第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(十二大題型)(講義)(原卷版)_第1頁(yè)
第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(十二大題型)(講義)(原卷版)_第2頁(yè)
第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(十二大題型)(講義)(原卷版)_第3頁(yè)
第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(十二大題型)(講義)(原卷版)_第4頁(yè)
第02講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(十二大題型)(講義)(原卷版)_第5頁(yè)
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第02講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 ②若在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減,則在該區(qū)間上有恒成立(但不恒等于0);反之,要滿足,才能得出在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞減.【診斷自測(cè)】(2024·高三·上海松江·期末)函數(shù)的圖象如圖所示,為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),則不等式的解集為(

)A. B.C. D.知識(shí)點(diǎn)2:利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)確定函數(shù)的定義域;(2)如果導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù),則需要單獨(dú)討論的部分.如果導(dǎo)函數(shù)恒正或恒負(fù),則無(wú)需單獨(dú)討論;(3)求出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn);(4)用的零點(diǎn)將的定義域劃分為若干個(gè)區(qū)間,列表給出在各區(qū)間上的正負(fù),由此得出函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性;(5)如果找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段,或一階導(dǎo)函數(shù)無(wú)法觀察出零點(diǎn),則求二階導(dǎo);求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù),令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號(hào)部分為新函數(shù),對(duì)新函數(shù)再求導(dǎo).通過(guò)二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段.【診斷自測(cè)】(2024·湖南懷化·二模)已知,則的單調(diào)增區(qū)間為.解題方法總結(jié)1、使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性,即當(dāng)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零,在其余點(diǎn)處均為正(或負(fù))時(shí),在這個(gè)區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增(或遞減)的.例如,在上,,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).2、若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則(不恒為0),反之不成立.因?yàn)?,即或,?dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),在這個(gè)區(qū)間為常值函數(shù);同理,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則(不恒為0),反之不成立.這說(shuō)明在一個(gè)區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零,是這個(gè)函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論:?jiǎn)握{(diào)遞增;單調(diào)遞增;單調(diào)遞減;單調(diào)遞減.題型一:利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像【典例1-1】(2024·重慶·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),為實(shí)數(shù),的導(dǎo)函數(shù)為,在同一直角坐標(biāo)系中,與的大致圖象不可能是(

)A. B.C. D.【典例1-2】(2024·廣東廣州·一模)已知函數(shù)的圖像如圖所示,則其導(dǎo)函數(shù)的圖像可能是(

)A. B.C. D.【方法技巧】原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號(hào)的關(guān)系,原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)函數(shù)等于0,只在離散點(diǎn)成立,其余點(diǎn)滿足);原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)函數(shù)等于0,只在離散點(diǎn)成立,其余點(diǎn)滿足).【變式1-1】(2024·高三·陜西西安·期中)已知函數(shù)的圖象如圖所示,則不等式的解集為(

).A. B.C. D.【變式1-2】(2024·北京海淀·一模)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),其圖象如圖所示,.設(shè)是的導(dǎo)函數(shù),則關(guān)于x的不等式的解集是(

)A. B. C. D.題型二:求單調(diào)區(qū)間【典例2-1】(2024·四川成都·三模)已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞增區(qū)間為.【典例2-2】函數(shù)的嚴(yán)格遞減區(qū)間是.【方法技巧】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下:(1)求的定義域(2)求出.(3)令,求出其全部根,把全部的根在軸上標(biāo)出.(4)在定義域內(nèi),令,解出的取值范圍,得函數(shù)的增區(qū)間;令,解出的取值范圍,得函數(shù)的減區(qū)間.若一個(gè)函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個(gè),則這些單調(diào)區(qū)間用“和”或“,”隔開(kāi).【變式2-1】(2024·四川巴中·一模)已知奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若當(dāng)時(shí),且.則的單調(diào)增區(qū)間為.【變式2-2】(2024·廣西·模擬預(yù)測(cè))函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.【變式2-3】函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.題型三:已知含參函數(shù)在區(qū)間上的遞增或遞減,求參數(shù)范圍【典例3-1】已知函數(shù)在上為減函數(shù),則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【典例3-2】已知函數(shù)在,上為增函數(shù),在(1,2)上為減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A. B. C. D.【方法技巧】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解.【變式3-1】已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.【變式3-2】(2024·高三·廣東汕頭·期中)設(shè),若函數(shù)在遞增,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【變式3-3】(2024·陜西西安·三模)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【變式3-4】(2024·高三·江蘇南通·期中)已知函數(shù)的減區(qū)間為,則.題型四:已知含參函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),求參數(shù)范圍【典例4-1】(2024·寧夏銀川·三模)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(

