第01講 導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（十二大題型）（講義）（解析版）

第01講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義 4知識點(diǎn)2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 5解題方法總結(jié) 6題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題 6題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 9題型三：在點(diǎn)P處的切線 11題型四：過點(diǎn)P的切線 13題型五：公切線問題 15題型六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題 19題型七：切線的條數(shù)問題 23題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題 29題型九：牛頓迭代法 38題型十：切線平行、垂直、重合問題 42題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題 47題型十二：切線斜率的取值范圍問題 4904真題練習(xí)·命題洞見 5105課本典例·高考素材 5406易錯(cuò)分析·答題模板 55易錯(cuò)點(diǎn)：求曲線的切線方程時(shí)忽視點(diǎn)的位置 55答題模板：求曲線過點(diǎn)P的切線方程 56

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）導(dǎo)數(shù)的定義（2）導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（3）導(dǎo)數(shù)的幾何意義2024年甲卷第6題，5分2024年I卷第13題，5分2023年甲卷第8題，5分2022年I卷第15題，5分2021年甲卷第13題，5分2021年I卷第7題，5分高考對本節(jié)內(nèi)容的考查相對穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型、難度均變化不大．重點(diǎn)考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、四則運(yùn)算法則的應(yīng)用和求切線方程為主．復(fù)習(xí)目標(biāo)：（1）了解導(dǎo)數(shù)的概念、掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（2）通過函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．（3）能夠用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

知識點(diǎn)1：導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1、概念函數(shù)在處瞬時(shí)變化率是，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或．知識點(diǎn)詮釋：①增量可以是正數(shù)，也可以是負(fù)，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有多近，即可以小于給定的任意小的正數(shù)；②當(dāng)時(shí)，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個(gè)確定的常數(shù)，即存在一個(gè)常數(shù)與無限接近；③導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點(diǎn)處的極限，即瞬時(shí)變化率．如瞬時(shí)速度即是位移在這一時(shí)刻的瞬間變化率，即．2、幾何意義函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義即為函數(shù)在點(diǎn)處的切線的斜率．3、物理意義函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即；在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是物體在時(shí)刻的瞬時(shí)加速度，即．【診斷自測】設(shè)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，且，則＝（

）A．2 B．－2 C．1 D．－1【答案】B【解析】因?yàn)椋?故選：B．知識點(diǎn)2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1、求導(dǎo)的基本公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)（為常數(shù)）2、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則（1）函數(shù)和差求導(dǎo)法則：；（2）函數(shù)積的求導(dǎo)法則：；（3）函數(shù)商的求導(dǎo)法則：，則．3、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為：【診斷自測】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)．【解析】（1）.（2）解題方法總結(jié)1、在點(diǎn)的切線方程切線方程的計(jì)算：函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．2、過點(diǎn)的切線方程設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．（有幾個(gè)值，就有幾條切線）注意：在做此類題目時(shí)要分清題目提供的點(diǎn)在曲線上還是在曲線外．3、高考?？嫉那芯€方程（1）是的切線，同時(shí)是的切線，也是和的切線.（2）是的切線，是y=tanx的切線.（3）是的切線，是的切線.題型一：導(dǎo)數(shù)的定義及變化率問題【典例1-1】若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，則的值為（

）A． B．C． D．0【答案】B【解析】由題意知，.故選：B【典例1-2】如圖1，現(xiàn)有一個(gè)底面直徑為高為的圓錐容器，以的速度向該容器內(nèi)注入溶液，隨著時(shí)間（單位：）的增加，圓錐容器內(nèi)的液體高度也跟著增加，如圖2所示，忽略容器的厚度，則當(dāng)時(shí)，圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)注入溶液的時(shí)間為（單位：）時(shí)，溶液的高為，則，得.因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即圓錐容器內(nèi)的液體高度的瞬時(shí)變化率為.故選：C【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的定義，對所給函數(shù)式經(jīng)過拆項(xiàng)、添項(xiàng)等變形和導(dǎo)數(shù)定義結(jié)構(gòu)一致，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求解．【變式1-1】（多選題）已知，在R上連續(xù)且可導(dǎo)，且，下列關(guān)于導(dǎo)數(shù)與極限的說法中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，故A錯(cuò)；，故B對；，由導(dǎo)數(shù)的定義知C對；，故D對；故選：BCD【變式1-2】（2024·上海閔行·二模）某環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改、設(shè)企業(yè)的污水排放量與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.則下列正確的命題是（

