第01講 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積（六大題型）（講義）（原卷版）

第01講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積目錄考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．（2）知道球、棱（圓）柱、棱（圓）錐、棱（圓）臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．（3）能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的直觀圖．2023年乙卷（理）第8題，5分2023年甲卷（文）第10題，5分2023年天津卷第8題，5分2023年II卷第14題，5分2023年I卷第12題，5分（1）掌握基本空間圖形及其簡(jiǎn)單組合體的概念和基本特征，能夠解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；（2）多面體和球體的相關(guān)計(jì)算問題是近幾年考查的重點(diǎn)；（3）運(yùn)用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果，突出考查直觀想象和邏輯推理．知識(shí)點(diǎn)一：構(gòu)成空間幾何體的基本元素—點(diǎn)、線、面（1）空間中，點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．（2）空間中，不重合的兩點(diǎn)確定一條直線，不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，不共面的四點(diǎn)確定一個(gè)空間圖形或幾何體（空間四邊形、四面體或三棱錐）．知識(shí)點(diǎn)二：簡(jiǎn)單凸多面體—棱柱、棱錐、棱臺(tái)1、棱柱：兩個(gè)面互相平面，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．（1）斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱；（2）直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱；（3）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱；（4）平行六面體：底面是平行四邊形的棱柱；（5）直平行六面體：側(cè)棱垂直于底面的平行六面體；（6）長(zhǎng)方體：底面是矩形的直平行六面體；（7）正方體：棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體．2、棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐．（1）正棱錐：底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心；（2）正四面體：所有棱長(zhǎng)都相等的三棱錐．3、棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)，由正棱錐截得的棱臺(tái)叫做正棱臺(tái)．簡(jiǎn)單凸多面體的分類及其之間的關(guān)系如圖所示．知識(shí)點(diǎn)三：簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體—圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球1、圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體叫做圓柱．2、圓柱：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將其旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體叫做圓錐．3、圓臺(tái)：用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)．4、球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球（球面距離：經(jīng)過兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的劣弧長(zhǎng)度）．知識(shí)點(diǎn)四：組合體由柱體、錐體、臺(tái)體、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫做組合體．知識(shí)點(diǎn)五：表面積與體積計(jì)算公式表面積公式表面積柱體為直截面周長(zhǎng)錐體臺(tái)體球體積公式體積柱體錐體臺(tái)體球知識(shí)點(diǎn)六：空間幾何體的直觀圖1、斜二測(cè)畫法斜二測(cè)畫法的主要步驟如下：（1）建立直角坐標(biāo)系．在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的，，建立直角坐標(biāo)系．（2）畫出斜坐標(biāo)系．在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于，，使（或），它們確定的平面表示水平平面．（3）畫出對(duì)應(yīng)圖形．在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸的線段，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于軸的線段，在直觀圖中畫成平行于軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一般．可簡(jiǎn)化為“橫不變，縱減半”．（4）擦去輔助線．圖畫好后，要擦去軸、軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）．被擋住的棱畫虛線．注：直觀圖和平面圖形的面積比為．2、平行投影與中心投影平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．題型一：空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知幾何體，“有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形”是“幾何體為棱柱”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)有三個(gè)命題；甲：底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；乙：底面是矩形的平行六面體是長(zhǎng)方體；丙：直四棱柱是平行六面體．以上命題中真命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)例3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列命題：①有兩個(gè)面平行，其他各面都是平行四邊形的幾何體叫做棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3變式1．（2023·新疆·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）下列命題中正確的是（

）A．有兩個(gè)平面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.B．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐.C．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體.D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線.變式2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）A．三角形的直觀圖是三角形 B．直四棱柱是長(zhǎng)方體C．平行六面體不是棱柱 D．兩個(gè)平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺(tái)變式3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．變式4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，觀察四個(gè)幾何體，其中判斷正確的是（

）A．是棱臺(tái) B．是圓臺(tái)C．不是棱柱 D．是棱錐【解題方法總結(jié)】空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧（1）緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．（2）說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．題型二：空間幾何體的表面積例4．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知某圓錐的母線長(zhǎng)、底面圓的直徑都等于球的半徑，則球與圓錐的表面積之比為（

