2022-2023學(xué)年江蘇高一年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)同步講義蘇教版2019必修第二冊(cè)第01講 基本立體圖形解析版

第13章立體幾何

第01講基本立體圖形

0目標(biāo)導(dǎo)航

課程標(biāo)準(zhǔn)重難點(diǎn)

1.利用實(shí)物模型、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間

圖形，認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，能運(yùn)

用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)

1直.觀圖的面積

構(gòu).

2.簡(jiǎn)單幾何體的結(jié)構(gòu)特征

2.能用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)

方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡(jiǎn)單組

合)的直觀圖.

?知識(shí)精講

知識(shí)點(diǎn)一棱柱、棱錐和棱臺(tái)-----------------------------------------------------------------------

i.可以從以下幾個(gè)方面理解棱柱

(1)棱柱的兩個(gè)主要結(jié)構(gòu)特征：

①有兩個(gè)面互相平行;

②各側(cè)棱都互相平行,各側(cè)面都是平行四邊形.

通俗地講，棱柱”兩頭一樣平，上下一樣粗

(2)有兩個(gè)面互相平行，并不表明只有兩個(gè)面互相平行,如長(zhǎng)方體，有三組對(duì)面互相平行，其中任意一

組對(duì)面都可以作為底面.

(3)從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看,棱柱也可以看成是一個(gè)平面多邊形從一個(gè)位置沿一條不與其共面的直線運(yùn)動(dòng)到

另一位置時(shí)，其運(yùn)動(dòng)軌跡所形成的幾何體.

(4)棱柱可按底面多邊形的邊數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，如底面是三角形的棱柱叫做三棱柱.

注意：棱柱概念的推廣

①斜棱柱:側(cè)棱不垂直于底面的棱柱?

②直棱柱:側(cè)棱垂直于底面的棱柱.

③正棱柱:底面是正多邊形的直棱柱.

④平行六面體:底面是平行四邊形的四棱柱，即平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形.

⑤長(zhǎng)方體:底面是矩形的直棱柱.

⑥正方體:棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體.

2.棱錐的兩個(gè)本質(zhì)特征

(1)有一個(gè)面是多邊形;

(2)其余各面都是有二個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,

注意：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐叫做的鍍，棱錐還可按底面

多邊形邊數(shù)進(jìn)行分類(lèi).

3.正確認(rèn)識(shí)棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

(1)上底面與下底面是互相平行的相似多邊形；

(2)側(cè)面都是梯形；

(3)側(cè)棱延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn).

注意：各側(cè)面是全等的等腰梯形的是棱臺(tái)稱(chēng)為.正援食一棱臺(tái)還可按底面多邊形的邊數(shù)進(jìn)行分類(lèi).

知識(shí)點(diǎn)二圓錐、圓錐、圓臺(tái)和球

1.圓柱的結(jié)構(gòu)特征

(1)圓柱有無(wú)數(shù)條母線,它們平行且相等.

(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓.

(3)過(guò)軸的截面(軸截面)都是全等的矩形.

(4)過(guò)任意兩條母線的截面是蟀一

2.圓錐的結(jié)構(gòu)特征

(1)圓錐有無(wú)數(shù)條母線,它們有公共點(diǎn)即圓錐的頂點(diǎn),且長(zhǎng)度相等.

(2)平行于底面的截面都是圓「

(3)過(guò)軸的截面是全等的等腰三角形.

(4)過(guò)任意兩條母線的截面是等腰量角形.

3.圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

(1)圓臺(tái)有無(wú)數(shù)條母線,且它們相等，延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

(2)平行于底面的截面是圓二

(3)過(guò)軸的截面是全等的等腰梯形.

(4)過(guò)任意兩條母線的截面是等腰梯形.

4.球的結(jié)構(gòu)特征

(1)球是旋轉(zhuǎn)體,球的表面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面，球是球面及其內(nèi)部空間組成的幾何體?

(2)根據(jù)球的定義，鉛球是一個(gè)球，而足球、乒乓球、籃球、排球等，雖然它們的名字中有“球”字，

但它們都是空心的，不符合球的定義，因而都不是球.

5.簡(jiǎn)單組合體

由簡(jiǎn)單幾何體組合而成的幾何體稱(chēng)為簡(jiǎn)單組合體，構(gòu)成簡(jiǎn)單組合體的兩種基本形式：

①由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成；

②由簡(jiǎn)單幾何體裁去或挖去一部分組成.

知識(shí)點(diǎn)三直觀圖的斜二測(cè)畫(huà)法

Q能力拓展

考法01旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

例

判斷下列各命題是否正確：

(1)圓柱上底面圓上任一點(diǎn)與下底面圓上任一點(diǎn)的連線都是圓柱的母線；

(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺(tái)；

(3)圓錐、圓臺(tái)中過(guò)軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形;

(4)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球.

【解析】(1)錯(cuò).由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應(yīng)平行于軸.

(2)錯(cuò).直角梯形繞下底所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體是由一個(gè)圓柱與一個(gè)圓錐組成的簡(jiǎn)單組合體,

如圖所示.

(3)正確.

(4)錯(cuò).應(yīng)為球面.

