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文檔簡介

一、數(shù)列的概念選擇題1.已知數(shù)列則該數(shù)列中最小項的序號是()A.3 B.4 C.5 D.62.已知數(shù)列的前項和,則()A.35 B.40 C.45 D.503.已知數(shù)列,則是這個數(shù)列的()A.第10項 B.第11項 C.第12項 D.第21項4.若數(shù)列的前4項分別是,則此數(shù)列的一個通項公式為()A. B. C. D.5.已知數(shù)列的通項公式為,則()A.35 B. C. D.116.在數(shù)列中,,(),則()A. B. C. D.7.已知數(shù)列的首項為2,且數(shù)列滿足,數(shù)列的前項的和為,則等于()A.504 B.294 C. D.8.南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中,提出了一些新的垛積公式,所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同,前后兩項之差并不相等,但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列,如數(shù)列1,3,6,10,前后兩項之差得到新數(shù)列2,3,4,新數(shù)列2,3,4為等差數(shù)列,這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究,在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列,其前7項分別為3,4,6,9,13,18,24,則該數(shù)列的第19項為()A.184 B.174 C.188 D.1609.已知數(shù)列滿足,,且,則數(shù)列的前項和為()A. B. C. D.10.歷史上數(shù)列的發(fā)展,折射出許多有價值的數(shù)學思想方法,對時代的進步起了重要的作用.比如意大利數(shù)學家列昂納多—斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”:即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233…即,當n≥3時,,此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域有著廣泛的應用.若此數(shù)列的各項依次被4整除后的余數(shù)構成一個新的數(shù)列,記數(shù)列的前n項和為,則的值為()A.24 B.26 C.28 D.3011.已知數(shù)列的前5項為:,,,,,可歸納得數(shù)列的通項公式可能為()A. B. C. D.12.已知數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.13.已知數(shù)列的前項和,則的值為()A.4 B.6 C.8 D.1014.正整數(shù)的排列規(guī)則如圖所示,其中排在第行第列的數(shù)記為,例如,則等于()A.2019 B.2020 C.2021 D.202215.歷史上數(shù)列的發(fā)展,折射出很多有價值的數(shù)學思想方法,對時代的進步起了重要的作用,比如意大利數(shù)學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例,引入“兔子數(shù)列”:即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233……即F(1)=F(2)=1,F(xiàn)(n)=F(n-1)+F(n-2),,此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學等領域有著廣泛的應用,若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列,則b2020=()A.3 B.2 C.1 D.016.數(shù)列滿足:,其前項積為,則()A. B. C. D.17.在數(shù)列中,,,則()A. B. C. D.18.已知數(shù)列滿足,且,則的最小值為()A.21 B.10 C. D.19.數(shù)列前項和為,若,則的值為()A. B. C. D.20.若數(shù)列{an}滿足,則的值為()A.2 B.-3 C. D.二、多選題21.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,…,其中從第三項起,每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列{an}稱為“斐波那契數(shù)列”,記Sn為數(shù)列{an}的前n項和,則下列結論正確的是()A.a(chǎn)8=34 B.S8=54 C.S2020=a2022-1 D.a(chǎn)1+a3+a5+…+a2021=a202222.意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù):….即從第三項開始,每一項都是它前兩項的和.