拔高點(diǎn)突破02 柯西不等式、反柯西不等式與權(quán)方和不等式（十一大題型）（解析版）

拔高點(diǎn)突破02柯西不等式、反柯西不等式與權(quán)方和不等式目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧與總結(jié) 202題型歸納與總結(jié) 2題型一：柯西不等式之直接套公式型 2題型二：柯西不等式之根式下有正負(fù)型 4題型三：柯西不等式之高次定求低次型 5題型四：柯西不等式之低次定求高次型 7題型五：柯西不等式之整式與分式型 8題型六：柯西不等式之多變量型 9題型七：柯西不等式之三角函數(shù)型 11題型八：Aczel不等式 12題型九：權(quán)方和不等式之整式與分式綜合型 13題型十：權(quán)方和不等式之三角函數(shù)型 14題型十一：權(quán)方和不等式之雜合型 1503過(guò)關(guān)測(cè)試 16

1、柯西不等式（Cauchy不等式）（1）二元柯西不等式：對(duì)于任意的，都有．（2）元柯西不等式：，取等條件：或（）．2、Aczel不等式（反柯西不等式）設(shè)；均為實(shí)數(shù)，或，則有．當(dāng)且僅當(dāng)，成比例時(shí)取等．3、權(quán)方和不等式（1）二維形式的權(quán)方和不等式對(duì)于任意的，都有．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．（2）一般形式的權(quán)方和不等式若，，，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．題型一：柯西不等式之直接套公式型【例1】已知且則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】由柯西不等式可得：，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為，故選：B．【變式1-1】若，則的最小值為（

）A．25 B．8 C． D．【答案】C【解析】由柯西不等式，得，∴，∴，當(dāng)且時(shí)，即，且與異號(hào)時(shí)，，則的最小值為.選：C.【變式1-2】已知a，b，，滿足，則的最大值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】設(shè)，，，可得，所以．因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，取得最大值6，此時(shí)，所以的最大值為．故選：B.題型二：柯西不等式之根式下有正負(fù)型【例2】（2024·高三·山東青島·期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西與德國(guó)數(shù)學(xué)家施瓦茨分別獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，它在數(shù)學(xué)分析中有廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)給出一個(gè)二維柯西不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.根據(jù)柯西不等式可以得知函數(shù)的最大值為（

）A． B． C．12 D．20【答案】A【解析】由，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，由柯西不等式得，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：A.【變式2-1】柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的一個(gè)重要不等式,而柯西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的:已知向量,,由得到,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).現(xiàn)已知,,,則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?令,又,,,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立,即,故選:D.【變式2-2】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得，即.由可知，所以.由，可得，由柯西不等式得，所以，當(dāng)即時(shí)，取等號(hào).所以的最大值為.故選：C.題型三：柯西不等式之高次定求低次型【例3】設(shè)a，b，c為正數(shù)，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一根據(jù)題意，有，其中，令，解得，于是，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求最大值為．解法二令，其中，則，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求最大值為．解法三根據(jù)題意，有，等號(hào)當(dāng)，且即時(shí)取得，因此所求最大值為．故選：A.【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）柯西不等式最初是由大數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的.而后來(lái)有兩位數(shù)學(xué)家Buniakowsky和Schwarz彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才能將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步.該不等式的三元形式如下：對(duì)實(shí)數(shù)和，有等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)已知，請(qǐng)你用柯西不等式，求出的最大值是（

）A．14 B．12 C．10 D．8【答案】A【解析】由題干中柯西不等式可得，所以的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：A【變式3-2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則條件為，所以，等號(hào)當(dāng)且時(shí)取得，因此所求代數(shù)式的最大值為．故選：D題型四：柯西不等式之低次定求高次型【例4】若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．以上答案都不對(duì)【答案】B【解析】根據(jù)題意，有，而，當(dāng)且僅從時(shí)等號(hào)成立.同理，當(dāng)且僅當(dāng)式等號(hào)成立，記題中代數(shù)式為M，于是，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求代數(shù)式的最小值為2．故選：B.【變式4-1】已知空間向量，，且，則的最小值為（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立.所以，所以的最小值為.故選：B【變式4-2】已知，，為實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由三維柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,所以所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等,所以的最小值為：2故選：C題型五：柯西不等式之整式與分式型【例5】（2024·高三·浙江臺(tái)州·期末）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】/0.5【解析】由柯西不等式而，所以時(shí)等號(hào)成立，故答案為：.【變式5-1】已知、、，且滿足，則的最小值為.【答案】【解析】因?yàn)?、、，且滿足，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.【變式5-2】已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榍?，，，因?yàn)樗?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：D.題型六：柯西不等式之多變量型【例6】已知且，a，b，c為常數(shù)，則的最小值為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】D【解析】根據(jù)柯西不等式，有，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得，因此所求最小值為．故選：D.【變式6-1】已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足則e的取值范圍是（

）A． B． C． D．以上答案都不對(duì)【答案】D【解析】根據(jù)柯西不等式，有，從而，因此e的取值范圍是．故選：D.【變式6-2】已知，且，則的最小值是（

）A． B．C．417 D．以上答案都不對(duì)【答案】A【解析】由可得，由對(duì)稱性可設(shè)，則條件即即，從而，根據(jù)柯西不等式，等號(hào)當(dāng)時(shí)取得．因此所求最小值為．故選：A.題型七：柯西不等式之三角函數(shù)型【例7】函數(shù)的最大值為（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】D【解析】題中代數(shù)式為，等號(hào)當(dāng)時(shí)可以取得，因此所求最大值為．故選：D.【變式7-1】（2024·浙江·一模）若，則的最小值是（