【方法技巧】

簡(jiǎn)單旋轉(zhuǎn)體結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略

(1)準(zhǔn)確掌握?qǐng)A柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過(guò)程及其特征性質(zhì)是解決此類(lèi)概念問(wèn)題的關(guān)鍵.

(2)解題時(shí)要注意明確兩點(diǎn)：

①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；

②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是()

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái)；

③用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)；

④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)形成的幾何體是球.

A.0B.1

C.2D.3

解析：選B①應(yīng)以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才可得到圓錐，故①錯(cuò)；②

以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)可得到圓臺(tái)，故②錯(cuò)；③用平行于圓錐底面的平面去

截圓錐，可得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，用不平行于圓錐底面的平面不能得到，故③錯(cuò)：④正確.故選B.

2.下列命題中正確的是（）

①過(guò)球面上任意兩點(diǎn)只能作一個(gè)經(jīng)過(guò)球心的圓；

②以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，半圓的直徑叫做球的直徑；

③用不過(guò)球心的截面截球，球心和截面圓心的連線垂直于截面；

④球面上任意三點(diǎn)可能在一條直線上；

⑤球的半徑是連接球面上任意一點(diǎn)和球心的線段.

A.①②③B.②③④

C.②③⑤D.①④⑤

解析：選C任意兩點(diǎn)與球心在一條直線上時(shí)，可作無(wú)數(shù)個(gè)圓，故①錯(cuò)，②正確，③正確：球面上任意三點(diǎn)

一定不共線，故④錯(cuò)誤：根據(jù)球的半徑的定義可知⑤正確.故選C.

考法02簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征

■目?如圖①②所示的圖形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡(jiǎn)單兒何體組成的？

【解析】旋轉(zhuǎn)后的圖形如圖所示.其中圖①是由一個(gè)圓柱0|。2和兩個(gè)圓臺(tái)。2。3,。3。4組成的；圖②是由

一個(gè)圓錐。5。4,一個(gè)圓柱。3。4及一個(gè)圓臺(tái)。1。3中挖去圓錐。2。1組成的.

【方法技巧】

簡(jiǎn)單組合體的識(shí)別

1.明確組合體的結(jié)構(gòu)特征，主要弄清它是由哪些簡(jiǎn)單幾何體組成的，必要時(shí)也可以指出棱數(shù)、面數(shù)和頂點(diǎn)

數(shù).

2.會(huì)識(shí)別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，因此我們應(yīng)注意觀察周?chē)奈矬w，然后將它們“分拆”

成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識(shí)圖能力.

【跟蹤訓(xùn)練】

描述下列幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

二二二q六■*、、

(3)

【解析】圖(1)所示的幾何體是由兩個(gè)圓臺(tái)拼接而成的組合體：圖(2)所示的幾何體是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓

錐得到的組合體：圖(3)所示的幾何體是在一個(gè)圓柱中間挖去一個(gè)三棱柱后得到的組合體.

考法03圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖問(wèn)題

如圖所示,已知圓柱的高為80cm,底面半徑為10cm,軸截面上有P,。兩點(diǎn)，且以=40cm.

89=30cm,若一只螞蟻沿著側(cè)面從尸點(diǎn)爬到。點(diǎn)，問(wèn)：螞蟻爬過(guò)的最短路徑長(zhǎng)是多少？

【解析】將圓柱側(cè)面沿用線AA展開(kāi)，得如圖所示矩形.

J.A\B\=^-2Ttr=nr=107t(cni).

過(guò)點(diǎn)。作QS-LA4|于點(diǎn)5,

在RtAP05中，PS=80-40-30=10(cm),

05=48]=lOjt(cm).

:.PQ=yjPS2+QS2=1(hj7t2+l(cm).

即螞蟻爬過(guò)的最短路徑長(zhǎng)是1cm.

【方法總結(jié)】

準(zhǔn)確畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).

【跟蹤訓(xùn)練】在如圖的方格紙上，已知向量。，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.

(1)試以8為終點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量6,使b=a；

(2)在圖中畫(huà)一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c,使依=小，并說(shuō)出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？

【解析】(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量。平行，且長(zhǎng)度相等(作圖略).

(2)由平面幾何知識(shí)可知所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以4為圓心，半徑為小的圓(作圖咯).

考法04棱柱的結(jié)構(gòu)特征

下列說(shuō)法中，正確的是()

A.棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點(diǎn)

B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面

C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形

D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)不符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征；B選項(xiàng)中，如圖①，構(gòu)造四棱柱A8CD4由JCICI,令四邊形ABC。

是梯形，可知平面平面DCC\D\,但這兩個(gè)面不能作為棱柱的底面；C選項(xiàng)中，如圖②，底面ABCD

可以是平行四邊形；D選項(xiàng)是棱柱的結(jié)構(gòu)特征.故選D.

【方法技巧】

棱柱結(jié)構(gòu)特征問(wèn)題的解題策略

(1)有關(guān)棱柱概念辨析問(wèn)題應(yīng)緊扣棱柱定義：

①兩個(gè)面互相平行；

②其余各面是平行四邊形；

③相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行.求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)面平行，再看是否滿(mǎn)足其他特征.

