2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線的綜合問題（定值 最值 范圍 ）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】　　　

答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線的綜合問題（定值最值范圍）-專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）【練基礎(chǔ)】單選題1．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)任鈾上，過點(diǎn)的且線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的取大值為（

）A． B． C． D．12．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．103．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為M，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，當(dāng)最大時(shí)，則的面積為（

）A． B． C． D．4．（2024·江西上饒·統(tǒng)考一模）雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑等于（

）A． B． C． D．25．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的離心率為，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且垂直于C的一條漸近線的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為64，則C的實(shí)軸長為（

）A．6 B．8 C．12 D．166．（2024·陜西安康·統(tǒng)考二模）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)是F，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，過弦AB的中點(diǎn)P作的垂線，垂足為Q，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．7．（2024·遼寧阜新·?？寄M預(yù)測）若橢圓的左右焦點(diǎn)為、，過和點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若P（0，m）滿足，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2024·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，且直線分別與拋物線交于和，則的最小值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2024·安徽·統(tǒng)考一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上，連接并延長，與交于點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)C．直線與相切 D．在點(diǎn)處的切線與直線平行10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：，，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條不同的切線，，切點(diǎn)分別為，.已知當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有.則（

）A．B．若矩形的四條邊均與橢圓相切，則矩形的面積的最小值為14C．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，則原點(diǎn)到直線的距離恒為1D．若直線，的斜率存在且其斜率之積為，則點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓（）的離心率為，橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)所形成的三角形面積最大值為，下列說法正確的是（

）A．橢圓方程為B．直線與橢圓C無公共點(diǎn)C．若A，B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且，過作，為垂足，則點(diǎn)H所在軌跡為圓，且圓的半徑滿足D．若過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則12．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知曲線，直線l過點(diǎn)交于A，B兩點(diǎn)，下列命題正確的有（

）A．若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，則B．若，則的最小值為6C．原點(diǎn)O在AB上的投影的軌跡與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)D．若，則以線段AB為直徑的圓的面積是三、填空題13．（2024·福建福州·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：，直線l與C在第二象限交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左下方），與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，則l的方程為__________．14．（2024·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）拋物線，圓，直線l過圓心M且與拋物線E交于A，B與圓M交于C，D.若，則___________.15．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為F，過C上一點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為A，若直線的斜率為，則的面積為______．16．（2024·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）點(diǎn)A，B是拋物線C：上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，AB中點(diǎn)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d，則的最小值為________.四、解答題17．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.18．（2024·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，，直線，交于點(diǎn).已知當(dāng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)求證：點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的定橢圓上.【提能力】一、單選題19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率大于零的直線與相交于，兩點(diǎn)，若直線與拋物線相切，則（

）A．4 B．6 C．8 D．1020．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上兩點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別為，，且，直線AB與x軸的交點(diǎn)為P，直線OA、OB與拋物線C的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)M，N，則△PMN的面積的最小值為（

）A． B． C． D．21．（2024·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列結(jié)論正確的有（

）個(gè)．①；②為定值；③雙曲線的離心率；④當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，△的內(nèi)切圓的圓心總在直線上．A．1 B．2 C．3 D．422．（2024·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)為P、Q，點(diǎn)D在雙曲線上且位于第一象限，若且，則（

）A． B． C． D．23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的曲線C：的離心率滿足，A，B是x軸與曲線C的交點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的一點(diǎn)，延長PO交曲線C于另一點(diǎn)Q，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．24．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．25．（2024春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且直線斜率取值范圍是，那么直線斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．26．（2022·青海西寧·湟川中學(xué)校考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于點(diǎn)A，B，與圓相切，則的值等于（

）A． B． C． D．二、多選題27．（2024·山東臨沂·統(tǒng)考一模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．B．延長交直線于點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線C．D．若平分，則28．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過A，B點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為．設(shè)直線l的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，．則下列說法正確的是（

