原函數(shù)F(χ)，則F′(c)不存在，與已知矛盾．當χ＝c是非∞型的第二類間斷點的情形下結論與f(χ)的表達式有關，需要對問題作具體分析．知識點解析：暫無解析16、已知f(χ)＝，在(－∞，＋∞)存在原函數(shù)，求常數(shù)A以及f(χ)的原函數(shù)．標準答案：易求得僅當A＝0時f(χ)在χ＝0連續(xù)．于是f(χ)在(－∞，＋∞)連續(xù)，從而存在原函數(shù)．當A≠0時χ＝0是f(χ)的第一類間斷點，從而f(χ)在(－∞，＋∞)不存在原函數(shù)．因此求得A＝0．下求f(χ)的原函數(shù)．當χ＜0時，當χ＞0時，取c1＝0，隨之取C2＝1，于是當χ→0-時與χ→0+時∫f(χ)dχ的極限同為1，這樣就得到f(χ)的一個原函數(shù)因此∫f(χ)dχ＝F(χ)＋C，其中C為任意常數(shù)．知識點解析：暫無解析17、計算下列不定積分：標準答案：(Ⅰ)采用湊微分法，并將被積函數(shù)變形，則有(Ⅱ)如果令t＝至，計算將較為復雜，而將分子有理化則較簡便．于是對千右端第一個積分，使用湊微分法，即可得到而第二個積分可使用代換χ＝sint，則(Ⅳ)對此三角有理式，如果分子是asinχ＋bcosχ與(asinχ＋bcosχ)′＝acosχ－bsinχ的線性組合，就很容易求其原函數(shù)，故設a1sinχ＋b1cosχ＝A(asinχ＋bcosχ)＋B(acosχ－bsinχ)．為此應有(V)記原式為J，先分項：易湊微分得J2＝∫arcsinχdarcsinχ＝arcsin2χ＋C．作變量替換(Ⅵ)記原積分為J．知識點解析：暫無解析18、計算下列定積分：標準答案：(Ⅰ)這是一個含根式的積分，首先應該通過變量替換去掉根式．令＝t，則χ＝ln(1－t2)，dχ＝dt．于是(Ⅱ)令t＝tan，則2arctant，(Ⅲ)由于，故被積函數(shù)為分段函數(shù)，其分界點為．于是(Ⅳ)作冪函數(shù)替換后再分部積分，則有知識點解析：暫無解析19、求下列積分：(Ⅰ)設f(χ)＝∫1ydy，求∫01χf(χ)dχ；(Ⅱ)設函數(shù)f(χ)在[0，1]連續(xù)且∫01f(χ)dχ＝A，求∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy．標準答案：(Ⅱ)令Ф(χ)＝∫χ*f(y)dy，則Ф′(χ)＝－f(χ)，于是∫01dχ∫χ1f(χ)f(y)dy＝∫01[∫χ1f(y)dy]f(χ)dχ＝－∫01Ф(χ)dФ(χ)＝知識點解析：暫無解析20、設函數(shù)f(χ)在(－∞，＋∞)內(nèi)滿足f(χ)＝f(χ－π)＋sinχ，且f(χ)＝χ，χ∈[0，π)，求∫π3πf(χ)dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析21、計算下列反常積分：標準答案：(Ⅰ)這是一個無窮區(qū)間上的反常積分，可以通過求原函數(shù)的方法計算．(Ⅱ)這是一個有理函數(shù)在無窮區(qū)間上的反常積分，可以通過求原函數(shù)的方法計算．因為，且χ≥1，于是有原函數(shù)(Ⅳ)這是一個無界函數(shù)的反常積分，其瑕點為a，由于被積函數(shù)中含有根式，應通過變量替換將根式去掉．注意被積函數(shù)可改寫為，因而可令χ－sint，即χ＝(1＋sint)，代入即得知識點解析：暫無解析22、假定所涉及的反常積分(廣義積分)收斂，證明：標準答案：令t＝χ－，則當χ→＋∞時，t→＋∞，χ→0+時，t→－∞；χ→0-時，t→＋∞；χ→－∞時，t→－∞，故應以0為分界點將(*)式左端分成兩部分，即而且將χ與t的關系反解出來，即得χ＝．同時，當χ＞0時，χ＝，dχ＝；當χ＜0時，．因此即(*)式成立．知識點解析：暫無解析23、設f(χ)在[a，b]上有二階連續(xù)導數(shù)，求證：標準答案：連續(xù)利用分部積分有∫abf(χ)dχ＝∫abf(χ)d(χ－b)＝f(a)(b－a)－∫abf′(χ)(χ－b)d(χ－a)＝f(a)(b－a)＋∫ab(χ－a)d[f′(χ)(χ－b)]＝f(a)(b－a)＋∫ab(χ－a)df(χ)＋∫abf〞(χ)(χ－a)(χ－b)dχ＝f(a)(b－a)＋f(b)(b－a)－∫abf(χ)dχ＋∫abf〞(χ)(χ－a)(χ－b)dχ，移項后得知識點解析：暫無解析24、設f(χ)與g(χ)在[a，b]上連續(xù)，且同為單調(diào)不減(或同單調(diào)不增)函數(shù)，證明：(b－a)∫abf(χ)g(χ)dχ≥∫abf(χ)dχ∫abg(χ)dχ．(*)標準答案：引進輔助函數(shù)F(χ)＝(χ－a)∫aχ(t)g(t)dt－∫aχf(t)dt∫aχg(t)dt轉化為證明F(χ)≥0(χ∈[a，b])．由F(a)＝0，F(xiàn)′(χ)＝∫aχf(t)g(t)dt＋(χ－a)f(χ)g(χ)－f(χ)∫aχg(t)dt－g(χ)∫aχf(t)dt＝∫aχf(t)[g(t)－g(χ)]dt－∫aχf(χ)[g(t)－g(χ)]dt＝∫aχ[f(t)－f(χ)][g(t)－g(χ)]dt≥0(χ∈[a，b])其中(χ－a)f(χ)g(χ)＝∫aχf(χ)g(χ)dt，我們可得F(χ)在[a，b]單調(diào)不減F(χ)≥F(a)＝0(χ∈[a，b])，特別有F(b)≥0即原式成立．