(2)多注意觀察一些實(shí)物模型和圖片便于反例排除.

【跟蹤訓(xùn)練】

I多選］下列關(guān)于棱柱的說(shuō)法正確的是()

A.所有的棱柱兩個(gè)底面都平行

B.所有的棱柱一定有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊互相平行

C.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體一定是棱柱

D.棱柱至少有五個(gè)面

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A、B、D,顯然是正確的；對(duì)于C,棱柱的定義是這樣的：有兩個(gè)面互相人.9

平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面圍成下辛彳

的幾何體叫做棱柱，顯然題中漏掉了“并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行”這一

B

條件，因此所圍成的幾何體不一定是棱柱.如圖所示的幾何體就不是棱柱，所以C錯(cuò)誤.故選A、B、D.

考法05棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法:

①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的

兩部分不可能都是棱錐.

其中說(shuō)法正確的序號(hào)是.

【答案】①②

【解析】①正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形：

②正確，由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

③錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.

判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法

(1)舉反例法：

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說(shuō)法不正確.

(2)直接法：

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)后相交于一點(diǎn)

【跟蹤訓(xùn)練】

下列說(shuō)法中，正確的是()

①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；

②有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形，由這些面圍成的幾何體是棱錐；

③四面體的任何一個(gè)面都可以作為三棱錐的底面；

④棱錐的各側(cè)棱長(zhǎng)相等.

A.①②B.①③

C.②③D.②④

【答案】B

【解析】由棱錐的定義，知棱錐的各側(cè)面都是三角形，故①正確；有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角

形，如果這些三角形沒(méi)有一個(gè)公共頂點(diǎn)，那么這個(gè)幾何體就不是棱錐，故②錯(cuò)：四面體就是由四個(gè)三角形

所圍成的幾何體，因此四面體的任何一個(gè)面作底面的幾何體都是三棱錐，故③正確；棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)可以相

等，也可以不相等，故④錯(cuò).故選B.

考法06多面體的平面展開(kāi)圖問(wèn)題

(1)某同學(xué)制作了一個(gè)對(duì)面圖案均相同的正方體禮品盒，如圖所示，則這個(gè)正方體禮品盒的平面

展開(kāi)圖應(yīng)該為(對(duì)面是相同的圖案)()

(2)如圖是三個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖，請(qǐng)問(wèn)各是什么幾何體?

［解析］(1)由選項(xiàng)臉證可知選A.

(2)圖①中，有5個(gè)平行四邊形，而且還有兩個(gè)全等的五邊形,符合棱柱特點(diǎn)；圖②中，有5個(gè)三南形，且

具有共同的頂點(diǎn)，還有一個(gè)五邊形，符合棱錐特點(diǎn)；圖③中，有3個(gè)梯形，且其腰的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，還

有兩個(gè)相似的三角形，符合棱臺(tái)的特點(diǎn).把平面展開(kāi)圖還原為原幾何體，如圖所示：所以①為五棱柱，②

為五棱錐，③為三棱臺(tái).

［答案1(DA(2)①為五棱柱，②為五棱錐，③為三棱臺(tái)

【方法技巧】

多面體展開(kāi)圖問(wèn)題的解題策略

(1)繪制展開(kāi)圖：繪制多面體的表面展開(kāi)圖要結(jié)合多面體的幾何特征，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把

多面體的底面畫(huà)出來(lái)，然后依次畫(huà)出各側(cè)面，便可得到其表面展開(kāi)圖.

(2)由展開(kāi)圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的表面展開(kāi)圖，來(lái)判斷是由哪一個(gè)多面體展開(kāi)的，則可把上述過(guò)

程逆推.同一個(gè)幾何體的表面展開(kāi)圖可能是不一樣的，也就是說(shuō)，一個(gè)多面體可有多個(gè)表面展開(kāi)圖.

【跟蹤訓(xùn)練】

1.［變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)］將本例(1)中改為：水平放置的正方體的六個(gè)面分別用“前面、后面、上面、下面、左

面、右面”表示，如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖(圖中數(shù)字寫(xiě)在正方體的外表面上)，若圖中“0”上方的“2”

在正方體的上面，則這個(gè)正方體的下面是()

A.1B.9

C.快D.樂(lè)

解析：選B將圖形折成正方體知選B.

2.［變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)］將本例(2)的條件改為：一個(gè)幾何體的平面展開(kāi)圖如圖所示.

(1)該幾何體是哪種幾何體？

(2)該幾何體中與“?！弊置嫦鄬?duì)的是哪個(gè)面？“你”字面相對(duì)的是哪個(gè)面?

解：(1)該幾何體是四棱臺(tái).

(2)與“?！毕鄬?duì)的面是“前”，與“你”相對(duì)的面是“程

考法07水平放置的平面圖形的直觀圖

畫(huà)水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示.

［解J(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底邊08所在直線為x軸，垂直于08的腰0力所在直線為)，軸建

立平面直角坐標(biāo)系.畫(huà)相應(yīng)的/軸和軸，使O'yf=45°,如圖①②所示.