后人為了紀念他,就把這列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關于斐波那契數(shù)列說法正確的是()A. B.是偶數(shù) C. D.…23.意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時,發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù):1,1,2,3,5,….,其中從第三項起,每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和,后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”,記為數(shù)列的前n項和,則下列結論正確的是()A. B.C. D.24.已知等差數(shù)列的前項和為,,,則下列選項正確的是()A. B.C. D.當且僅當時,取得最大值25.首項為正數(shù),公差不為0的等差數(shù)列,其前項和為,則下列4個命題中正確的有()A.若,則,;B.若,則使的最大的n為15;C.若,,則中最大;D.若,則.26.已知正項數(shù)列的前項和為,若對于任意的,,都有,則下列結論正確的是()A.B.C.若該數(shù)列的前三項依次為,,,則D.數(shù)列為遞減的等差數(shù)列27.等差數(shù)列的前項和為,若,公差,則()A.若,則 B.若,則是中最大的項C.若,則 D.若則.28.已知數(shù)列是首項為1,公差為d的等差數(shù)列,則下列判斷正確的是()A.a(chǎn)1=3 B.若d=1,則an=n2+2n C.a(chǎn)2可能為6 D.a(chǎn)1,a2,a3可能成等差數(shù)列29.已知等差數(shù)列的前n項和為且則()A. B.當且僅當n=7時,取得最大值C. D.滿足的n的最大值為1230.設是等差數(shù)列,是其前項的和,且,,則下列結論正確的是()A. B.C. D.與均為的最大值31.已知數(shù)列為等差數(shù)列,則下列說法正確的是()A.(d為常數(shù)) B.數(shù)列是等差數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.是與的等差中項32.已知無窮等差數(shù)列的前n項和為,,且,則()A.在數(shù)列中,最大 B.在數(shù)列中,或最大C. D.當時,33.數(shù)列滿足,則下列說法正確的是()A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列的前n項和C.數(shù)列的通項公式為 D.數(shù)列為遞減數(shù)列34.首項為正數(shù),公差不為0的等差數(shù)列,其前項和為,現(xiàn)有下列4個命題中正確的有()A.若,則;B.若,則使的最大的n為15C.若,,則中最大D.若,則35.已知等差數(shù)列的前n項和為Sn(n∈N*),公差d≠0,S6=90,a7是a3與a9的等比中項,則下列選項正確的是()A.a(chǎn)1=22 B.d=-2C.當n=10或n=11時,Sn取得最大值 D.當Sn>0時,n的最大值為21【參考答案】***試卷處理標記,請不要刪除一、數(shù)列的概念選擇題1.A解析:A【分析】首先將化簡為,即可得到答案?!驹斀狻恳驗楫敃r,取得最小值。故選:A2.A解析:A【分析】利用,根據(jù)題目已知條件求出數(shù)列的通項公式,問題得解.【詳解】,時,時滿足,故選:A.【點睛】本題考查利用與的關系求通項.已知求的三個步驟:(1)先利用求出.(2)用替換中的得到一個新的關系,利用便可求出當時的表達式.(3)對時的結果進行檢驗,看是否符合時的表達式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項公式合寫;如果不符合,則應該分與兩段來寫..3.B解析:B【分析】根據(jù)題中所給的通項公式,令,求得n=11,得到結果.【詳解】令,解得n=11,故是這個數(shù)列的第11項.故選:B.【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題,涉及到的知識點有判斷數(shù)列的項,屬于基礎題目.4.C解析:C【分析】根據(jù)數(shù)列的前幾項的規(guī)律,可推出一個通項公式.【詳解】設所求數(shù)列為,可得出,,,,因此,該數(shù)列的一個通項公式為.故選:C.【點睛】本題考查利用數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式,考查推理能力,屬于基礎題.5.A解析:A【分析】直接將代入通項公式可得結果.【詳解】因為,所以.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)通項公式求數(shù)列的項,屬于基礎題.6.B解析:B【分析】通過遞推公式求出可得數(shù)列是周期數(shù)列,根據(jù)周期即可得答案.【詳解】解:,,,則數(shù)列周期數(shù)列,滿足,,故選:B.【點睛】本題考查數(shù)列的周期性,考查遞推公式的應用,是基礎題.7.C解析:C【分析】根據(jù)遞推公式,算出數(shù)列前4項,確定數(shù)列周期,即可求出結果.