）A．有可能為直角B．C．Q為拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，的最小值為D．過F點(diǎn)作傾斜角的角平分線FP交拋物線C于P點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），則存在，使29．（2024·全國·開灤第二中學(xué)校考模擬預(yù)測）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，，表示直線，的斜率，則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，使得成立 B．存在點(diǎn)P，使得成立C．存在點(diǎn)P，使得成立 D．存在點(diǎn)P，使得成立30．（2024·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知，是橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點(diǎn)，，分別是與的離心率，且是與的一個(gè)公共點(diǎn)，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為三、填空題31．（2024·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，在拋物線的準(zhǔn)線上，且滿足，則直線的方程為___________.32．（2024秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓與相交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則__________.33．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A，B分別為雙曲線E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線E上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線l：x＝t使得過F作直線AP的垂線交直線l于點(diǎn)Q時(shí)總有B，P，Q三點(diǎn)共線，則的最大值為____________.34．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，斜率為的直線分別交軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，過點(diǎn)作軸的平行線交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為________．四、解答題35．（2024·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的離心率為，過橢圓的焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，求證:為定值.36．（2024春·湖北武漢·高三華中師大一附中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線E：與直線l：相交于A、B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．(1)當(dāng)k變化時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)若l與雙曲線E的兩條漸近線分別相交于C、D兩點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)k，使得A、B是線段CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．37．（2024·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知，直線l：，P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，且．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)F的直線與軌跡C交于A，B兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)M，設(shè)，，證明定值，并求的取值范圍．38．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且橢圓的長軸長為．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與軸相交于點(diǎn)，求的面積的取值范圍．2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線的綜合問題（定值最值范圍）-專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）【練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)任鈾上，過點(diǎn)的且線交于兩點(diǎn)，且，線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率的取大值為（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出拋物線C及直線PQ的方程，借助垂直關(guān)系求出拋物線方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)，再用斜率坐標(biāo)公式建立函數(shù)，利用均值不等式求解作答.【詳解】依題意，拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，設(shè)的方程為：，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線PQ的方程為：，點(diǎn)，由消去x得：，則有，由得：，解得，于是拋物線：的焦點(diǎn)，弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)，顯然直線的斜率最大，必有，則直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以直線的斜率的取大值為.故選：A2．（2024·河南鄭州·統(tǒng)考一模）過拋物線的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，若，則的值為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】B【分析】利用拋物線的定義結(jié)合已知計(jì)算即可．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為由拋物線的定義可得，故選：B3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為M，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為N，當(dāng)最大時(shí)，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】確定，，，當(dāng)M，N，P三點(diǎn)共線時(shí)的值最大，計(jì)算，根據(jù)余弦定理得到，計(jì)算面積即可.【詳解】由橢圓的方程可得，，連接PM，PN，則，所以當(dāng)M，N，P三點(diǎn)共線時(shí)的值最大，此時(shí)，，所以，在中，由余弦定理可得，即，可得，所以，故選：D4．（2024·江西上饒·統(tǒng)考一模）雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作垂直于x軸的直線交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，則的內(nèi)切圓半徑等于（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，即可求出，，由等面積法即可求出內(nèi)切圓的半徑.【詳解】由雙曲線，知，所以，所以，所以過作垂直于軸的直線為，代入中，解出，，所以，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，在中，由等面積法得：所以，解得：.故選：C.5．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的離心率為，，分別是C的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且垂直于C的一條漸近線的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為64，則C的實(shí)軸長為（

