6.4.1二項(xiàng)分布課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

4.1二項(xiàng)分布第六章概率北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過(guò)具體實(shí)例了解伯努利試驗(yàn)及n重伯努利試驗(yàn),掌握二項(xiàng)分布.2.掌握二項(xiàng)分布及兩點(diǎn)分布的期望與方差.3.能用二項(xiàng)分布解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過(guò)知識(shí)點(diǎn)1

n重伯努利試驗(yàn)一般地,在相同條件下重復(fù)做n次伯努利試驗(yàn),且每次試驗(yàn)的結(jié)果都不受其他試驗(yàn)結(jié)果的影響,稱這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)為

.

n重伯努利試驗(yàn)

思考辨析1.在體育課上,某同學(xué)做投籃訓(xùn)練,他連續(xù)投籃3次,每次投籃的命中率都是0.8,用X表示3次投籃投中的次數(shù).若把每一次投籃看成做了一次試驗(yàn),則每次試驗(yàn)有幾個(gè)可能的結(jié)果?2.n重伯努利試驗(yàn)必須具備哪些條件?提示

有2種結(jié)果:投中(成功)與未投中(失敗).提示

(1)每次試驗(yàn)的條件完全相同,相同事件的概率不變;(2)各次試驗(yàn)結(jié)果互不影響;(3)每次試驗(yàn)結(jié)果只有兩種,這兩種結(jié)果是對(duì)立的.自主診斷判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)在n重伯努利試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)結(jié)果之間相互獨(dú)立.(

)(2)在n重伯努利試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)成功的概率可以不同.(

)(3)在n重伯努利試驗(yàn)中,事件A恰好發(fā)生k次與事件A恰好在第k次發(fā)生的概率相等.(

)√××知識(shí)點(diǎn)2

二項(xiàng)分布

P(X=k)與二項(xiàng)式通項(xiàng)形式類似一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù),且每次成功的概率均為p,則X的分布列可以表示為P(X=k)=

(k=0,1,2,…,n).

若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述,則稱X服從參數(shù)為n,p的

,簡(jiǎn)記為

.顯然,

是二項(xiàng)分布在參數(shù)n=1時(shí)的特殊情況.設(shè)p+q=1,p>0,q>0,服從二項(xiàng)分布的變量X的分布列如下表所示.

二項(xiàng)分布

X~B(n,p)兩點(diǎn)分布

注意:上述X的分布列第二行中的概率值都是二項(xiàng)展開式名師點(diǎn)睛判斷二項(xiàng)分布的關(guān)鍵點(diǎn)判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的關(guān)鍵在于它是否同時(shí)滿足以下三個(gè)條件:(1)對(duì)立性:在一次試驗(yàn)中,事件A與

發(fā)生與否必居其一.(2)重復(fù)性:試驗(yàn)可以獨(dú)立重復(fù)地進(jìn)行,且每次試驗(yàn)事件A發(fā)生的概率都是同一常數(shù)p.(3)X的取值從0到n,中間不間斷.思考辨析在知識(shí)點(diǎn)1的思考辨析1中,X=k(k=0,1,2,3)表示何意義?求P(X=2).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)如果在1次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率P(X=k)=pk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.(

)√×2.[人教A版教材習(xí)題]雞接種一種疫苗后,有80%不會(huì)感染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗,求:(1)沒有雞感染病毒的概率;(2)恰好有1只雞感染病毒的概率.解

設(shè)5只接種疫苗的雞中感染病毒的只數(shù)為X,則X~B(5,0.2).3.[人教A版教材習(xí)題]判斷下列表述正確與否,并說(shuō)明理由:(1)12道四選一的單選題,隨機(jī)猜結(jié)果,猜對(duì)答案的題目數(shù)X~B(12,0.25);(2)100件產(chǎn)品中包含10件次品,不放回地隨機(jī)抽取6件,其中的次品數(shù)Y~B(6,0.1).解

(1)正確.每道題猜對(duì)答案與否是獨(dú)立的,且每道題猜對(duì)答案的概率為0.25,這是一個(gè)12重伯努利試驗(yàn).(2)錯(cuò)誤.當(dāng)有放回地抽取時(shí)概率不變,次品數(shù)服從二項(xiàng)分布;當(dāng)不放回地抽取時(shí),概率不等,次品數(shù)不服從二項(xiàng)分布.知識(shí)點(diǎn)3

兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值與方差一般地,如果隨機(jī)變量X~B(n,p),則EX=np,DX=np(1-p).特殊地,如果隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布,則EX=p,DX=p(1-p).思考辨析兩點(diǎn)分布和二項(xiàng)分布有何關(guān)系?提示

兩點(diǎn)分布是特殊的二項(xiàng)分布,即在X~B(n,p)中,當(dāng)n=1時(shí),二項(xiàng)分布便是兩點(diǎn)分布,也就是說(shuō)二項(xiàng)分布是兩點(diǎn)分布的一般形式.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為0.5的兩點(diǎn)分布,則EX=0.5,DX=0.25.(

)(2)若隨機(jī)變量X~(n,p),EX=np,DX=p(1-p).(

)(3)若隨機(jī)變量X~B(5,0.4),EX=2,DX=3.(

)√××2.同時(shí)拋擲兩枚均勻的硬幣10次,設(shè)兩枚硬幣同時(shí)出現(xiàn)反面的次數(shù)為ξ,則Dξ=(

)A3.[人教A版教材習(xí)題]拋擲一枚骰子,當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí),就說(shuō)這次試驗(yàn)成功,求在30次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值和方差.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一n重伯努利試驗(yàn)的概率【例1】

(1)某射手射擊一次,擊中目標(biāo)的概率是0.9,他連續(xù)射擊三次,且他每次射擊相互之間沒有影響,有下列結(jié)論:①他三次都擊中目標(biāo)的概率是0.93;②他恰好在第三次擊中目標(biāo)的概率是0.9;③他恰好2次擊中目標(biāo)的概率是2×0.92×0.1;④他恰好2次未擊中目標(biāo)的概率是3×0.9×0.12.其中正確結(jié)論的序號(hào)是

.(把正確結(jié)論的序號(hào)都填上)

①④

解析

三次射擊是3重伯努利試驗(yàn),故正確結(jié)論的序號(hào)是①④.(2)甲、乙兩人各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別是,假設(shè)每次射擊是否擊中目標(biāo),相互之間沒有影響.①求甲射擊3次,至少1次未擊中目標(biāo)的概率;②求兩人各射擊2次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.解

①記“甲射擊3次至少有1次未擊中目標(biāo)”為事件A1,由題意,射擊3次,相當(dāng)于3重伯努利試驗(yàn).變式探究在本例(2)②的條件下,求甲、乙均擊中目標(biāo)1次的概率.規(guī)律方法

n重伯努利試驗(yàn)概率求法的三個(gè)步驟

變式訓(xùn)練1甲、乙兩羽毛球運(yùn)動(dòng)員要進(jìn)行三場(chǎng)比賽,且這三場(chǎng)比賽可看做三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),若甲至少取勝一次的概率為,則甲恰好取勝一次的概率為(

)C探究點(diǎn)二二項(xiàng)分布的概率及分布列【例2】

一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從家到學(xué)校的途中有5個(gè)路口,假設(shè)他在各路口遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是

.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的分布列;(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)η的分布列.

變式訓(xùn)練2現(xiàn)有4個(gè)人去參加某娛樂(lè)活動(dòng),該活動(dòng)有甲、乙兩個(gè)游戲可供參加者選擇.為增加趣味性,約定:每個(gè)人通過(guò)擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己參加哪個(gè)游戲,擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人參加甲游戲,擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人參加乙游戲.(1)求這4個(gè)人中恰有2人參加甲游戲的概率;(2)求這4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)大于參加乙游戲的人數(shù)的概率.(2)設(shè)“這4個(gè)人中參加甲游戲的人數(shù)大于參加乙游戲的人數(shù)”為事件B,則B=A3+A4,探究點(diǎn)三二項(xiàng)分布及兩點(diǎn)分布的期望與方差【例3】

某運(yùn)動(dòng)員投籃命中率為p=0.6.(1)求投籃1次時(shí)命中次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;(2)求當(dāng)重復(fù)5次投籃時(shí),命中次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望.解