知識點解析：暫無解析25、設f(χ)在[a，b]有二階連續(xù)導數(shù)，M＝｜f〞(χ)｜，證明：標準答案：分部積分兩次得知識點解析：暫無解析26、設f(χ)在[a，b]有連續(xù)的導數(shù)，求證：標準答案：可設｜f(χ)｜＝｜f(χ0)｜，即證(b－a)｜f(χ0)｜≤｜∫abf(χ)dχ｜＋(b－a)∫ab｜f′(χ)｜dχ，即證｜∫abf(χ0)dχ｜－｜∫abf(χ)dχ｜≤(b－a)∫ab｜f′(χ)｜dχ．注意故得證．知識點解析：暫無解析27、設f(χ)＝∫0χdt，求f′(χ)．標準答案：知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)積分概念、計算及應用）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設f(χ)為連續(xù)函數(shù)，I＝tf(tχ)dχ，其中t＞0，s＞0，則I的值A、依賴于s和t．B、依賴于s，t，χ．C、依賴于t，χ，不依賴于s．D、依賴于s，不依賴于t．標準答案：D知識點解析：暫無解析2、下列函數(shù)中在[－1，2]上定積分不存在的是A、B、C、D、標準答案：D知識點解析：顯然，選項A、B、C中的f(χ)在[－1，2]均有界，至多有一個或兩個間斷點，因而f(χ)在[－1，2]均可積，即∫-12f(χ)dχ．因此選D．3、下列函數(shù)中在[－2，3]不存在原函數(shù)的是A、B、f(χ)＝{max{｜χ｜，1}．C、D、標準答案：C知識點解析：暫無解析二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、＝_______．標準答案：知識點解析：5、＝_______．標準答案：知識點解析：6、＝_______．標準答案：χlnlnχ＋C．知識點解析：原式＝∫(lnlnχ＋χ.)＝∫lnlnχdχ＋χd(lnlnχ)＝∫d(χlnlnχ)＝χlnlnχ＋C．7、(cosχ－sinχ)dχ＝_______．標準答案：知識點解析：8、設f〞(χ)連續(xù)，f′(χ)≠0，則＝_______．標準答案：知識點解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)9、已知是f(χ)的一個原函數(shù)，求∫χ′f(χ)dχ．標準答案：按題意：f(χ)＝∫χ3f′(χ)dχ∫χ3df(χ)＝χ3f(χ)－3∫χ2f(χ)dχ＝χ2cosχ－χsinχ－3∫(χcosχ－sinχ)dχ＝χ2cosχ－χsinχ－3∫χdsinχ－3cosχ＝χ2cosχ－χsinχ－(3χsinχ＋3cosχ)－3cosχ＋C＝χ2cosχ－4χsinχ－6cosχ＋C．知識點解析：暫無解析10、求．標準答案：分解1＋χ6＝1＋(χ2)3＝(1＋χ2)(1－χ2＋χ5)．原式＝＝arctanχ＋arctanχ3＋C．知識點解析：暫無解析11、求．標準答案：先作恒等變形，然后湊微分即得知識點解析：暫無解析12、求．標準答案：記sgnχ＝則知識點解析：暫無解析13、求．標準答案：令χ＝asint(｜t｜＜)，則知識點解析：暫無解析14、求．標準答案：知識點解析：暫無解析15、求．標準答案：利用定積分的分段積分法與推廣的牛頓－萊布尼茲公式得知識點解析：暫無解析16、求∫0e-1(χ＋1)ln2(χ＋1)dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析17、求定積分：(Ⅰ)J＝∫-22min{2，χ2}dχ；(Ⅱ)J＝∫-1χ(1－｜t｜)dt，χ≥－1．標準答案：(Ⅰ)min{2，χ2}＝于是(Ⅱ)當－1≤χ≤0時，J＝∫-1χ(1＋t)dt＝當χ＞0時，J＝∫-10(1＋t)dt＋∫0χ(1－t)dt＝知識點解析：暫無解析18、設n為正整數(shù)，利用已知公式，In＝，其中I*＝求下列積分：(Ⅰ)Jn＝sinnχcosnχdχ；(Ⅱ)Jn＝∫-11(χ2－2)ndχ．標準答案：知識點解析：暫無解析19、求無窮積分．J＝標準答案：知識點解析：暫無解析20、設f(χ)＝求f(χ)的不定積分∫f(χ)dχ．標準答案：求原函數(shù)Ф(χ)＝∫0χf(t)dt．當χ≤0時，Ф(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫0χsin2tdt＝當χ≥0時，Ф(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫0χln(2t＋1)dt＝tln(2t＋1)dt＝tln(2t＋1)｜0χ－∫0χ＝χln(2χ＋1)－χ＋ln(2χ＋1)．因此∫f(χ)dχ＝Ф(χ)＋C＝知識點解析：暫無解析21、設f′(χ)＝arcsin(χ－1)2，f(0)＝0，求∫01f(χ)dχ．標準答案：知識點解析：暫無解析22、設a＞0，f(χ)在(－∞，＋∞)上有連續(xù)導數(shù)，求極限∫-aaf(t＋a)－f(t－a)]dt．標準答案：知識點解析：暫無解析23、求[φ(χ)－t]f(t)dt，其中f(t)為已知的連續(xù)函數(shù)，φ(χ)為已知的可微函數(shù)．標準答案：＝φ′(χ)∫0φ(χ)f(t)dt＋φ(χ)f[φ(χ)]φ′(χ)－φ(χ)f[φ(χ]φ′(χ)＝φ′(χ)∫0φ(χ)f(t)dt知識點解析：暫無解析24、設f(χ)在(－∞，＋∞)連續(xù)，在點χ＝0處可導，且f(0)＝0，令(Ⅰ)試求A的值，使F(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)；(Ⅱ)求F′(χ)并討論其連續(xù)性．