）A．6 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】由離心率得到雙曲線的漸近線方程，聯(lián)立方程由韋達(dá)定理得、，代入中計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】∵，∴，即：，，∴漸近線方程為．由題意知，不妨設(shè)直線l的方程為，，消去x得，則，設(shè)，，則，，所以，解得，即：，故雙曲線C的實(shí)軸長為8.故選：B.6．（2024·陜西安康·統(tǒng)考二模）設(shè)拋物線C：的焦點(diǎn)是F，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，且，過弦AB的中點(diǎn)P作的垂線，垂足為Q，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】設(shè)，，過點(diǎn)A，B分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為.由拋物線定義及梯形中位線定理可得，又由余弦定理可得，則可得，后利用基本不等式可得答案.【詳解】設(shè)，，過點(diǎn)A，B分別作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為則，．因?yàn)辄c(diǎn)P為弦AB的中點(diǎn)，根據(jù)梯形中位線定理可得，P到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，因?yàn)?，所以在AFB中，由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，最小值為．故選：A．7．（2024·遼寧阜新·校考模擬預(yù)測）若橢圓的左右焦點(diǎn)為、，過和點(diǎn)的直線交橢圓于M、N兩點(diǎn)，若P（0，m）滿足，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】寫出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立，寫出，解不等式.【詳解】設(shè)，，過和的直線為，聯(lián)立，消去y，得，所以，，則，，，所以，解得.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：將坐標(biāo)的數(shù)量積，用坐標(biāo)表示，即將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，再將其整體代入即可得到關(guān)于m的不等式.8．（2024·內(nèi)蒙古·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，且直線分別與拋物線交于和，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，與拋物線方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，結(jié)合拋物線焦點(diǎn)弦長公式可求得，同理可得，從而得到，由，利用基本不等式可取得最小值.【詳解】由拋物線方程得：；由題意知：直線的斜率存在且不為，設(shè)，，，由得：，，此時(shí)，，，同理可得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的最小值為.故選：B.二、多選題9．（2024·安徽·統(tǒng)考一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上，連接并延長，與交于點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)C．直線與相切 D．在點(diǎn)處的切線與直線平行【答案】BCD【分析】將代入拋物線得，則得到其準(zhǔn)線方程，則可判斷A，聯(lián)立直線的方程與拋物線方程即可得到，即可判斷B，利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在點(diǎn)處的切線方程，令，則可判斷C，再次利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在處的切線斜率，則可判斷D.【詳解】對(duì)A，根據(jù)中點(diǎn)公式得，將其代入得，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤，對(duì)B，，則直線的斜率為，則直線的方程為，將其代入得，解得或0（舍去），此時(shí)，則，所以為中點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，，即，則，故拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，故切線方程為，令得，所以直線為的切線，故C正確；對(duì)D，拋物線在處的切線方程的斜率為，而直線的斜率為，則兩直線的斜率相等，且兩直線顯然不可能重合，所以在點(diǎn)處的切線與直線平行.故選：BCD.10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓：，，點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，過點(diǎn)作橢圓的兩條不同的切線，，切點(diǎn)分別為，.已知當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有.則（