）A．8 B． C． D．例5．（2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在一個(gè)正六棱柱中挖去一個(gè)圓柱后，剩余部分幾何體如圖所示．已知正六棱柱的底面正六邊形邊長(zhǎng)為3cm，高為4cm，內(nèi)孔半徑為1cm，則此幾何體的表面積是（

）．

A． B．C． D．例6．（2023·安徽安慶·安慶一中?？既＃┩勇萜鹪从谖覈?guó)，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣發(fā)現(xiàn)的新石器時(shí)代遺址.如圖所示的是一個(gè)陀螺立體結(jié)構(gòu)圖.已知，底面圓的直徑，圓柱體部分的高，圓錐體部分的高，則這個(gè)陀螺的表面積（單位：）是（

）

A． B．C． D．變式5．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）位于徐州園博園中心位置的國(guó)際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個(gè)國(guó)際館中3個(gè)展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性主義與浪漫主義的對(duì)立與統(tǒng)一.其中最大的是3號(hào)展館，其頂部所對(duì)應(yīng)的正四棱錐底面邊長(zhǎng)為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．2 B．1.71 C．1.37 D．1變式6．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）為了給熱愛朗讀的師生提供一個(gè)安靜獨(dú)立的環(huán)境，某學(xué)校修建了若干“朗讀亭”.如圖所示，該朗讀亭的外形是一個(gè)正六棱柱和正六棱錐的組合體，正六棱柱兩條相對(duì)側(cè)棱所在的軸截面為正方形，若正六棱錐的高與底面邊長(zhǎng)的比為，則正六棱錐與正六棱柱的側(cè)面積的比值為（

）A． B． C． D．變式7．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著.其“商功”中記載：“正四面形棱臺(tái)（即正四棱臺(tái)）建筑物為方亭.”現(xiàn)有如圖所示的烽火臺(tái)，其主體部分為一方亭，將它的主體部分抽象成的正四棱臺(tái)（如圖所示），其中上底面與下底面的面積之比為，方亭的高為棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)的倍.已知方亭的體積為，則該方亭的表面積約為（

）（，，）A． B． C． D．變式8．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺(tái)部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，）

A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】（1）多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和．（2）旋轉(zhuǎn)體的表面積是將其展開后，展開圖的面積與底面面積之和．（3）組合體的表面積求解時(shí)注意對(duì)銜接部分的處理．題型三：空間幾何體的體積例7．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）在馬致遠(yuǎn)的《漢宮秋》楔子中寫道：“氈帳秋風(fēng)迷宿草，穹廬夜月聽悲笳.”氈帳是古代北方游牧民族以為居室、氈制帷幔.如圖所示，某氈帳可視作一個(gè)圓錐與圓柱的組合體，圓錐的高為4，側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，則該氈帳的體積為（

）

A． B． C． D．例8．（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）若某圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為2的半圓面，其內(nèi)接正四棱柱的高為，則此正四棱柱的體積是（

）A． B． C． D．例9．（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，球的體積為，則該正四棱錐的體積最大值為（

）A．18 B． C． D．27變式9．（2023·湖北武漢·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為最尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖?三角攢尖?四角攢尖?八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑?園林建筑.下面以四角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個(gè)正四棱錐.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為米，側(cè)棱長(zhǎng)為5米，則其體積為（

）立方米.

A． B．24 C． D．72變式10．（2023·廣東河源·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）最早的測(cè)雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時(shí)類”，收錄了有關(guān)降水量計(jì)算的四個(gè)例子，分別是“天池測(cè)雨”、“圓罌測(cè)雨”、“峻積驗(yàn)雪”和“竹器驗(yàn)雪”.如圖“竹器驗(yàn)雪”法是下雪時(shí)用一個(gè)圓臺(tái)形的器皿收集雪量（平地降雪厚度器皿中積雪體積除以器皿口面積），已知數(shù)據(jù)如圖（注意：?jiǎn)挝唬?，則平地降雪厚度的近似值為（

）

A． B． C． D．變式11．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖是我國(guó)古代量糧食的器具“升”，其形狀是正四棱臺(tái)，上、下底面邊長(zhǎng)分別為20cm和10cm，側(cè)棱長(zhǎng)為cm．“升”裝滿后用手指或筷子沿升口刮平，這叫“平升”．則該“升”的“平升”約可裝（