）

A．在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；B．在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱；C．在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達(dá)標(biāo)；D．甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)【答案】D【解析】設(shè)甲企業(yè)的污水排放量與時(shí)間t的關(guān)系為，乙企業(yè)的污水排放量與時(shí)間t的關(guān)系為.對于A選項(xiàng)，在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力，乙企業(yè)的污水治理能力.由圖可知，，所以,即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，由圖可知，在時(shí)刻的切線斜率小于在時(shí)刻的切線斜率，但兩切線斜率均為負(fù)值，故在時(shí)刻甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都小于污水達(dá)標(biāo)排放量，故甲、乙兩企業(yè)的污水排放都達(dá)標(biāo)，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，由圖可知，甲企業(yè)在，，這三段時(shí)間中，在時(shí)的差值最大，所以在時(shí)的污水治理能力最強(qiáng)，故D選項(xiàng)正確，故選：D.題型二：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算【典例2-1】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．(1)(2)；(3)(4).【解析】（1）（2）（3）（4）【典例2-2】已知函數(shù)滿足滿足；求的解析式【解析】令得：得：【方法技巧】（1）對所給函數(shù)求導(dǎo)，其方法是利用和、差、積、商及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導(dǎo)問題．(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元．【變式2-1】已知，則.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，解得，故答案?.【變式2-2】設(shè)函數(shù)，則的值為（

）A．10 B．59 C． D．0【答案】C【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)，則，所以所以.故選：C.【變式2-3】在等比數(shù)列中，，若函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，所以，.因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，且，所以，，所以，，所以，.故選：A.【變式2-4】若定義域都為R的函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)，滿足對任意實(shí)數(shù)x都有，則．【答案】2024【解析】對，兩邊同時(shí)求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)得，則，，，，從而．故答案為：2024【變式2-5】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）（2）（3）（4）題型三：在點(diǎn)P處的切線【典例3-1】（湖南省2024屆高三數(shù)學(xué)模擬試題）曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，的導(dǎo)函數(shù)，故曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，則切線方程，即，故選：.【典例3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知曲線在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由得，所以直線的斜率，又，所以直線的方程為，令，得，即在軸上的截距為.故選：B【方法技巧】函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，抓住關(guān)鍵．【變式3-1】曲線在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，則且，即切線的斜率為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程為.故選：C.【變式3-2】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，則，而，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即.故選：A【變式3-3】（2024·四川·三模）已知函數(shù)，則曲線上一點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由題意可得，即，所以，所以，，則，所以曲線上一點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：C.題型四：過點(diǎn)P的切線【典例4-1】已知函數(shù)，直線過點(diǎn)且與曲線相切，則直線的斜率為（