）A．B．若矩形的四條邊均與橢圓相切，則矩形的面積的最小值為14C．若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，則原點(diǎn)到直線的距離恒為1D．若直線，的斜率存在且其斜率之積為，則點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)【答案】BC【分析】根據(jù)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有，設(shè)過的直線為，代入橢圓方程后利用，得到關(guān)于的一元二次方程，確定方程的兩根為，由，即可得的值，從而判斷A；討論直線的斜率求得各情況下，，即可得矩形，結(jié)合不等式求得最值來判斷B；根據(jù)橢圓上一點(diǎn)的切線方程結(jié)論，確定切線，的方程，結(jié)合點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，可得切點(diǎn)弦所在直線方程，即可求得原點(diǎn)到直線的距離來判斷C；設(shè),，過的直線為，代入橢圓方程后利用，得到關(guān)于的一元二次方程，確定方程的兩根為，由，可得所滿足的方程，即可判斷D.【詳解】當(dāng)平行于軸時(shí)，恰好平行于軸，，，，滿足，將代入圓有，得；當(dāng)不平行于軸時(shí)，設(shè),，則，過的直線為，聯(lián)立得，令得，整理得，且此方程的兩根為，則，又，所以，得，所以；綜上，，故A不正確；橢圓的方程為，若矩形的四條邊均與橢圓相切，①當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，，，此時(shí)，②當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，，此時(shí)，③當(dāng)?shù)男甭蚀嬖谇也粸?時(shí)，設(shè)直線，直線，，聯(lián)立，消去得，，化簡得，同理可得，所以兩平行線和的距離，以代替，可得兩平行線和的距離，所以矩形的對(duì)角線，根據(jù)基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以矩形面積的最大值為14，故B正確；下證：任一橢圓在其上面的點(diǎn),處的切線方程均可寫為設(shè)橢圓在點(diǎn),處的切線方程為，則，令得，所以，所以，則切線方程為整理得.對(duì)于橢圓：，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,，,，則切線，的方程分別為，，若點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為，設(shè)點(diǎn)，則，又兩切線均過點(diǎn)，可得，，點(diǎn)，的坐標(biāo)都適合方程，故直線的方程是，即，所以原點(diǎn)到直線的距離為，故C正確；設(shè),，過得直線為，聯(lián)立得，令得，整理得，且此方程的兩根為，則，又直線，的斜率存在且其斜率之積為，所以，得，故點(diǎn)在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，故D不正確.故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定直線與橢圓相切時(shí)，切線斜率之間的關(guān)系需要聯(lián)立切線與橢圓方程得判別式為零，則得到關(guān)于斜率的一元二次方程，由韋達(dá)定理即可得切線斜率之積的關(guān)系，即可結(jié)合軌跡方程可得相關(guān)結(jié)論；對(duì)于直線與橢圓相切的切線方程問題，利用直線與橢圓相切，得切點(diǎn)坐標(biāo)與直線斜率與截距的關(guān)系，可得橢圓上一點(diǎn),處的切線方程均可寫為；對(duì)于切點(diǎn)弦問題，根據(jù)上述切線方程及兩切線的交點(diǎn)，由直線方程特點(diǎn)，即可得切點(diǎn)弦方程.11．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓（）的離心率為，橢圓上一點(diǎn)P與焦點(diǎn)所形成的三角形面積最大值為，下列說法正確的是（

