2025版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第1章集合常用邏輯用語不等式第2節(jié)命題及其關(guān)系充分條件與必要條件學(xué)案含解析

命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件[考試要求]1.理解命題的概念.2.了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.3.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義．1．命題用語言、符號或式子表達的，可以推斷真假的陳述句叫做命題，其中推斷為真的語句叫做真命題，推斷為假的語句叫做假命題．2．四種命題及其相互關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系．(2)四種命題的真假關(guān)系．①兩個命題互為逆否命題，它們具有相同的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．提示：在四種形式的命題中，真命題的個數(shù)只能是0,2,4.3．充分條件、必要條件與充要條件的概念p?qp是q的充分條件，q是p的必要條件p?q，且qpp是q的充分不必要條件pq，且q?pp是q的必要不充分條件p?qp是q的充要條件pq，且qpp是q的既不充分也不必要條件提示：A是B的充分不必要條件是指：A?B且BA，A的充分不必要條件是B是指：B?A且AB，弄清它們區(qū)分的關(guān)鍵是分清誰是條件，誰是結(jié)論．eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1．等價轉(zhuǎn)化法推斷充分條件、必要條件p是q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．其他狀況依次類推．2．充分、必要條件與集合的子集之間的關(guān)系設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件．(3)若A＝B，則p是q的充要條件．一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)“x2＋2x－3<0”(2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則q”．()(3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．()(4)“若p不成立，則q不成立”等價于“若q成立，則p成立”．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材習(xí)題衍生1．下列命題是真命題的是()A．矩形的對角線相等B．若a＞b，c＞d，則ac＞bdC．若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù)D．命題“若x2＞0,則x＞1”A[令a＝c＝0，b＝d＝－1，則ac＜bd，故B錯誤；當a＝2時，a是素數(shù)但不是奇數(shù)，故C錯誤；取x＝－1，則x2＞0，但x＜1，故D錯誤．]2．命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是()A．“若x＜y，則x2＜y2” B．“若x＞y，則x2＞yC．“若x≤y，則x2≤y2” D．“若x≥y，則x2≥yC[依據(jù)原命題和逆否命題的條件和結(jié)論的關(guān)系得命題“若x2＞y2，則x＞y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”．3．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[若x＝1，則(x－1)(x＋2)＝0明顯成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，則x的值也可能為－2.故選B.]4．命題“若α＝eq\f(π,3)，則sinα＝eq\f(\r(3),2)”的逆命題為________命題，否命題為________命題．(填“真”或“假”)假假[若α＝eq\f(π,3)，則sinα＝eq\f(\r(3),2)的逆命題為“若sinα＝eq\f(\r(3),2)，則α＝eq\f(π,3)”是假命題；否命題為“若α≠eq\f(π,3)，則sinα≠eq\f(\r(3),2)”是假命題．]考點一命題及其關(guān)系推斷命題真假的兩種方法1．命題“若x2＋y2＝0(x，y∈R)，則x＝y(tǒng)＝0”A．若x≠y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2＝0B．若x＝y(tǒng)≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0C．若x≠0且y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0D．若x≠0或y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0D[x2＋y2＝0的否定為x2＋y2≠0，x＝y(tǒng)＝0的否定為x≠0或y≠0，因此逆否命題為“若x≠0或y≠0(x，y∈R)，則x2＋y2≠0，”故選D.]2．給出命題：若a＞－3，則a＞6.在它的逆命題、否命題、逆否命題三個命題中，真命題的個數(shù)是()A．3 B．2C．1 D．0B[原命題是假命題，則其逆否命題也是假命題．其逆命題“若a＞6，則a＞－3”3．下列命題為假命題的是()A．命題“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題B．命題“若x＞y，則x＞|y|”的否命題C．命題“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”的逆否命題D．