【詳解】∵,,∴,,,又,所以,∴數(shù)列的周期為4,且,∵,∴.故選:C.【點睛】本題主要考查數(shù)列周期性的應用,屬于??碱}型.8.B解析:B【分析】根據(jù)高階等差數(shù)列的知識,結合累加法求得數(shù)列的通項公式,由此求得.【詳解】所以,所以.所以.故選:B【點睛】本小題主要考查數(shù)列新定義,考查累加法,屬于基礎題.9.B解析:B【分析】將題干中的等式化簡變形得,利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式,由此計算出,進而可得出數(shù)列的前項和.【詳解】,將此等式變形得,由累乘法得,,,,因此,數(shù)列的前項和為.故選:B.【點睛】本題考查并項求和法,同時也涉及了利用累乘法求數(shù)列的通項,求出是解答的關鍵,考查計算能力,屬于中等題.10.B解析:B【分析】先寫出新數(shù)列的各項,找到數(shù)列的周期,即得解.【詳解】由題意可知“斐波那契數(shù)列”的各項依次被4整除后的余數(shù)構成一個新的數(shù)列,此數(shù)列的各項求得:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,1……,則其周期為6,其中1+1+2+3+1+0=8,則,故選:B.11.A解析:A【分析】將前五項的分母整理為1,2,3,4,5,則其分子為2,3,4,5,6,據(jù)此歸納即可.【詳解】因為,,,,,故可得,,,,故可歸納得.故選:A.【點睛】本題考查簡單數(shù)列通項公式的歸納總結,屬基礎題.12.B解析:B【分析】由轉化為,利用疊加法,求得,即可求解.【詳解】由,可得,所以,所以.故選:B.【點睛】數(shù)列的通項公式的常見求法:1、對于遞推關系式可轉化為的數(shù)列,通常采用疊加法(逐差相加法)求其通項公式;2、對于遞推關系式可轉化為的數(shù)列,并且容易求數(shù)列前項積時,通常采用累乘法求其通項公式;3、對于遞推關系式形如的數(shù)列,可采用構造法求解數(shù)列的通項公式.13.C解析:C【分析】利用計算.【詳解】由已知.故選:C.14.C解析:C【分析】根據(jù)題目中已知數(shù)據(jù),進行歸總結,得到一般性結論,即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意,第1行第1列的數(shù)為1,此時,第2行第1列的數(shù)為2,此時,第3行第1列的數(shù)為4,此時,據(jù)此分析可得:第64行第1列的數(shù)為,則,故選:C.15.A解析:A【分析】根據(jù)條件得出數(shù)列的周期即可.【詳解】由題意可知“兔子數(shù)列”被4整除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列為:1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,……則可得到周期為6,所以b2020=b4=3,故選:A16.A解析:A【分析】根據(jù)遞推公式推導出,且有,再利用數(shù)列的周期性可計算出的值.【詳解】,,,,,,,且,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查數(shù)列遞推公式的應用,涉及數(shù)列周期性的應用,考查計算能力,屬于中等題.17.C解析:C【分析】利用數(shù)列的遞推公式逐項計算可得的值.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查利用數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列中的項,考查計算能力,屬于基礎題.18.C解析:C【分析】由累加法求出,所以,設,由此能導出或時有最小值,借此能得到的最小值.【詳解】解:所以設,由對勾函數(shù)的性質可知,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,又因為,所以當或時可能取到最小值.又因為,所以的最小值為.故選:C.【點睛】本題考查了遞推數(shù)列的通項公式的求解以及對勾函數(shù)的單調(diào)性,考查了同學們綜合運用知識解決問題的能力.19.A解析:A【分析】根據(jù),求出,,,,,尋找規(guī)律,即可求得答案.【詳解】當,,解得:當,,解得:當,,解得:當,,解得:當奇數(shù)時,當偶數(shù)時,,故故選:A.【點睛】本題主要考查了根據(jù)遞推公式求數(shù)列值,解題關鍵是掌握數(shù)列的基礎知識,考查了分析能力和計算能力,屬于中檔題.20.D解析:D【分析】分別求出,得到數(shù)列是周期為4的數(shù)列,利用周期性即可得出結果.【詳解】由題意知,,,,,,…,因此數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列,∴.故選D.【點睛】本題主要考查的是通過觀察法求數(shù)列的通項公式,屬于基礎題.二、多選題21.BCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關系,依次判斷四個選項,即可得正確答案.