）A．橢圓方程為B．直線與橢圓C無公共點(diǎn)C．若A，B為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，且，過作，為垂足，則點(diǎn)H所在軌跡為圓，且圓的半徑滿足D．若過點(diǎn)作橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則【答案】AC【分析】根據(jù)離心率可得，根據(jù)求出，可得，可得橢圓方程為，故A正確；聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)判別式大于0可知B不正確；根據(jù)題意求出可知C正確；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再求出切點(diǎn)弦的方程，可知D不正確.【詳解】設(shè)橢圓的焦距為，由得，設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為，依題意可得，所以，，，，所以橢圓的方程為：，故A正確；聯(lián)立，消去并整理得，，所以直線與橢圓C有公共點(diǎn)，故B不正確；因?yàn)?，且，所以，，設(shè)，，若的斜率存在且不為0，設(shè)為，則的斜率為，則，，聯(lián)立，得，，則，同理可得，所以，若的斜率不存在或者為0，則為橢圓的頂點(diǎn)（一個(gè)為長軸的頂點(diǎn)，一個(gè)為短軸的頂點(diǎn)），則，終上所述：，即.設(shè)，則，則點(diǎn)H所在軌跡為圓，且圓的半徑滿足，故C正確.設(shè)，，由，得，得，得，所以切線的斜率為，切線的方程為，即，即，因?yàn)樵谇芯€上，，同理可得，由可知，在直線上，由可知，在直線上，所以直線的方程為，則.故D不正確.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：C選項(xiàng)中，求出為定值是解題關(guān)鍵，D選項(xiàng)中，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程是解題關(guān)鍵.12．（2024·安徽淮北·統(tǒng)考一模）已知曲線，直線l過點(diǎn)交于A，B兩點(diǎn)，下列命題正確的有（

）A．若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，則B．若，則的最小值為6C．原點(diǎn)O在AB上的投影的軌跡與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)D．若，則以線段AB為直徑的圓的面積是【答案】BCD【分析】對(duì)A選項(xiàng)將點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線方程，聯(lián)立直線及拋物線方程，由弦長即可求出弦長；對(duì)B選項(xiàng)作圖可知，過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，即可求得最小值；對(duì)C選項(xiàng)根據(jù)題意，得出原點(diǎn)O在AB上的投影的軌跡，聯(lián)立方程由判別式即可判斷公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；對(duì)D選項(xiàng)設(shè)出AB直線方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，由結(jié)合得出直線方程，再由弦長公式計(jì)算出線段AB的長度即可判斷【詳解】對(duì)于A,易得是拋物線的焦點(diǎn)，若A點(diǎn)橫坐標(biāo)為8，則，即或，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得兩種情況計(jì)算出的相同，再此取計(jì)算.所以l的直線方程是即，直線與相交，聯(lián)立方程得,,得，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,過點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取最小值，此時(shí)最小值為，故B正確；對(duì)于C,設(shè)原點(diǎn)在直線上的投影為，的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，所以為直角三角形，所以，根?jù)幾何性質(zhì)及圓的定義可知點(diǎn)的軌跡方程為，聯(lián)立得，解得，所以直線與只有一個(gè)交點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D,設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得所以，因?yàn)?，而，所以，所以，所以所以，解得，則，所以，，所以以線段AB為直徑的圓的面積是，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．（2024·福建福州·統(tǒng)考二模）已知橢圓C：，直線l與C在第二象限交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左下方），與x軸，y軸分別交于點(diǎn)M，N，且|MA|：|AB|：|BN|=1：2：3，則l的方程為__________．【答案】【分析】由題意可得點(diǎn)為線段中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程解出點(diǎn)的坐標(biāo)即可得解.【詳解】如圖，由條件得點(diǎn)為線段中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，得，由得坐標(biāo)為，將坐標(biāo)分別代入中，得解得