命題“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題D[對于A，逆命題“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”對于B，逆命題“若x＞|y|，則x＞y”為真命題，從而否命題也為真命題．對于C，由Δ＝4－4m≥0知，原命題正確，從而逆否命題正確．對于D，由A∩B＝B知，B?A，則原命題錯誤，從而逆否命題錯誤，故選D.]點評：在推斷一個命題的逆命題、否命題、逆否命題的真假時，只需推斷原命題和它的逆命題的真假即可．考點二充分、必要條件的判定推斷充分、必要條件的三種方法[典例1](1)設(shè)p：x<3，q：－1<x<3，則q是p成立的()A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件(2)(2024·浙江高考)若a＞0，b＞0，則“a＋b≤4”是“ab≤4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件(3)(多選)對隨意實數(shù)a，b，c，給出下列命題，其中是真命題的有()A．“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件B．“a＞b”是“a2＞b2”C．“a＜5”是“a＜3D．“a＋5是無理數(shù)”是“a是無理數(shù)”的充要條件(1)B(2)A(3)CD[(1)p：x<3，q：－1<x<3，可得q?p，而p推不出q.則q是p成立的充分不必要條件．故選B.(2)由a＞0，b＞0，若a＋b≤4，得4≥a＋b≥2eq\r(ab)，即ab≤4，充分性成立；當a＝4，b＝1時，滿意ab≤4，但a＋b＝5＞4，不滿意a＋b≤4，必要性不成立．故“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件，選A.(3)對于A，當a＝b時，ac＝bc成立，當ac＝bc，c＝0時，a＝b不肯定成立，所以“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要條件，故A不是真命題．對于B，當a＝－1，b＝－2時，a＞b，a2＜b2，當a＝－2，b＝1時，a2＞b2，a＜b，所以“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要條件，故B不是真命題．對于C，當a＜3時，肯定有a＜5成立，當a＜5時，a＜3不肯定成立，所以“a＜5”是“a＜3”的必要條件，C是真命題．對于D，易知“a＋5是無理數(shù)”是“a點評：推斷充要條件時，要雙向推導(dǎo)，說明推不出時，可恰當取特別值作反例．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1．已知a，b都是實數(shù)，那么“3a＞3b”是“a3＞b3A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件C[3a＞3b?a＞b?a3＞b3，反之a(chǎn)3＞b3?a＞b?3a＞3b，因此3a＞3b是a3＞2．設(shè)x∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)得0＜x＜1，由x3＜1得x＜1，因為0＜x＜1?x＜1，但x＜10＜x＜1，所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))＜eq\f(1,2)”是“x3＜1”的充分不必要條件，故選A.]考點三充分條件、必要條件的探求與應(yīng)用1．充分、必要條件的探求方法(與范圍有關(guān))先求使結(jié)論成立的充要條件，然后依據(jù)“以小推大”的方法確定符合題意的條件．2．利用充要條件求參數(shù)的兩個關(guān)注點(1)巧用轉(zhuǎn)化求參數(shù)：把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)端點取值慎取舍：在求參數(shù)范圍時，要留意邊界或區(qū)間端點值的檢驗，從而確定取舍．充分條件、必要條件的探求[典例2－1]不等式x(x－2)＜0成立的一個必要不充分條件是()A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)B[解不等式x(x－2)＜0得0＜x＜2，因此x∈(0,2)是不等式x(x－2)＜0成立的充要條件，則所求必要不充分條件應(yīng)包含集合{x|0＜x＜2}，故選B.]利用充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍[典例2－2]已知P＝{x|－2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍為________．[0,3][由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.又S為非空集合，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3.即所求m的取值范圍是[0,3]．][母題變遷]把本例中的“必要條件”改為“充分條件”，求m的取值范圍．[解]由x∈P是x∈S的充分條件，知P?S，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≤－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，即所求m的取值范圍是[9，＋∞)．eq\a\vs4\al([跟進訓(xùn)練])1．命題“?x∈[1,3]，x2－a≤0”A．a(chǎn)≥9 B．a(chǎn)≤9C．a(chǎn)≥10 D．a(chǎn)≤10C[由題意知，a≥x2對x∈[1,3]恒成立，則a≥9.因此a≥10是命題“?x∈[1,3]，x2－a≤0”為真命題的一個充分不必要條件，故選C.]2．使a＞0，b＞0成立的一個必要不充分條件是()A．a(chǎn)＋b＞0