2024年四川省宜賓市中考真題數(shù)學(xué)試卷含答案解析

試題PAGE1試題試題PAGE2試題2024年四川省宜賓市中考數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．2的絕對值是（）A． B． C． D．2【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的意義即可求解．【詳解】解：2的絕對值是是2，故選：D．【點睛】本題考查了絕對值的計算，掌握正數(shù)的絕對值是它本身，零的絕對值是零，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，是解題的關(guān)鍵．2．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪的運算法則，合并同類項．根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則以及合并同類項的法則，逐個進行計算，即可解答．【詳解】解：A、，故本選項不符合題意；B、，故本選項不符合題意；C、，故本選項符合題意；D、，故本選項不符合題意；故選：C．3．某校為了解九年級學(xué)生在校的鍛煉情況，隨機抽取10名學(xué)生，記錄他們某一天在校的鍛煉時間（單位：分鐘）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．對這組數(shù)據(jù)判斷正確的是（

）A．方差為0 B．眾數(shù)為75 C．中位數(shù)為77.5 D．平均數(shù)為75【答案】B【分析】本題主要考查方差，眾數(shù)，中位數(shù)和平均數(shù)，分別根據(jù)相關(guān)定義求解即可．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，故選項D錯誤，不符合題意；方差為，故選項A錯誤，不符合題意；這組數(shù)據(jù)中，75出現(xiàn)次數(shù)最多，共出現(xiàn)3次，故眾數(shù)是75，故選項B正確，符合題意；這組數(shù)據(jù)按大小順序排列為：65，65，67，75，75，75，78，80，80，88．最中間的兩個數(shù)是75，75，故中位數(shù)為，故項C錯誤，不符合題意，故選：B．4．如圖，是的直徑，若，則的度數(shù)等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，同弧或等弧所對的圓周角相等．根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到，同弧或等弧所對的圓周角相等得到，進一步計算即可解答．【詳解】解：是的直徑，，，，，故選：A．5．元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？”其大意是：快馬每天行240里，慢馬每天行150里，慢馬先行12天，問快馬幾天可追上慢馬？則快馬追上慢馬的天數(shù)是（

）A．5天 B．10天 C．15天 D．20天【答案】D【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用．設(shè)快馬x天可以追上慢馬，根據(jù)快馬和慢馬所走的路程相等建立方程，解出即可．【詳解】解：設(shè)快馬x天可以追上慢馬，據(jù)題題意：，解得：．答：快馬20天可以追上慢馬．故選：D．6．如果一個數(shù)等于它的全部真因數(shù)（含單位1，不含它本身）的和，那么這個數(shù)稱為完美數(shù)．例如：6的真因數(shù)是1、2、3，且，則稱6為完美數(shù)．下列數(shù)中為完美數(shù)的是（

）A．8 B．18 C．28 D．32【答案】C【分析】本題考查新定義，解題的關(guān)鍵是正確讀懂新定義．根據(jù)新定義逐個判斷即可得到答案．【詳解】解∶∵，，∴8不是完美數(shù)，故選項A不符合題意；∵，，∴18不是完美數(shù)，故選項B不符合題意；∵，，∴28是完美數(shù)，故選項C符合題意；∵，，∴32不是完美數(shù)，故選項D不符合題意；故選：C7．如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點A最遠的點是（

）A．B點 B．C點 C．D點 D．E點【答案】B【分析】本題考查了平面圖形和立體圖形，把圖形圍成立體圖形求解．【詳解】解：把圖形圍成立方體如圖所示：所以與頂點A距離最遠的頂點是C，故選：B．8．某果農(nóng)將采摘的荔枝分裝為大箱和小箱銷售，其中每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝．該果農(nóng)現(xiàn)采摘有32千克荔枝，根據(jù)市場銷售需求，大小箱都要裝滿，則所裝的箱數(shù)最多為（

）A．8箱 B．9箱 C．10箱 D．11箱【答案】C【分析】本題考查的是二元一次方程的正整數(shù)解問題，設(shè)用個大箱，個小箱，利用每個大箱裝4千克荔枝，每個小箱裝3千克荔枝，建立方程，求出方程的正整數(shù)解可得答案．【詳解】解：設(shè)用個大箱，個小箱，∴，∴，∴方程的正整數(shù)解為：或，∴所裝的箱數(shù)最多為箱；故選C．9．如圖，內(nèi)接于，為的直徑，平分交于．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了三角形的外接圓，特殊角的三角函數(shù)，圓周角定理，圖形的旋轉(zhuǎn)等知識點，合理作輔助線為解題的關(guān)鍵．作輔助線如圖，先證明，，從而可以得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，再證明是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖，連接、，∵是的直徑，∴，∵平分，∴，∴，∴，在四邊形中，，∴，∴繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，如圖所示∴，∵由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴在等腰直角三角形中，，∴．故選：A10．如圖，等腰三角形中，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、B及的中點M，軸，與y軸交于點N．則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，找到坐標之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．作輔助線如圖，利用函數(shù)表達式設(shè)出、兩點的坐標，利用，是中點，找到坐標之間的關(guān)系，利用平行線分線段成比例定理即可求得結(jié)果．【詳解】解：作過作的垂線垂足為，與軸交于點，如圖，在等腰三角形ABC中，，是中點，設(shè)，，由中點為，，故等腰三角形中，∴，∴，∵AC的中點為M，∴，即，由在反比例函數(shù)上得，∴，解得：，由題可知，，∴．故選：B．11．如圖，在中，，以為邊作，，點D與點A在的兩側(cè)，則的最大值為（