）A．0 B． C． D．【答案】C【解析】由已知整理得，由柯西不等式得，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，解得，所以的最小值為.故選：C．【變式7-2】函數(shù)的最大值為（

）A． B．5 C．4 D．【答案】A【解析】利用柯西不等式進(jìn)行求最值.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值.故選：A.題型八：Aczel不等式【例8】的最小值為．【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．【變式8-1】為提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)校在高一年級(jí)開(kāi)設(shè)了《數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)》選修課．在某次主題是“向量與不等式”的課上，學(xué)生甲運(yùn)用平面向量的數(shù)量積知識(shí)證明了著名的柯西不等式（二維）；當(dāng)向量時(shí)，有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；學(xué)生乙從這個(gè)結(jié)論出發(fā)．作一個(gè)代數(shù)變換，得到了一個(gè)新不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，并取名為“類柯西不等式”．根據(jù)前面的結(jié)論可知：當(dāng)時(shí)，的最小值是．【答案】【解析】由題意得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，則，所以，最小值為，此時(shí)．故答案為：.題型九：權(quán)方和不等式之整式與分式綜合型【例9】已知正數(shù)，，滿足，則的最小值為【答案】【解析】因?yàn)檎龜?shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.【變式9-1】權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】B【解析】因a，b，x，y>0，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，即，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以函數(shù)的最小值為25.故選：B【變式9-2】已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，且滿足，則的最小值為.【答案】2【解析】由權(quán)方和不等式，可知==，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為2.故答案為：2.題型十：權(quán)方和不等式之三角函數(shù)型【例10】已知正實(shí)數(shù)、且滿足，求的最小值.【答案】【解析】設(shè)，，，由權(quán)方和不等式，可知，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：【變式10-1】已知為銳角，則的最小值為.【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取“”.故答案為：【變式10-2】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）“權(quán)方和不等式”是由湖南理工大學(xué)楊克昌教授于上世紀(jì)80年代初命名的．其具體內(nèi)容為：設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．根據(jù)權(quán)方和不等式，若，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以．故選：C．題型十一：權(quán)方和不等式之雜合型【例11】已知，則的最小值是．【答案】【解析】由題意得，．（權(quán)方和的一般形式為：,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）當(dāng)，即時(shí)，取得最小值．故答案為：【變式11-1】已知，求的最小值為【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故答案為：60【變式11-2】求的最大值為【答案】【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)取等號(hào)故答案為：.1．（2024·吉林白山·一模）權(quán)方和不等式作為基本不等式的一個(gè)變化，在求二元變量最值時(shí)有很廣泛的應(yīng)用，其表述如下：設(shè)正數(shù)，，，，滿足，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．則函數(shù)的最小值為（

）A．16 B．25 C．36 D．49【答案】D【解析】因?yàn)?，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，即，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以函數(shù)的最小值為49．故選：D2．已知a，b，c均大于1，，則的最小值為（

）A．243 B．27 C．81 D．9【答案】B【解析】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，所以，即的最小值為27，故選：B3．（2024·福建·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)、，，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)?，則且，因?yàn)?，?gòu)造數(shù)字式，所以，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：B.4．由柯西不等式，當(dāng)時(shí)，求的最大值為（

）A．10 B．4 C．2 D．【答案】D【解析】由柯西不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.因?yàn)?，所以，則，故的最大值為.故選：D5．已知，則的取最小值時(shí)，為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【解析】由柯西不等式得：則．則根據(jù)等號(hào)成立條件知，，，所以故選：B6．已知：，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】利用柯西不等式，可得,解不等式即可.解:利用柯西不等式，得,，解得.故選:B7．實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值是（

）A． B． C．3 D．4【答案】A【解析】實(shí)數(shù)x、y滿足，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，的最小值是.故選：A.8．已知a，，，則的最大值為（

）A．18 B．9 C． D．【答案】C【解析】由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)，時(shí)，故的最大值為.故選：C.9．若實(shí)數(shù)，則的最小值為（

）A．14 B． C．29 D．【答案】B【解析】根據(jù)柯西不等式：，即，當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立.故選：B.10．函數(shù)的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)柯西不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.此時(shí)，，故選：B.11．若，則的最大值（

）A．3 B．6 C．9 D．27【答案】A【解析】根據(jù)柯西不等式可得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選:A.12．函數(shù)的最大值是()A． B． C．3 D．5【答案】B【解析】利用柯西不等式求解.因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故選：B13．已知，，則的最大值是()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】利用柯西不等式求解.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴的最大值是故選：A14．函數(shù)，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將化為，利用柯西不等式即可得出答案.因?yàn)樗援?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：A15．（2024·高三·河北衡水·期末）已知，，，且，則的最大值為（）A．3 B． C．18 D．9【答案】B【解析】由柯西不等式得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選B.16．已知x，y均為正數(shù)，且，則的最大值是（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】C【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等式成立.故選：C17．（2024·廣西南寧·二模）設(shè)實(shí)數(shù)滿足關(guān)系：，，則實(shí)數(shù)的最大值為A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)柯西不等式知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，所以，解得，即實(shí)數(shù)的最大值為.故選：B.18．（2024·山西·二模）柯西不等式是數(shù)學(xué)家柯西（Cauchy）在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問(wèn)題時(shí)得到的一個(gè)重要不等式，而柯西不等式的二維形式是同學(xué)們可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).現(xiàn)已知，，，則的最大值為.【答案】【解析】令，又，，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為.故答案為：19．若不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為.【答案】/【解析】由柯西不等式的變形可知，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，則k的最小值為.故答案為：20．已知