(2)在『軸上截取O'B'=OB,在y'軸上截取O'D'=：?！?gt;,過(guò)點(diǎn)Q'作/軸的平行線/，在/上沿『

軸正方向取點(diǎn)C'使得》C=DC.連接夕C,如圖②.

(3)所得四邊形O'B'CD'就是直角梯形O8C。的直觀圖.如圖③.

【方法技巧】

畫(huà)平面圖形的直觀圖的技巧

(1)在畫(huà)水平放置的平面圖形的直觀圖時(shí)，選取恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使得平面多邊形盡可能多的頂

點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，以便于畫(huà)點(diǎn).

(2)畫(huà)平面圖形的直觀圖，首先畫(huà)與坐標(biāo)軸平行的線段(平行性不變)，與坐標(biāo)軸不平行的線段通過(guò)與坐標(biāo)軸平

行的線段確定它的兩個(gè)端點(diǎn)，然后連接成線段.B

I變式訓(xùn)練］

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)如圖所示邊長(zhǎng)為4cm的水平放置的正三角形的直觀圖.3----

【解析】(1)如圖①所示，以8c邊所在的直線為x軸，以8c邊上的高線A。所在的直線為軸.

(2)畫(huà)對(duì)應(yīng)的『軸、y'軸，使Nx'O'y'=45°.

在x'軸上截取。'B'=0'C=0B=0C=2cm,在y'軸上取O'=joA,連接A'B',A'C',

則三角形A'B'C即為正三角形ABC的直觀，圖，如圖②所示.

考法08空間圖形直觀圖的畫(huà)法

畫(huà)出底面是正方形，側(cè)棱均相等的四棱錐的直觀圖.

【解析】畫(huà)法：⑴畫(huà)軸.畫(huà)Ox軸，軸，Oz軸，NxOy=45°(或135°),NxOz=90°,如圖.

(2)畫(huà)底面.以。為中心在平面內(nèi)，畫(huà)出正方形的直觀圖A8CD

(3)畫(huà)頂點(diǎn).在Oz軸上截取OP使。尸的長(zhǎng)度等于原四棱錐的高.

(4)成圖.順次連接以，PB,PC,PD,并擦去輔助線，將被遮住的部分改為虛線，得四棱錐的直觀圖.

【方法技巧】

畫(huà)空間圖形的直觀圖的原則

(1)首先在原幾何體上建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,并且把它們畫(huà)成對(duì)應(yīng)的尤'軸與y'軸，兩軸交于點(diǎn)O',

且使O'y'=45。(或135。)，它們確定的平面表示水平面，再作z'軸與平面『O'y'垂直.

(2)作空間圖形的直觀圖時(shí)平行于x軸的線段畫(huà)成平行于x'軸的線段并且長(zhǎng)度不變.

(3)平行于y軸的線段畫(huà)成平行于<軸的線段，且線段長(zhǎng)度畫(huà)成原來(lái)的一半.

(4)平行于z軸的線段畫(huà)成平行于z'軸的線段并且長(zhǎng)度不變.

【跟蹤訓(xùn)練】

用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出正五棱柱的直觀圖.

解：(1)畫(huà)軸.畫(huà)/軸、y'軸和z'軸，使Nx'O"y'=45°(或135°),乙x'O'z'=90°,如圖①所示.

①②

(2)畫(huà)底面.按/軸、y'軸畫(huà)正五邊形的直觀圖A8CDE.

(3)畫(huà)側(cè)棱.過(guò)點(diǎn)A,B,C,D,￡分別作z'軸的平行線，并在這些平行線上分別截取AA',BB',CC,

DD',EE'都相等.

(4)成圖.順次連接A',8',C',O',E',去掉輔助線，改被擋部分為虛線，如圖②所示.

考法09直觀圖的還原與計(jì)算

(1)如圖①，RtAO,A'B'是一個(gè)平面圖形的直觀圖，若O'B'=6,則這個(gè)平面圖形的面

積是（）

A.1B.V2

C.2^2

2

(2)如圖②所示，梯形AIBGDI是一平面圖形ABC。的直觀圖.若4以〃。‘<,A陽(yáng)〃G。，

=2,A\D\=Of￡>］=1.試畫(huà)出原四邊形，并求原圖形的面積.

［解析］(1)由題圖知，△048為直角三角形.「。'夕=陋，???A‘夕=,，O'N=2.

在原△04B中，0B="04=4,..4人。"：!X啦X4=241故選C.

［答案］C

(2)如圖，建立直南坐標(biāo)系xOy,在x軸上截取0。=0'D,=l;OC=O'Ci=2.

在過(guò)點(diǎn)D與)，軸平行的直線上截取。4=2。4=2.

在過(guò)點(diǎn)A與x軸平行的直線上截取A8=A/i=2.連接BC,便得到了原圖形(如圖).

由作法可知，原四邊形A8CO是直角梯形，上、下底長(zhǎng)度分別為A8=2,CD=3,直角腰長(zhǎng)度為AO=2.

2+3

所以面積為S=-7二義2=5.