標準答案：(Ⅰ)由變上限積分性質(zhì)知F(χ)在χ≠0時連續(xù)．為使其在χ＝0處連續(xù)，只要(χ)＝A．而故令A＝0即可。(Ⅱ)當χ≠0時F′(χ)＝在χ＝0處，由導數(shù)定義和洛必達法則可得故F′(χ)在(－∞，＋∞)上連續(xù)．知識點解析：暫無解析25、設χ∈[0，a]時f(χ)連續(xù)且f(χ)＞0(χ∈(0，a])，又滿足f(χ)＝，求f(χ)．標準答案：因f(χ)＝由f(χ)連續(xù)及χ2可導知f2(χ)可導，又f(χ)＞0，從而f(χ)可導，且[f2(χ)]′＝2f(χ)f′(χ)，故將上式兩邊對χ求導，得2f(χ)f′(χ)＝f(χ).2χf′(χ)＝χ．在(*)式中令χ＝0可得f(0)＝0．于是(*)式兩邊積分(∫0χ)得知識點解析：暫無解析26、求函數(shù)f(χ)＝在區(qū)間[e，e2]上的最大值．標準答案：由f′(χ)＝＞0，χ∈[e，e2]，可知f(χ)在[e，e2]上單調(diào)增加，故知識點解析：暫無解析27、求星形線L：(a＞0)所圍區(qū)域的面積A．標準答案：圖形關于χ，y軸均對稱，第一象限部分：0≤χ≤a，0≤y≤，知識點解析：暫無解析28、求下列旋轉體的體積V：(Ⅰ)由曲線y＝χ2，y＝y(tǒng)*所圍圖形繞χ軸旋轉所成旋轉體；(Ⅱ)由曲線χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)，y＝0所圍圖形繞y軸旋轉的旋轉體．標準答案：(Ⅰ)如圖3．2，交點(0，0)，(1，1)，則所求體積為(Ⅱ)如圖3．3，所求體積為V＝2π∫02πayχdχ＝2π∫02πa(1－cost)a(1－cost)a(t－sint)a(1－cost)dt＝2πa3∫02π(1－cost)2(t－sint)dt＝2πa3∫02π(1－cost)2tdt－2πa3∫－ππ(1－cost)2sintdt＝2πa3∫02π(1－cost)ttdt2πa3∫－ππ[1－cos(u＋π)]2(u＋π)du＝2πa∫－ππ(1＋cosu)2udu＋2π2a3∫－ππ(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋cosu)2du＝4π2a3∫0π(1＋2cosu＋cos2u)du＝4π2a3(π＋)＝6π3a3．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)積分概念、計算及應用）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、積分∫aa+2πcosχln(2＋cosχ)dχ的值A、與a有關．B、是與a無關的負數(shù)．C、是與a無關的正數(shù)．D、為零．標準答案：C知識點解析：由于被積函數(shù)ln(2＋cosχ).cosχ是以2π為周期的偶函數(shù)，因此原式＝∫02πl(wèi)n(2＋cosχ)cosχdχ＝∫-ππl(wèi)n(2＋cosχ)cosχdχ＝2∫0πl(wèi)n(2＋cosχ)coaχdχ＝2∫0πl(wèi)n(2＋cosχ)d(sinχ)＝2[sinχln(2＋cosχ｜0π－∫0πsinχdln(2＋cosχ)]＝又因為在[0，π]上，被積函數(shù)連續(xù)，非負，不恒為零，因此該積分是與a無關的正數(shù)．故選C．2、設常數(shù)α＞0，則A、I1＞I2．B、I1＜I2．C、I1＝I2．D、I1與I2的大小與α的取值有關．標準答案：A知識點解析：當0＜χ＜時cosχ＞sinχ，又＜0χ＜－χ，所以I1－I2＞0．故選A．3、下列反常積分中發(fā)散的是A、B、∫0＋∞χdχC、D、標準答案：D知識點解析：對于選項A：由于當k＞1時，故收斂．對于選項B：是收斂的．對于選項C：＝π也是收斂的．由排除法可知，應選D．二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)4、＝_______．標準答案：2．知識點解析：原式＝∫-11[χ2＋2χ＋(1－χ2)]dχ＝∫-11dχ＋2∫-11dχ＝2．5、＝_______．標準答案：2e2＋2．知識點解析：原式＝＝4e2－2e2＋2＝2e2＋2．6、＝_______．標準答案：知識點解析：原式＝7、∫01χarcsinχdχ＝_______．標準答案：知識點解析：其中∫01是單位圓的面積即．8、(n≠0)＝_______．標準答案：(χn－ln｜1＋χn｜)＋C知識點解析：原式＝9、∫02πsinnχcosmχdχ(自然數(shù)n或m為奇數(shù))＝_______．標準答案：0．知識點解析：由周期函數(shù)的積分性質(zhì)得當n為奇數(shù)時，由于被積函數(shù)為奇函數(shù)，故In，m＝0．當m為奇數(shù)(設m＝2k＋1，k＝0，1，2，…)時In，m＝∫－ππsinnχ(1－sin2χ)kdsinχ＝R(sinχ)｜－ππ＝0，其中R(u)為u的某個多項式(不含常數(shù)項)．因此，In，m＝0．三、解答題(本題共19題，每題1.0分，共19分。)