山西省2025屆聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題含解析

山西省2025屆聯(lián)合模擬考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知正方體的棱長為，，，分別是棱，，的中點，給出下列四個命題:①;②直線與直線所成角為;③過，，三點的平面截該正方體所得的截面為六邊形;④三棱錐的體積為.其中，正確命題的個數(shù)為（）A． B． C． D．2．已知四棱錐的底面為矩形，底面，點在線段上，以為直徑的圓過點.若，則的面積的最小值為（）A．9 B．7 C． D．3．已知為兩條不重合直線，為兩個不重合平面，下列條件中，的充分條件是（）A．∥ B．∥C．∥∥ D．4．設(shè)集合，，若集合中有且僅有2個元素，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．5．已知的面積是,,,則（）A．5 B．或1 C．5或1 D．6．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是A． B．C． D．7．已知雙曲線與雙曲線沒有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．8．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=i對應(yīng)的點為Z，將向量繞原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．9．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．10．設(shè)曲線在點處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．411．若干年前，某教師剛退休的月退休金為6000元，月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強(qiáng)了體育鍛煉，目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元，則目前該教師的月退休金為（）.A．6500元 B．7000元 C．7500元 D．8000元12．阿波羅尼斯（約公元前262~190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點與，的距離之比為，當(dāng)，，不共線時，的面積的最大值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到一個偶函數(shù)圖象，則________．14．若x，y均為正數(shù)，且，則的最小值為________.15．若向量滿足，則實數(shù)的取值范圍是____________.16．設(shè)向量，，且，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某生物硏究小組準(zhǔn)備探究某地區(qū)蜻蜓的翼長分布規(guī)律，據(jù)統(tǒng)計該地區(qū)蜻蜓有兩種，且這兩種的個體數(shù)量大致相等，記種蜻蜓和種蜻蜓的翼長（單位：）分別為隨機(jī)變量，其中服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布.（Ⅰ）從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉一只，求這只蜻蜓的翼長在區(qū)間的概率；（Ⅱ）記該地區(qū)蜻蜓的翼長為隨機(jī)變量，若用正態(tài)分布來近似描述的分布，請你根據(jù)（Ⅰ）中的結(jié)果，求參數(shù)和的值（精確到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從該地區(qū)的蜻蜓中隨機(jī)捕捉3只，記這3只中翼長在區(qū)間的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（分布列寫出計算表達(dá)式即可）.注:若，則，，.18．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.19．（12分）已知橢圓的上頂點為，圓與軸的正半軸交于點，與有且僅有兩個交點且都在軸上，（為坐標(biāo)原點）.（1）求橢圓的方程；（2）已知點，不過點且斜率為的直線與橢圓交于兩點，證明：直線與直線的斜率互為相反數(shù).20．（12分）設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.21．（12分）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，，已知,(1)求數(shù)列的首項和公比；（2）求數(shù)列的通項公式．22．（10分）如圖，在四棱錐中，側(cè)棱底面，，，，是棱的中點.（1）求證：平面；（2）若，點是線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

畫出幾何體的圖形，然后轉(zhuǎn)化判斷四個命題的真假即可．【詳解】如圖；連接相關(guān)點的線段，為的中點，連接，因為是中點，可知，，可知平面，即可證明，所以①正確；直線與直線所成角就是直線與直線所成角為；正確；過，，三點的平面截該正方體所得的截面為五邊形；如圖：是五邊形．所以③不正確；如圖：三棱錐的體積為：由條件易知F是GM中點，所以,而，．所以三棱錐的體積為，④正確；故選：．本題考查命題的真假的判斷與應(yīng)用，涉及空間幾何體的體積，直線與平面的位置關(guān)系的應(yīng)用，平面的基本性質(zhì)，是中檔題．2．C【解析】

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定，根據(jù)勾股定理，得到之間的等量關(guān)系，再用表示出的面積，利用均值不等式即可容易求得.【詳解】設(shè)，，則.因為平面，平面，所以.又，，所以平面，則.易知，.在中，，即，化簡得.在中，，.所以.因為，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，所以.故選：C.本題考查空間幾何體的線面位置關(guān)系及基本不等式的應(yīng)用，考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，涉及線面垂直的判定和性質(zhì)，屬中檔題.3．D【解析】

根據(jù)面面垂直的判定定理，對選項中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可.【詳解】對于A，當(dāng)，，時，則平面與平面可能相交，，，故不能作為的充分條件，故A錯誤；對于B，當(dāng)，，時，則，故不能作為的充分條件，故B錯誤；對于C，當(dāng)，，時，則平面與平面相交，，，故不能作為的充分條件，故C錯誤；對于D，當(dāng)，，，則一定能得到，故D正確.故選：D.本題考查了面面垂直的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

由題意知且，結(jié)合數(shù)軸即可求得的取值范圍.【詳解】由題意知，，則，故，又，則，所以，所以本題答案為B.本題主要考查了集合的關(guān)系及運算，以及借助數(shù)軸解決有關(guān)問題，其中確定中的元素是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】∵，,∴①若為鈍角，則，由余弦定理得，解得；②若為銳角，則，同理得.故選B.6．B【解析】

