新高考數(shù)學二輪復習圓錐曲線重難點提升專題6 圓錐曲線中的定點問題（原卷版）

專題6圓錐曲線中的定點問題一、考情分析定點問題一直是圓錐曲線中的熱點問題，高考主要考查直線過定點問題，有時也會涉及圓過定點問題．二、解題秘籍(一)求解圓錐曲線中定點問題的思路與策略1．處理定點問題的思路：(1)確定題目中的核心變量（此處設為SKIPIF1<0）(2)利用條件找到SKIPIF1<0與過定點的曲線SKIPIF1<0的聯(lián)系，得到有關SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等式(3)所謂定點，是指存在一個特殊的點SKIPIF1<0，使得無論SKIPIF1<0的值如何變化，等式恒成立.此時要將關于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等式進行變形，直至易于找到SKIPIF1<0.常見的變形方向如下：①若等式的形式為整式，則考慮將含SKIPIF1<0的項歸在一組，變形為“SKIPIF1<0”的形式，從而SKIPIF1<0只需要先讓括號內(nèi)的部分為零即可②若等式為含SKIPIF1<0的分式，SKIPIF1<0的取值一方面可以考慮使其分子為0，從而分式與分母的取值無關；或者考慮讓分子分母消去SKIPIF1<0的式子變成常數(shù)（這兩方面本質(zhì)上可以通過分離常數(shù)進行相互轉(zhuǎn)化，但通常選擇容易觀察到的形式）2．處理定點問題兩個基本策略：(1)引進參數(shù)法：引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系，找到定點．(2)特殊到一般法：根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關．【例1】（2023屆河南省頂級名校高三上學期月考）設SKIPIF1<0分別是橢圓SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左?右焦點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直.直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的另一個交點為SKIPIF1<0，且直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的離心率；(2)設SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的上頂點，過SKIPIF1<0任作兩條互相垂直的直線分別交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，證明直線SKIPIF1<0過定點，并求出定點坐標.【解析】（1）由題意知，點SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一點且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直，SKIPIF1<0的橫坐標為SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.又直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），即SKIPIF1<0.（2）已知SKIPIF1<0是橢圓的上頂點，則SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化簡整理有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0經(jīng)過點SKIPIF1<0，不滿足題意；.當SKIPIF1<0時滿足方程SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0經(jīng)過SKIPIF1<0軸上定點SKIPIF1<0.【例2】橢圓C的焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上．過點SKIPIF1<0的動直線l與橢圓相交于A，B兩點，點B關于y軸的對稱點為點D（不同于點A）．（1）求橢圓C的標準方程；（2）證明：直線SKIPIF1<0恒過定點，并求出定點坐標．【解析】（1）設橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0.（2）當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，特殊地，當SKIPIF1<0的坐標為SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以點B關于SKIPIF1<0軸的對稱點為SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.如果存在定點Q滿足條件，則為兩直線交點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0三點共線，故直線SKIPIF1<0恒過定點，定點坐標為SKIPIF1<0．【點評】本題是先根據(jù)兩條特殊的曲線的交點SKIPIF1<0，然后再根據(jù)SKIPIF1<0三點共線，判斷直線SKIPIF1<0恒過定點，(二)直線過定點問題1.直線過定點問題的解題模型2.求解動直線過定點問題，一般可先設出直線的一般方程：SKIPIF1<0，然后利用題中條件整理出SKIPIF1<0的關系，若SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則該直線過定點SKIPIF1<0.【例3】（2023屆福建省泉州市高三畢業(yè)班質(zhì)量監(jiān)測（一））已知橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0．右焦點為SKIPIF1<0，縱坐標為SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程：(2)設過SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸垂直的直線為SKIPIF1<0，縱坐標不為SKIPIF1<0的點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一動點，過SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0過定點．【解析】（1）設點SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0的坐標代入橢圓SKIPIF1<0的方程，可得SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此，橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.（2）證明：由對稱性可知，若直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0必在SKIPIF1<0軸上，設點SKIPIF1<0，設點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0的垂線的斜率為SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，在直線SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①又因為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，②將②代入①可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.