【方法技巧】

1.直觀圖的還原技巧

由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與『軸，y'軸平行的直線或線段，且平行于『軸的線段還原時(shí)長(zhǎng)度不

變，平行于<軸的線段還原時(shí)放大為直觀圖中相應(yīng)線段長(zhǎng)的2倍，由此確定圖形的各個(gè)頂點(diǎn)，順次連接即

可.

2.直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系

若一個(gè)平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S',則有S'=條或S=2/S'.利用這一公式可由原

圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.

［變式訓(xùn)練］

1.［變條件］本例(2)中的條件改為如圖所示的直角梯形，NABC=45。，AB=AD^l,DC

-LBC,求原圖形的面積.

解：如圖①，在直觀圖中，過(guò)點(diǎn)A作AE-L8C,垂足為點(diǎn)E,則在RtZXABE中，AB=\,

NABE=45°,

所以BE=^.

而四邊形AECO為矩形，AD=\,所以EC=A力=1.所以BC=8E+EC=^+1.

由此可還原原圖形如圖②，是一個(gè)直角梯形.

在原圖形中，D'=1,A'B'=2,B'C=V+1,且A'D'//B'C,A'B'A.B'C',

所以原圖形的面積為

S=T（A，D'+8，C）-A'B'=|xh+l義2=2+坐

2.［變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)］本例⑴若改為“已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖B'C

的面積”，應(yīng)如何求?

解：由斜二測(cè)畫(huà)法規(guī)則可知，直觀圖△A'夕C一底邊上的高為坐〃*3*坐=乎用

所以SA4ZB'c

Lo10

3.［變?cè)O(shè)問(wèn)］本例（1）中直觀圖中△0'4'B'的面積與原圖形面積之比是多少？

解：由（1）中直觀圖可得SAOA，夕=gxgx/=1,

原圖形面積為SAOAB=2啦.所以S"：八"=，仁=^^.

OAQ4B2\24

羔分層提分

題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練

一、單選題

1.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的直角梯形，其中BC=AB=2,則原平面圖

形的面積為（）

【解析】直觀圖中，/ADC=45°,AB=BC=2,DC1BC,：.AD=2^2,DC=4,

原來(lái)的平面圖形上底長(zhǎng)為2,下底為4,高為4&的直角梯形，

,該平面圖形的面積為（2+4）x40xg=12應(yīng).故選：C

2.已知正A4?C的邊長(zhǎng)為忘，則AABC的直觀圖7月G的面積為（）

A.邁B.3C.一百D,如

248

【答案】D

【解析】由題意S“BC='X（血＞xsin工=@,

262

所以直觀圖"BC的面積為5=立乂"=逅.故選：D.

248

3.已知圓錐的底面半徑為1,其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題設(shè)，若母線長(zhǎng)為/,則加=2萬(wàn)，可得/=2.故選：B

4.下列結(jié)論中正確的是（）

A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成幾何體叫圓錐

C.當(dāng)正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等時(shí)該棱錐可能是正六棱錐

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線

【答案】D

【解析】對(duì)于A,正八面體的各個(gè)面都是三角形，但不是三棱錐，所以A錯(cuò)誤，

對(duì)于B,若以銳角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體是兩個(gè)圓錐

形成的組合體，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,正六棱錐的底面六邊形的外接圓半徑與底面邊長(zhǎng)相等，而正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)大于底面多邊形外接圓半

徑，所以正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)大于底面邊長(zhǎng)，所以C錯(cuò)誤，

對(duì)于D,圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線，所以D正確，故選：D

5.下列說(shuō)法正確的有（）

①兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)：

②以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；

③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；

④圓錐的軸截而是等腰三角形.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【解析】對(duì)于①：棱臺(tái)是棱錐過(guò)側(cè)棱上一點(diǎn)作底面的平行平面分割而得到的.而兩個(gè)面平行且相似，其余各

面都是梯形的多面體中，把梯形的腰延長(zhǎng)后，有可能不交于一點(diǎn)，就不是棱臺(tái).故①錯(cuò)誤；

對(duì)于②：以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)調(diào)所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐.故②錯(cuò)誤；

對(duì)于③：各側(cè)面都是正方形的四棱柱中，如果底面的菱形，一定不是正方體.故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④：圓錐的軸截面是等腰三角形.是正確的.故④正確.

故選：A

6.21世紀(jì)以來(lái)，中國(guó)鋼鐵工業(yè)進(jìn)入快速發(fā)展階段，某工廠要加工一種如圖所示的圓錐體容器，圓錐的高和

母線長(zhǎng)分別為4m和5m,該容器需要在圓錐內(nèi)部挖出一個(gè)正方體槽，則可以挖出的正方體的最大棱長(zhǎng)為

（）

A.36-21>/2mB.40-21&mC.4O-240mD.36-24血m

【答案】D

【解析】因?yàn)閳A錐的高和母線長(zhǎng)分別為〃=4m和/=5m,

則圓錐的底面半徑為r=廬下=3m，

過(guò)圓錐的頂點(diǎn)和正方體底面對(duì)角線作圓錐的軸截面，如下圖所示：

此時(shí)正方體的棱長(zhǎng)最大，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，則=

作A。垂直地面于。，則AO=〃,EO=r

因?yàn)锳￡CG~AEOA,所以4=擔(dān)，

AOEO

r-^-a2rh

即qL2即叫E所以a=（36-240）m.故選：D.