）A．24 B．或 C．45 D．0或45【答案】B【解析】由，得，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)為，則在處的切線斜率為，所以，切線方程為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入并整理，得，即，解得或，所以直線的斜率為24或.故選：B.【典例4-2】過點(diǎn)可作的斜率為1的切線，則實(shí)數(shù).【答案】2-2ln2【解析】由，設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由，解得，故，由過點(diǎn)且斜率為1的切線方程：，令得：.，即.故答案為：.【方法技巧】設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值．【變式4-1】曲線過點(diǎn)的切線方程為.【答案】或【解析】，因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以設(shè)切線的切點(diǎn)是，則切線的斜率，又切線過點(diǎn)和，所以，所以，化簡得，因?yàn)椋曰?所以，或，所以所求切線方程是或，即或.故答案為：或.【變式4-2】過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為.【答案】【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由得，則切點(diǎn)處的切線，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，解得，所以切線方程為即.故答案為：【變式4-3】（2024·山西呂梁·二模）若曲線在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn)，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以在點(diǎn)處的切線方程為.又切線過原點(diǎn)，則，所以.故答案為：【變式4-4】（2024·高三·海南省直轄縣級單位·開學(xué)考試）已知函數(shù)，過原點(diǎn)作曲線的切線，則切線的斜率為．【答案】【解析】根據(jù)題意得，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以切線的方程為，將點(diǎn)代入，可得，整理得，故，解得，故，即切線的斜率為．故答案為：.題型五：公切線問題【典例5-1】若直線與曲線和曲線同時(shí)相切，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線直線與曲線相切于，與曲線相切于點(diǎn)，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則有，則在點(diǎn)處切線的方程為，即，曲線，其導(dǎo)數(shù)，則有，則在處切線的方程為，即，則有，則有，又由，則有，則，則；故選：A．【典例5-2】（2024·湖南長沙·一模）若直線與曲線相切，直線與曲線相切，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解題思路】設(shè)出兩個(gè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到，最后代入計(jì)算即可.【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，因?yàn)橹本€與曲線相切于點(diǎn)，設(shè)，，且直線過定點(diǎn)，則，且，所以，設(shè)，則，則，且直線過定點(diǎn)，則，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則，且，當(dāng)時(shí)，，且，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，即，所以，，所以，?故選：A.【方法技巧】公切線問題應(yīng)根據(jù)兩個(gè)函數(shù)在切點(diǎn)處的斜率相等，并且切點(diǎn)不但在切線上而且在曲線上，羅列出有關(guān)切點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程組，通過解方程組進(jìn)行求解．【變式5-1】（2024·廣東茂名·一模）曲線與曲線有公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】兩個(gè)函數(shù)求導(dǎo)分別為，設(shè)，圖象上的切點(diǎn)分別為，，則過這兩點(diǎn)處的切線方程分別為，，則，，所以，設(shè)，，，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，.故選：B.【變式5-2】（2024·遼寧大連·一模）斜率為的直線與曲線和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【解析】依題意得，設(shè)直線的方程為，由直線和圓相切可得，，解得，當(dāng)時(shí)，和相切，設(shè)切點(diǎn)為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，，又切點(diǎn)同時(shí)在直線和曲線上，即，解得，即和相切，此時(shí)將直線和曲線同時(shí)向右平移兩個(gè)單位，和仍會保持相切狀態(tài)，即時(shí)，，綜上所述，或.故選：A【變式5-3】若存在直線，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)都滿足，則稱此直線為和的“隔離直線”.已知函數(shù)，，若和存在唯一的“隔離直線”，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當(dāng)與相切時(shí)，只有唯一的“隔離直線”，且“隔離直線”為公切線.設(shè)切點(diǎn)為，則即所以.故選：D.【變式5-4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線是曲線與曲線的公切線，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)與曲線相切于點(diǎn)，與相切于點(diǎn)，由，可得的斜率，所以①，又由，可得，所以，即②，又因?yàn)棰郏瑢ⅱ冖鄞擘僦?，可得，由③易知?則④，將④代入③，可得，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故，可得，所以，所以的方程為，即．故選：B．題型六：已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題【典例6-1】若直線與曲線相切，則實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，則，所以，解得，即..故選：D.【典例6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）若直線與曲線相切，則的最小值為（