10、求雙紐線r2＝a2cos2θ(a＞0)繞極軸旋轉所成的旋轉面的面積．標準答案：雙紐線如圖3．4所示．由對稱性，只需考察θ∈[0，]．面積S＝2.2π由r2＝a2cos2θ得知識點解析：暫無解析11、求功：(Ⅰ)設半徑為1的球正好有一半沉入水中，球的比重為1，現(xiàn)將球從水中取出，問要做多少功?(Ⅱ)半徑為R的半球形水池，其中充滿了水，要把池內(nèi)的水全部取盡需做多少功?標準答案：(Ⅰ)以球心為原點，χ軸垂直向上，建立坐標系(如圖3．5)．取下半球中的微元薄片，即取小區(qū)間[χ，χ＋dχ][－1，0]，相應的球體小薄片，其重量(即體積)為，π(1－χ2)dχ，在水中浮力與重力相符，當球從水中移出時，此薄片移動距離為(1＋χ)，故需做功dω1＝(1＋χ)π(1－χ)2dχ．因此，對下半球做的功ω1＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ．取上半球中的微元薄片，即V取小區(qū)間[χ，χ＋dχ][0，1]，相應的小薄片，其重量為，π(1－χ)2d戈，當球從水中移出時，此薄片移動距離為1．所受力為重力，故需做功dω2＝π(1－χ2)dχ．因此，對上半球做的功ω2＝∫01π(1－χ2)dχ．于是，對整個球做的功為ω＝ω1＋ω2＝∫-10π(1＋χ)(1－χ2)dχ＋∫01π(1－χ2)dχ＝∫-11π(1－χ2)dχ＋∫-10πχ(1－χ2)dχ(Ⅱ)建立坐標系如圖3．6．取χ為積分變量，χ∈[0，R]．[χ，χ＋dχ]相應的水薄層，看成圓柱體，其體積為π(R2－χ2)dχ，又比重ρ＝1，于是把這層水抽出需做功dω＝πχ(R2－χ2)dχ．因此，所求的功ω＝∫0Rπχ(R2－χ2)dχ＝π知識點解析：暫無解析12、過曲線y＝χ2(χ≥0)上某點A作一切線，使之與曲線及χ軸圍成圖形面積為，求：(Ⅰ)切點A的坐標；(Ⅱ)過切點A的切線方程；(Ⅲ)由上述圖形繞χ軸旋轉的旋轉體的體積．標準答案：如圖3．7．(Ⅰ)設點A(χ0，χ02)，點A處的切線方程y＝χ02＋2χ0(χ－χ0)，即y＝2χ0χ－χ02．令y＝0推出截距χ＝．按題意解得χ＝1得A(1，1)．(Ⅱ)過A點的切線y＝2χ－1．(Ⅲ)旋轉體體積V＝知識點解析：暫無解析13、設常數(shù)α≤α＜β≤b，曲線Γ：y＝(χ∈[α，β])的孤長為l．(Ⅰ)求證：l＝；(Ⅱ)求定積分J＝．標準答案：(Ⅰ)Г：y2＝(χ－a)(b－χ)＝－χ＝2(a＋b)χ－ab，兩邊對χ求導得(Ⅱ)曲線Г：y＝是以(，0)為圓心，半徑為．由題(Ⅰ)：α＝a，β＝，則對應的Г長l＝圓周長的倍知識點解析：暫無解析14、設f(χ)為非負連續(xù)函數(shù)，且滿足f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝sin4χ求f(χ)在[0，]上的平均值．標準答案：令χ－t＝u，則∫0χf(χ－t)dt＝∫0χf(u)du．于是f(χ)∫0χf(u)du＝sin4χ，d[∫0χf(u)du]2＝2sin4χdχ．兩邊積分，故f(χ)在平均值知識點解析：暫無解析15、設a＞>0，f(χ)在(0，＋∞)連續(xù)，求證：(Ⅰ)(Ⅱ)又設f()＝f(χ)(χ＞0)，則標準答案：證明(Ⅰ)按要證的等式，將等式左端改寫可得(Ⅱ)按題設，對左端作變換t＝知識點解析：暫無解析16、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，f(χ)≥0且∫abf(χ)dχ＝0，求證：在[a，b]上f(χ)＝0．標準答案：由定積分的性質(zhì)0≤∫aχf(χ)dt≤∫abf(χ)dχ＝0(χ∈[a，b])∫aχf(t)dt＝0(χ∈[a，b])得[∫aχf(t)dt]′＝f(χ)=0(∈[a，b])．知識點解析：暫無解析17、證明，其中n為自然數(shù)．標準答案：利用被積函數(shù)的結合性，原式改寫成，I＝cosn-1χcosχsinnχdχ，兩式相加得現(xiàn)得遞推公式2In＝＋In-1，2nIn＝＋2n-1In-1．令Jn＝2nIn，得Jn＝＋Jn-1，由此進一步得知識點解析：暫無解析18、證明定積分I＝sinχ2dχ＞0．標準答案：先作變量替換t＝χ2被積函數(shù)在[0，2，π]上變號，t∈(0，π)時取正值，t∈(π，2π)時取負值，于是I＝＝I1＋I2把后一積分轉化為[0，π]上積分，然后比較被積函數(shù)，即被積函數(shù)f(t)＝，若補充定義f(0)＝0，則f(t)在[0，π]連續(xù)，且f(t)＞0(t∈(0，π])．知識點解析：暫無解析19、證明：標準答案：(Ⅲ)由題(Ⅱ)與題(Ⅰ)得知識點解析：暫無解析20、證明｜∫sin(χ)dχ｜≤，其中p＞0．標準答案：知識點解析：暫無解析21、證明＝0．標準答案：使用換元積分法．令χ＝＋t，則I＝＝0這是由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，積分區(qū)間是對稱的．知識點解析：暫無解析22、設f(χ)在[0，1]連續(xù)，且對任意χ，y∈[0，1]均有｜f(χ)－f(y)｜≤M｜χ－y｜，M為正的常數(shù)，求證：標準答案：將∫01f(χ)dχ與分別表成代入不等式左端，然后利用定積分性質(zhì)與已知條件得知識點解析：暫無解析23、設函數(shù)f(χ)與g(χ)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，證明：[∫abf(χ)g(χ)dχ]2≤∫abf2(χ)dχ∫abg2(χ)dχ．