工r

二、多選題

7.下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐

D.圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線

【答案】ABC

【解析】A、如圖（1）所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它

不是棱錐，故A錯(cuò)誤；

B、如圖（2）（3）所示，若AABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都

不是圓錐，故B錯(cuò)誤；

C、若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形.由過(guò)中心和定點(diǎn)的截面知，若以正六邊形為底

面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故C錯(cuò)誤；

D、根據(jù)圓錐母線的定義知，故D正確.

故選：ABC.

(1)(2)(3)

8.（多選題）對(duì)如圖中的組合體的結(jié)構(gòu)特征有以下幾種說(shuō)法，其中說(shuō)法正確的是（）

A.由一個(gè)長(zhǎng)方體割去一個(gè)四棱柱所構(gòu)成的

B.由一個(gè)長(zhǎng)方體與兩個(gè)四棱柱組合而成的

C.由一個(gè)長(zhǎng)方體挖去一個(gè)四棱臺(tái)所構(gòu)成的

D.由一個(gè)長(zhǎng)方體與兩個(gè)四棱臺(tái)組合而成的

【答案】AB

【解析】如圖，該組合體可由一個(gè)長(zhǎng)方體割去一個(gè)四棱柱所構(gòu)成，也可以由一個(gè)長(zhǎng)方體與兩個(gè)四棱柱組合

而成，如下圖所示：

囹整

故選:AB.

三、填空題

9.如圖，O'A'8'C'是平面四邊形O43C的直觀圖，若O'45'C'是邊長(zhǎng)為2的正方形，則四邊形。43c的周

長(zhǎng)為.

【答案】16

【解析】?.?。'4=2,

O'B'=2A/2

還原回原圖形后，

OA=OA'=2,OB=20'B'=472.

AB=y/OB2+OA2=j32+4=6，

原圖形的面積周長(zhǎng)為2x（6+2）=16故答案為：16.

10.達(dá)?芬奇認(rèn)為：和音樂(lè)一樣，數(shù)學(xué)和幾何"包含了宇宙的一切"，從年輕時(shí)起，他就本能地把這些主題運(yùn)

用在作品中，布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)?芬奇方磚，在正六邊形上畫(huà)了具有視覺(jué)效果的正方

體圖案（如圖1）,把三片這樣的達(dá)?芬奇方磚形成圖2的組合，這個(gè)組合表達(dá)了圖3所示的幾何體.若圖3

中每個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為1,則點(diǎn)F到直線QC的距離是.

【答案】O

【解析】根據(jù)題意，延長(zhǎng)QM8A交于點(diǎn)M,連接QEFC,如下所示:

在AQ/C中，容易知：QF=JQN?+NF。=Jl?+（廚=6；

同理FC=Ji?+（6y=R,QC=JQM2+MC2=5+（可=3,

滿(mǎn)足QF+FC2=QC2,設(shè)點(diǎn)F到直線QC的距離為d,由等面積法可知：

QF*FC=QCxd,解得"=1；二=夜,即點(diǎn)尸到直線QC的距離是

故答案為：V2.

四、解答題

11.在一張硬卡紙上，將圖中給出的圖形放大，然后按實(shí)線剪紙，再按虛線折痕折起并黏合，說(shuō)出得到的

【答案】三棱臺(tái)

【解析】上底面和下底面是大小不同的三角形，故粘合后上底面與下底面平行，側(cè)面與底面不垂直，所以

該兒何體為三棱臺(tái).

12.用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出下列平面圖形水平放置的直觀圖.

【答案】詳見(jiàn)解析

【解析】（1）如圖所示,

過(guò)A'作AC"軸，且A'C'=,C=1,連接此，則VAFC即為“BC的直觀圖;

（2）如圖所示，

畫(huà)出坐標(biāo)系x'O'y',使Zx'O'y'=45,

在軸作線段O'B'=O8=2,在y'軸作線段0'4'=g0A=g,

再作出點(diǎn)C',O',連接B，C',C'Zy,D'A',即可得出該平面圖形的直觀圖.

題組B能力提升練

一、單選題

1,埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正

方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其底面正方形的邊長(zhǎng)與其側(cè)面三角形底邊上的高的比值

石-1cD.與

,2

【答案】B

【解析】

由已知，可畫(huà)出正四棱錐的圖像，底面715c。是邊長(zhǎng)為a的正方形，頂點(diǎn)P在底面的投影為O,OP=h,H

為8c中點(diǎn)，P”為側(cè)面APBC的高，設(shè)尸”=",由已知可得：

h2——*a?h,h2=(h)2—(—)2=—,即h2——=—?a?h,

22242

貝打-￡=[，，即｝:)2+!母_1=0,解得

4/122h4h2h

二=6_1或二=_石一1(舍去).故選：B.

hh

2.已知球。為正方體ABCO-AqGR的內(nèi)切球，平面AGB截球。的面積為24],則正方體

ABC。-ABCA的棱長(zhǎng)為()

A.4B.6C.8D.12

【答案】D

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為“，則AG=缶，內(nèi)切球的半徑為設(shè)內(nèi)切球的球心。在平面AGB上的投影為0-

由△4CB為等邊三角形

知。I為等邊三角形AG8的重心，則。4=|x*AG=^a,又0%=%,所以球心。到平面AG8的

又。01，平面AGB，所以截面圓的半徑為:

解得a=12.故選：D.

