人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊4.4對數(shù)函數(shù) 課時(shí)11 不同函數(shù)增長的差異【課件】

4.4對數(shù)函數(shù)課時(shí)11不同函數(shù)增長的差異教學(xué)目標(biāo)1.通過自主探究一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象特征和增長速度,掌握由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法.2.歸納總結(jié)一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等的增長差異,體會“直線上升”“指數(shù)爆炸”和“對數(shù)增長”等不同類型函數(shù)增長特征的含義.3.能運(yùn)用不同函數(shù)的增長差異,解決一些簡單的實(shí)際問題,感悟函數(shù)模型的用途與價(jià)值,提升分析問題、解決問題的能力.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)理解和掌握幾種常見函數(shù)的增長差異,掌握由特殊到一般、由具體到抽象的數(shù)學(xué)研究方法通過自主探究函數(shù)的圖象特征和增長速度，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理素養(yǎng)體會“直線上升”“指數(shù)爆炸”和“對數(shù)增長”等不同類型函數(shù)增長特征的含義借助圖象體會不同函數(shù)的增長速度，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)能夠利用不同函數(shù)增長的差異,通過構(gòu)建函數(shù)模型,運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決實(shí)際問題利用不同函數(shù)的增長差異解決相關(guān)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)

在日常生活中，增長現(xiàn)象到處都是．比如我國GDP(國內(nèi)生產(chǎn)總值)的增長，澳大利亞的兔子在短時(shí)間內(nèi)迅速繁殖，某地區(qū)房價(jià)的上漲，等等．事實(shí)上，在我們學(xué)過的函數(shù)中，也有很多是增長型的．你能列舉出以前學(xué)過的增長型函數(shù)嗎？它們的增長速度是否一樣？【活動(dòng)1】探究指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異【問題1】請用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y＝2x和y＝2x的圖象，它們的圖象有什么特點(diǎn)？初探新知【問題2】上述兩個(gè)函數(shù)的增長速度分別是怎樣的？【問題3】如果取更大的x的值，這兩個(gè)函數(shù)圖象的增長速度如何？【問題4】指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)與一次函數(shù)y＝kx(k>0)的增長有何差異？【活動(dòng)2】探究對數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的增長差異【問題6】上述兩個(gè)函數(shù)的增長速度分別是怎樣的？【問題7】如果取更大的x的值，這兩個(gè)函數(shù)圖象的增長速度如何？

典例精析

思路點(diǎn)撥：函數(shù)值增長的快慢取決于函數(shù)類型，不同函數(shù)的圖象是不一樣的，因而不同函數(shù)類型對應(yīng)的增長特點(diǎn)也是不一樣的．指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象的增長趨勢取決于底數(shù)的大?。瓵D【方法規(guī)律】一次函數(shù)的增長速度是不變的，底數(shù)不同的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增長差異是不同的．當(dāng)a>1時(shí)，指數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，其函數(shù)值的增長速度越快；對數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大，其函數(shù)值的增長速度越慢．

【解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的增長特點(diǎn)，可知底數(shù)越大，其函數(shù)值的增長速度越快，故正確A，B錯(cuò)誤；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的增長特點(diǎn)，可知底數(shù)越小，其函數(shù)值的增長速度越快，故C錯(cuò)誤，D正確．故選AD

AD【解】對于A,一次函數(shù)的增長速度保持不變,正確;對于BC,當(dāng)0<a<1時(shí),顯然不成立;對于D,當(dāng)a>1,n>0時(shí),一定存在x0,使得當(dāng)x>x0時(shí),總有ax>xn>logax,但若去掉限制條件“a>1,n>0”,則結(jié)論不成立.故選AD.思路點(diǎn)撥：利用函數(shù)的圖象，結(jié)合選項(xiàng)逐一計(jì)算判斷即可．【例2】[教材改編題]假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供選擇,這三種方案每天的回報(bào)如圖,橫軸為投資時(shí)間,縱軸為每天的回報(bào).根據(jù)以上信息,若使回報(bào)最多,下列說法中錯(cuò)誤的是 (

)例2A.投資3天以內(nèi)(含3天),采用方案一B.投資4天,不采用方案三C.投資6天,采用方案一D.投資12天,采用方案二【解】由圖可知，投資3天(含3天)內(nèi)的，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可得方案一的回報(bào)最多，所以A正確；投資4天，方案一的回報(bào)約為40×4＝160(元)，方案二的回報(bào)約為10＋20＋30＋40＝100(元)，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可知方案一、方案二都比方案三高，所以B正確；投資6天，方案一的回報(bào)約為40×6＝240(元)，方案二的回報(bào)約為10＋20＋30＋40＋50＋60＝210(元)，結(jié)合圖象對應(yīng)的高低，可知方案一比方案二、方案三高，所以C正確；投資12天，根據(jù)圖象的變化可知，方案三高很多，所以采用方案三，所以D錯(cuò)誤．故選D.【方法規(guī)律】解題時(shí)，需熟練掌握指數(shù)函數(shù)的增長特點(diǎn)，即指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>1)在［0，+∞）上單調(diào)遞增，圖象的增長速度越來越快．