(三)圓過定點問題圓過定點問題的常見類型是以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點P，求解思路是把問題轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，也可以轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0【例4】（2022屆廣西“智桂杯”高三上學期大聯(lián)考）已知橢圓SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0軸不重合的直線SKIPIF1<0過焦點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，當直線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；（2）設橢圓SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的延長線分別交直線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點.【解析】（1）橢圓SKIPIF1<0的右焦點SKIPIF1<0，則半焦距SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0軸時，弦AB為橢圓的通徑，即SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.（2）依題意，直線SKIPIF1<0不垂直于y軸，且過焦點SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因點SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓上，所以以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點SKIPIF1<0.(四)確定定點使某個式子的值為定值求解此類問題一般先設出點的坐標，然后把所給式子用所設點的橫坐標或縱坐標表示，再觀察該式子為定值的條件，確定所設點的坐標.【例5】（2023屆山西省山西大學附屬中學校高三上學期9月診斷）如圖，橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左焦點，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的左頂點，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0的上頂點，且SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0SKIPIF1<0是長軸上的任一定點，過SKIPIF1<0點的任一直線SKIPIF1<0交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)是否存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值，若存在，試求出定點SKIPIF1<0的坐標，并求出此定值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由已知知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0；（2）假設存在SKIPIF1<0滿足題意，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①當直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸不垂直時，設SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0并整理得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（*）（*）式是與SKIPIF1<0無關的常數(shù)，則SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為定值；②當直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0垂直時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0也成立，所以存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值．(五)與定點問題有關的基本結(jié)論1.若直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線l過定點SKIPIF1<0；2.若直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線l過定點SKIPIF1<0；3.設點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上一定點，SKIPIF1<0是該拋物線上的動點，則SKIPIF1<0直線MN過定點SKIPIF1<0.4.設點SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上一定點，SKIPIF1<0是該拋物線上的動點，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0直線MN過定點SKIPIF1<0；5.過橢圓SKIPIF1<0的左頂點P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0；6.過雙曲線SKIPIF1<0的左頂點P作兩條互相垂直的直線與該橢圓交于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0；7.設點是橢圓C：上一定點，點A,B是橢圓C上不同于P的兩點，若SKIPIF1<0，則直線AB過定點；8.設點是雙曲線C：一定點，點A,B是雙曲線C上不同于P的兩點，若SKIPIF1<0，則直線AB過定點.【例6】（2023屆山西省長治市高三上學期9月質(zhì)量檢測）已知點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上，且點SKIPIF1<0到橢圓右頂點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上不同的兩點（均異于SKIPIF1<0）且滿足直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0斜率之積為SKIPIF1<0．試判斷直線SKIPIF1<0是否過定點，若是，求出定點坐標，若不是，說明理由．【解析】（1）點SKIPIF1<0，在橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）上代入得：SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0到橢圓右頂點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）由題意，直線SKIPIF1<0的斜率存在，可設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0斜率之積為SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．化簡得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，過定點SKIPIF1<0．SKIPIF1<0代入判別式大于零中，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，過定點SKIPIF1<0，不符合題意．綜上所述：直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0．【例7】（2022屆海南華僑中學高三上學期月考）已知橢圓SKIPIF1<0的左?右焦點分別為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是橢圓的一個頂點，SKIPIF1<0是等腰直角三角形.（1）求橢圓的方程；（2）過點SKIPIF1<0分別作直線SKIPIF1<0交橢圓于SKIPIF1<0兩點，設兩直線的斜率分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.