)A. B.C. D.m>1【典例4-2】已知函數(shù)在上不單調(diào),則的取值范圍是(

)A. B. C. D.【方法技巧】已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號(hào)零點(diǎn),通常用分離變量法求解參變量范圍.【變式4-1】函數(shù)在上不單調(diào),則實(shí)數(shù)的取值范圍為(

)A. B.C. D.【變式4-2】函數(shù)在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是(

)A. B. C. D.【變式4-3】若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(

)A. B.C. D.不存在這樣的實(shí)數(shù)k【變式4-4】函數(shù)在R上不單調(diào),則的取值范圍是(

)A. B. C. D.題型五:已知含參函數(shù)在區(qū)間上存在增區(qū)間或減區(qū)間,求參數(shù)范圍【典例5-1】已知函數(shù)在上有增區(qū)間,則a的取值范圍是.【典例5-2】若函數(shù)在存在單調(diào)遞減區(qū)間,則a的取值范圍為.【方法技巧】已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間,轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.【變式5-1】若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式5-2】若函數(shù)在上存在單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)的最大值為.【變式5-3】(2024·高三·湖北襄陽(yáng)·期末)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,若在的定義域內(nèi)存在一個(gè)區(qū)間在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,則稱區(qū)間為函數(shù)的一個(gè)“漸緩增區(qū)間”.若對(duì)于函數(shù),區(qū)間是其一個(gè)漸緩增區(qū)間,那么實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式5-4】若函數(shù)在上存在單調(diào)遞減區(qū)間,則的取值范圍是.題型六:不含參數(shù)單調(diào)性討論【典例6-1】(2024·河北保定·二模)已知函數(shù).若,討論的單調(diào)性;【典例6-2】(2024·高三·天津·開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù).當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;【方法技巧】確定不含參的函數(shù)的單調(diào)性,按照判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟即可,但應(yīng)注意兩點(diǎn):一是不能漏掉求函數(shù)的定義域,二是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用并集,而用“,”或“和”隔開(kāi).【變式6-1】已知函數(shù).判斷的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;【變式6-2】(2024·湖南邵陽(yáng)·三模)已知函數(shù),若,求的單調(diào)區(qū)間.【變式6-3】(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù).當(dāng)時(shí),討論函數(shù)的單調(diào)性.【變式6-4】函數(shù).當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)性;題型七:導(dǎo)函數(shù)為含參一次函數(shù)的單調(diào)性分析【典例7-1】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性;【典例7-2】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性;【方法技巧】導(dǎo)函數(shù)的形式為含參一次函數(shù),首先討論一次項(xiàng)系數(shù)為0的情形,易于判斷;當(dāng)一次項(xiàng)系數(shù)不為零時(shí),討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【變式7-1】(2024·陜西渭南·二模)已知函數(shù),其中.討論的單調(diào)性;【變式7-2】設(shè)函數(shù).討論的單調(diào)性;題型八:導(dǎo)函數(shù)為含參準(zhǔn)一次函數(shù)的單調(diào)性分析【典例8-1】(2024·山東棗莊·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù),為的導(dǎo)數(shù),討論的單調(diào)性;【典例8-2】(2024·海南??凇ざ#┮阎瘮?shù).討論的單調(diào)性;【方法技巧】導(dǎo)函數(shù)的形式為含參準(zhǔn)一次函數(shù),首先對(duì)定號(hào),然后討論導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的大小關(guān)系,結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的圖像判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【變式8-1】已知函數(shù).討論的單調(diào)性;【變式8-2】(2024·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù).討論的單調(diào)性;題型九:導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù)單調(diào)性分析【典例9-1】已知函數(shù).討論的單調(diào)性;【典例9-2】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性;【方法技巧】若導(dǎo)函數(shù)為含參可因式分解的二次函數(shù),令該二次函數(shù)等于零,求根并比較大小,然后再劃分定義域,判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.【變式9-1】已知函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性;【變式9-2】已知函數(shù)(,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).討論函數(shù)的單調(diào)性;【變式9-3】(2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程;(2)討論的單調(diào)性.【變式9-4】已知函數(shù),.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.題型十:導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù)單調(diào)性分析【典例10-1】已知函數(shù).討論的單調(diào)性【典例10-2】已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性;【方法技巧】若導(dǎo)函數(shù)為含參不可因式分解的二次函數(shù),就要通過(guò)判別式來(lái)判斷根的情況,然后再劃分定義域討論.【變式10-1】討論函數(shù),的單調(diào)性【變式10-2】(2024·高三·廣西·開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù).討論的單調(diào)性.【變式10-3】設(shè)函數(shù),求的單調(diào)區(qū)間.題型十一:導(dǎo)函數(shù)為含參準(zhǔn)二次函數(shù)型的單調(diào)性分析【典例11-1】已知函數(shù),其中.求的單調(diào)區(qū)間.【典例11-2】已知函數(shù).討論的單調(diào)性;【方法技巧】若導(dǎo)函數(shù)為含參準(zhǔn)二次函數(shù)型,首先對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解,求導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并比較大小,然后再劃分定義域,判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),從而確定原函數(shù)的單調(diào)性.【變式11-1】已知函數(shù),.若,討論函數(shù)的單調(diào)性;【變式11-2】已知函數(shù).時(shí),討論的單調(diào)性.題型十二:分段分析法討論函數(shù)的單調(diào)性【典例12-1】已知函數(shù)(,且)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;【典例12-2】已知函數(shù),.(1)若,求a的取值范圍;(2)求函數(shù)在上的單調(diào)性;【方法技巧】分段討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù).【變式12-1】(2024·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知函數(shù).判斷函數(shù)的單調(diào)性.【變式12-2】(2024·高三·湖北·期中)已知函數(shù),.討論函數(shù)在上的單調(diào)性.【變式12-3】設(shè)函數(shù),其中,討論的單調(diào)性.1.(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題)已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則a的最小值為(

