高考數(shù)學一輪總復習 13.6 離散型隨機變量的均值與方差題組訓練 理 蘇教版

第6講離散型隨機變量的均值與方差基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1．(·廣東卷改編)已知離散型隨機變量X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數(shù)學期望E(X)＝________.解析E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)2．已知某一隨機變量X的概率分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為________.X4a9P0.50.1b解析由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案73．已知隨機變量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，則E(Y)，V(Y)分別是________．解析由已知隨機變量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(Y)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案22.44．若p為非負實數(shù)，隨機變量X的分布列為X012Peq\f(1,2)－ppeq\f(1,2)則E(X)的最大值為________．解析由p≥0，eq\f(1,2)－p≥0，則0≤p≤eq\f(1,2)，E(X)＝p＋1≤eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)5．體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球．否則一直發(fā)到3次為止，設(shè)學生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學期望E(X)>1.75，則p的取值范圍是________．解析X的可能取值為1,2,3，∵P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，由E(X)>1.75，即p2－3p＋3>1.75，得p<eq\f(1,2)或p>eq\f(5,2)(舍)．∴0<p<eq\f(1,2).答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))6．(·長沙調(diào)研)有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3次，若X表示取到次品的次數(shù)，則V(X)＝________.解析因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品(試驗)取得次品(成功)的概率為eq\f(1,4)，從中取3次(做3次試驗)X為取得次品(成功)的次數(shù)，則X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,4)))，∴V(X)＝3×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(9,16).答案eq\f(9,16)7．馬老師從課本上抄錄一個隨機變量X的概率分布列如下表：x123P(X＝x)？?。空埿∨Ｍ瑢W計算X的數(shù)學期望，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同．據(jù)此，小牛給出了正確答案E(X)＝________.解析設(shè)P(X＝1)＝x，則P(X＝3)＝x，由分布列性質(zhì)，∴P(X＝2)＝1－2x，因此E(X)＝1·x＋2·(1－2x)＋3·x＝2.答案28．(·青島調(diào)研)某項游戲活動的獎勵分成一、二、三等獎且相應(yīng)獲獎概率是以a1為首項，公比為2的等比數(shù)列，相應(yīng)資金是以700元為首項，公差為－140元的等差數(shù)列，則參與該游戲獲得資金的數(shù)學期望為________元．解析由概率分布性質(zhì)a1＋2a1＋4a∴a1＝eq\f(1,7)，從而2a1＝eq\f(2,7)，4a1＝eq\f(4,7).因此獲得資金X的分布列為X700560420Peq\f(1,7)eq\f(2,7)eq\f(4,7)∴E(X)＝700×eq\f(1,7)＋560×eq\f(2,7)＋420×eq\f(4,7)＝500(元)答案500二、解答題9．某籃球隊與其他6支籃球隊依次進行6場比賽，每場均決出勝負，設(shè)這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的，并且勝場的概率是eq\f(1,3).(1)求這支籃球隊首次勝場前已經(jīng)負了兩場的概率；(2)求這支籃球隊在6場比賽中恰好勝了3場的概率；(3)求這支籃球隊在6場比賽中勝場數(shù)的均值和方差．解(1)P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).所以這支籃球隊首次勝場前已負兩場的概率為eq\f(4,27).(2)6場勝3場的情況有Ceq\o\al(3,6)種，∴P＝Ceq\o\al(3,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))3＝20×eq\f(1,27)×eq\f(8,27)＝eq\f(160,729).所以這支籃球隊在6場比賽中恰勝3場的概率為eq\f(160,729).(3)由于X服從二項分布，即X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，∴E(X)＝6×eq\f(1,3)＝2，V(X)＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).所以在6場比賽中這支籃球隊勝場的均值為2，方差為eq\f(4,3).10．(·汕頭一模)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標號．(1)求X的分布列、數(shù)學期望和方差；(2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，V(Y)＝11，試求a，b的值．解(1)X的分布列為X01234Peq\f(1,2)eq\f(1,20)eq\f(1,10)eq\f(3,20)eq\f(1,5)∴E(X)＝0×eq\f(1,2)＋1×eq\f(1,20)＋2×eq\f(1,10)＋3×eq\f(3,20)＋4×eq\f(1,5)＝1.5.V(X)＝(0－1.5)2×eq\f(1,2)＋(1－1.5)2×eq\f(1,20)＋(2－1.5)2×eq\f(1,10)＋(3－1.5)2×eq\f(3,20)＋(4－1.5)2×eq\f(1,5)＝2.75.(2)由V(Y)＝a2V(X)，得a2×2.75＝11，即a＝±2.又E(Y)＝aE(X)＋b，所以當a＝2時，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.當a＝－2時，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，))即為所求．能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1．一射手對靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停止后剩余子彈的數(shù)目X的均值為________．解析X的所有可能取值為3,2,1,0，其分布列為X3210P0.60.240.0960.064∴E(X)＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.答案2.3762．(·西安調(diào)研)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學期望為________．解析記不發(fā)芽的種子數(shù)為Y，則Y～B(1000,0.1)，∴E(Y)＝1000×0.1＝100.又X＝2Y，∴E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案2003．某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為eq\f(2,3)，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)，若P(X＝0)＝eq\f(1,12)，則隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝________.解析由題意知P(X＝0)＝eq\f(1,3)(1－p)2＝eq\f(1,12)，∴p＝eq\f(1,2).隨機變量X的分布列為：X0123Peq\f(1,12)eq\f(1,3)eq\f(5,12)eq\f(1,6)E(X)＝0×eq\f(1,12)＋1×eq\f(1,3)＋2×eq\f(5,12)＋3×eq\f(1,6)＝eq\f(5,3).答案eq\f(5,3)二、解答題4．如圖所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖．(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學期望與方差．解(1)依題意及頻率分布直方圖知，0．02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由題意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×0.93＝0