由模長公式求解即可.【詳解】，當(dāng)時取等號，所以本題答案為B.本題考查向量的數(shù)量積，考查模長公式，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.7．C【解析】

先求得的漸近線方程，根據(jù)沒有公共點，判斷出漸近線斜率的取值范圍，由此求得離心率的取值范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由于雙曲線與雙曲線沒有公共點，所以雙曲線的漸近線的斜率，所以雙曲線的離心率.故選：C本小題主要考查雙曲線的漸近線，考查雙曲線離心率的取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.8．A【解析】

由復(fù)數(shù)z求得點Z的坐標(biāo)，得到向量的坐標(biāo)，逆時針旋轉(zhuǎn)，得到向量的坐標(biāo)，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)可求.【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z=i（i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面中對應(yīng)點Z（0，1），

∴＝(0，1)，將繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)得到，

設(shè)＝(a，b)，，則，即，

又，解得：，∴，對應(yīng)復(fù)數(shù)為.故選：A.本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題.9．D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因為在上遞減，，即．故選:D本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【詳解】因為，且在點處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題11．D【解析】

設(shè)目前該教師的退休金為x元，利用條形圖和折線圖列出方程，求出結(jié)果即可．【詳解】設(shè)目前該教師的退休金為x元，則由題意得：6000×15%﹣x×10%＝1．解得x＝2．故選D．本題考查由條形圖和折線圖等基礎(chǔ)知識解決實際問題，屬于基礎(chǔ)題．12．A【解析】

根據(jù)平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】如圖所示：設(shè)，，，則，化簡得，當(dāng)點到（軸）距離最大時，的面積最大，∴面積的最大值是.故選：A.本題主要考查軌跡的求法和圓的應(yīng)用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)平移后關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱，進(jìn)而利用特殊值構(gòu)造方程，從而求得結(jié)果.【詳解】向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)圖象，即關(guān)于軸對稱關(guān)于對稱即：本題正確結(jié)果：本題考查根據(jù)三角函數(shù)的對稱軸求解參數(shù)值的問題，關(guān)鍵是能夠通過平移后的對稱軸得到原函數(shù)的對稱軸，進(jìn)而利用特殊值的方式來進(jìn)行求解.14．4【解析】

由基本不等式可得,則,即可解得.【詳解】方法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.方法二：因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等.故答案為:.本題考查基本不等式在求最小值中的應(yīng)用,考查學(xué)生對基本不等式的靈活使用,難度較易.15．【解析】

根據(jù)題意計算，解得答案.【詳解】，故，解得.故答案為：.本題考查了向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生的計算能力.16．【解析】

根據(jù)向量的數(shù)量積的計算，以及向量的平方，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：且由所以故答案為：本題考查向量的坐標(biāo)計算，主要考查計算，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）由題知這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的，所以，代入數(shù)值運算即可；（Ⅱ）可判斷均值應(yīng)為，再結(jié)合（1）和題干備注信息可得，進(jìn)而求解；（Ⅲ）求得，該分布符合二項分布，故，列出分布列，計算出對應(yīng)概率，結(jié)合即可求解；【詳解】（Ⅰ）記這只蜻蜓的翼長為.因為種蜻蜓和種蜻蜓的個體數(shù)量大致相等，所以這只蜻蜓是種還是種的可能性是相等的.所以.（Ⅱ）由于兩種蜻蜓的個體數(shù)量相等，的方差也相等，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，可知由（Ⅰ）可知，得.（Ⅲ）設(shè)蜻蜓的翼長為，則.由題有，所以.因此的分布列為.本題考查正態(tài)分布基本量的求解，二項分布求解離散型隨機(jī)變量分布列和期望，屬于中檔題18．（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）會超過；詳見解析【解析】

（1）利用組合進(jìn)行計算以及概率表示，可得結(jié)果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計算相對應(yīng)的概率，列出表格可得結(jié)果.（ii）由（i）的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應(yīng)的概率，可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和，最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬元比較，可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會超過2.88萬元.本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬基礎(chǔ)題。19．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)條件可得，進(jìn)而得到，即可得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，分別表示出直線和直線斜率，相加利用根與系數(shù)關(guān)系即可得到.【詳解】解：（1）圓與有且僅有兩個交點且都在軸上，所以，又，，解得，故橢圓的方程為；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，則，解得，設(shè)點，，則，，所以，故直線與直線的斜率互為相反數(shù).本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于中檔題．20．（1）（2）見解析【解析】

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，得到，再結(jié)合題干所給數(shù)據(jù)得到公差，即可求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可得，再利用放縮法證明不等式即可；【詳解】解：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，∴.本題考查等差數(shù)列的通項公式的計算，放縮法證明數(shù)列不等式，屬于中檔題.21．(1)（2）【解析】

本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式的求解，數(shù)列求和的錯位相減求和是數(shù)列求和中的重點與難點，要注意掌握．（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q+q2=6，解方程可求q（2）由（1）可求an=a1?qn-1=2n-1，結(jié)合數(shù)列的特點，考慮利用錯位相減可求數(shù)列的和解：（1）（2），兩式相減：22．（1）