）A． B．－2 C．－1 D．0【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為．由已知，得，則，解得．又切點(diǎn)在切線與曲線上，所以，所以．令，則．令，解得．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減．所以，即，所以，則的最小值為－1．故選：C．【方法技巧】已知切線或切點(diǎn)求參數(shù)問題，核心是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在曲線上；③切點(diǎn)在切線上．【變式6-1】已知直線與函數(shù)的圖象相切，則的最小值為．【答案】/【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線的斜率，則切線方程為，即，故，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即的最小值為.故答案為：【變式6-2】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知直線與曲線相切于點(diǎn)，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，∴．又∵切點(diǎn)在直線上，∴，解得．∴．令，則，，令，解得：；令，解得：；可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)趨近負(fù)無窮時(shí)，趨近，；，故的取值范圍為．故選：B．【變式6-3】已知函數(shù)，若曲線在處的切線方程為，則．【答案】【解析】函數(shù)，，若曲線在處的切線方程為，則切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，則有，解得，所以．故答案為：.【變式6-4】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知，直線與曲線相切，則．【答案】2【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，對函數(shù)求導(dǎo)得，則切線斜率，得，所以，且，則，即．故答案為：2.【變式6-5】對給定的實(shí)數(shù)，總存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使直線與曲線相切，則的取值范圍為.【答案】【解析】由得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，消去可得，所以，令，則，當(dāng)1時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增.因?yàn)楫?dāng)趨近于0時(shí)，趨近于負(fù)無窮大，當(dāng)從1左邊趨近于1時(shí)，趨近于正無窮大，當(dāng)從1右邊趨近于1時(shí)，趨近于負(fù)無窮大，當(dāng)趨近于正無窮大時(shí)，趨近于0，作出的大致圖象，所以若對給定的實(shí)數(shù)，總存在兩個(gè)實(shí)數(shù)，使直線與曲線相切，則的取值范圍為.故答案為：題型七：切線的條數(shù)問題【典例7-1】若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解題思路】設(shè)切點(diǎn)點(diǎn)，寫出切線方程，將點(diǎn)代入切線方程得，此方程有兩個(gè)不同的解，利用導(dǎo)數(shù)求b的范圍.【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得，令函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則.故選：B【典例7-2】若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，，切線斜率，在點(diǎn)處的切線方程為：；切線過點(diǎn)，，過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，令，則與有兩個(gè)不同交點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意；當(dāng)時(shí)，若，則；若，則；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，又，.故選：C.【方法技巧】設(shè)切點(diǎn)為，則斜率，過切點(diǎn)的切線方程為：，又因?yàn)榍芯€方程過點(diǎn)，所以然后解出的值，有多少個(gè)解對應(yīng)有多少條切線．【變式7-1】（2024·內(nèi)蒙古·三模）若過點(diǎn)可以作曲線的兩條切線，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】在曲線上任取一點(diǎn)，對函數(shù)求導(dǎo)，得，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.由題意可知，點(diǎn)在直線上，可得.令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又直線與曲線的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以的取值范圍為.故選：C【變式7-2】若曲線有且僅有一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則正數(shù)a的值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，又該切線過原點(diǎn)，所以，整理得①，因?yàn)榍€只有一條過原點(diǎn)的切線，所以方程①只有一個(gè)解，故，解得.故選：A【變式7-3】（2024·全國·二模）若曲線有三條過點(diǎn)的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)該切線的切點(diǎn)為，則切線的斜率為，所以切線方程為，又切線過點(diǎn)，則，整理得.要使過點(diǎn)的切線有3條，需方程有3個(gè)不同的解，即函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，則，令，令或，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，且極小值、極大值分別為，如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與直線在R上有3個(gè)交點(diǎn)，即過點(diǎn)的切線有3條.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：B.【變式7-4】已知，如果過點(diǎn)可作曲線的三條切線.則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)切點(diǎn)為，，∴切線斜率為，∴切線方程為，將代入得方程，即，由題設(shè)該方程有3個(gè)不等實(shí)根.令，，當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上遞增,在上遞減,在上遞增,所以在時(shí)取得極大值,在時(shí)取得極小值,由三次函數(shù)圖象知,解得,因?yàn)榭梢酝瞥?，所以也正確.故選：D【變式7-5】已知函數(shù)，若過點(diǎn)可作兩條直線與曲線相切，則下列結(jié)論正確的是（

