新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)鞏固練習(xí)14 導(dǎo)數(shù)解答題之函數(shù)型數(shù)列不等式問題（解析版）

微專題14導(dǎo)數(shù)解答題之函數(shù)型數(shù)列不等式問題【秒殺總結(jié)】1、分析通項法：由于左邊是一個求和(積)形式的表達(dá)式，右邊是一個簡單的式子，為了使得兩者能夠明顯地顯現(xiàn)出大小特征，有必要將兩者統(tǒng)一成同一種形式，此處有兩條路可走，一種是將左邊的和式收攏，一種是將右邊的式子分解.很明顯，左邊是無法收找的，因此需要將右邊進(jìn)行拆分，而拆分的原則就是和左邊配對.假設(shè)右邊SKIPIF1<0，這樣一來，相當(dāng)于已知一個數(shù)列的前SKIPIF1<0項之和，求SKIPIF1<0，利用數(shù)列的知識可知SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以，接下來只需要證明SKIPIF1<0即可.2、幾種常見的數(shù)列放縮方法：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0；（6）SKIPIF1<0；（7）SKIPIF1<0；（8）SKIPIF1<0；（9）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（10）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（11）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（12）SKIPIF1<0；（13）SKIPIF1<0.3、根據(jù)不等式的信息，利用題目的結(jié)論，得出不等式，然后對變量取合適的數(shù)據(jù)，再用數(shù)列求和法而得解.【典型例題】例1．（2023·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)證明：對任意SKIPIF1<0；(3)討論函數(shù)SKIPIF1<0零點的個數(shù).【解析】（1）求導(dǎo)可得：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，對任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，考查函數(shù)SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，有SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)，所以SKIPIF1<0，不符題意，綜上可得：SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0；（2）由（1）知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0時，恒有SKIPIF1<0，即當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0成立，取SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將上述幾個不等式相加可得：SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立；（3）由SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個零點，當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），此時SKIPIF1<0有一個零點，當(dāng)SKIPIF1<0時，考查函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為減函數(shù)，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0有一個零點，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有兩解，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以極小值SKIPIF1<0極大值SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為減函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為減函數(shù)，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0有三個零點，綜上可得：SKIPIF1<0時SKIPIF1<0有一個零點，SKIPIF1<0時SKIPIF1<0有三個零點.例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)證明：對SKIPIF1<0恒成立；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立？請說明理由．【解析】（1）證明：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，且當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上也單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，且當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上仍單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0；（2）對于右側(cè)：由（1）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以該側(cè)不等號始終成立；對于左側(cè)：由（1）可知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0上有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．此時SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，所以可得到一個充分條件，即SKIPIF1<0，所以任取SKIPIF1<0，則該側(cè)不等式成立，（SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0整數(shù)部分），因此，對于任意SKIPIF1<0，原不等式都成立．即所求的n是存在的．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，求證：SKIPIF1<0；(2)求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）證明：由（1）知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……．SKIPIF1<0，以上各式相加，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.例4．（2023·廣東廣州·高三廣州市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？說明理由．【解析】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．（?。┊?dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0也單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0仍單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0；（ⅱ）當(dāng)SKIPIF1<0時，注意到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以存在唯一SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0也單調(diào)遞減，故在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0仍單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不恒成立；（ⅲ）當(dāng)SKIPIF1<0時，由（?。┛芍?dāng)SKIPIF1<0就有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不恒成立；（ⅳ）當(dāng)SKIPIF1<0時，由（?。┛芍猄KIPIF1<0．綜合上述討論，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0；（2）對于右側(cè)：由（1）可知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0所以右側(cè)不等號始終成立；對于左側(cè)：由（1）可知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．此時SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0．所以當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，所以可得到一個充分條件SKIPIF1<0．所以任取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該側(cè)不等式成立．因此，對于任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，原不等式都成立．即所求的SKIPIF1<0是存在的.例5．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值；(2)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時，對于任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則對于任意的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，這與當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0矛盾，所以SKIPIF1<0舍去；綜上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為1.（2）由（1）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，將以上不等式左右兩邊分別相加，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.例6．用導(dǎo)數(shù)證明不等式，本題方法是利用已有結(jié)論構(gòu)造出形式相關(guān)的不等式SKIPIF1<0，即可利用累加法結(jié)合適當(dāng)變形可得結(jié)論例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)證明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【解析】（1）SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，不合題意，∴若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為SKIPIF1<0．（2）欲證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，由（1）可知當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，∴SKIPIF1<0，∴當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，將上述不等式累加得：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴不等式SKIPIF1<0得證，∴不等式SKIPIF1<0得證．例8．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0.（1）證明：SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為增函數(shù)，SKIPIF1<0；（2）由（1）知：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0式相加得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【過關(guān)測試】1．（2023·浙江·永嘉中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知SKIPIF1<0為正實數(shù)，函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；(2)求證：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.【解析】（1）SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，滿足條件；②若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，矛盾，不符合題意.綜上所述：SKIPIF1<0.（2）先證右側(cè)不等式，如下：由（1）可得：當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，右側(cè)不等式得證.下證左側(cè)不等式，如下：構(gòu)建SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，左側(cè)得證.綜上所述：不等式SKIPIF1<0成立.2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為正數(shù)，SKIPIF1<0.