人教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用 1課時(shí) 三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用【課件】

第五章三角函數(shù)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用課時(shí)1

三角函數(shù)模型在物理中的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.了解“簡諧運(yùn)動(dòng)”的函數(shù)模型y=Asin(ωt+φ)(t≥0,A,ω>0)中參數(shù)A,ω,φ的物理意義,進(jìn)一步理解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象特征和性質(zhì).2.能根據(jù)已知條件求出三角函數(shù)模型y=Asin(ωt+φ)的解析式,進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是描述日常生活中的周期現(xiàn)象的重要的數(shù)學(xué)模型.3.會(huì)構(gòu)造三角函數(shù)模型y=Asin(ωx+φ)刻畫和描述物理中的相關(guān)運(yùn)動(dòng),能夠?qū)⑽锢碇械膶?shí)際問題抽象為與三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)有關(guān)的函數(shù)模型.學(xué)習(xí)目標(biāo)課程目標(biāo)學(xué)科核心素養(yǎng)研究簡諧運(yùn)動(dòng),進(jìn)一步理解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象特征和性質(zhì)通過對(duì)物理學(xué)中簡諧運(yùn)動(dòng)的探索研究,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)能結(jié)合物理學(xué)的有關(guān)知識(shí),根據(jù)已知條件求出三角函數(shù)模型y=Asin(ωt+φ)的解析式在運(yùn)用物理知識(shí)建立三角函數(shù)模型的過程中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)會(huì)用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的物理問題在構(gòu)建三角函數(shù)模型解決物理問題的過程中,培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)情境導(dǎo)學(xué)現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，這些現(xiàn)象一般都具有周期性，例如彈簧振子、單擺、交變電流等．這些周期現(xiàn)象的運(yùn)動(dòng)規(guī)律常?？梢钥紤]借助三角函數(shù)來描述，而相關(guān)問題也可以運(yùn)用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)加以解決．現(xiàn)有某個(gè)彈簧振子在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t(單位：s)與位移y(單位：mm)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示，結(jié)合表1數(shù)據(jù)，可以利用什么函數(shù)模型刻畫彈簧振子的運(yùn)動(dòng)過程？初探新知【問題1】情境導(dǎo)學(xué)中，我們給出了彈簧振子一次全振動(dòng)過程中時(shí)間與位移的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，如何把已知的數(shù)據(jù)更直觀地表達(dá)出來？【活動(dòng)1】探究振子運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型【問題2】觀察散點(diǎn)圖，位移y隨時(shí)間t的變化規(guī)律可以用怎樣的函數(shù)模型刻畫？【問題3】如何求解振子的位移y(單位：mm)關(guān)于時(shí)間t(單位：s)的函數(shù)解析式(或近似解析式)？【問題4】你能說出簡諧運(yùn)動(dòng)中的振幅、周期、頻率、相位、初相的含義嗎?【問題5】如圖①是某次實(shí)驗(yàn)測得的交變電流i(A)隨時(shí)間t(s)變化的圖象，將圖象放大，可以發(fā)現(xiàn)交變電流的變化具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，如圖②.那么可以利用怎樣的函數(shù)模型刻畫交變電流的周期性變化呢？【活動(dòng)2】探究交變電流關(guān)于時(shí)間變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型

【知識(shí)梳理】1.在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下,簡諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A是這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅,它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離;這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的周期是T=2π/ω,它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間;這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式f=1/T=ω/2π給出,它是做簡諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù);ωx+φ稱為相位;x=0時(shí)的相位φ稱為初相.2.由交變電流的產(chǎn)生原理可知,電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可用i=Asin(ωt+φ)來刻畫.其中A是交變電流的振幅,它是最大電流;周期是T=2π/ω,它是交變電流完整變化一次所需要的時(shí)間;這個(gè)交變電流的頻率由公式f=1/T=ω/2π給出;ωt+φ稱為相位;x=0時(shí)的相位φ稱為初相.典例精析

【例1】[教材改編題]某簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象如圖所示，試根據(jù)圖象回答下列問題：(1)這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的振幅、周期與頻率各是多少？(2)寫出這個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)的函數(shù)解析式．

【解】【方法規(guī)律】已知三角函數(shù)圖象求三角函數(shù)解析式，一般情況下，可直接觀察圖象得出周期、振幅，進(jìn)一步求出角速度，最后利用最大值點(diǎn)(或最小值點(diǎn))求出初相．

【變式訓(xùn)練1】如圖是彈簧振子做簡諧振動(dòng)的圖象，橫軸表示振動(dòng)的時(shí)間，縱軸表示振動(dòng)的位移，則這個(gè)振子振動(dòng)的函數(shù)解析式是____________________.【解】

思路點(diǎn)撥：(1)把t＝0代入已知函數(shù)，求得h值即可得初始位置．(2)由解析式可得振幅，然后求出最高點(diǎn)、最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)t值，即可得．(3)求函數(shù)周期可得．(4)由頻率的意義可得．【解】

【方法規(guī)律】已知三角函數(shù)解析式，一般情況下，可直接得出角速度、振幅，進(jìn)一步求出周期、頻率，以及最值．注意具體問題中幾何刻畫與代數(shù)刻畫的聯(lián)系與區(qū)別，例如本例題的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)是幾何刻畫，最大值、最小值是代數(shù)刻畫．

【變式訓(xùn)練2】彈簧振子以點(diǎn)O為平衡位置在A，B間做簡諧運(yùn)動(dòng)，A，B相距50cm.某時(shí)刻振子位于點(diǎn)A，經(jīng)1s振子首次到達(dá)點(diǎn)B.求：(1)振子振動(dòng)的周期和頻率；(2)振子在1min內(nèi)通過的路程及此時(shí)的位移大小；(3)振子與點(diǎn)A的位移y與時(shí)間t的函數(shù)解析式．【解】

【方法規(guī)律】交變電流I與時(shí)間t的關(guān)系可以用三角函數(shù)模型I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),應(yīng)用這一模型解決相關(guān)問題時(shí),要注意結(jié)合其圖象分析:在一個(gè)完整的周期上必然能取到最大值與最小值;三角函數(shù)相鄰的最值點(diǎn)之間的距離為最小正周期的一半.

BD【解】

【備選例題】

思路點(diǎn)撥：

(1)最大偏角θ0滿足sinθ0=s/l,其中,s=3,l=25,從而sinθ0=3/25,由計(jì)算器,可得θ0≈0.1203.(2)由函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)的性質(zhì)與T=1s,可得l=g/(4π2),代入g=9.8m/s2=980cm/s2,可求得l=980/(4×3.142)≈24.82.

【解】

【方法規(guī)律】在現(xiàn)實(shí)生活中,許多變化的現(xiàn)象都具有周期性,因此,可以用三角函數(shù)模型來描述.如:氣象方面有溫度的變化,天文學(xué)方面有白晝時(shí)間的變化,物理學(xué)方面有各種各樣的振動(dòng)波,生理方面有人的情緒、智力、體力變化等.研究這些應(yīng)用問題,主要有以下三種模式.(1)給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型,根據(jù)所給模型,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),解決一些實(shí)際問題.(2)給定呈周期變化的圖象,利用待定系數(shù)法求出函數(shù),再解決其他問題.(3)搜集一個(gè)實(shí)際問題的調(diào)查數(shù)據(jù),根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,通過擬合函數(shù)圖象,求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)式,進(jìn)一步用函數(shù)性質(zhì)來解決相應(yīng)的實(shí)際問題.

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