）．A． B．C．的最大值為2 D．【答案】A【解題思路】由導(dǎo)數(shù)幾何意義切線斜率可得（），進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，即可得范圍可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)，，，可判斷C項(xiàng)、D項(xiàng).【解析】由可得，設(shè)切點(diǎn)為（），則，又因?yàn)?，即，整理得（），因?yàn)檫^點(diǎn)可作兩條直線與函數(shù)相切，所以方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，所以，解得，所以，故A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)、D項(xiàng)，取，，滿足，此時(shí)，，故C項(xiàng)、D項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A.【變式7-6】過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】由題意得，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，由于，故，，由題意可知，為的兩個(gè)解，則，，故.故選：B【變式7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若關(guān)于的方程（且）有實(shí)數(shù)解，則的值可以為（

）A．10 B． C．2 D．【答案】D【解析】對比選項(xiàng)可知我們只需要討論時(shí)，關(guān)于的方程的解的情況，若關(guān)于的方程（且）有實(shí)數(shù)解，即與的圖像有交點(diǎn)，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，所以與的圖像關(guān)于直線對稱，如圖所示：設(shè)函數(shù)與直線相切，切點(diǎn)為，，則有，解得：，由圖像可知，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有交點(diǎn)，即與的圖像有交點(diǎn)，即方程有解.故選：D.題型八：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題【典例8-1】（2024·四川眉山·三模）若關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解題思路】將不等式化為恒成立，即的圖象恒在的圖象的上方，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)，依題意得出當(dāng)直線與在點(diǎn)處相切時(shí)取得最大值得結(jié)果.【解析】依題意，，不等式化為，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也即最大值，又時(shí)，，由題知不等式恒成立，所以的圖象恒在的圖象的上方，顯然不符題意；當(dāng)時(shí)，為直線的橫截距，其最大值為的橫截距，再令，可得，且當(dāng)直線與在點(diǎn)處相切時(shí)，橫截距取得最大值，此時(shí)，切線方程為，所以取得最大值為.故選：C.

