新教材高中數(shù)學第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)21函數(shù)的單調(diào)性與最值課件湘教版必修第一冊

3.2.1函數(shù)的單調(diào)性與最值第3章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習課標闡釋思維脈絡(luò)1.借助函數(shù)圖象,會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.(數(shù)學抽象、直觀想象)2.理解函數(shù)單調(diào)性和最值的作用和實際意義.(邏輯推理、數(shù)學抽象)課前篇自主預習情境導入德國有一位著名的心理學家艾賓浩斯,對人類的記憶牢固程度進行了有關(guān)研究.他經(jīng)過測試,得到了以下一些數(shù)據(jù):時間間隔t剛記憶完畢20分鐘后60分鐘后8~9小時后1天后2天后6天后一個月后記憶量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上數(shù)據(jù)表明,記憶量y是時間間隔t的函數(shù),艾賓浩斯根據(jù)這些數(shù)據(jù)描繪出了著名的“艾賓浩斯遺忘曲線”,如圖.問題:(1)當時間間隔t逐漸增大時,你能看出對應的函數(shù)值y有什么變化趨勢嗎?通過這個試驗,你打算以后如何對待剛學過的知識?(2)“艾賓浩斯遺忘曲線”從左至右是逐漸下降的,對此,我們?nèi)绾斡脭?shù)學觀點進行解釋?知識梳理知識點一:函數(shù)的最大(小)值設(shè)D是函數(shù)f(x)的定義域,I是D的一個非空子集.(1)最大值:如果有a∈D,使得不等式

f(x)≤f(a)對一切x∈D成立,就說f(x)在x=a處取到最大值M=f(a),稱M為f(x)的最大值,a為f(x)的最大值點.(2)最小值:如果有a∈D,使得不等式

f(x)≥f(a)對一切x∈D成立,就說f(x)在x=a處取到最小值M=f(a),稱M為f(x)的最小值,a為f(x)的最小值點.名師點析

注意區(qū)分最值和最值點,最值和最值點分別為函數(shù)值和自變量的取值.微練習已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的圖象如圖所示,則該函數(shù)的最小值、最大值分別是(

)A.f(-2),0

B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2答案

C解析

由題圖可知,該函數(shù)的最小值為f(-2),最大值為f(1)=2.知識點二:函數(shù)單調(diào)性的概念1.函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義如果對于I上任意兩個值x1,x2,當x1<x2時,都有

任意指所有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)就稱f(x)是區(qū)間I上的增函數(shù),也稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增就稱f(x)是區(qū)間I上的減函數(shù),也稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象特征函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖象是上升的函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖象是下降的函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)圖示2.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間I叫作y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.介紹函數(shù)的單調(diào)性必須要

指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間名師點析

1.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì),這個區(qū)間可以是整個定義域,也可以是定義域的一部分,也就是單調(diào)區(qū)間是定義域的某個非空子集.2.對于單獨一點,由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此在書寫單調(diào)區(qū)間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但在某些點無意義時,單調(diào)區(qū)間不能包括這些點.微思考對于函數(shù)f(x)=x2,滿足f(-2)>f(1),能否說函數(shù)f(x)在[-2,1]上是減函數(shù)?提示

不能,因為-2和1不是[-2,1]上任意的兩個值.反例:f(0)<f(1).微練習(1)已知四個函數(shù)的圖象如圖所示,其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是(

)(2)如果(a,b),(c,d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是(

)A.f(x1)<f(x2)

B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能確定答案

(1)B

(2)D解析

(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知,所取的兩個自變量的值必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)才能由函數(shù)的單調(diào)性比較其函數(shù)值的大小,故選D.課堂篇探究學習探究一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1(1)(2020天津高一期末)下列函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=- D.f(x)=-|x|(2)函數(shù)y=x2-2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(-1,0)B.(-1,0)和(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)和(0,1)答案

(1)C

(2)B由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)和(1,+∞).故選B.反思感悟

1.一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性:(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性由系數(shù)k決定:當k>0時,該函數(shù)在R上是增函數(shù);當k<0時,該函數(shù)在R上是減函數(shù).k的符號單

調(diào)

