四川省涼山州冕寧中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題理

PAGEPAGE9四川省涼山州冕寧中學2024-2025學年高二數(shù)學下學期期中試題理第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知命題p：“?x0∈R，－x0－1≤0”，則命題p的否定為()A．?x0∈R，－x0－1≥0B．?x0∈R，－x0－1>0C．?x∈R，ex－x－1>0D．?x∈R，ex－x－1≥02．函數(shù)的導數(shù)是（）A．0 B． C． D．不確定3．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b相互垂直，則k的值是()A．1B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,5)D．eq\f(7,5)4.與曲線共焦點，而與曲線共漸近線的雙曲線方程為()A．B．C．D．5．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事務是()A．至少有1個白球；都是白球B．恰有1個白球；恰有2個白球C．至少有1個白球；至少有1個紅球D．至少有1個白球；都是紅球6.平面α的斜線l與它在這個平面上的射影l(fā)′的方向向量分別為a=(1,0,1),b=(0,1,1),則斜線l與平面α所成的角為 ()A.30° B.45° C.90° D.60°7.擲一枚骰子的試驗中，出現(xiàn)各點的概率均為eq\f(1,6).事務A表示“小于5的偶數(shù)點出現(xiàn)”，事務B表示“小于5的點數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗中，事務A＋(表示事務B的對立事務)發(fā)生的概率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)8．四面體中，分別是的中點，是的三等分點（靠近N），若，，，則（）A． B．C． D．9.函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A.B.C.D.10．函數(shù)的圖像如圖所示，則關于函數(shù)的說法正確的是（）A．函數(shù)有3個極值點B．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)C．函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)D．當時，函數(shù)取得極大值11.甲乙兩人約定在6時到7時之間在某處會面，并約定先到者應等候另一個人一刻鐘，過時即可離去，則兩人能會面的概率為（）A． B．C．D．12．已知函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13.在邊長為2的正方形內任取一點，則該點到正方形中心的距離不大于1的概率為____________.14．設正方體的棱長為2，則點到平面的距離是_______.15．已知，函數(shù)在是單調遞增函數(shù)，則的最大值是____________．16．若函數(shù)在區(qū)間（-1，1）上存在減區(qū)間，則實數(shù)的取值范圍是________．解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17．（10分）命題：函數(shù)有意義；命題：實數(shù)滿意.（1）當且為真時，求實數(shù)的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.18.（12分）某市為了解全民健身狀況,隨機從某小區(qū)居民中抽取了40人,將他們的年齡分成7段:[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)試求這40人年齡的平均數(shù)、中位數(shù)的估計值;(2)①若從樣本中年齡在[50,70)的居民中任取2人贈送健身卡,求這2人中至少有1人年齡不低于60歲的概率;②已知該小區(qū)年齡在[10,80]內的總人數(shù)為2000,若18歲以上(含18歲)為成年人,試估計該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù).19.（12分）已知函數(shù)，且f(x)在處的切線為．（1）求a的值；（2）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[－3,3]上的最大值和最小值．20．（12分）如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為4的菱形，，，是上一點，且，設．（1）證明：平面；（2）若，，求二面角的余弦值．21.（12分）已知橢圓的長軸長與焦距分別為方程的兩個實數(shù)根。

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線過點且與橢圓相交于兩點，是橢圓的左焦點，當面積最大時，求直線的斜率。22．（12分）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）若，求證：；（3）設，是否存在唯一的自然數(shù)，使得與的圖象在區(qū)間上有兩個不同的公共點？若存在，試求出的值，若不存在，請說明理由．冕寧中學2024—2025學年度下期高2024屆半期考試高二理科數(shù)學參考答案一、選擇題CADABDCBDCAB二、填空題13.14.15.616.三、解答題17.解：(1)若命題為真，則，解得，當時，命題，若命題為真，則，解得，所以，因為為真，所以，均為真，所以，所以，所以實數(shù)的取值范圍為．(2)因為是的充分不必要條件，所以是的必要不充分條件，所以，所以或，所以，所以實數(shù)的取值范圍是．18.解：(1)平均數(shù)的估計值=15×0.15+25×0.2+35×0.3+45×0.15+55×0.1+(65+75)×0.05=37.前三組的頻率之和為0.15+0.2+0.3=0.65,故中位數(shù)落在第3組,設中位數(shù)的估計值為x,則(x-30)×0.03+0.15+0.2=0.5,解得x=35,即中位數(shù)的估計值為35.（2）①樣本中,年齡在[50,70)的共有40×0.15=6(人),其中年齡在[50,60)的有4人,設為a,b,c,d,年齡在[60,70)的有2人,設為x,y.則從中任選2人的樣本空間Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,x),(a,y),(b,c),(b,d),(b,x),(b,y),(c,d),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含15個樣本點.記A為“至少有1人年齡不低于60歲”,則A={(a,x),(a,y),(b,x),(b,y),(c,x),(c,y),(d,x),(d,y),(x,y)},共包含9個樣本點.記“這2人中至少有1人年齡不低于60歲”為事務A,故所求概率P(A)=.②樣本中年齡在18歲以上的居民所占頻率約為1-(18-10)×0.015=0.88,故可以估計,該小區(qū)年齡不超過80歲的成年人人數(shù)約為2000×0.88=1760.19.解：（1）由已知，∴，又∵在處的切線為，∴，故，∴；（2）由，可得，解得，列表如下：∴，20．解：（1）證明：∵四邊形是菱形，∴是的中點，．∵，，∴平面．∵平面，∴．∵，是的中點，∴．∵平面，平面，，∴平面．……5分（2）解：由（1）知平面，，∴，，兩兩相互垂直．∴以為原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系如圖所示．設，∵四邊形是菱形，，∴和都是等邊三角形．∴．∴，，，．∴，，，∵，∴，∴．即．……7分∴，．設平面的法向量為，則令，得，，∴．……9分設平面的法向量為，則，令，得，．∴．設二面角的平面角為，結合圖象可知，，∴二面角的八弦值