證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）（1）SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由（1），知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.3．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的極值；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求SKIPIF1<0的取值范圍；(3)證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，該函數(shù)的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，此時，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取得極大值，且極大值為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)，因為SKIPIF1<0，不合乎題意；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不合乎題意；當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.綜上所述，實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.（3）證明：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0對任意的SKIPIF1<0恒成立，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.4．（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)曲線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，求證：SKIPIF1<0；(3)證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增.（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題意，知SKIPIF1<0有兩解SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，①若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，也有SKIPIF1<0，綜合①②知，SKIPIF1<0，所以只需證SKIPIF1<0（*）.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴兩式相減，整理得SKIPIF1<0，代入（*）式，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在其定義域上為增函數(shù)，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0成立.（3）由（2）知，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，累加，得SKIPIF1<0.5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)），SKIPIF1<0．(1)討論函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性；(2)若對任意的SKIPIF1<0都有不等式SKIPIF1<0成立，求實數(shù)a的值．(3)設(shè)SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【解析】（1）函數(shù)SKIPIF1<0定義域為R，SKIPIF1<0．①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；②當(dāng)SKIPIF1<0時，解SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0.解SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；解SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.（2）令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0的值域為R，不符合題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，也不符合題意；③當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根據(jù)零點存在定理以及函數(shù)的單調(diào)性可知SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有唯一解SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，根據(jù)零點存在定理以及函數(shù)的單調(diào)性可知SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有唯一解SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.綜上所述，對SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都有唯一解SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.又當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.所以SKIPIF1<0，故只需SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，上式即轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．綜上所述，滿足條件的實數(shù)a的值為1.（3）證明：由（1）知，當(dāng)SKIPIF1<0時，對任意實數(shù)x，都有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，3，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．6．（2023·廣東·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為自然對數(shù)的底數(shù)，SKIPIF1<0.(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)證明：SKIPIF1<0恒成立；(3)證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0有極小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）證明：不等式SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0是定義域上的增函數(shù)，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有一個根SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0此時SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故結(jié)論成立.（3）證明：由（2）知，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由此可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，累加得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.7．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的最小值；(2)證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0（2）由（1）知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時等成立），令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，累加可得SKIPIF1<0，命題得證.8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)證明:當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0；(2)設(shè)SKIPIF1<0，證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0【解析】（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0．∴當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．（2）由（1）可知，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則上式化為SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0*得SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，得證．9．（2023春·山東濟(jì)寧·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；(2)若SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【解析】（1）因為SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增；②當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，i）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增.ii）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增.綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時，單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0，無減區(qū)間.（2）要證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，先證SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證畢!10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.(1)SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0；(2)證明：SKIPIF1<0.(SKIPIF1<0)【解析】（1）先證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.再證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，綜合以上可得SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上存在零點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也成立，所以，SKIPIF1<0得證，則SKIPIF1<0成立.11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)試比較SKIPIF1<0與1的大?。?2)求證：SKIPIF1<0.【解析】（1）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為增函數(shù)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，（2）由（1）可得：當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入可得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，則有：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，將以上SKIPIF1<0個式子兩邊分別相加，可得：SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0，故不等式得證.12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)試判斷函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；(2)若SKIPIF1<0對于SKIPIF1<0恒成立，求正整數(shù)SKIPIF1<0的最大值；(3)求證：SKIPIF1<0．【解析】（1）函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，證明如下：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù).（2）由SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0為增函數(shù)，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即存在唯一的實數(shù)SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<