【變式訓(xùn)練2】(多選)[2020·江西宜春模擬]某池塘中有一塊浮草，浮草蔓延后的面積y(m2)與時(shí)間t(月)之間的函數(shù)解析式是y＝at－1(a>0，且a≠1)，它的圖象如圖所示．以下結(jié)論中正確的有(

)A.池塘中原有浮草的面積是0.5m2B.第8個(gè)月浮草的面積超過60m2C.浮草每月增加的面積都相等D.若浮草面積達(dá)到10m2，20m2，30m2所經(jīng)過的時(shí)間分別為t1，t2，t3，則2t2>t1＋t3ABD

思路點(diǎn)撥

先根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，然后根據(jù)圖象的增長速度，再結(jié)合松樹生長的實(shí)際情況綜合判斷應(yīng)該用哪種函數(shù)模型，之后用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型中的參數(shù)，進(jìn)而就可以利用得到的函數(shù)模型進(jìn)行預(yù)測．

【例3】某人對東北一種松樹的生長進(jìn)行了研究，收集了其高度h(m)與生長時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表若選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來擬合h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個(gè)符合？并預(yù)測第8年的松樹高度．

【解】據(jù)題表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖：

【變式訓(xùn)練3】

洪澤湖是中國大湖中唯一的活水湖，水質(zhì)優(yōu)良，有利于優(yōu)質(zhì)大閘蟹的生產(chǎn)．泗洪中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行社會調(diào)查，了解到某大閘蟹生產(chǎn)銷售公司為了實(shí)現(xiàn)100萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定如下銷售獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤超過6萬元時(shí)，按銷售利潤進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬元)隨銷售利潤x(單位：萬元)的增加而增加，但獎(jiǎng)金總數(shù)不超過3萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不能超過總利潤的20%.同學(xué)們利用所學(xué)函數(shù)知識，設(shè)計(jì)了甲：y＝0.04x，乙：y＝log11(3x－10)兩種函數(shù)模型，其中符合公司要求的是________．(填“甲”或“乙”，參考數(shù)據(jù)：1.015100≈4.432，lg11≈1.041)乙

思路點(diǎn)撥

根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)初步判斷圖象的增長速度,通過給定的函數(shù)模型進(jìn)行綜合判斷,之后用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型中的參數(shù),進(jìn)而就可以利用得到的函數(shù)模型進(jìn)行預(yù)測.（備選例題）某汽車制造商在2022年初公告:公司計(jì)劃2022年的生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬輛.已知該公司近三年的汽車生產(chǎn)量如下表所示:如果我們分別將2019、2020、2021、2022定義為第一、二、三、四年.現(xiàn)在有兩個(gè)函數(shù)模型:二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),指數(shù)函數(shù)模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),哪個(gè)模型能更好地反映該公司生產(chǎn)量y與年份x的關(guān)系?年份201920202021產(chǎn)量/萬輛81830【解】

【方法規(guī)律】不同的函數(shù)模型能刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不同的變化規(guī)律:(1)線性函數(shù)增長模型適合于描述增長速度不變的變化規(guī)律;(2)指數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度急劇的變化規(guī)律;(3)對數(shù)函數(shù)增長模型適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律;(4)冪函數(shù)增長模型適合于描述增長速度一般的變化規(guī)律.

課堂反思通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了什么？2.你認(rèn)為本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)是什么？隨堂演練

A2.[2022·陜西省西安市第五十七中學(xué)高一期末]已知三個(gè)變量y1，y2，y3隨變量x的變化而變化的數(shù)據(jù)如下表：x12468…y1241664256…y214163664…y30122.5853…

B3.(多選)[教材改編題]根據(jù)函數(shù)y＝3x和y＝5x的圖象，下列描述中正確的是()A.在區(qū)間(0.6，0.9)上，函數(shù)y＝3x的函數(shù)值比函數(shù)y＝5x的函數(shù)值小B.在區(qū)間(1，2)上，函數(shù)y＝3x的函數(shù)值比函數(shù)y＝5x的函數(shù)值大C.在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝5x的增長速度保持不變D.在區(qū)間(6，＋∞)