【典例8-2】（2024·四川涼山·二模）已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解題思路】判斷直線與曲線的位置關(guān)系，利用式子表示的幾何意義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)確定的直線同直線夾角正弦最值求解即可.【解析】依題意，，令直線，顯然過點(diǎn)，由，得，顯然，即直線與曲線相離，且，則曲線上的點(diǎn)在直線上方，過作于，則，而，因此，令過點(diǎn)的直線與曲線相切的切點(diǎn)為，由，求導(dǎo)得，則此切線斜率，解得，即切點(diǎn)為，而點(diǎn)在曲線的對稱軸上，曲線在過點(diǎn)的兩條切線所夾含原點(diǎn)的區(qū)域及內(nèi)部，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，銳角最大，最大，最大，此時(shí)，，所以的最大值為.故先：D【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求最值問題，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決，常用方法平移切線法.【變式8-1】（2024·湖北·模擬預(yù)測）設(shè)，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，，則點(diǎn)在函數(shù)圖象上，在函數(shù)的圖象上，容易知道圖象是拋物線圖象的上半部分，記拋物線焦點(diǎn)為，過作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，如圖所示：則，當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)，取最小值.設(shè)這時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，又，所以有，解得，即該點(diǎn)為，所以，因此.故選：A.【變式8-2】（2024·遼寧遼陽·一模）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為l，P為l上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，則l的方程為，即，因?yàn)閳A心到l的距離為，所以的最小值為.故選：A【變式8-3】（2024·寧夏銀川·一模）已知實(shí)數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又，表示點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)之間的距離；點(diǎn)的軌跡為，表示直線上的點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)之間的距離；令，則，令，即，解得：或（舍），又，的最小值即為點(diǎn)到直線的距離，的最小值為.故選：B.【變式8-4】設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為.【答案】/【解析】由，得：，.所以與互為反函數(shù)．則它們的圖象關(guān)于對稱．要使的距離最小，則線段垂直直線.點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)Q在曲線上，設(shè)，.又P，Q的距離為P或Q中一個(gè)點(diǎn)到的最短距離的兩倍．以Q點(diǎn)為例，Q點(diǎn)到直線的最短距離所以當(dāng)，即時(shí)，d取得最小值，則的最小值等于.故答案為：【變式8-5】已知，則的最小值為.【答案】/【解析】設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，則可以轉(zhuǎn)化為，兩點(diǎn)之間的距離，即，所以，因?yàn)?，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的切線與直線平行，則直線的斜率為1，可得，整理得，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)無限趨向于負(fù)無窮大時(shí)無限趨近于，，，當(dāng)無限趨向于正無窮大時(shí)無限趨向于正無窮大，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以方程有且僅有一個(gè)解，則，故的最小值為點(diǎn)到直線的距離，即的最小值為.故答案為：.【變式8-6】（2024·高三·山東青島·期末）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為．【答案】【解析】由題意得，即圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，設(shè)，由于與關(guān)于對稱，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在點(diǎn)處的切線與平行，此時(shí)到的距離最小，最小值為，故的最小值為，則的最小值等于.故答案為：【變式8-7】（2024·河南·一模）記函數(shù)的圖象為，作關(guān)于直線的對稱曲線得到，則曲線上任意一點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為．【答案】【解析】由題意可知：，設(shè)為曲線上的一點(diǎn)，令過點(diǎn)A的切線斜率為，解得，所以，所以點(diǎn)A到直線的距離為，所以曲線上任意一點(diǎn)與曲線上任意一點(diǎn)之間距離的最小值為．故答案為：.【變式8-8】已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對稱，若，分別為它們圖象上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，則，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，又，即點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，所以函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以這，兩點(diǎn)之間距離的最小值等于點(diǎn)到直線距離最小值的倍，由，則，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，令，解得，，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以這，兩點(diǎn)之間距離的最小值為.故選：D【變式8-9】（2024·全國·模擬預(yù)測）若函數(shù)，點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】的定義域?yàn)椋珊瘮?shù)，可得，令，可得，負(fù)值舍去，又，所以平行于直線且與曲線相切的直線與曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為．點(diǎn)到直線的距離，即點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故選：C．【變式8-10】若點(diǎn)，則兩點(diǎn)間距離的最小值為.【答案】/【解析】點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，即求的最小值等價(jià)于求直線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值，過上的點(diǎn)作的切線，可得，令，可得，故該切線為，則直線與的距離即為的最小值，此時(shí)，即.故答案為：.【變式8-11】實(shí)數(shù)滿足，,的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】化簡已知得，，即，令，原式化簡為，令，則，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，所以，此方程有唯一根為0，即，即，分別設(shè)與，則表示曲線上的點(diǎn)到直線的距離的平方，下面求上與平行的切線，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，解得：，所以切點(diǎn)為，所以到直線距離為：，此距離即為曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值，所以的最小值為2.故選：C.【變式8-12】已知是曲線的一條切線，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，所以切線方程為，即，所以，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；則.故選：B．題型九：牛頓迭代法【典例9-1】（2024·山東濰坊·三模）牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點(diǎn)，取初始值的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為的圖象在點(diǎn)處的切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，一直繼續(xù)下去，得到，它們越來越接近．設(shè)函數(shù)，，用牛頓迭代法得到，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】，，，則在處的切線方程為，由題意得，切線過代入得，，解得，故選：D．【典例9-2】已知函數(shù)，若曲線在處的切線交軸于點(diǎn)，在處的切線交軸于點(diǎn)，依次類推，曲線在處的切線交軸于點(diǎn)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，所以，，則函數(shù)在處的切線為，令，解得，即，同理可得曲線在處的切線方程為，令，解得，即，所以，即是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，則，所以.故選：D【方法技巧】數(shù)形結(jié)合處理.【變式9-1】（2024·湖北咸寧·模擬預(yù)測）英國數(shù)學(xué)家牛頓在17世紀(jì)給出一種求方程近似根的方法一Newton-Raphsonmethod譯為牛頓-拉夫森法.做法如下：設(shè)是的根，選取作為的初始近似值，過點(diǎn)做曲線的切線：，則與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列，其中，稱是的次近似值.運(yùn)用上述方法，并規(guī)定初始近似值不得超過零點(diǎn)大小，則函數(shù)的零點(diǎn)一次近似值為（