(*)標準答案：把證明定積分不等式(∫abf(χ)g(χ)g(χ)dχ)2≤∫abf2(χ)dχ∫abg2(χ)dχ(*)轉化為證明重積分不等式．引入?yún)^(qū)域D＝{(χ，y)｜a≤χ≤b，a≤y≤b}(*)式左端＝∫abf(χ)g(χ)dχ.∫abf(y)g(y)dy＝[f(χ)g(y).f(y)g(χ)]dχdy≤[f2(χ)g2(y)＋f2(y)g2(χ)dχdy＝f2(χ)g2(y)dχdy＋f2(y)g2(χ)dχdy＝∫abf2(χ)dχ∫abg2(y)dy＋∫abf2(y)dy∫abg2(χ)dχ＝∫abf2(χ)dχ∫abg2(y)dy＝(*)式右端．知識點解析：暫無解析24、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，且∫abf(χ)dχ＝f(b)．求證：在(a，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f′(ξ)＝0．標準答案：因為f(χ)在[a，b]上連續(xù)，由積分中值定理可知，在(a，b)內(nèi)至少存在一點c使得f(c)＝∫abf(χ)dχ．這就說明f(c)＝f(b)．根據(jù)假設可得f(χ)在[c，b]上連續(xù)，在(c，b)內(nèi)可導，故由羅爾定理知，在(c，b)內(nèi)至少存在一點ξ，使f′(ξ)＝0，其中ξ∈(c，b)(a，b)．知識點解析：暫無解析25、求下列變限積分函數(shù)的導數(shù)：(Ⅰ)F(χ)＝etdt，求F′(χ)(χ≥0)；(Ⅱ)設f(χ)處處連續(xù)，又f′(0)存在，F(xiàn)(χ)＝∫1χ[∫0tf(u)du]dt，求F〞(χ)(－∞＜χ＜－∞)．標準答案：(I)注意到積分的上、下限都是戈的復合函數(shù)，由變限積分求導公式可得(Ⅱ)令g(t)＝注意g(t)是t的可導函數(shù)，則F(χ)＝∫1χg(t)dt，F(xiàn)′(χ)＝g(χ)，知識點解析：暫無解析26、以下計算是否正確?為什么?標準答案：題中所給出的計算是錯誤的．原因在arctan在χ＝0不連續(xù)，且χ＝0不是arctan的可去間斷點，從而arctan不是在區(qū)間[－1，1]上的一個原函數(shù)，故不能直接在[－1，1]上應用牛頓．萊布尼茲公式．這時正確的做法是把[－1，1]分為[－1，0]與[0，1]兩個小區(qū)間，然后用分段積分法進行如下計算：知識點解析：暫無解析27、n為自然數(shù)，證明：標準答案：知識點解析：暫無解析28、求下列不定積分：標準答案：(Ⅰ)利用三角函數(shù)的倍角公式：1＋cos2χ＝2cos2χ進行分項得(Ⅱ)利用加減同一項進行拆項得(Ⅲ)將被積函數(shù)的分母有理化后得再將第二項拆項得知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)積分概念、計算及應用）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設f(χ)為(－∞，＋∞)上的連續(xù)奇函數(shù)，且單調(diào)增加，F(xiàn)(χ)＝∫0χ(2t－χ)f(χ－t)dt，則F(χ)是A、單調(diào)增加的奇函數(shù)．B、單調(diào)增加的偶函數(shù)．C、單調(diào)減小的奇函數(shù)．D、單調(diào)減小的偶函數(shù)．標準答案：C知識點解析：對被積函數(shù)作變量替換u＝χ－t，就有F(χ)＝∫0χ(2t－χ)f(χ－t)dt＝∫0χ(χ－2u)f(u)du＝χ∫0χf(u)du由于f(χ)為奇函數(shù)，故∫0χf(u)du為偶函數(shù)，于是χ∫0χf(u)du為奇函數(shù)，又因uf(u)為偶函數(shù)，從而∫0χufdu為奇函數(shù)，所以F(χ)為奇函數(shù)．又F′(χ)＝∫0χf(u)du＋χf(χ)－2χf(χ)＝∫0χf(u)du－χf(χ)，由積分中值定理知在0與χ之間存在ξ使得∫0χf(u)du＝χf(ξ)．從而F′(χ)＝χ[f(ξ)－f(χ)]，無論χ＞0，還是χ＜0，由f(χ)單調(diào)增加，都有F′(χ)＜0，從而應選C．2、下列可表示由雙紐線(χ2＋y2)2＝χ2－y2圍成平面區(qū)域的面積的是A、2cos2θdθ．B、42θdθ．C、D、(cos2θ)2dθ．標準答案：A知識點解析：雙紐線的極坐標方程是：r4＝r2(cos2θ－sin2θ)及r2＝cos2θ．當θ∈[－π，π]時，僅當，π時才有r≥0(圖3．25)．由于曲線關于極軸與y軸均對稱，如圖3．25，只需考慮θ∈[0，]由對稱性及廣義扇形面積計算公式得S＝4.cos2θdθ．故應選A．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、若f(χ)的導函數(shù)是sinx，則f(χ)的原函數(shù)是_______．標準答案：原函數(shù)是：－sinχ＋C1χ＋C2，其中C1，C2為任意常數(shù)．知識點解析：f(χ)的導函數(shù)是sinχ，那么f(χ)應具有形式－cosχ＋C1，所以f(χ)的原函數(shù)應為－sinχ＋C1χ＋C2，其中C1，C2為任意常數(shù)．