).A. B.e C. D.2.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)真題)設(shè),若函數(shù)在上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是.3.(2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(文)真題)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程.(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增,求的取值范圍.1.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性:(1);

(2)2.證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.3.利用函數(shù)的單調(diào)性,證明下列不等式,并通過(guò)函數(shù)圖象直觀驗(yàn)證:,,4.利用信息技術(shù)工具,根據(jù)給定的a,b,c,d的值,可以畫(huà)出函數(shù)的圖象,當(dāng),,,時(shí),的圖象如圖所示,改變a,b,c,d的值,觀察圖象的形狀:(1)你能歸納函數(shù)圖象的大致形狀嗎?它的圖象有什么特點(diǎn)?你能從圖象上大致估計(jì)它的單調(diào)區(qū)間嗎?(2)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性,并求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.5.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.6.作函數(shù)的大致圖象.易錯(cuò)點(diǎn):對(duì)“導(dǎo)數(shù)值符號(hào)”與“函數(shù)單調(diào)性”關(guān)系理解不透徹易錯(cuò)分析:一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào)增(減)的充要條件是這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上恒大(小)于等于0,且導(dǎo)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間的任意子區(qū)間上都不恒為0.一定要注意導(dǎo)函數(shù)在某區(qū)間上恒大(小)于0僅為該函數(shù)在此區(qū)間上單調(diào)增(減)的充分條件.【易錯(cuò)題1】若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則k的取值范圍是(

)A. B. C. D.【易錯(cuò)題2】“當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)”為真命題的的一個(gè)取值是

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