則坐標(biāo)分別為?，故直線方程為，即，所以直線的方程為．故答案為：14．（2024·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）拋物線，圓，直線l過圓心M且與拋物線E交于A，B與圓M交于C，D.若，則___________.【答案】##【分析】設(shè)直線的方程為，由題意可知圓的圓心為弦的中點(diǎn)，據(jù)此聯(lián)立直線與拋物線方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求出，再由弦長公式即可得解.【詳解】由可得，故圓心，半徑，因?yàn)橹本€l過圓心M且，所以，，即為的中點(diǎn)，顯然，直線斜率為0時(shí)，不符合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消元得，設(shè)，由，所以，由為的中點(diǎn)可知，，即，所以,所以.故答案為：15．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測）拋物線的焦點(diǎn)為F，過C上一點(diǎn)P作C的準(zhǔn)線l的垂線，垂足為A，若直線的斜率為，則的面積為______．【答案】##7.5【分析】設(shè)，則，由的斜率解得，再將代入拋物線方程可得，進(jìn)而可得的面積.【詳解】由拋物線的方程可得，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由題意可得，則，解得n＝3，將代入拋物線方程可得，解得，即，則，所以的面積.故答案為：．16．（2024·陜西·西安市西光中學(xué)校聯(lián)考一模）點(diǎn)A，B是拋物線C：上的兩點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線C的焦點(diǎn)，若，AB中點(diǎn)D到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d，則的最小值為________.【答案】【分析】由拋物線幾何性質(zhì)可得，再由余弦定理和基本不等式可得.【詳解】在中，，易得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：.四、解答題17．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，以C的短軸為直徑的圓與直線相切.(1)求C的方程；(2)直線：與C相交于A，B兩點(diǎn)，過C上的點(diǎn)P作x軸的平行線交線段AB于點(diǎn)Q，直線OP的斜率為（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），△APQ的面積為.的面積為，若，判斷是否為定值？并說明理由.【答案】(1)；(2)是定值，.【分析】（1）利用橢圓離心率及圓的切線性質(zhì)，建立關(guān)于的方程組，解方程組作答.（2）由給定的面積關(guān)系可得直線PQ平分，進(jìn)而可得直線的斜率互為相反數(shù)，再聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合斜率坐標(biāo)公式計(jì)算判斷作答.【詳解】（1）由橢圓的離心率為得：，即有，由以C的短軸為直徑的圓與直線相切得：，聯(lián)立解得，所以C的方程是.（2）為定值，且，因?yàn)?，則，因此，而，有，于是平分，直線的斜率互為相反數(shù)，即，設(shè)，由得，，即有，而，則，即于是，化簡得：，且又因?yàn)樵跈E圓上，即，即，，從而，，又因?yàn)椴辉谥本€上，則有，即，所以為定值，且.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．18．（2024·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，，直線，交于點(diǎn).已知當(dāng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)求證：點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的定橢圓上.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及當(dāng)軸時(shí)，，代入橢圓方程，列方程即可求得的值，從而得橢圓的方程；（2）由，則設(shè)直線的方程為，所以直線的方程為，設(shè)，，，，代入橢圓方程可得坐標(biāo)關(guān)系，可得的表達(dá)式，由平行線分線段成比例可得，，結(jié)合橢圓的定義即可證得為定值，從而得結(jié)論.【詳解】（1）由題知，，點(diǎn)在橢圓C上，則，解得，所以橢圓C的方程為；（2）證明：∵，且點(diǎn)A在x軸上方∴設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，∴或（舍），∴同理，所以，由，得∴∴又點(diǎn)B在橢圓C上，∴，則∴同理：，所以∴又，∴∴點(diǎn)P在以，為焦點(diǎn)的定橢圓上.【提能力】一、單選題19．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過且斜率大于零的直線與相交于，兩點(diǎn)，若直線與拋物線相切，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【分析】由已知設(shè)直線的方程為，，由直線與拋物線相切，列方程求，聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用設(shè)而不求法結(jié)合弦長公式求.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知可設(shè)直線的方程為，，因?yàn)橹本€與拋物線相切，所以只有一組解，所以方程有且只有一個(gè)根，故，又，所以，聯(lián)立，消，得，方程的判別式，設(shè)，則，所以，故選：C.20．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上兩點(diǎn)，記直線OA，OB的斜率分別為，，且，直線AB與x軸的交點(diǎn)為P，直線OA、OB與拋物線C的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)M，N，則△PMN的面積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出A、B的坐標(biāo)，由解得的值，再分別求出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)，求得的式子，研究恒過x軸上的定點(diǎn)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而用方法1基本不等式或方法2函數(shù)思想求得三角形面積的最小值.【詳解】設(shè)，，則，，∴∴，∴設(shè)：，令得：，∴，同理：∴，設(shè)：，，，，又∵，∴，解得：，∴：恒過點(diǎn)，∴與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即：，∴點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為8+1=9.方法1：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴，∴△PMN的面積的最小值為.方法2：∵∴，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取得最小值.∴，∴△PMN的面積的最小值為.故選：D.21．（2024·廣西梧州·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列結(jié)論正確的有（