）A． B． C．5 D．8【答案】D【分析】如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，求解，結(jié)合，（三點共線時取等號），從而可得答案．【詳解】解：如圖，把繞順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∴，∵，（三點共線時取等號），∴的最大值為，故選D【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，二次根式的乘法運算，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．12．如圖，拋物線的圖象交x軸于點、，交y軸于點C．以下結(jié)論：①；②；③當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，；④當時，在內(nèi)有一動點P，若，則的最小值為．其中正確結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線圖象經(jīng)過點，可得當時，，據(jù)此可判斷①；根據(jù)對稱軸計算公式求出，進而推出，則，再根據(jù)拋物線開口向下，即可判斷②；對稱軸為直線，則，求出，，再分當時，當時，兩種情況求出對應(yīng)的c的值即可判斷③；當時，，則，取點，連接，則，可證明，由相似三角形的性質(zhì)可得，則，故當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，利用勾股定理求出即可判斷④．【詳解】解：∵拋物線的圖象經(jīng)過點，∴當時，，故①正確；∵拋物線的圖象交x軸于點、，∴拋物線對稱軸為直線，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，故②正確；∵對稱軸為直線，∴；∵、，∴，∴；在中，當時，，∴，∴，當時，則由勾股定理得，∴，∴或（舍去）；同理當時，可得；綜上所述，當以點A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形時，或，故③錯誤；當時，，則，如圖所示，取點，連接，則，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴當點P在線段上時，的值最小，即此時的值最小，最小值為線段的長，在中，由勾股定理得，故④正確，∴正確的有3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．二、填空題13．分解因式：=．【答案】【詳解】解：==．故答案為．14．分式方程的解為．【答案】【分析】本題考查的是分式方程的解法，掌握解法步驟是解本題的關(guān)鍵；先去分母，化為整式方程，再解方程并檢驗即可．【詳解】解：，∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗：是原方程的根，∴方程的根為，故答案為：．15．如圖，正五邊形的邊長為4，則這個正五邊形的對角線的長是．

【答案】/【分析】此題考查了正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)得出，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，最后由線段和差即可求出的長．【詳解】解：如圖，連接交于點，

∵五邊形是正五邊形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，即，解得或（舍去），∴，故答案為：．16．如圖，在平行四邊形中，，E、F分別是邊上的動點，且．當?shù)闹底钚r，則．

【答案】【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．延長，截取，連接，，證明，得出，說明當最小時，最小，根據(jù)兩點之間線段最短，得出當A、E、G三點共線時，最小，即最小，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出結(jié)果即可．【詳解】解：延長，截取，連接，，如圖所示：

∵四邊形為平行四邊形，∴，，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當最小時，最小，∵兩點之間線段最短，∴當A、E、G三點共線時，最小，即最小，且最小值為的長，