4、設f(χ)在[0，1]連續(xù)，f(｜cosχ｜)dχ＝A，則I＝∫02πf(｜cosχ｜)dχ＝_______．標準答案：4A．知識點解析：由于f(｜cosχ｜)在(－∞，＋∞)連續(xù)，以π為周期，且為偶函數(shù)，則根據(jù)周期函數(shù)與偶函數(shù)的積分性質(zhì)得I＝＝4A．5、設f(χ)是連續(xù)函數(shù)，并滿足∫f(χ)sinχdχ＝cos2χ＋C，又F(χ)是f(χ)的原函數(shù)，且滿足F(0)＝0，則F(χ)＝_______．標準答案：－2snχ．知識點解析：由題設及原函數(shù)存在定理可知，F(xiàn)(χ)＝∫0χf(t)dt為求f(χ)，將題設等式求導得f(χ)sinχ＝[∫f(χ)]sinχdχ]′＝(cos2χ＋C)′＝－2sinχcosχ，從而f(χ)＝－2cosχ，于是F(χ)＝∫0χf(t)dt＝∫0χ－2costdt＝－2snχ．6、設f(χ)為連續(xù)函數(shù)，且滿足f(χ)＝χ＋∫01χf(χ)dχ，則f(χ)＝_______．標準答案：χ＋．知識點解析：定積分是積分和的極限，當被積函數(shù)和積分區(qū)間確定后，它就是一個確定的數(shù)．從而由題設知可令∫01χf(χ)dχ＝A，只要求得常數(shù)A就可得到函數(shù)f(χ)的表達式．為此將題設等式兩邊同乘χ并從0到1求定積分，就有故f(χ)＝χ＋．7、由曲線χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)(擺線)及χ軸圍成平面圖形的面積5＝_______．標準答案：3πa2知識點解析：當t∈[0，π]時，曲線與χ軸的交點是χ＝0，2πa(相應于t＝0，2，π)，曲線在χ軸上方，見圖3．26．于是圖形的面積S＝∫02πay(χ)dχ∫02πa(1－cost)[a(t－sint)]′dt＝∫02πa2(1－cos)dt＝a2∫02π(1－2cost＋cos2t)dt＝3πa2．三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)8、設f(χ)與g(χ)在χ＝0的某鄰域內(nèi)連續(xù)，f(0)＝g(0)≠0，求標準答案：本題是求型未定式的極限，需用洛必達法則，但分子分母都需先作變量替換，使被積函數(shù)中的f()與g(χt)不含χ才可以求導．令由積分中值定理，在0與χ之間存在ξ，使∫0χg(u)du＝χg(ξ)，于是有知識點解析：暫無解析9、求I＝標準答案：這是求型的極限．用洛必達法則時就要求變限積分的導數(shù)．這里被積函數(shù)f(χ)＝還是變限積分．注意到這一點就容易求得知識點解析：暫無解析10、設f(χ)在[a，b]可積，求證：Ф(χ)＝f(u)du在[a，b]上連續(xù)，其中χ0∈[a，b]．標準答案：χ，χ＋△χ∈[a，b]，考察Ф(χ＋△χ)－Ф(χ)＝，由f(χ)在[a，b]可積f(χ)在[a，b]有界．即｜f(χ)｜≤M(χ∈[a，b])，則｜Ф(χ＋△χ)－Ф(χ)｜≤｜∫χχ＋△χ｜f(u)｜du｜≤M｜△χ｜．因此，，χ＋△χ∈[a，b]，有(Фχ＋△χ)－Ф(χ)]＝0，即Ф(χ)在[a，b]上連續(xù)．知識點解析：暫無解析11、設F(χ)＝，試求：(Ⅰ)F(χ)的極值；(Ⅱ)曲線y＝F(χ)的拐點的橫坐標；(Ⅲ)∫-23χ2F′(χ)dχ．標準答案：(Ⅰ)由F′(χ)＝，即知F(χ)在χ＝0處取極小值0，且無其他極值．(Ⅱ)F〞(χ)＝2(1－4χ4)，注意到僅當χ＝±時F〞(χ)＝0，且在χ＝±兩側F〞(χ)變號即知χ＝±為曲線y＝F(χ)的拐點的橫坐標．(Ⅲ)注意到χF2′(χ)為奇函數(shù)，因此知識點解析：暫無解析12、求曲線r＝asin3的全長．標準答案：r＝asin3以6π為周期，0∈[0，3π]∈[0，π]，r≥0；θ∈(3π，6π)∈(π，2π)，r＜0．只需考慮0∈[0，3π]．知識點解析：暫無解析13、求曲線r＝a(1＋cosθ)的曲率．標準答案：曲線的參數(shù)方程為χ＝rcosθ＝a(1＋cosθ)cosθ，y＝rsinθ＝a(1＋cosθ)sinθ，χ′＝－asinθ(1＋2cosθ)＝－(sinθ＋sin2θ)，y′＝a(cosθ＋cos2θ)，χ′2＋y′2＝a22(1＋cosθ)＝2ar，χ〞＝－a(cosθ＋2cos2θ)，y〞＝－a(sinθ＋2sin2θ)，χ′y〞－χ〞y′＝a[(sinθ＋sin2θ)(sinθ＋2sin2θ)＋cosθ＋cos2θ)(cosθ＋2cos2θ)]＝3a2(1＋cosθ)＝3ar．因此，曲率K＝知識點解析：暫無解析14、已知一條拋物線通過χ軸上兩點A(1，0)，B(3，0)，求證：兩坐標軸與該拋物線所圍成的面積等于χ軸與該拋物線所圍成的面積．標準答案：1)寫出拋物線方程y＝a(χ－1)(χ－3)(a＞0或a＜0為常數(shù))，如圖3．27所示．2)求兩坐標軸與拋物線所圍面積S1，即3)求χ軸與該拋物線所圍面積S2，即4)因此，S1＝S2．知識點解析：暫無解析15、求下列旋轉體的體積V：(Ⅰ)由曲線χ2＋y2≤2χ與)y≥χ確定的平面圖形繞直線χ＝2旋轉而成的旋轉體；(Ⅱ)由曲線y＝3－｜χ2－1｜與戈軸圍成封閉圖形繞直線y＝3旋轉而成的旋轉體．標準答案：(Ⅰ)對該平面圖形，我們可以作垂直分割也可作水平分割．作水平分割．