）

A．1.5L B．1.7L C．2.3L D．2.7L【解題方法總結(jié)】求空間幾何體的體積的常用方法公式法規(guī)則幾何體的體積，直接利用公式割補(bǔ)法把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體等體積法通過選擇合適的底面來(lái)求幾何體體積的一種方法，特別是三棱錐的體積題型四：直觀圖例10．（2023·遼寧錦州·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知用斜二測(cè)畫法畫梯形OABC的直觀圖如圖所示，，，，軸，，為的三等分點(diǎn)，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為．

例11．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若正用斜二測(cè)畫法畫出的水平放置圖形的直觀圖為，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，的面積為．例12．（2023·四川成都·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為.變式12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，是用斜二測(cè)畫法得到的△AOB的直觀圖，其中則AB的長(zhǎng)度為．變式13．（2023·上海浦東新·高三上海市川沙中學(xué)?？计谀┯幸粔K多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是直角梯形（如圖所示）.，則這塊菜地的面積為變式14．（2023·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）我們知道一條線段在“斜二測(cè)”畫法中它的長(zhǎng)度可能會(huì)發(fā)生變化的，現(xiàn)直角坐標(biāo)系平面上一條長(zhǎng)為4cm線段AB按“斜二測(cè)”畫法在水平放置的平面上畫出為，則最短長(zhǎng)度為cm（結(jié)果用精確值表示）變式15．（2023·陜西延安·?？家荒＃┤鐖D，梯形ABCD是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中，，，則原圖形的面積為．變式16．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為一個(gè)正方形，則原來(lái)圖形的面積是．【解題方法總結(jié)】斜二測(cè)法下的直觀圖與原圖面積之間存在固定的比值關(guān)系：．題型五：展開圖例13．（2023·山東青島·統(tǒng)考三模）已知圓錐的底面半徑為1，側(cè)面展開圖為半圓，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積為．例14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在直三棱柱的側(cè)面展開圖中，B，C是線段AD的三等分點(diǎn)，且．若該三棱柱的外接球O的表面積為12π，則．例15．（2023·上海普陀·高三統(tǒng)考期中）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙在東風(fēng)著陸場(chǎng)預(yù)定區(qū)域成果著陸．如圖，在返回過程中使用的主降落傘外表面積達(dá)到1200平方米，若主降落傘完全展開后可以近似看著一個(gè)半球，則完全展開后傘口的直徑約為米（精確到整數(shù)）變式17．（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為．變式18．（2023·安徽·蚌埠二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐外接球表面積為．變式19．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐P－ABC的底面ABC為等邊三角形．如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，P，F(xiàn)，E三點(diǎn)共線，B，C，E三點(diǎn)共線，，，則PB＝．變式20．（2023·安徽黃山·統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐P-ABCD的平面展開圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，是以AD為斜邊的等腰直角三角形，，則該四棱錐外接球被平面PBC所截的圓面的面積為.變式21．（2023·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在三棱錐的平面展開圖中，，，，，，則三棱錐的外接球的表面積為．

【解題方法總結(jié)】多面體表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實(shí)踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個(gè)面的形狀．題型六：最短路徑問題例16．（2023·福建福州·高一福建省福州屏東中學(xué)?？计谀┤鐖D，一豎立在地面上的圓錐形物體的母線長(zhǎng)為4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點(diǎn)P出發(fā)，繞圓錐爬行一周后回到點(diǎn)P處，若該小蟲爬行的最短路程為，則這個(gè)圓錐的體積為（）.

A． B． C． D．例17．（2023·陜西寶雞·高一統(tǒng)考期末）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長(zhǎng)為的正四面體魔方設(shè)計(jì)一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則包裝盒的棱長(zhǎng)最短為（

）A． B． C． D．例18．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如圖，已知正四棱椎的側(cè)棱長(zhǎng)為，側(cè)面等腰三角形的頂角為，則從A點(diǎn)出發(fā)環(huán)繞側(cè)面一周后回到A點(diǎn)的最短路程為（

）

A． B． C． D．6變式22．（2023·安徽·高二馬鞍山二中校聯(lián)考階段練習(xí)）我們知道立體圖形上的最短路徑問題通常是把立體圖形展開成平面圖形，連接兩點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線.請(qǐng)根據(jù)此方法求函數(shù)的最小值（

）A． B．