∵，∴，∴，即，解得．故答案為：．17．如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽．有大小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標數(shù)字互不相同．作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽小球上所標的數(shù)字），完成第一次操作．再重復(fù)以上操作兩次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是（從“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中選填）．【答案】乙槽【分析】設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得，當時，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作最小的是乙槽．本題考查了方程的應(yīng)用，特殊解，熟練掌握整數(shù)解是解題的關(guān)鍵．【詳解】設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得，當時，x最大，為8，根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作計分最低的是乙槽．故答案為：乙槽．18．如圖，正方形的邊長為1，M、N是邊、上的動點．若，則的最小值為．【答案】/【分析】將順時針旋轉(zhuǎn)得到，再證明，從而得到，再設(shè)設(shè)，，得到，利用勾股定理得到，即，整理得到，從而利用完全平方公式得到，從而得解．【詳解】解：∵正方形的邊長為1，∴，，將順時針旋轉(zhuǎn)得到，則，∴，，，，∴點P、B、M、C共線，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，設(shè)，，則，，∴，∵，∴，即，整理得：，∴，當且僅當，即，也即時，取最小值，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的運算，完全平方公式等知識，證明和得到是解題的關(guān)鍵．三、解答題19．（1）計算：；（2）計算：．【答案】（1）；（2）1．【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算和分式的化簡，熟記零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，分式化簡的步驟是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)零指數(shù)冪，特殊角的三角函數(shù)值，絕對值的意義計算；（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變形，約分即可得到最簡結(jié)果．【詳解】解：（1）；（2）．20．某校為了落實“五育并舉”，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)．在課外活動中開設(shè)了四個興趣小組：A．插花組：B．跳繩組；C．話劇組；D．書法組．為了解學(xué)生對每個興趣小組的參與情況，隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合圖中信息解答下列問題：(1)本次共調(diào)查了___________名學(xué)生，并將條形統(tǒng)計圖補充完整；(2)話劇組所對應(yīng)扇形的圓心角為___________度；(3)書法組成績最好的4名學(xué)生由3名男生和1名女生構(gòu)成．從中隨機抽取2名參加比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求剛好抽到1名男生與1名女生的概率．【答案】(1)40；圖見解析(2)72(3)【分析】本題考查了條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖，及用列表法或樹狀圖法求概率，準確理解題意，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．（1）由A組人數(shù)及其所占百分比可得總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)減去A、B、D人數(shù)求出C組人數(shù)即可補全圖形；（2）用360度乘以C組人數(shù)所占比例即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【詳解】（1）解：本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為（名），C組人數(shù)為（名），補全圖形如下：；故答案為：40；（2）解：，故答案為：72；（3）解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中剛好抽到1名男生與1名女生的結(jié)果共有6種，∴剛好抽到1名男生與1名女生的概率為．21．如圖，點D、E分別是等邊三角形邊、上的點，且，與交于點F．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出，，然后根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明∶∵是等邊三角形，∴，，又，∴，∴．22．宜賓地標廣場位于三江匯合口（如圖1，左側(cè)是岷江，右側(cè)是金沙江，正面是長江）．某同學(xué)在數(shù)學(xué)實踐中測量長江口的寬度，他在長江口的兩岸選擇兩個標點C、D，在地標廣場上選擇兩個觀測點A、B（點A、B、C、D在同一水平面，且）．如圖2所示，在點A處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上；在B處測得點C在北偏西方向上，測得點D在北偏東方向上，測得米．求長江口的寬度的值（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】長江口的寬度為米.【分析】如圖，過作于，過作于，過作于，而，可得四邊形，都是矩形，由題意可得：，，證明，可得，設(shè)，，再利用三角函數(shù)建立方程組求解即可.【詳解】解：如圖，過作于，過作于，過作于，而，∴四邊形，都是矩形，∴，，，，∵由題意可得：，，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，，∴，即，，即，∴，∴，∴，∴，∴；∴長江口的寬度為米.【點睛】本題考查的是解直角三角形的實際應(yīng)用，矩形的判定于性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵.23．如圖，一次函數(shù)．的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點．(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達式；(2)利用圖象，直接寫出不等式的解集；(3)已知點D在x軸上，點C在反比例函數(shù)圖象上．若以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求點C的坐標．【答案】(1)，(2)或(3)或或【分析】（1）把A的坐標代入，可求出k，把代入所求反比例函數(shù)解析式，可求n，然后把A、B的坐標代入求解即可；（2）結(jié)合一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像，寫出一次函數(shù)圖像在反比例函數(shù)圖像下方所對應(yīng)的自變量范圍即可；（3）設(shè)點C的坐標為，，分、為對角線，、為對角線，、為對角線三種情況，根據(jù)對角頂點的橫、縱坐標之和分別相等列方程組，即可求解．【詳解】（1）解∶∵經(jīng)過，∴，解得，∴，把代入，得，解得，∴，把，代入，得，解得，∴；（2）解：察圖像得：當或時，一次函數(shù)的圖像在反比例函數(shù)圖像的下方，∴不等式的解集為或；（3）解：設(shè)點C的坐標為，，①以、為對角線，則，解得，∴，∴；②以、為對角線，則，解得，∴，∴；③以、為對角線則，解得，∴，∴；綜上，當C的坐標為或或時，以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊形．【點睛】本題考查求一次函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，平行四邊形存在性問題等，掌握數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想是解題的關(guān)鍵．24．如圖，內(nèi)接于，，過點A作，交的直徑的延長線于點E，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，求和的長．【答案】(1)見解析(2)，．【分析】（1）延長交于點F，連接，根據(jù)等邊對等角可得，，，，繼而可得是的角平分線，根據(jù)等邊三角形“三線合一”的性質(zhì)可得，由平行線的性質(zhì)可得，繼而根據(jù)切線判定定理即可求證結(jié)論；（2）連接，先求得，利用圓周角定理結(jié)合勾股定理求得直徑的長，利用垂徑定理結(jié)合勾股定理得到，代入數(shù)據(jù)計算求得，利用勾股定理可求得的長，證明，利用相似三角形的性質(zhì)計算即可求得．【詳解】（1）證明：延長交于點F，連接，∵，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，即是的角平分線，∵，∴，且平分線段，∵，∴，∵是半徑，∴是的切線；（2）解：連接，∵是的直徑，∴，∵，，∴，∴，∴，由（1）得，，設(shè)，∴，∴，解得，即