）（精確到小數(shù)點(diǎn)后3位，參考數(shù)據(jù)：）A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204【答案】C【解析】易知在定義域上單調(diào)遞增，，即函數(shù)的零點(diǎn)有且只有一個(gè)，且在區(qū)間上.不妨取作為初始近似值，，由題意知.故選：C.【變式9-2】（2024·北京·模擬預(yù)測）給定函數(shù)，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為函數(shù)的牛頓數(shù)列．已知為的牛頓數(shù)列，，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為．則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，，，則兩邊取對數(shù)可得.即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.所以.故選：A【變式9-3】英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)列”在航空航天中應(yīng)用廣泛，若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為牛頓數(shù)列．如果函數(shù)，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，且，．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，則．【答案】/【解析】∵，∴，又∵，∴，，∴，又∴，又，且，所以，∴數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，∴的前項(xiàng)和為，則.故答案為：.【變式9-4】令函數(shù)，對拋物線，持續(xù)實(shí)施下面牛頓切線法的步驟：在點(diǎn)處作拋物線的切線，交x軸于；在點(diǎn)處作拋物線的切線，交x軸于；在點(diǎn)處作拋物線的切線，交x軸于；……由此能得到一個(gè)數(shù)列隨著n的不斷增大，會越來越接近函數(shù)的一個(gè)零在點(diǎn)，因此我們可以用這種方法求零點(diǎn)的近似值.①設(shè)，則；②用二分法求方程在區(qū)間上的近似解，根據(jù)前4步結(jié)果比較，可以得到牛頓切線法的求解速度（快于?等于?慢于）二分法.【答案】快于【解析】，，，所以切線方程為，令，得，所以，二分法計(jì)算：，，；，；，，，用切線逼近法：，，，，<0.0625，因此牛頓切線法的求解速度快于二分法．故答案為：；快于．題型十：切線平行、垂直、重合問題【典例10-1】（2024·高三·廣東深圳·期末）已知曲線與軸交于點(diǎn)，設(shè)經(jīng)過原點(diǎn)的切線為，設(shè)上一點(diǎn)橫坐標(biāo)為，若直線，則所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，求導(dǎo)得，設(shè)直線與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的斜率為，直線的方程為，由直線過原點(diǎn)，即，解得，依題意，直線的斜率為，而點(diǎn)，則直線的方程為，由消去得，顯然是方程的不為零的根，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，顯然，即在上有唯一零點(diǎn)0，而，則在上有唯一零點(diǎn)，即，又，所以所在的區(qū)間為.故選：D【典例10-2】（2024·高三·廣西·開學(xué)考試）曲線在A點(diǎn)處的切線與直線垂直，則切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，得，，設(shè)，，則，由題意可得，直線的斜率為，所以曲線在過點(diǎn)處的切線的斜率為3，所以，解得，則可得切點(diǎn)，所以切線方程為，即.故選：D．【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用兩直線平行或重合則斜率相等，兩直線垂直則斜率之積為-1.【變式10-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處的切線都與直線垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解題思路】根據(jù)題意知有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根的分布即可求得參數(shù)的范圍.【解析】由題意知，因?yàn)榍芯€與直線垂直，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率都是，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，化簡得，有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，則，解得.故選：A.【變式10-2】（2024·河北邢臺·二模）已知函數(shù)的圖像在，兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，則下面等式可能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解題思路】函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線平行，轉(zhuǎn)化為函數(shù)在兩點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)相等，得到的關(guān)系，在結(jié)合不等式求的取值范圍即可.【解析】因?yàn)椋?所以，.由因?yàn)樵?，兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線相互平行，所以，又，所以，故CD錯(cuò)誤；因?yàn)榍?，所以，故A不成立；當(dāng)時(shí)，.故B成立.故選：B【變式10-3】已知函數(shù)，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線的切線l，切點(diǎn)為A，過A且與l垂直的直線交x軸于點(diǎn)B，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解題思路】先設(shè)出切點(diǎn)，求出，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線l方程，根據(jù)切線l過原點(diǎn)求出切點(diǎn)坐標(biāo)和直線l的斜率；再根據(jù)已知條件求出直線的方程，進(jìn)一步求出點(diǎn)B坐標(biāo)；最后根據(jù)三角形面積公式表示出面積，利用基本不等式求解即可.【解析】因?yàn)?，所?設(shè)切點(diǎn)為，則，.所以切線l方程為.因?yàn)榍芯€l過坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以將代入切線方程，整理得，解得：.所以，則點(diǎn)，.因?yàn)橹本€過A且與直線l垂直，所以，則直線的方程為.令，解得，所以點(diǎn)B坐標(biāo)為.所以.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以.故選：D【變式10-4】已知函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)、，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線重合，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍可能是（