(1)投籃1次,命中次數(shù)X的分布列如下表:則EX=0.6.(2)由題意,重復(fù)5次投籃,命中的次數(shù)Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(5,0.6),則EY=np=5×0.6=3.X01P0.40.6規(guī)律方法

常見的兩種分布的均值與方差設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率,則(1)兩點(diǎn)分布EX=p,方差DX=p(1-p);(2)二項(xiàng)分布EX=np,方差DX=np(1-p).計(jì)算時(shí)直接代入求解,從而避免了繁雜的計(jì)算過(guò)程.變式訓(xùn)練3(1)某種種子每粒發(fā)芽的概率為0.9,現(xiàn)播種了1000粒,對(duì)于沒有發(fā)芽的種子,每坑需再補(bǔ)種2粒,每個(gè)坑至多補(bǔ)種一次,補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為(

)A.100 B.200

C.300

D.400B解析

由題意可設(shè),不發(fā)芽的種子數(shù)為Y,Y服從二項(xiàng)分布,即Y~B(1

000,0.1),所以不發(fā)芽種子數(shù)的數(shù)學(xué)期望為EY=1

000×0.1=100,所以補(bǔ)種的種子數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為EX=E(2Y)=2EY=2×100=200.★(2)已知甲、乙兩人進(jìn)行五局球賽,甲每局獲勝的概率是,且各局的勝負(fù)相互獨(dú)立.已知甲勝一局的獎(jiǎng)金為10元,設(shè)甲所獲得的獎(jiǎng)金總額為X元,則甲所獲得獎(jiǎng)金總額的方差DX=(

)A.120 B.240 C.360 D.480A探究點(diǎn)四概率知識(shí)的綜合應(yīng)用【例4】

[蘇教版教材例題]設(shè)某保險(xiǎn)公司吸收10000人參加人身意外保險(xiǎn),該公司規(guī)定:每人每年付給公司120元,若意外死亡,公司將賠償10000元.如果已知每人每年意外死亡的概率為0.006,那么該公司會(huì)賠本嗎?規(guī)律方法

二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的求解步驟(1)根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量.(2)判斷隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布.(3)求出參數(shù)n和p的值.(4)根據(jù)二項(xiàng)分布的均值、方差的計(jì)算公式求解.變式訓(xùn)練4一名學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從家到學(xué)校的途中有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是

.(1)求這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)ξ的均值;(2)求這名學(xué)生在首次遇到紅燈或到達(dá)目的地停車前經(jīng)過(guò)的路口數(shù)η的分布列;(3)求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率.學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)123456789101112131415161718A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.[探究點(diǎn)一]甲、乙兩人各進(jìn)行1次射擊,若兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.7,則其中恰有1人擊中目標(biāo)的概率是(

)A.0.49 B.0.42 C.0.7 D.0.91B1234567891011121314151617182.[探究點(diǎn)一]某同學(xué)通過(guò)普通話二級(jí)測(cè)試的概率是,若該同學(xué)連續(xù)測(cè)試3次(各次測(cè)試互不影響),則只有第3次通過(guò)的概率是(

)C123456789101112131415161718C123456789101112131415161718123456789101112131415161718A1234567891011121314151617185.[探究點(diǎn)二]下列例子中隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布的個(gè)數(shù)為(

)①某同學(xué)投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)ξ;②某射手擊中目標(biāo)的概率為0.9,從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ;③從裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的袋中,有放回地摸球,直到摸出白球?yàn)橹?摸到白球時(shí)的摸球次數(shù)ξ;④有一批產(chǎn)品共有N件,其中M件為次品,采用不放回抽取方法,ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù).A.0 B.1 C.2 D.3B123456789101112131415161718解析

對(duì)于①,某同學(xué)投籃的命中率為0.6,他10次投籃中命中的次數(shù)ξ~B(10,0.6),故①符合;對(duì)于②,對(duì)于某射手從開始射擊到擊中目標(biāo)所需的射擊次數(shù)ξ,每次試驗(yàn)不是獨(dú)立的,與其他各次試驗(yàn)結(jié)果有關(guān),不是二項(xiàng)分布,故②不符合;對(duì)于③,雖然是有放回取球,但隨機(jī)變量ξ的定義是直到摸出白球?yàn)橹?即前面摸出的一定是紅球,最后一次是白球,不符合二項(xiàng)分布的定義,故③不符合;對(duì)于④,由于采用不放回抽取方法,每一次抽取中出現(xiàn)次品的概率是不相等的,故ξ表示n次抽取中出現(xiàn)次品的件數(shù)不服從二項(xiàng)分布,故④不符合.1234567891011121314151617186.[探究點(diǎn)三]已知隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布,ξ~B(6,),則E(2ξ+3)=

,D(2ξ+3)=

.