【詳解】對于A,可知數(shù)列的前8項為1,1,2,3,5,8,13,21,故A錯誤;對于B,,故B正確;對于C,可解析:BCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關系,依次判斷四個選項,即可得正確答案.【詳解】對于A,可知數(shù)列的前8項為1,1,2,3,5,8,13,21,故A錯誤;對于B,,故B正確;對于C,可得,則即,,故C正確;對于D,由可得,,故D正確.故選:BCD.【點睛】本題以“斐波那契數(shù)列”為背景,考查數(shù)列的遞推關系及性質,解題的關鍵是得出數(shù)列的遞推關系,,能根據(jù)數(shù)列性質利用累加法求解.22.AC【分析】由該數(shù)列的性質,逐項判斷即可得解.【詳解】對于A,,,,故A正確;對于B,由該數(shù)列的性質可得只有3的倍數(shù)項是偶數(shù),故B錯誤;對于C,,故C正確;對于D,,,,,各式相加解析:AC【分析】由該數(shù)列的性質,逐項判斷即可得解.【詳解】對于A,,,,故A正確;對于B,由該數(shù)列的性質可得只有3的倍數(shù)項是偶數(shù),故B錯誤;對于C,,故C正確;對于D,,,,,各式相加得,所以,故D錯誤.故選:AC.【點睛】關鍵點點睛:解決本題的關鍵是合理利用該數(shù)列的性質去證明選項.23.ABCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關系,對照四個選項可得正確答案.【詳解】對A,寫出數(shù)列的前6項為,故A正確;對B,,故B正確;對C,由,,,……,,可得:.故是斐波那契數(shù)列中的第解析:ABCD【分析】由題意可得數(shù)列滿足遞推關系,對照四個選項可得正確答案.【詳解】對A,寫出數(shù)列的前6項為,故A正確;對B,,故B正確;對C,由,,,……,,可得:.故是斐波那契數(shù)列中的第2020項.對D,斐波那契數(shù)列總有,則,,,……,,,故D正確;故選:ABCD.【點睛】本題以“斐波那契數(shù)列”為背景,考查數(shù)列的遞推關系及性質,考查方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意遞推關系的靈活轉換.24.AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差,進而計算即可得答案.【詳解】解:設等差數(shù)列的公差為,則,解得.所以,,,所以當且僅當或時,取得最大值.故選:AC【點睛】本題考查等差數(shù)列的解析:AC【分析】先根據(jù)題意得等差數(shù)列的公差,進而計算即可得答案.【詳解】解:設等差數(shù)列的公差為,則,解得.所以,,,所以當且僅當或時,取得最大值.故選:AC【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本計算,前項和的最值問題,是中檔題.等差數(shù)列前項和的最值得求解常見一下兩種情況:(1)當時,有最大值,可以通過的二次函數(shù)性質求解,也可以通過求滿足且的的取值范圍確定;(2)當時,有最小值,可以通過的二次函數(shù)性質求解,也可以通過求滿足且的的取值范圍確定;25.ABD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質,逐一檢驗選項,即可得答案.【詳解】對于A:因為正數(shù),公差不為0,且,所以公差,所以,即,根據(jù)等差數(shù)列的性質可得,又,所以,,故A正解析:ABD【分析】利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質,逐一檢驗選項,即可得答案.【詳解】對于A:因為正數(shù),公差不為0,且,所以公差,所以,即,根據(jù)等差數(shù)列的性質可得,又,所以,,故A正確;對于B:因為,則,所以,又,所以,所以,,所以使的最大的n為15,故B正確;對于C:因為,則,,則,即,所以則中最大,故C錯誤;對于D:因為,則,又,所以,即,故D正確,故選:ABD【點睛】解題的關鍵是先判斷d的正負,再根據(jù)等差數(shù)列的性質,對求和公式進行變形,求得項的正負,再分析和判斷,考查等差數(shù)列性質的靈活應用,屬中檔題.26.AC【分析】令,則,根據(jù),可判定A正確;由,可判定B錯誤;根據(jù)等差數(shù)列的性質,可判定C正確;,根據(jù),可判定D錯誤.【詳解】令,則,因為,所以為等差數(shù)列且公差,故A正確;由,所以,故B錯誤;解析:AC【分析】令,則,根據(jù),可判定A正確;由,可判定B錯誤;根據(jù)等差數(shù)列的性質,可判定C正確;,根據(jù),可判定D錯誤.【詳解】令,則,因為,所以為等差數(shù)列且公差,故A正確;由,所以,故B錯誤;根據(jù)等差數(shù)列的性質,可得,所以,,故,故C正確;由,因為,所以是遞增的等差數(shù)列,故D錯誤.故選:AC.