）A．， B． C．， D．【答案】A【解題思路】方法一：設(shè)，，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷出，寫出函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線方程，再根據(jù)兩直線重合列式，消去，得，構(gòu)造函數(shù)，由，，可求出結(jié)果.方法二：易知曲線位于分段的兩個(gè)區(qū)間，且兩段屬于一凹一凸模型，故可以類比兩圓相離時(shí)的內(nèi)公切線，兩區(qū)間一定屬于同一單調(diào)區(qū)間，分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得出結(jié)果.【解析】解法一：當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，當(dāng)，或時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．兩直線重合的充要條件是①，②，由得，由①②可得，設(shè)，由，，可得，可能；由，B不正確；由①可得，由②可得，即有，則C，D不正確．解法二：如圖，易知曲線位于分段的兩個(gè)區(qū)間，且兩段屬于一凹一凸模型，故可以類比兩圓相離時(shí)的內(nèi)公切線，兩區(qū)間一定屬于同一單調(diào)區(qū)間，時(shí)，屬于單調(diào)增區(qū)間，故當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，根據(jù)圖像，可以位于此區(qū)間，另一個(gè)點(diǎn)B所在區(qū)間，不好把握.故選：A．題型十一：奇偶函數(shù)圖像的切線斜率問題【典例11-1】已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則.【答案】8【解析】設(shè)，顯然為奇函數(shù)，又為偶函數(shù)，所以.故答案為：8【典例11-2】（2024·海南海口·二模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線斜率為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率為2.故選：C.【方法技巧】奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù).【變式11-1】（2024·北京·模擬預(yù)測）記函數(shù)的最小正周期為T，為的導(dǎo)函數(shù)．若，為偶函數(shù)，則的最小值為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由且，則，又，故，則，得，由為偶函數(shù)，即為偶函數(shù)，所以且，則，，當(dāng)時(shí)的最小值為2.故選：B【變式11-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【解析】因?yàn)槠婧瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，得．由為奇函數(shù)可得，得，又，所以，所以，，故，故選：A.【變式11-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為．【答案】【解析】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，，所以，而，故切線方程為，即．故答案為：題型十二：切線斜率的取值范圍問題【典例12-1】過函數(shù)圖像上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)作函數(shù)的切線，則切線傾斜角范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)?，所以，即切線的斜率，設(shè)切線的傾斜角為，則又因?yàn)?，所以或，即切線的傾斜角的范圍為.故選：B.【典例12-2】（2024·廣東深圳·一模）已知函數(shù)，設(shè)曲線在點(diǎn)處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為．【答案】18【解析】由于，故，故，，則，由，得，由，即，知位于之間，不妨設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，故則的最小值為18，故答案為：18【方法技巧】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)的值域，從而求出切線斜率的取值范圍問題.【變式12-1】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）已知直線恒在曲線的上方，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)直線與曲線切于點(diǎn)，則，所以切線方程為，所以，，所以，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以.故選：A.【變式12-2】點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為，則角