96解析

∵隨機(jī)變量ξ服從二項(xiàng)分布,則E(2ξ+3)=2Eξ+3=9,D(2ξ+3)=22×Dξ=6.1234567891011121314151617187.[探究點(diǎn)三]盒中有大小相同的6個(gè)紅球,4個(gè)白球,現(xiàn)從盒中任取1球,記住顏色后再放回盒中,連續(xù)摸取4次.設(shè)ξ表示連續(xù)摸取4次中取得紅球的次數(shù),則ξ的均值Eξ=

.

1234567891011121314151617188.[探究點(diǎn)二]有n位同學(xué)參加某項(xiàng)選拔測(cè)試,每位同學(xué)能通過(guò)測(cè)試的概率都是p(0<p<1),假設(shè)每位同學(xué)能否通過(guò)測(cè)試是相互獨(dú)立的,則至少有一位同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為

.

1-(1-p)n1234567891011121314151617189.[探究點(diǎn)四]某籃球運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練過(guò)程中,每次從罰球線罰球的命中率是,且每次罰球的結(jié)果相互獨(dú)立.已知該名籃球運(yùn)動(dòng)員連續(xù)4次從罰球線罰球.(1)求他第1次罰球不中,后3次罰球都中的概率;(2)求他4次罰球恰好命中3次的概率.12345678910111213141516171812345678910111213141516171810.[探究點(diǎn)四]一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè),要么不出現(xiàn)音樂(lè);每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分,出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分,沒有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為,且各次擊鼓是否出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列.(2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少?123456789101112131415161718解

(1)X可能的取值為10,20,100,-200.根據(jù)題意,有123456789101112131415161718123456789101112131415161718B級(jí)關(guān)鍵能力提升練11.甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,比賽規(guī)則為“3局2勝”,即以先贏2局者為勝,根據(jù)經(jīng)驗(yàn),每局比賽中甲獲勝的概率為0.6,則本次比賽甲獲勝的概率是(

)A.0.216 B.0.36 C.0.432 D.0.648D12345678910111213141516171812.(多選題)拋擲一枚硬幣三次,若記出現(xiàn)“三個(gè)正面”“三個(gè)反面”“二正一反”“一正二反”的概率分別為P1,P2,P3,P4,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.P1=P2=P3=P4 B.P3=2P1C.P1+P2+P3+P4=1 D.P4=3P2CD12345678910111213141516171813.設(shè)隨機(jī)變量X,Y滿足:Y=3X-1,X~B(2,p),若P(X≥1)=,則DY=(

)A.4 B.5 C.6 D.7A12345678910111213141516171814.(多選題)某城鎮(zhèn)小汽車的家庭普及率為75%,即平均每100個(gè)家庭有75個(gè)家庭擁有小汽車,若從該城鎮(zhèn)中任意選出5個(gè)家庭,則下列結(jié)論成立的是(

)ACD12345678910111213141516171812345678910111213141516171815.一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)4位的二進(jìn)制數(shù)A=a1a2a3a4,其中A的各位數(shù)字中,a1=1,ak(k=2,3,4)出現(xiàn)0的概率為,出現(xiàn)1的概率為

.若啟動(dòng)一次出現(xiàn)的數(shù)字為A=1010,則稱這次試驗(yàn)成功.若成功一次得2分,失敗一次得-1分,則54次這樣的重復(fù)試驗(yàn)的總得分X的方差為

.

12345678910111213141516171812345678910111213141516171816.一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)由25道選擇題構(gòu)成,每個(gè)選擇題有4個(gè)選項(xiàng),其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確的,每個(gè)答案選擇正確得4分,不作出選擇或選錯(cuò)不得