【解析】（1）由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以橢圓的方程為SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0.①當直線SKIPIF1<0斜率存在時，設直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.②當直線SKIPIF1<0斜率不存在時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0也過定點SKIPIF1<0.綜合①②，可得直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0.三、跟蹤檢測1．（2023屆江蘇省金陵中學、海安中學高三上學期10月聯(lián)考）在一張紙上有一個圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，定點SKIPIF1<0，折疊紙片使圓SKIPIF1<0上某一點SKIPIF1<0好與點SKIPIF1<0重合，這樣每次折疊都會留下一條直線折痕SKIPIF1<0，設折痕SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點為SKIPIF1<0．(1)求證：SKIPIF1<0為定值，并求出點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0方程；(2)設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0上一點，SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上一點（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均不在SKIPIF1<0軸上）．直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別記為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0過定點，并求出此定點的坐標．2．（2023屆廣東省廣東廣雅中學高三上學期9月測試）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的離心率為SKIPIF1<0．圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標原點）在橢圓SKIPIF1<0的內(nèi)部，半徑為SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為橢圓SKIPIF1<0和圓SKIPIF1<0上的動點，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點的最小距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上不同的兩點，且直線SKIPIF1<0與以SKIPIF1<0為直徑的圓的一個交點在圓SKIPIF1<0上．求證：以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點．3（2023屆湖南省永州市高三上學期第一次考試）點SKIPIF1<0在雙曲線SKIPIF1<0上，離心率SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上的兩個動點（異于點SKIPIF1<0），SKIPIF1<0分別表示直線SKIPIF1<0的斜率，滿足SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0恒過一個定點，并求出該定點的坐標.4．（2023屆陜西師范大學附屬中學、渭北中學等高三上學期聯(lián)考）已知拋物線SKIPIF1<0，O是坐標原點，F(xiàn)是C的焦點，M是C上一點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求拋物線C的標準方程；(2)設點SKIPIF1<0在C上，過Q作兩條互相垂直的直線SKIPIF1<0，分別交C于A，B兩點（異于Q點）．證明：直線SKIPIF1<0恒過定點．5．（2023屆四川省部分重點中學高三上學期9月聯(lián)考）已知橢圓C：SKIPIF1<0的右頂點是M（2，0），離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的標準方程．(2)過點T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．6．（2023屆安徽省滁州市定遠縣高三上學期9月月考）設直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0的兩條漸近線分別交于A，B兩點，且三角形SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．(1)求m的值；(2)已知直線l與x軸不垂直且斜率不為0，l與C交于兩個不同的點M，N，M關于x軸的對稱點為SKIPIF1<0，F(xiàn)為C的右焦點，若SKIPIF1<0，F(xiàn)，N三點共線，證明：直線l經(jīng)過x軸上的一個定點．7．（2023屆江西省智慧上進高三上學期考試）已知橢圓C：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的右焦點為F，過點F作一條直線交C于R，S兩點，線段RS長度的最小值為SKIPIF1<0，C的離心率為SKIPIF1<0．(1)求C的標準方程；(2)斜率不為0的直線l與C相交于A，B兩點，SKIPIF1<0，且總存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，問：l是否過一定點？若過定點，求出該定點的坐標；若不過定點，試說明理由．8．（2023屆山西省高三上學期第一次摸底）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的內(nèi)切圓的半徑與外接圓的半徑的比是SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)過SKIPIF1<0的左焦點SKIPIF1<0作弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這兩條弦的中點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，證明：直線SKIPIF1<0過定點．9．（2023屆湖北省“宜荊荊恩”高三上學期考試）已知雙曲線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0有相同的漸近線，且過點SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的標準方程；(2)已知SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0上不同于SKIPIF1<0的兩點，且SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，證明：存在定點SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0為定值.10．（2023屆江蘇省南京市高三上學期9月學情調(diào)研）已知拋物線C：SKIPIF1<0的焦點為F，過點P(0，2)的動直線l與拋物線相交于A，B兩點．當l經(jīng)過點F時，點A恰好為線段PF中點．(1)求p的值；(2)是否存在定點T，使得SKIPIF1<0為常數(shù)？若存在，求出點T的坐標及該常數(shù)；若不存在，說明理由．11．（2023屆江蘇省百校聯(lián)考高三上學期第一次考試）設SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點，過點SKIPIF1<0且與SKIPIF1<0