性k>0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減k<0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增2.對于含絕對值的函數(shù)可以去掉絕對值號轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或作出函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性.延伸探究已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.探究二證明函數(shù)的單調(diào)性因為1<x1<x2,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).反思感悟

利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

特別提醒作差變形的常用技巧(1)因式分解.當原函數(shù)是多項式函數(shù)時,作差后的變形通常進行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.當原函數(shù)是分式函數(shù)時,作差后往往進行通分,然后對分子進行因式分解.(3)配方.當所得的差式是含有x1,x2的二次三項式時,可以考慮配方,便于判斷符號.(4)分子有理化.當原函數(shù)是根式函數(shù)時,作差后往往考慮分子有理化.(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)判斷這個函數(shù)在(-∞,-2)上的單調(diào)性并證明.探究三函數(shù)單調(diào)性的應用1.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小

分析要比較兩個函數(shù)值的大小,需先比較自變量的大小.反思感悟

函數(shù)單調(diào)性的應用問題的解題策略(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性解決比較函數(shù)值大小的問題時,要注意將對應的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對應關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時一定要注意自變量的限制條件,以防出錯.變式訓練2已知g(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的增函數(shù),且g(t)>g(1-3t),求實數(shù)t的取值范圍.2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性求參數(shù)范圍例4函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是(

)答案

A要點筆記含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題,應明確若函數(shù)在某一區(qū)間I上是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),則該區(qū)間是函數(shù)的原單調(diào)遞增區(qū)間(或單調(diào)遞減區(qū)間)D的非空子集,即I?D.答案

A∴函數(shù)在(-∞,1-a]上單調(diào)遞減,要使f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則對稱軸1-a≥4,解得a≤-3.3.含參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性問題

例5(多選題)(2021廣東四會中學高一期中)已知函數(shù)f(x)=是R上的函數(shù),且滿足對于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,則a的可能取值是(

)A.1 B.-1 C.-2 D.-3答案

CD反思感悟

分段函數(shù)的單調(diào)性不要忽視分段函數(shù)定義域的分界點的大小,由于分段函數(shù)是一個函數(shù),因此對于分段函數(shù)在實數(shù)集R上的單調(diào)遞增(減)的問題,除了保證在定義域的每一個區(qū)間上單調(diào)性相同之外,還要考慮在分界點處的函數(shù)值的大小應滿足函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),否則求出的參數(shù)的范圍會出現(xiàn)錯誤.4.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.分析(1)證明單調(diào)性的流程:取值→作差→變形→判斷符號→結(jié)論;(2)借助最值與單調(diào)性的關(guān)系,寫出最值.反思感悟

1.利用單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟:(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用單調(diào)性寫出最值.2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系:(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),在區(qū)間(b,c]上單調(diào)遞減(增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個.延伸探究本例已知條件不變,判斷f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性,并求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最值.當1≤x1<x2≤2時,f(x1)>f(x2),f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減;當2<x1<x2≤3時,x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在區(qū)間(2,3]上單調(diào)遞增.素養(yǎng)形成復合函數(shù)的單調(diào)性問題方法點睛復合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則:“同增異減”,即對于y=f(g(x))型的復合函數(shù),令t=g(x),則可以把它看成是由y=f(t)和t=g(x)復合而成的,若它們的單調(diào)性相同,則復合后的函數(shù)為增函數(shù);若它們的單調(diào)性相反,則復合后的函數(shù)為減函數(shù).答案

C解析

令x2-5x+4≥0,解得x≥4或x≤1,當堂檢測答案

AD解析

由圖可得f(x)在[-4,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,1]上單調(diào)遞增,在[1,4]上單調(diào)遞減,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-4,-2],[1,4].故選AD.2.已知函數(shù)y=ax和y=-在(0,+∞)上都單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)=bx+a在R上是(

)A.減函數(shù)且f(0)<0 B.增函數(shù)且f(0)<0C.減函數(shù)且f(0)>0 D.增函數(shù)且f(0)>0答案

A解析

∵y=ax和y=-在(0,+∞)上都單調(diào)遞減,∴a<0,b<0,則f(x)=bx+a在R上為減函數(shù)