該平面圖形如圖3．28．上半圓方程寫成χ＝1－(0≤y≤1)．任取y軸上[0，1]區(qū)間內(nèi)的小區(qū)間[y，y＋d)，]，相應的微元繞χ＝2旋轉而成的立體體積為dV＝{π[2－(1－)]2－π(2－y)2}dy，于是(Ⅱ)曲線y＝3－｜χ2－1｜與χ軸的交點是(－2，0)，(2，0)．曲線y＝f(χ)＝3－｜χ2－｜與χ軸圍成的平面圖形，如圖3．29所示．顯然作垂直分割方便．任取[χ，χ＋dχ][－2，2]，相應的小豎條繞y＝3旋轉而成的立體體積為dV＝dV＝π[32－(3－f(χ))2]dχ＝π(9－｜χ2－1｜2)dχ，于是V＝π∫-22[9－(χ2－1)2]dχ＝2π∫02[9－(χ4－2χ2＋1)]dχ＝知識點解析：暫無解析16、求由曲線χ＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)(0≤t≤2π)，y＝0所圍圖形(Ⅰ)繞Oχ軸：(Ⅱ)繞y＝2a旋轉所成立體的體積．標準答案：(Ⅰ)由已知的體積公式，得(Ⅱ)V＝π∫02πa[(2a)2－(2a－y)2]dχ＝π4a2.2πa－π∫02πa3(1＋cost)2(1－cost)dt＝8π2a3－a3π∫02πsin2t(1＋cost)dt＝8π2a3－a3π2＝7π2a3．知識點解析：暫無解析17、求以半徑為R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為h的正劈錐體的體積．標準答案：取底圓所在平面為Oχy平面，圓心O為原點，并使χ軸與劈錐的頂平行，底圓方程為χ2＋y2＝R2．過χ軸上的點χ(－R≤χ≤R)作垂直于χ軸的平面，截正劈錐體得等腰三角形，底邊長即2，高為h，該截面的面積為知識點解析：暫無解析18、求曲線χ＝acos3t，y＝asin3t繞直線y＝χ旋轉一周所得曲面的面積．標準答案：如圖3．32，曲線關于y＝±χ對稱，只需考察t∈一段曲線．現(xiàn)在沒有現(xiàn)成的公式可用．用微元法導出旋轉面的面積公式．任取曲線的小微元，端點坐標為(χ(t)，y(t))＝(acos3t,asin3t)，它到直線y＝χ的距離為l(t)＝曲線微元的弧長ds＝＝3a｜sintcost｜dt，它繞y＝χ旋轉所得曲面微元的面積為dS＝2πl(wèi)(t)ds＝2π．3a｜sintcost｜dt，因此整個旋轉面的面積為知識點解析：暫無解析19、邊長為a和b的矩形薄板與液面成α角斜沉于液體內(nèi)，長邊平行于液面位于深h處，設a＞b，液體的比重為y，求薄板受的液體壓力．標準答案：建立坐標系如圖3．33所示，χ軸鉛直向下．一長邊的深度為h，另一長邊的深度為h＋bsina，在[h，h＋bsina]中任取[χ，χ＋dχ]，相應的薄板上一小橫條，長a，寬，于是所受的壓力為dP＝γχa．整塊板受的壓力為知識點解析：暫無解析20、設有一半徑為R長度為l的圓柱體，平放在深度為2R的水池中(圓柱體的側面與水面相切)．設圓柱體的比重為ρ(ρ＞1)，現(xiàn)將圓柱體從水中移出水面，問需做多少功?標準答案：任取小區(qū)間[χ，χ＋dχ][－R，R]相應的柱體薄片，其體積為2yldχ＝2ldχ．移至水面時薄片移動的距離為R－χ，所受的力(重力與浮力之差)為(ρ－1)2ldχ，因而移至水面時做的功為(ρ－1)2l(R－χ)dχ．整個移出水面時，此薄片離水面距離為R＋χ，將薄片從水面移到此距離時所做的功為ρ(R＋χ)2l.dχ，于是對薄片做的功為dW＝2l[(ρ－1)(R－χ)＋ρ(R＋χ)]dχ＝2l[(2ρ－1)R＋χ]dχ．因此，所求的功知識點解析：暫無解析21、求星形線(0≤t≤)的質(zhì)心，其中a＞0為常數(shù)．標準答案：先求ds．ds＝＝3a｜sintcost｜dt．再求總長度積分于是．故星形線的質(zhì)心為．知識點解析：暫無解析22、求由曲線χ2＝ay與y2＝aχ(a＞0)所圍平面圖形的質(zhì)心(形心)(如圖3．35)．標準答案：兩曲線的交點是(0，0)，(a，a)．設該平面圖形的質(zhì)心(形心)為()，則由質(zhì)心(形心)公式有同樣計算或由對稱性可知．知識點解析：暫無解析23、有兩根長各為l，質(zhì)量各為M的均勻細桿，位于同一條直線上，相距為a，求兩桿間的引力．標準答案：沿桿建立坐標系如圖3．36．在右桿上任取微元[χ，χ＋dχ]，它與左桿間的引力為dF＝．于是兩桿間的引力為知識點解析：暫無解析24、設有以O為心，r為半徑，質(zhì)量為M的均勻圓環(huán)，垂直圓面，＝b，質(zhì)點P的質(zhì)量為m，試導出圓環(huán)對P點的引力公式F＝．標準答案：如圖3．37，由對稱性，引力沿方向．取環(huán)上某點為計算弧長的起點，任取弧長為s到s＋ds的一段微元，它的質(zhì)量為，到P點的距離為與的夾角為θ，cosθ＝，則微元對P點的引力沿方向的分力為dF＝，于是整個圓環(huán)對P點的引力為知識點解析：暫無解析25、設有半徑為a，面密度為σ的均勻圓板，質(zhì)量為m的質(zhì)點位于通過圓板中心O且垂直于圓板的直線上，＝b，求圓板對質(zhì)點的引力．標準答案：如圖3．38，任取[r，r＋dr]對應的圓環(huán)，它的面積dS＝2πrdr，質(zhì)量dM＝σdS＝2πrσdr，對質(zhì)點P的引力dF＝，因此，整個圓板對P的引力為知識點解析：暫無解析26、設函數(shù)f(χ)在[0，π]上連續(xù)，且∫0πf(χ)sinχdχ＝0∫0πf(χ)cosχdχ,＝0．