）個(gè)．①；②為定值；③雙曲線的離心率；④當(dāng)點(diǎn)異于頂點(diǎn)時(shí)，△的內(nèi)切圓的圓心總在直線上．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由雙曲線漸近線方程，圓圓心，半徑是1，應(yīng)用點(diǎn)線距離公式列方程求，設(shè)有，由點(diǎn)線距離公式寫出，直接用離心率定義求雙曲線離心率，根據(jù)圓切線性質(zhì)及雙曲線定義可得，進(jìn)而確定內(nèi)切圓的圓心的位置.【詳解】由題意，雙曲線漸近線方程是，圓的圓心，半徑是1，則，可得（舍去），①錯(cuò)誤．設(shè)，則，即，漸近線方程是，則，，為常數(shù)，②正確；由，所以，離心率為，③正確；設(shè)△的內(nèi)切圓與三邊切點(diǎn)分別為，，，如圖，由圓的切線性質(zhì)知，所以，因此內(nèi)心在直線，即直線上，④正確；故選：C22．（2024·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知雙曲線：的左、右頂點(diǎn)為P、Q，點(diǎn)D在雙曲線上且位于第一象限，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，則，由得出，再由正弦定理得出.【詳解】如圖所示，設(shè)，則，設(shè)，則，即，由雙曲線方程可得，所以，又，，則，解得，則，在三角形中，由正弦定理，可得故選：D23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的曲線C：的離心率滿足，A，B是x軸與曲線C的交點(diǎn)，P是曲線C上異于A，B的一點(diǎn)，延長PO交曲線C于另一點(diǎn)Q，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由離心率的范圍可知曲線為橢圓，根據(jù)離心率與的關(guān)系得到的范圍，然后利用斜率公式表示出，進(jìn)而求出其范圍．【詳解】由解得，所以曲線C是橢圓．因橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上，則．因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，，，，由題意知，則，即，．故選：A．24．（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，過作垂直于軸的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心分別為，則的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意畫出圖，由已知求出的值，找出的坐標(biāo)，由的內(nèi)切圓圓心分別為，進(jìn)行分析，由等面積法求出內(nèi)切圓的半徑，從而求出的底和高，利用三角形的面積公式計(jì)算即可.【詳解】由題意如圖所示：由雙曲線，知，所以，所以，所以過作垂直于軸的直線為，代入中，解出，由題知的內(nèi)切圓的半徑相等，且，的內(nèi)切圓圓心的連線垂直于軸于點(diǎn)，設(shè)為，在中，由等面積法得：由雙曲線的定義可知：由，所以，所以，解得：，因?yàn)闉榈牡慕瞧椒志€，所以一定在上，即軸上，令圓半徑為，在中，由等面積法得：，又所以，所以，所以，，所以，故選：A.25．（2024春·甘肅張掖·高三高臺(tái)縣第一中學(xué)統(tǒng)考期末）橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，且直線斜率取值范圍是，那么直線斜率取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，再根據(jù)表達(dá)推導(dǎo)可得，進(jìn)而根據(jù)直線斜率取值范圍求解即可.【詳解】設(shè)，則，，，于是，故.∵∴.故選：B.26．（2022·青海西寧·湟川中學(xué)校考一模）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C在第一、四象限分別交于點(diǎn)A，B，與圓相切，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直線l方程為，根據(jù)相切得到，聯(lián)立方程，解得，，得到答案.【詳解】直線l的斜率存在，設(shè)為k，直線l過點(diǎn)，得直線l的方程為，即．由直線l與圓相切，得，解得．不妨取，設(shè)，，易知，聯(lián)立，消去y，整理得，則，，則，故選：D二、多選題27．（2024·山東臨沂·統(tǒng)考一模）拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出．反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)，則（）A．B．延長交直線于點(diǎn)，則，，三點(diǎn)共線C．D．若平分，則【答案】AB【分析】根據(jù)題設(shè)和拋物線和性質(zhì)得到點(diǎn)，，將點(diǎn)代入拋物線的方程得到，從而求出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線得到點(diǎn)的坐標(biāo)，即可判斷選項(xiàng)A和C，又結(jié)合直線和直線得到點(diǎn)，即可判斷B選項(xiàng)，若平分，得到，轉(zhuǎn)化為直線斜率和直線的斜率的關(guān)系式即可求出.【詳解】由題意知，點(diǎn)，，如圖：將代入，得，所以，則直線的斜率，則直線的方程為，即，聯(lián)立，得，解得，，又時(shí)，，則所以，所以A選項(xiàng)正確；又，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；又知直線軸，且，則直線的方程為，又，所以直線的方程為，令，解得，即，在直線上，所以，，三點(diǎn)共線，所以B選項(xiàng)正確；設(shè)直線的傾斜角為（），斜率為，直線的傾斜角為，若平分，即，即，所以，則，且，解得，又，解得：，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.28．（2024·浙江·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），過A，B點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為．設(shè)直線l的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，．則下列說法正確的是（

