22.2 二次函數(shù)與一元二次方程 人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)課件

22.2二次函數(shù)與一元二次方程課堂小結(jié)獲取新知例題講解隨堂演練第二十二章

二次函數(shù)知識(shí)回顧知識(shí)回顧一元二次方程根的判別式：式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判別式，通常用希臘字母Δ表示.(1)當(dāng)Δ>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(2)當(dāng)Δ=0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.(3)當(dāng)Δ<0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)無(wú)實(shí)數(shù)根.獲取新知問(wèn)題:如圖以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有關(guān)系h=20t-5t2知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系考慮以下問(wèn)題：（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如能，需要多少飛行時(shí)間？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如能，需要多少飛行時(shí)間？（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？（4）球從飛出到落地需要用多少時(shí)間？

所以可以將問(wèn)題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t

的一元二次方程，如果方程有合乎實(shí)際的解，則說(shuō)明球的飛行高度可以達(dá)到問(wèn)題中h的值；否則，說(shuō)明球的飛行高度不能達(dá)到問(wèn)題中h的值．分析：由于球的飛行高度h與飛行時(shí)間t的關(guān)系是二次函數(shù)h=20t－5t2（1）球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？∴當(dāng)球飛行1s或3s時(shí)，它的高度為15m.解：解方程

15=20t-5t2,

t2-4t+3=0,

t1=1,t2=3.Oht1513你能結(jié)合上圖，指出為什么在兩個(gè)時(shí)間球的高度為15m嗎？（2）球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？Oht202解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.當(dāng)球飛行2s時(shí)，它的高度為20m.你能結(jié)合圖形指出為什么只在一個(gè)時(shí)間球的高度為20m嗎？20m解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因?yàn)?-4)2-4×4.1<0,所以方程無(wú)解.即球的飛行高度達(dá)不到20.5m.（3）球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？Oht20.5你能結(jié)合圖形指出為什么球不能達(dá)到20.5m的高度?（4）球從飛出到落地要用多少時(shí)間？Oht0=20t-5t2,t2-4t=0,t1=0，t2=4.當(dāng)球飛行0s和4s時(shí)，它的高度為0m.即0s時(shí)小球從地面飛出，4s時(shí)小球落回地面，小球從飛出到落地要用4s.h=20t-5t2從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．一般地，我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c

深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0.例如，已知二次函數(shù)y=－x2＋4x

的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x

2－4x+3=0）．反過(guò)來(lái)，解方程x

2－4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x

2－4x+3的值為0，求自變量x的值．例題講解例1如圖，小明在扔鉛球時(shí)，鉛球沿拋物線運(yùn)行，其中x是鉛球離初始位置的水平距離，y是鉛球離地面的高度.（1）當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時(shí)，它離初始位置的水平距離是多少？（2）鉛球離地面的高度能否達(dá)到2.5m，它離初始位置的水平距離是多少？（3）鉛球離地面的高度能否達(dá)到3m？為什么？解：（1）由拋物線的表達(dá)式得

即

解得

即當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時(shí)，它離初始位置的水平距離是1m或5m.（1）當(dāng)鉛球離地面的高度為2.1m時(shí)，它離初始位置的水平距離是多少？（2）鉛球離地面的高度能否達(dá)到2.5m，它離初始位置的水平距離是多少？解：由拋物線的表達(dá)式得

即

解得

即當(dāng)鉛球離地面的高度為2.5m時(shí)，它離初始位置的水平距離是3m.解：由拋物線的表達(dá)式得

即

因?yàn)棣?（-6）2-4×1×14＜0，

所以方程無(wú)實(shí)根.

所以鉛球離地面的高度不能達(dá)到3m.（3）鉛球離地面的高度能否達(dá)到3m？為什么？思考

觀察思考下列二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)的值是多少？由此你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.獲取新知知識(shí)點(diǎn)二：利用二次函數(shù)深入討論一元二次方程觀察圖象，完成下表：拋物線與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)公共點(diǎn)橫坐標(biāo)相應(yīng)的一元二次方程的根y=x2＋x－2y=x2－6x＋9y=x2－x＋10個(gè)1個(gè)2個(gè)無(wú)解0x1=x2=3-2,1x1=-2,x2=11xyOy=x2－6x＋9y=x2－x＋1y=x2＋x－2無(wú)二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)一元二次方程ax2+bx+c=0的根b2-4ac有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac>0有一個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac

=0沒(méi)有交點(diǎn)沒(méi)有實(shí)數(shù)根b2-4ac<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)與一元二次方程ax2+bx+c=0根的關(guān)系知識(shí)要點(diǎn)例2

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y＝mx2－(m＋2)x＋2(m≠0)．求證：此拋物線與x軸總有交點(diǎn)．證明：∵m≠0，∴Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2.∵(m－2)2≥0，∴Δ≥0，∴此拋物線與x軸總有交點(diǎn).例題講解例3利用二次函數(shù)圖象估計(jì)方程x2-2x-2=0的根（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）解：畫(huà)出函數(shù)y＝x2－2x－2的圖象(如圖)，它與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是－0.7，2.7.所以方程x2－2x－2＝0的實(shí)數(shù)根為x1≈－0.7，x2≈2.7.知識(shí)點(diǎn)三：利用二次函數(shù)求一元二次方程的近似解獲取新知利用計(jì)算器探索兩根的近似值，過(guò)程如下：x23y-21當(dāng)自變量取2和3之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0，精度|2-3|=1>0.1.x2.53y-0.751當(dāng)自變量取2.5和3之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0，精度|2.5-3|=0.5>0.1.x2.52.75y-0.750.0625當(dāng)自變量取2.5和2.75之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0，精度|2.5-2.75|=0.25>0.1.x2.6252.75y-0.360.0625當(dāng)自變量取2.625和2.75之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0，精度|2.625-2.75|=0.125>0.1.當(dāng)自變量取2.6875和2.75之間的某個(gè)數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0，精度|2.6875-2.75|=0.0625<0.1.x2.68752.75y-0.150.0625我們可以將2.6875作為根的一個(gè)近似值.(1)用描點(diǎn)法作二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象；(2)觀察估計(jì)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(可將單位長(zhǎng)度十等分,借助計(jì)算器確定其近似值);利用圖象法求一元二次方程的近似根(3)確定方程ax2+bx+c=0的近似根（兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)）(4)判斷兩個(gè)自變量的精度是否滿足要求（兩個(gè)函數(shù)值異號(hào)）否是(5)寫(xiě)出結(jié)果知識(shí)要點(diǎn)1.已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情況是 (

)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.無(wú)實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定A隨堂演練2.如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象，圖象上有兩點(diǎn)分別為A(2.18，－0.51)，B(2.68，0.54)，則方程ax2＋bx＋c＝0的一個(gè)根可能是()A．2.18 B．2.68 C．－0.51 D．2.45D3.(1)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則方程ax2＋bx＋c＝0的解是_______，_______；(2)∵方程x2＋3x＋2＝0的解是______，______，∴拋物線y＝x2＋3x＋2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是_______和________．x1=-3x2

=1x1=-1x2=-2(-1,0)(-2,0)4.已知拋物線y＝x2－6x＋m－1，當(dāng)m_____時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)