3.如圖，在一個(gè)正方體中，E,G分別是棱A8,CC'的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱C?？拷麮的四等分點(diǎn).平面EFG截正

【答案】D

【解析】

D

連接EB',GB'

因?yàn)镋,G分別是棱A8,CC'的中點(diǎn)，F(xiàn)為楂CO靠近C的四等分點(diǎn)

所以EB'HFG,所以平面EFG經(jīng)過(guò)點(diǎn)B'

所以多面體ADDA-EFGCB'的正視圖為?故選：D

4.下列命題正確的是（）

A.與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直的直線與該平面垂直

B.過(guò)直線外一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線與該直線平行

C.各面都是正三角形的四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心恰好重合

D.各面都是等腰三角形的三棱錐一定是正三棱錐

【答案】C

【解析】對(duì)于A,一條直線與平面內(nèi)的任意直線垂直，則直線與平面垂直，而無(wú)數(shù)條直線可以是一組平行直

線，A不正確；

對(duì)于B,由平行公理知，過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行，B不正確；

對(duì)于C,因各面都是正三角形的四面體是正四面體，而正四面體的外接球球心和內(nèi)切球球心重合，C正確；

對(duì)于D,三棱錐中，AB=BC=CA=PA=2,PB=PC=3,

顯然三棱錐P-ABC各面都是等腰三角形，而三棱錐P-43c不是正三棱錐，D不正確.

故選：C

5.已知過(guò)8%的平面與正方體ABC。相交，分別交棱AA，CC,于"，N.則下列關(guān)于截面的說(shuō)法中,

不正確的是（）

A.截面8MAN可能是矩形B.截面可能是菱形

C.截面可能是梯形D.截面的WRN不可能是正方形

【答案】C

【解析】如下圖，當(dāng)M,N分別與對(duì)角頂點(diǎn)重合時(shí)，顯然是矩形；

如卜圖，當(dāng)〃，N為44,CG的中點(diǎn)時(shí)，顯然是菱形，由正方體的性質(zhì)及勾股定理易知：BMD、N不

可能為正方形；

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，其它情況下BMD、N為平行四邊形；

綜上，C不正確.故選：C.

6.從一個(gè)底面圓半徑與高均為2的圓柱中挖去一個(gè)正四棱錐（以圓柱的上底面為正四棱錐底面的外接圓，

下底面圓心為頂點(diǎn)）而得到的幾何體如圖所示，今用一個(gè)平行于底面且距底面為1的平面去截這個(gè)幾何體,

則截面圖形的面積為（）

A.4萬(wàn)一4B.44C.4萬(wàn)一2D.21一2

【答案】C

【解析】截面圖形應(yīng)為圓面中挖去?個(gè)正方形，且圓的半徑是2,

則截面圓的面積為：4萬(wàn)

設(shè)正四棱錐的底面正方形邊長(zhǎng)為。，則2/=16,所以a=2夜

正四棱錐的底面正方形的面積為卜加『=8

由圓錐中截面的性質(zhì)，可得圓面中挖去一個(gè)正方形與正四棱錐的底面正方形相似

設(shè)圓面中挖去一個(gè)正方形的面積為S',正四棱錐的底面正方形為S

S'q'1

則卷=g=7從而S'=2

S84

所以截面圖形的面積為4萬(wàn)-2.

故選：C.

二、多選題

7.已知正方體ABCO-ABCIR的棱長(zhǎng)為2,P是正方體表面一動(dòng)點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）

A.若AP=2,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為3萬(wàn)

B.若AP=C]P,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為6

C.若點(diǎn)P到直線8區(qū)的距離為1,則點(diǎn)尸的軌跡長(zhǎng)度為4

D.若點(diǎn)P到直線A4,BB-C。的距離相等，則滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P僅有2個(gè)

【答案】AD

【解析】對(duì)A,如圖，點(diǎn)P在以A為球心，2為半徑的球面上，該球面與正方體表面的交線為三段半徑為2

的四分之一圓，故軌跡長(zhǎng)度為±x2;rx2=3;r,故A正確；

對(duì)B,如圖，點(diǎn)P在過(guò)線段4G中點(diǎn)且與A&垂直的平面內(nèi)，該平面與正方體表面的交線是邊長(zhǎng)為正的正

六邊形，軌跡長(zhǎng)度為6夜，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,如圖，點(diǎn)尸在以線段為軸，底面半徑為1的圓柱面內(nèi)，該圓柱面與正方體衣面的交線為兩段圓弧

和兩條線段，故軌跡長(zhǎng)度為2x1x2萬(wàn)+4=%+4,故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,如圖,因?yàn)辄c(diǎn)P到伍,8用的距離相等,故點(diǎn)尸在過(guò)線段4B,A冉中點(diǎn)，且與垂直的平面內(nèi)，在平

面ABCD和平面A瓦GR內(nèi)個(gè)存在?點(diǎn)滿(mǎn)足要求，即滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)有2個(gè)，故D正確.

