一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系1

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系等式與不等式一二知識點一、一元二次方程的解集1.思考什么是一元二次方程其解的情況如何提示:形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做一元二次方程.當Δ=b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實根;當Δ=b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實根;當Δ=b2-4ac<0時,方程無實根.一二2.填空

一二3.做一做關(guān)于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情況是

(

)A.兩個不等的實數(shù)根B.兩個相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根D.無法確定解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,∴該方程無實數(shù)根.答案:C一二知識點二、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1.思考(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩根x1,x2,其大小如何并求出x1+x2與x1x2的大小.(2)解方程x2-x-2=0,你能發(fā)現(xiàn)該方程的兩根與其系數(shù)之間有怎樣的關(guān)系一二一二2.填空當一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解集不是空集時,其兩根x1,x2滿足如下關(guān)系:3.做一做一元二次方程3x2-6x-7=0的兩根和為

.

解析:設(shè)3x2-6x-7=0的兩根分別為x1,x2,答案:2探究一探究二思維辨析當堂檢測求一元二次方程的解集例1求方程x2+5x-2=0的解集.分析:利用公式法求解一元二次方程的兩根.解:∵x2+5x-2=0,探究一探究二思維辨析當堂檢測反思感悟

一元二次方程的常見解法(2)配方法:用配方法解一元二次方程的一般步驟是:①化二次項系數(shù)為1:用二次項系數(shù)去除方程兩邊,將方程化為x2+px+q=0的形式;②移項:把常數(shù)項移至方程右邊,將方程化為x2+px=-q的形式;③配方:方程兩邊同時加上“一次項系數(shù)一半的平方”,使方程左邊成為含有未知數(shù)的完全平方形式,右邊是一個常數(shù),把方程化為(x+m)2=n(n≥0)的形式;④用直接開平方法解變形后的方程.探究一探究二思維辨析當堂檢測(3)因式分解法①平方差公式法;②完全平方公式法;③提取公因式法;④十字相乘法.(4)公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為:探究一探究二思維辨析當堂檢測延伸探究本例中兩根之積為多大探究一探究二思維辨析當堂檢測一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-3=0.(1)對于任意的實數(shù)m,判斷方程根的情況,并說明理由;(2)若x=-1是這個方程的一個根,求m的值和方程的另一個根.分析:(1)根據(jù)判別式的意義判斷根的情況;(2)根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系求方程的另一個根.解:(1)Δ=m2-4×1×(-3)=m2+12,∵m2≥0,∴Δ>0,∴方程有兩個不相等的實根.(2)設(shè)方程的另一個根為x2,∴-1×x2=-3,解得x2=3.∵-1+3=m,∴m=2.探究一探究二思維辨析當堂檢測反思感悟

一元二次方程根的情況1.一元二次方程的判別式方程ax2+bx+c=0(a,b,c為實數(shù),且a≠0):當Δ=b2-4ac>0時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當Δ=b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當Δ=b2-4ac<0時,方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(1)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩實數(shù)根分別為x1,x2,則有:(2)以兩個實數(shù)x1,x2為根的一元二次方程(二次項系數(shù)為1)是x2-(x1+x2)x+x1x2=0.探究一探究二思維辨析當堂檢測變式訓練

已知關(guān)于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有兩個實數(shù)根x1,x2.(1)求k的取值范圍;(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.探究一探究二思維辨析當堂檢測整體代入法求代數(shù)式的值典例

若a是方程x2+x-2019=0的一個實數(shù)根,則2a2+2a-1的值是

.

解析:∵a是方程x2+x-2

019=0的根,∴a2+a-2

019=0,即a2+a=2

019.∴2a2+2a-1=2×2

019-1=4

037.答案:4037方法點睛

根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2+a=2

019,然后利用整體代入法計算即可,而不需求出方程的根.探究一探究二思維辨析當堂檢測1.下列方程中,無實數(shù)根的方程是(

)A.x2+1=0 B.x2+x=0C.x2+x-1=0 D.x2=0解析:A.∵Δ=-4×1=-4<0,∴方程無實數(shù)根;B.∵Δ=12>0,∴方程有兩個不相等實數(shù)根;C.∵Δ=12-4×1×(-1)=5>0,∴方程有兩個不相等實數(shù)根;D.∵Δ=0,∴方程有兩個相等實數(shù)根.故選A.答案:A探究一探究二思維辨析當堂檢測2.若關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1有實數(shù)根,則m的取值范圍是(

)A.m≤3且m≠2 B.m<3C.m≤3 D.m<3且m≠2解析:∵關(guān)于x的一元二次方程(m-2)x2+2x=-1即(m-2)x2+2x+1=0有實數(shù)根,∴m-2≠0且Δ≥0,即22-4×(m-2)×1≥0,解得m≤3,∴m的取值范圍是m≤3且m≠2.故選A.答案:A探究一探究二思維辨析當堂檢測3