【點睛】解決數(shù)列的單調(diào)性問題的三種方法;1、作差比較法:根據(jù)的符號,判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列;2、作商比較法:根據(jù)或與1的大小關系,進行判定;3、數(shù)形結合法:結合相應的函數(shù)的圖象直觀判斷.27.BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質判斷.【詳解】A錯:;B對:對稱軸為7;C對:,又,;D錯:,但不能得出是否為負,因此不一定有.故選:BC.【點睛】關鍵點點睛:本題考查等差數(shù)列解析:BC【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質判斷.【詳解】A錯:;B對:對稱軸為7;C對:,又,;D錯:,但不能得出是否為負,因此不一定有.故選:BC.【點睛】關鍵點點睛:本題考查等差數(shù)列的前項和性質,(1)是關于的二次函數(shù),可以利用二次函數(shù)性質得最值;(2),可由的正負確定與的大??;(3),因此可由的正負確定的正負.28.ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質和通項公式,逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為,,所以a1=3,an=[1+(n-1)d](n+2n).若d=1,則an=n(n+2n);若d=0,則a2=解析:ACD【分析】利用等差數(shù)列的性質和通項公式,逐個選項進行判斷即可求解【詳解】因為,,所以a1=3,an=[1+(n-1)d](n+2n).若d=1,則an=n(n+2n);若d=0,則a2=6.因為a2=6+6d,a3=11+22d,所以若a1,a2,a3成等差數(shù)列,則a1+a3=a2,即14+22d=12+12d,解得.故選ACD29.ACD【分析】由題可得,,,求出可判斷A;利用二次函數(shù)的性質可判斷B;求出可判斷C;令,解出即可判斷D.【詳解】設等差數(shù)列的公差為,則,解得,,,且,對于A,,故A正確;對于B,的對稱解析:ACD【分析】由題可得,,,求出可判斷A;利用二次函數(shù)的性質可判斷B;求出可判斷C;令,解出即可判斷D.【詳解】設等差數(shù)列的公差為,則,解得,,,且,對于A,,故A正確;對于B,的對稱軸為,開口向下,故或7時,取得最大值,故B錯誤;對于C,,,故,故C正確;對于D,令,解得,故n的最大值為12,故D正確.故選:ACD.【點睛】方法點睛:由于等差數(shù)列是關于的二次函數(shù),當與異號時,在對稱軸或離對稱軸最近的正整數(shù)時取最值;當與同號時,在取最值.30.BD【分析】設等差數(shù)列的公差為,依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意,設等差數(shù)列的公差為,依次分析選項:是等差數(shù)列,若,則,故B正確;又由得,則有,故A錯誤;而C選項,,即,可得,解析:BD【分析】設等差數(shù)列的公差為,依次分析選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意,設等差數(shù)列的公差為,依次分析選項:是等差數(shù)列,若,則,故B正確;又由得,則有,故A錯誤;而C選項,,即,可得,又由且,則,必有,顯然C選項是錯誤的.∵,,∴與均為的最大值,故D正確;故選:BD.【點睛】本題考查了等差數(shù)列以及前項和的性質,需熟記公式,屬于基礎題.31.ABD【分析】由等差數(shù)列的性質直接判斷AD選項,根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項.【詳解】A.因為數(shù)列是等差數(shù)列,所以,即,所以A正確;B.因為數(shù)列是等差數(shù)列,所以,那么,所以數(shù)解析:ABD【分析】由等差數(shù)列的性質直接判斷AD選項,根據(jù)等差數(shù)列的定義的判斷方法判斷BC選項.【詳解】A.因為數(shù)列是等差數(shù)列,所以,即,所以A正確;B.因為數(shù)列是等差數(shù)列,所以,那么,所以數(shù)列是等差數(shù)列,故B正確;C.,不是常數(shù),所以數(shù)列不是等差數(shù)列,故C不正確;D.根據(jù)等差數(shù)列的性質可知,所以是與的等差中項,故D正確.故選:ABD【點睛】本題考查等差數(shù)列的性質與判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列,屬于基礎題型.32.AD【分析】由已知得到,進而得到,從而對ABD作出判定.對于C,利用等差數(shù)列的和與項的關系可等價轉化為,可知不一定成立,從而判定C錯誤.【詳解】由已知得:,結合等差數(shù)列的性質可知,,該等差解析:AD【分析】由已知得到,進而得到,從而對ABD作出判定.對于C,利用等差數(shù)列的和與項的關系可等價轉化為,可知不一定成立,從而判定C錯誤.【詳解】由已知得:,結合等差數(shù)列的性質可知,,該等差數(shù)列是單調(diào)遞減的數(shù)列,∴A正確,B錯誤,D正確,,等價于,即,等價于,即,這在已知條件中是沒有的,故C錯誤.故選:AD

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