證明：在(0，π)內(nèi)f(χ)至少有兩個零點．標準答案：反證法．如果f(χ)在(0，π)內(nèi)無零點(或有一個零點，但f(χ)不變號，證法相同)，即f(χ)＞0(或＜0)，由于在(0，π)內(nèi)，亦有sinχ＞0，因此，必有∫0πf(χ)sinχdχ＞0(或＜0)．這與假設相矛盾．如果f(χ)在(0，π)內(nèi)有一個零點，而且改變一次符號，設其零點為a∈(0，π)，于是在(0，a)與(a，π)內(nèi)f(χ)sin(χ－a)同號，因此∫0πf(χ)sin(χ－a)dχ≠0．但是，另一方面∫0πf(χ)sin(χ－a)dχ＝∫0πf(χ)(sinχcosa－cosχsina)dχ＝cosa∫0πf(χ)sinχdχ－sina∫0πf(χ)cosχdχ＝0．這個矛盾說明f(χ)也不能在(0，π)內(nèi)只有一個零點，因此它至少有兩個零點．知識點解析：暫無解析27、設f(χ)在(－∞，＋∞)連續(xù)，以T為周期，令F(χ)＝∫0χ(t)dt，求證：(Ⅰ)F(χ)一定能表示成：F(χ)＝kχ＋φ(χ)，其中k為某常數(shù)，φ(χ)是以T為周期的周期函數(shù)(Ⅱ)(Ⅲ)若又有f(χ)≥0(χ∈(－∞，＋∞))，n為自然數(shù)，則當nT≤χ＜(n＋1)T時，有n∫0Tf(χ)dχ≤∫0χ(t)dt＜(n＋1)∫0T(χ)dχ．標準答案：(Ⅰ)即確定常數(shù)k，使得φ(χ)＝F(χ)－kχ以T為周期．由于φ(χ＋T)＝F(χ＋T)－k(χ＋T)＝∫0χf(t)dt－kχ＋∫0χ+Tf(χ)dt－kT＝φ(χ)＋∫0Tf(t)dt－kT因此，取k＝∫0Tf(t)dt，φ(χ)＝F(χ)－kχ，則φ(χ)是以T為周期的周期函數(shù)．此時F(χ)＝∫0Tf(t)dt]χ＋φ(χ)．(Ⅱ)不能用洛必達法則．因為不存在，也不為∞．但∫0χ(t)dt可表示成∫0χf(t)dt＝∫0Tf(t)dt＋φ(χ)．φ(χ)在(－∞，＋∞)連續(xù)且以T為周期，于是，φ(χ)在[0，T]有界，在(－∞，＋∞)也有界．因此(Ⅲ)因f(χ)≥0，所以當nT≤χ<(n＋1)T時，n∫0Tf(t)dt＝∫0nTf(t)dt≤∫0χf(t)dt＜∫0(n+1)Tf(t)dt＝(n＋1)∫0T(t)dt．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學二（一元函數(shù)積分概念、計算及應用）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設f(t)＝∫01lndχ，則f(t)在t＝0處A、極限不存在．B、極限存在但不連續(xù)．C、連續(xù)但不可導．D、可導．標準答案：C知識點解析：暫無解析2、設M＝sin(sinχ)dχ，N＝cos(cosχ)dχ，則有A、M＜1＜N．B、M＜N＜1．C、N＜M＜1．D、1＜M＜N．標準答案：A知識點解析：sin(sinχ)，cos(cosχ)均在[0，]上連續(xù)，由sinχ≤χsin(sinχ)sinχ(χ∈[0，)，即N＞1．因此選A．二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)3、(a＞0)＝_______．標準答案：知識點解析：利用分部積分法．4、設y＝f(χ)滿足△y＝△χ＋o(△χ)，且f(0)＝0，則∫01f(χ)dχ＝_______．標準答案：知識點解析：由題設可知，f(χ)＝由f(0)＝0可得C＝0．于是f(χ)＝由定積分幾何意義得5、設f(χ)在[a，b]上連續(xù)可導，f(a)＝f(b)＝0，且∫abf2(χ)dχ＝1，則∫abχf(χ)f′(χ)dχ＝_______．標準答案：知識點解析：因＝f(χ)f′(χ)，所以6、設f(χ)具有連續(xù)導數(shù)，且F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f′(t)dt，若當χ→0時F′(χ)與χ2為等價無窮小，則f′(0)＝_______．標準答案：知識點解析：由于F(χ)＝∫0χ(χ2－t2)f′(t)dt＝χ2∫0χf′(t)dt－∫0χt2f′(t)dt，所以F′(χ)＝2χ∫0χf′(t)dt＋χ2f′(χ)－χ2f′(χ)＝2χ∫0χf′(t)dt，又依題設，當χ→0時F′(χ)與χ2為等價無窮小，從而故f′(0)＝7、已知f(χ)＝則∫01χf(χ)dχ＝_______．標準答案：(e-1－1)知識點解析：用分部積分法．由于f′(χ)＝，故三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)8、計算下列定積分：標準答案：(Ⅰ)由于min{，cosχ}為偶函數(shù)，在[0，]上的分界點為，所以(Ⅱ)由于分段函數(shù)f(χ)的分界點為0，所以，令t＝χ－1后，有知識點解析：暫無解析9、計算定積分I＝(a＞0，b＞0)．標準答案：在區(qū)間[0，π]上按如下方式用牛頓一萊布尼茲公式是錯誤的．即因在χ＝無定義，它只是分別在上是的原函數(shù)，因而不能在[0，π]上對積分I應用牛頓-萊布尼茲公式．但可按如下方法計算：知識點解析：暫無解析10、設函數(shù)f(χ)＝并記F(χ)＝∫0χf(t)dt(0≤χ≤2)，試求F(χ)及∫f