）A．有可能為直角B．C．Q為拋物線C上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為定點(diǎn)，的最小值為D．過F點(diǎn)作傾斜角的角平分線FP交拋物線C于P點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），則存在，使【答案】ABD【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線方程，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.【詳解】依題意，點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，直線，由消去x得：，，當(dāng)時(shí)，，，，解得，拋物線，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，有，為直角，A正確；對(duì)于B，，，，，因此，即，而，則，B正確；對(duì)于C，顯然點(diǎn)E在拋物線C內(nèi)，，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q是直線EF與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，，得，，同理，，令，而，解得，則，D正確.故選：ABD29．（2024·全國·開灤第二中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)，，表示直線，的斜率，則下列說法正確的是（

）A．存在點(diǎn)P，使得成立 B．存在點(diǎn)P，使得成立C．存在點(diǎn)P，使得成立 D．存在點(diǎn)P，使得成立【答案】ABD【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行分析即可判斷.【詳解】由橢圓方程可得：，，對(duì)于A，由橢圓的性質(zhì)可得：，又因?yàn)辄c(diǎn)P在第一象限內(nèi)，所以，所以存在點(diǎn)P，使得成立，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，則，因?yàn)?，所以，所以，所以存在點(diǎn)P，使得，則成立，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，若，則，因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)，所以，則可化為：，解得：不成立，所以不存在點(diǎn)P，使得成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)的分析可知：，所以存在點(diǎn)P，使得成立，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD.30．（2024·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）已知，是橢圓：()與雙曲線：()的公共焦點(diǎn)，，分別是與的離心率，且是與的一個(gè)公共點(diǎn)，滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．的最大值為 D．的最大值為【答案】BD【分析】根據(jù)共焦點(diǎn)得到，A錯(cuò)誤，計(jì)算，，得到，B正確，設(shè)，，代入計(jì)算得到C錯(cuò)誤，D正確，得到答案.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：橢圓和雙曲線共焦點(diǎn)，故，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：，即，，，故，，故，即，即，正確；對(duì)選項(xiàng)C：設(shè)，，，若最大值為，則，，，即，不成立，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：設(shè)，，，，若最大值為，則，，，即，，，成立，正確；故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓和雙曲線的離心率相關(guān)問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中利用三角換元求最值可以簡化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.三、填空題31．（2024·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，在拋物線的準(zhǔn)線上，且滿足，則直線的方程為___________.【答案】【分析】根據(jù)準(zhǔn)線方程求得，也即求得拋物線的方程，設(shè)直線，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合拋物線的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得直線的方程.【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線為，即，得，所以拋物線的方程為，因?yàn)椋栽谝詾橹睆降膱A上.由拋物線性質(zhì)可知為切點(diǎn)，所以圓心縱坐標(biāo)為.設(shè)直線，點(diǎn)，聯(lián)立方程組，可得，所以，所以，直線.故答案為：32．（2024秋·湖南湘潭·高三校聯(lián)考期末）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓與相交于兩點(diǎn)，若為線段的中點(diǎn)，則__________.【答案】2【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系確定交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，利用直線和圓的幾何性質(zhì)，即可求得的長.【詳解】解：如圖，由題可知，的坐標(biāo)為，設(shè)，聯(lián)立方程組，可得，則，.因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為.又以為直徑的圓與相交于兩點(diǎn)，所以，所以，解得，又，所以，所以，故.故答案為：2.33．（2024·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)F為雙曲線的右焦點(diǎn)，A，B分別為雙曲線E的左右頂點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線E上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線l：x＝t使得過F作直線AP的垂線交直線l于點(diǎn)Q時(shí)總有B，P，Q三點(diǎn)共線，則的最大值為____________.【答案】##1.25【分析】設(shè)出直線方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，韋達(dá)定理表示出A與P的關(guān)系，根據(jù)三點(diǎn)B，P，Q共線，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)表示出t,然后運(yùn)用設(shè)參數(shù)m法化簡,最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立整理得:;所以，得到，所以；過F作直線PA的垂線與直線交于Q，因?yàn)锽,Q,P三點(diǎn)共線，所以Q是直線與BP的交點(diǎn)，Q是與的交點(diǎn)所以得，所以設(shè)則所以當(dāng)時(shí)，即m=2即時(shí)，取得最大值.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理表示出坐標(biāo)關(guān)系式；按照題目中給出的關(guān)系，構(gòu)建關(guān)系式，表示出所求變量；（2）在計(jì)算推理的過程中運(yùn)用整體轉(zhuǎn)化，化簡函數(shù)式，從而得到二次函數(shù)或者不等式，求得最值；本題的解題的關(guān)鍵是，表示出Q點(diǎn)的交點(diǎn)坐標(biāo)，找到與t有關(guān)的解析式.34．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓，斜率為的直線分別交軸負(fù)半軸、軸負(fù)半軸于、兩點(diǎn)，交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方，過點(diǎn)作軸的平行線交于、兩點(diǎn)，則面積的最大值為________．【答案】【分析】設(shè)直線的方程為，根據(jù)題意求得，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以及，求出點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積可得出，令，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)在上的最大值，即可得出面積的最大值.【詳解】設(shè)直線的方程為，由題意可知，直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、，則，聯(lián)立可得，，由于，解得，因?yàn)?，可得，解方程可得，所以，，所以，，所以，，可得，故，直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，令，則，令，其中，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，因?yàn)?，故，?故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．四、解答題35．（2024·陜西咸陽·陜西咸陽中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的離心率為，過橢圓的焦點(diǎn)且與長軸垂直的弦長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓的右焦點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，若，求證:為定值.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】