新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)強(qiáng)化練習(xí)專題12 數(shù)列的基本運算（講）（原卷版）

第一篇熱點、難點突破篇專題12數(shù)列的基本運算（講）真題體驗感悟高考1．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，SKIPIF1<0是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中SKIPIF1<0是舉，SKIPIF1<0是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線SKIPIF1<0的斜率為0.725，則SKIPIF1<0（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.92．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知等比數(shù)列SKIPIF1<0的前3項和為168，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．14 B．12 C．6 D．33.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和．已知SKIPIF1<0．(1)證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；(2)若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值．總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測1.等差(等比)數(shù)列的定義、通項公式及求和公式是高考的基礎(chǔ)考點與高頻考點.以小題居多，屬于容易題.

2.數(shù)列求和方法中的公式法、錯位相減法、裂項相消法及分組求和法是高考的高頻考點，以小題或解答題形式出現(xiàn)，難易程度有些起伏，從趨勢看，與不等式等相結(jié)合，其難度有所增大，總體屬于中檔題.涉及數(shù)列的通項、遞推與不等式相結(jié)合的客觀題有所增加.

（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算【核心知識】等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d；(2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1·qn－1.(3)等差數(shù)列的求和公式：SKIPIF1<0；(4)等比數(shù)列的求和公式：SKIPIF1<0【典例分析】典例1.（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知SKIPIF1<0是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．9 B．10 C．11 D．12典例2.（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若a5–a3=12，a6–a4=24，則SKIPIF1<0=（

）A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1典例3.（2022春·湖南長沙·高三長郡中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，前4項和SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通項公式；(2)設(shè)等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．【規(guī)律方法】等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項SKIPIF1<0、公差d或公比q.(2)熟悉一些結(jié)構(gòu)特征，如前n項和為SKIPIF1<0(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為SKIPIF1<0的形式的數(shù)列為等比數(shù)列．(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進(jìn)行相關(guān)計算．考向二等差(等比)數(shù)列的性質(zhì)【核心知識】1．通項性質(zhì)：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，對于等比數(shù)列有SKIPIF1<0.2．前n項和的性質(zhì)：(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)情況除外)．(2)對于等差數(shù)列，有S2n－1＝(2n－1)an.【典例分析】典例4.（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，公差d≠0，SKIPIF1<0．記b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，SKIPIF1<0，下列等式不可能成立的是（

）A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0典例5.（2022春·云南昆明·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0為正項遞增等比數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0___________．典例6.（天津市河?xùn)|區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于____．【總結(jié)提升】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)問題的求解策略(1)抓關(guān)系，抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)進(jìn)行求解．(2)用性質(zhì)，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質(zhì)，如單調(diào)性、周期性等，可利用函數(shù)的性質(zhì)解題．考向三等差(等比)數(shù)列的探索與證明【核心知識】等差數(shù)列等比數(shù)列定義法an＋1－an＝deq\f(an＋1,an)＝q(q≠0)通項法an＝a1＋(n－1)dan＝a1·qn－1中項法2an＝an－1＋an＋1(n≥2)aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)前n項和法Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))Sn＝kqn－k(k≠0，q≠0,1)證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法．特別提醒：aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.【典例分析】典例7.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.典例8.（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)中有許多美麗的錯誤，法國數(shù)學(xué)家費馬通過觀察計算曾提出猜想：形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，1，2，…）的數(shù)都是質(zhì)數(shù)，這就是費馬素數(shù)猜想.半個世紀(jì)后善于發(fā)現(xiàn)的歐拉算出第5個費馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而否定了這一種猜想.現(xiàn)設(shè)：SKIPIF1<0（SKIPIF1<01，2，3，…），SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0表示數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0______.典例9.（2021·全國·高考真題）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和，已知SKIPIF1<0，且數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列.典例10.（2019年高考全國II卷理）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1，b1=0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（I）證明：{an+bn}是等比數(shù)列，{an–bn}是等差數(shù)列；（II）求{an}和{bn}的通項公式.典例11.（2022春·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三呼市二中）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是公差為1的等差數(shù)列.(1)證明：SKIPIF1<0是等比數(shù)列；(2)求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0.典例12.（2022·重慶沙坪壩·重慶八中校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPI