（初中教案）九年級春季班第16講：兩條線段間的函數(shù)關系問題-教師版-張于

（初中教案）九年級春季班第16講：兩條線段間的函數(shù)關系問題-教師版-張于（初中教案）九年級春季班第16講：兩條線段間的函數(shù)關系問題-教師版-張于/（初中教案）九年級春季班第16講：兩條線段間的函數(shù)關系問題-教師版-張于兩條線段間的函數(shù)關系問題兩條線段間的函數(shù)關系問題知識結構知識結構模塊模塊一：利用銳角三角比構造函數(shù)關系式知識知識精講知識內容：(1)銳角三角比的意義：正切：．余切：．正弦：．余弦：．(2)同角、余角、等角的銳角三角比的關系：當為銳角時,,;當與互余時,,;當兩個角為銳角,且相等時,那么他們的銳角三角比的值相等．利用銳角三角比解題的基本條件：將所用銳角放進直角三角形中．解題思路：判定需要確定解析式的兩條線段是否在同一個直角三角形中,若在,直接利用銳角三角比列比例式;如若不在,再去判定兩條線段是否分別在兩個直角三角形中,再找到兩個三角形中相等的角,利用銳角三角比來確定比例式,從而求出解析式．例題解析例題解析已知：的半徑為5,點C在直徑AB上,過點C作的弦DE⊥AB,過點D作直線EB的垂線DF,垂足為點F,設AC=x,EF=y．(1)如圖,當AC=1時,求線段EB的長;(2)當點F在線段EB上時,求y與x之間的函數(shù)解析式,并寫出定義域;ABCDEFO(3)如果EF=ABCDEFO【解析】(1)聯(lián)結OD,在⊙O中,∵OC⊥DE,OC=OA-AC=4,BC=AB-AC=9．∴CE=CD=．BE=．(2)與(1)同理得：CE=CD=．BE=．∵DF⊥EB,∴cosE=．∴,∴y與x之間的函數(shù)解析式為,定義域為．(3)當點F在線段EB上時,∵EF=3BF,∴EF=BE,得,解得：(不符合題意),．當點F在線段EB延長線上時,同理BE,．∵EF=3BF,∴EF=BE,得,解得：(不符合題意),．∴線段AC的長為或．【總結】本題主要考察圓背景下的線段間的數(shù)量關系,解題時注意利用相關定理．

在中,∠C=90°,BC=2,繞著點B按順時針方向旋轉,使點C落在斜邊AB上的點D,設點A旋轉后與點E重合,聯(lián)結AE．過點E作直線EM與射線CB垂直,交點為M．(1)若點M與點B重合(如圖1),求cot∠BAE的值;AB（M）CDEABCDEM圖1圖2(2)若點MAB（M）CDEABCDEM圖1圖2y與x的函數(shù)關系式,并寫出自變量x的取值范圍．【解析】(1)當點與點重合,由旋轉得：,,,．∵,∴,∴．∴,∴．∴．∴,∴．∴．(2)設與邊交點為．由題意可知：,,又,ACBMEDG123ACBMEDG123∵,∴∽．∴．∵,,∴,∴．由題意可知：,,．∴,∴,定義域為．【總結】本題主要考查直角三角形背景下的線段間的函數(shù)關系式的確定,注意對相似性質的熟練運用．

模塊模塊二：利用勾股定理構造函數(shù)關系式知識知識精講解題思路：判定需要確定解析式的兩條線段是否在同一個直角三角形中,若在,直接利用勾股定理列出等式,求出函數(shù)解析式來;如若不在,再去判定兩條線段是否分別在兩個直角三角形中,利用已知條件分別表示出兩條線段的長來,再根據(jù)線段之間的關系列出相應等式,從而求出解析式．例題解析例題解析如圖,在矩形ABCD中,AB=9,BC=15．將點B翻折到AD邊上的點M處,折ABCDEFM痕與AB相交于點E,與BC相交于點F．如果AM=x,BE=y,求yABCDEFM【解析】將矩形ABCD沿EF翻折后,點B與點M重合,．AM=x,BE=y,AB=9,又在中,,,．當點E與點A重合時,此時BE=9,解得：;當點F與點C重合時,則,,．()．【總結】本題主要考察翻折的性質及勾股定理的綜合運用,注意定義域的確定．

在中,∠BAC=90°,BC=10,tan∠ABC=,點O是AB邊上的動點,以O為圓心,OB為半徑的與邊BC的另一個交點為D,過點D作AB的垂線,交于點E,聯(lián)結BE、AE．(1)如圖,當AE//BC時,求的半徑;ABCDEO(2)設BO=x,AE=y,求ABCDEO【解析】(1)∵DE⊥AB,AB過圓心O,∴AB垂直平分DE,∴BE=BD,∴∠EBA=∠DBA,∵AE//BC,∴∠EAB=∠DBA,∴∠EAB=∠EBA,∴BE=AE,∴BD=AE,又∵DE⊥AB,AC⊥AB,∴AC//DE,∴AEDC為平行四邊形,∴AE=DC,∴BD=DC=5,作OH⊥BC于H,則BH=DH=BD=,∵,∴BO=,即⊙O的半徑長是．(2)聯(lián)結AD,作AM⊥BC于M,作OH⊥BC于H,則BH=DH,∵DE⊥AB,AB過圓心O,∴AB平分DE,∴AB是DE的中垂線,∴AD=AE=y,在中,∵BO=x,,∴BH=,∴BD=,則得AM=,BM=,∴DM=,在中,,即,∴()．【總結】本題主要考察圓背景下的線段間的函數(shù)關系式的確定,解題時注意利用圓的相關定理．

模塊模塊三：利用相似三角形性質構造函數(shù)關系式知識知識精講知識內容：相似三角形的性質：相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形的面積的比等于相似比的平方．2、解題思路：利用已知條件尋找題目中的相似三角形,根據(jù)相似三角形的性質列出相應的比例式,再去判定所要確定的線段函數(shù)關系式是否包含在所列的比例式中,若在就直接求出解析式;若不在先利用相似三角形的性質表示出相關線段的長度,然后再去利用線段和差或者其它等量關系等確定所求線段的函數(shù)關系式．例題解析例題解析如圖,與過點O的相交于AB,D是的劣弧OB上一點,射線OD交于點E,交AB的延長線于點C.如果AB=24,．(1)求的半徑長;(2)當為直角三角形時,求線段OD的長;(3)設線段OD的長度為x,線段CE的長度為y,求y與x之間的函數(shù)關系式及其定義域．ABCDEOP【解析】(1)設OP延長線交ABCDEOP∴,∵,∴;在中,∴,解得：;ABCDEOPHGIABCDEOPHGI∴,∵,∴;∴∽,∴,即,∴,∴． (3)過點H作于I,∴PG//HI,∴,即,∴;易得∽,∴,即,∴()．【總結】本題主要考察圓背景下的線段間的函數(shù)關系式的確定,解題時注意垂徑定理及相似性質的綜合運用定．

如圖,在中,AB=AC=6,BC=4,與邊AB相交于點D,與邊BC相交于點E,設的半徑為x．(1)當與直線AC相切時,求x的值;(2)設DC的長為y,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域;(3)若以AC為直徑的經過點E,求與公共弦的長．GABCH【解析】(1)作AG⊥BC于G,BH⊥GABCH∵AB=AC,AG⊥BC,∴BG=GC=2,∴AG=又AG·BC=BH·AC,∴∴當與直線AC相切時．．EFBCDAG(2)作EFBCDAG則DF//AG,∴,即,∴,∴CF=4－,在中,CD2=DF2＋CF2,∴＝()．(3)解法一：EFBCDAQPHeq\o\ac(○,1)作PQ⊥EFBCDAQPH∵EF是、的公共弦,∴BP⊥EF,且EG=FG,∵經過點E,∴PA=PE=PC,∴AE⊥BC,又AC=AB,∴BE=EC=2∵PQ//AE,且P是AC的中點,∴PQ=,CP=3,∴CQ=1,BQ=3,∴BP=;設BP交EF于點H,設,由,即,解得：,∴．EFBCDAQPGEFBCDAQPG∵EF是、的公共弦,∴BP⊥EF,且EG=FG,∵經過點E,∴PA=PE=PC,∴AE⊥BC,又AC=AB,∴BE=EC=2∵PQ//AE,且P是AC的中點,∴PQ=,CP=3,∴CQ=1,BQ=3,∴BP=而∽,∴,即,∴∴公共弦EF=．eq\o\ac(○,2)當點E和點C重合時,．綜上所述,與公共弦的長為或．【總結】本題綜合性較強,既考查了直線與圓相切,又考察了兩圓相交的問題,注意對相關定理的運用．

如圖,在中,,AC=2,點D、E分別在邊BC、AB上,,以AE為半徑的交DE的延長線于點F．(1)當D為邊BC中點時(如圖1),求弦EF的長;(2)設,EF=y,求y關于x的函數(shù)解析式;(不用寫出定義域)(3)若DE過的重心,分別聯(lián)結BF、AF、CE,當時(如圖2),ABCDEABCDEFABCDEFABCDEF圖1圖2H【解析】(1)過點A作于H點,則AH=CD=BD,∴,∴;(2)∵∴,∴． (3)∵DE過重心,,∴,同(1),得, ∵,,∴,∴∽,∴,∴,∴,,∴．【總結】本題考察的知識點較多,解題時注意從多個角度思考,相關定理要熟練運用．