故選：AD.

8.下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.所有幾何體的表面都能展成平面圖形

B.各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐

C.用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么該幾何體可能是棱柱

D.上、下底面是等邊三角形的三棱臺(tái)一定存在外接球

【答案】ABD

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，球的表面不能展成平面圖形，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐不能保證底面為正多邊形，只能得到頂點(diǎn)在底面上的射影為多

邊形的外心，故錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，截面的形狀是三角形，那么該幾何體可能是三棱柱，故正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，上、下底面是等邊三角形的三棱臺(tái)，側(cè)面梯形不一定有外接圓，比如有一條側(cè)棱垂直于底面的

情況，故錯(cuò)誤.

故選：ABD

三、填空題

9.水平放置的平面四邊形0A8C,用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出它的直觀圖OABC'如圖所示，此直觀圖恰好是個(gè)邊

長(zhǎng)為2的正方形，則原平面四邊形OABC的面積為.

【答案】8&

【解析】-：O'A!=2,:.O'B'=2>/2

還原回原圖形后,

OA=OA'=2,08=20?=40

?.?原圖形的面積為2x4正=80

故答案為：8夜

10.球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，與截面垂直的球體直徑被截得的部分稱(chēng)作球冠的高.若半徑為R的

球面被一個(gè)平面截成兩個(gè)球冠，這兩個(gè)球冠的表面積之差等于截面面積的2倍，則球心到截面的距離為

.(球冠的表面積公式：S=2M,其中R是球的半徑，/?是球冠的高)

【答案】(t-l)R

【解析】設(shè)球心到截面的距離為d,則2乃R(R+d)-2%R(R-d)=2"店一")，

d'+ldR-R1d=?-l)R(舍去負(fù)值).

故答案為：(應(yīng)-1)R.

四、解答題

11.如圖，已知點(diǎn)A(-U),8(1,3),C(3,l),用斜二測(cè)畫(huà)法作出該水平放置的四邊形A8CO的直觀圖，并求

13

【解析】由斜二測(cè)畫(huà)法可知，在直觀圖中，4。'=1,0q=1,GO'=3,8c=2,B再=j,

GG=；，B\BJ/CJ、NA40'=N482c2=45。，

所以月G。'=m與+SCQ由一S"&o,—Sa。。2G

(/4A+^B)ABsin45°(qC+^,B)CBsin45°444。'-sin45。GCCO'sin45。

----1--2----1-2------2--------1------2-----2----2--2------------=------------------------------

2222

近1I&1,y/2

—xlx———x3x——

2__22223應(yīng).

22~2~

12.用厚紙按如下三個(gè)圖樣畫(huà)好后剪下，再沿圖中虛線折起來(lái)粘好，得到的分別是什么空間圖形？

沿圖中虛線折起來(lái)粘好得到下列圖形:

它們分別是正三棱柱，圓錐，正四棱臺(tái).

題組C培優(yōu)拔尖練

一、單選題

1.已知一圓錐底面圓的直徑是3,圓錐的母線長(zhǎng)為3,在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長(zhǎng)為。的正四面體（每條棱長(zhǎng)

都為"的三棱錐），并且正四面體可以在該圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則。的最大值為（）

A.1B.歷C.6D.2

【答案】B

【解析】依題意，四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故該四面體內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球，

設(shè)球心為P,球的半徑為r,卜底面半徑為R,軸截面上球與圓錐母線的切點(diǎn)為Q,圓錐的軸截面如圖:

由已知A8=SA=SB=3

所以三角形弘8為等邊三角形，故P是ASAB的中心,

連接BP,則BP平分NSBA,ZPSO=30"；

所以tan3(T=￡,即上=&=旦之=走,

R3322

即四面體的外接球的半徑為r=".

2

另正四面體可以從正方體中截得，如圖：

從圖中可以得到，當(dāng)正四面體的棱長(zhǎng)為。時(shí)，截得它的正方體的棱長(zhǎng)為也a,

2

而正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在正方體上，

故正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，

所以2r=GA4,=>/3xa=a,

22

所以〃=即。的最大值為正.故選：B.

2.魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的柳卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹

凸部分（即梯卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱(chēng),

從外表上看，六根等長(zhǎng)的正四棱柱分成三組，經(jīng)90。樣卯起來(lái)，如圖，若正四棱柱的高為8,底面正方形的

邊長(zhǎng)為2,現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為（）（容器壁的厚度

忽略不計(jì)）

A.21笈B.40乃C.41萬(wàn)D.844

【答案】D

【解析】由題意知，當(dāng)該球?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)分別為4、2,高為8的長(zhǎng)方體的外接球時(shí)，球的半徑取最小值，所

以，該球形容器的半徑的最小值為宣=，>/64+16+4=恒,因此，該球形容器的表面積的最小值為S=84?.

2