隨堂檢測隨堂檢測如圖,梯形ABCD中,AD//BC,對角線AC⊥BC,AD=9,AC=12,BC=16．點E是邊BC上的一個動點,∠EAF=∠BAC,AF交CD于點F,交BC延長線于點G,設．ABCDEFG(ABCDEFG(2)設,求y關于x的函數(shù)解析式,并寫出定義域．【解析】(1)在中,AC=12,BC=16, ∴AB=,同理,在中,AD=9,AC=12,∴CD=,在和中,∵,,∴∠B=∠ACD．∵∠EAF=∠BAC,∴∠BAE=∠CAF．∴∽,∴,即．∴．(2)由(1)得：∽,則．又∠EAF=∠BAC,∴∽,∴∠EFA=∠ACB=90°,∠B=∠AEF．解法一：∵∠AEF+∠FEC=∠B+∠BAE,∴∠BAE=∠FEG,∴．過E作EH⊥AB,垂足為H,∴．∵BE=x,∴,,,∴．∴．解法二：∵AD∥BC,∴,即,∴．∵∠BAE=∠FEG,∠BAE=∠CAF, ∴∠CAF=∠FEG,．∴．【總結】本題主要考查相似的綜合運用,注意尋找圖形中的基本模型,第(2)問是線段間的比要注意進行分析．如圖1,在梯形ABCD中,∠A=90°,AD//BC,AD=2,AB=3,,點P是AD延長線上一點,F為DC的中點,聯(lián)結BP,交線段DF于點G．(1)若以AB為半徑的與以PD為半徑的外切,求PD的長;(2)如圖2,過點F作BC的平行線交BP于點E,①若設DP=x,EF=y,求y與x的函數(shù)關系式并寫出自變量x的取值范圍;②聯(lián)結DE和PF,若DE=PF,求PD的長．AABCDPFGABCDPFGE圖1圖2【解析】(1)∵在中,AD=2,AB=3,DP=,∴BP=．∵以AB為半徑的與以PD為半徑的外切,∴BP=AB+PD,即,解得：．∴當PD的長為2時,以AB為半徑的與以PD為半徑的外切．(2)聯(lián)結DE并延長交BC于點M,過D作DN⊥BC于點N(如圖)．∵F為DC的中點,EF//BC,∴DE=EM,CM=2EF．∵AD//BC,∴≌,∴DP=BM．∵,DN=3,∴CN=6．∵AD=BN=2,∴BC=8．∵DP=,EF=,BC=BN+CN,∴,∴．(3)∵AD//EF,DE=PF當DP=EF時,四邊形DEFP為平行四邊形．∴=,∴．當DPEF時,四邊形DEFP為等腰梯形．過E作EQ⊥AP于點Q,則DQ=．∵EQ//AB,BE=PE,∴AQ=．∴DQ=．∴=,解得：．∴PD的長為或4．【總結】本題綜合性較強,考察的內容比較多,第(1)問注意將相切問題轉化為線段間的數(shù)量關系,第(2)問注意添加合理的輔助線,將問題進行簡化,第(3)問要分類討論．

課后作業(yè)課后作業(yè)如圖,正方形ABCD的邊長為1,點E是弧AC上的一個動點,過點E的切線與AD交于點M,與CD交于點N．(1)求證：∠MBN=45°;(2)設AM=x,CN=y,求y關于x的函數(shù)關系式．ABCDEPNABCDEPNMQE是弧AC上的一個動點,過點E的切線與AD交于點M, ． 正方形ABCD, ． , ≌,≌, ． , ． (2)由(1)可得,,． ． , ． 在中, , ,．【總結】本題以正方形為背景,解題思路相對比較簡單,注意利用相關性質解題．

已知：如圖,在邊長為5的菱形ABCD中,cosA=,點P為邊AB上一點,以A為圓心、AP為半徑的與邊AD交于點E,射線CE與另一個交點為點F．(1)當點E與點D重合時,求EF的長;(2)設AP=x,CE=y,求y關于x的函數(shù)關系式及定義域;(3)是否存在一點P,使得,若存在,求AP的長;若不存在,請說明理DCDCBAEFPH【解析】(1)當點E與點D重合時,則AE=5,EF//AB,∴∠ADF=∠DAB．過點A作AH⊥EF于點H∴在中,EF=2EH,∠AHE=90o∴cos∠ADF=cos∠DAB==∴EH=3,EF=6;(2)過點C作CM⊥AD交AD延長線于點M,在中,∠CMD=90o,cos∠MDC=cosA=,CD=5,∴MD=3,∴CM=4,在中,∠CME=90°,∴∵CM=4,MD=3